THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES STOCHASTIQUES 29Définition 2.2 Soit X une semimartingale de M et f ∈ SM(M, N). Une solutionde :DY = f(X, Y )DX, (2.2)est une semimartingale à valeurs dans N telle que, pour tout codiffuseur Θ dansN (ou forme de second ordre), on ait :∫∫〈Θ, DY 〉 = 〈f ∗ (X, Y )Θ, DX〉, (2.3)où f ∗ (x, y) : τ ∗ x N → τ ∗ y M est l’adjoint de f(x, y) : τ xM → τ y N.Remarque : Pour une généralisation du théorème qui suit, avec une régularitémoindre sur f (localement Lipschitz) et une possible dépendance en t et ω (defaçon localement bornée et de manière prévisible), on peut se référer à [Éme90a].Théorème 2.1 Soit X une semimartingale de M, f ∈ SM(M, N) et Y 0 une variablealéatoire F 0 -mesurable à valeurs dans N. Il existe un temps d’arrêt prévisibleζ > 0 et une semimartingale Y à valeurs dans N définie sur l’intervalle stochastique[0, ζ[ telle que sa valeur initiale soit Y 0 et qui soit solution de (2.2). Cettesolution explose (sort de tout compact) au temps ζ sur l’événement ζ < ∞ (c’estl’analogue du temps d’explosion déterministe pour une EDO avec des coefficientslocalements Lipschitz). De plus cette solution est maximale : si (ζ ′ , Y ′ ) est uneautre solution de (2.2) dans le sens où ζ ′ est un temps d’arrêt prévisible et Y ′ estune solution de (2.2) de valeur initiale Y 0 définie sur [0, ζ[, alors ζ ′ ≤ ζ et Y ′ = Ysur [0, ζ ′ [ (p.s).Remarque : La preuve de ce théorème repose en grande partie sur celle des EDSdans R n et le théorème de Whitney. Si nous avons une sous variété N ′ de N et unopérateur de Schwartz dont l’image en chaque point est contenue dans τN ′ , alorsla solution de l’EDS correspondante sera dans N ′ , si sa condition initiale Y 0 estdans N ′ , i.e. respecte le même résultat que pour les EDO.Les EDS considérées précédemment sont d’ordre deux, DX étant vu comme un“codiffuseur”. Nous allons donner des EDS d’ordre un dépendant de la différentiellede Stratonovich ∗dX. Cela nous permettra de transférer les équations différentiellesdu premier ordre bien connues dans le cadre de la géométrie différentielle, à savoirles équations de transport parallèle le long d’une courbe, de développement etd’antidéveloppement de courbe (lorsque la variété sera munie d’une connexion).Définition 2.3 Un opérateur de Stratonovich sera une famille (e(x, y)) (x,y)∈M×N ,où e(x, y) sera une application linéaire de T x M dans T y N, qui dépend de manièrelisse de (x, y). L’opérateur e ∗ (x, y) : T ∗ y N → T ∗ x M sera l’opérateur dual de e(x, y),il aura la même régularité que e(x, y).29