-priručnikdoc.dr.sc

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 25
Logička aksiomatska teorija i ne-logička aksiomatska teorija odnose se kao
fundirajući i fundirani sustavi ( foundational and postfoundational systems, Sheffer).
Fundirajući logički sustavi imaju svoja pravila dokaza. S druge strane,
fundirana teorija u svojim dokazima polazi od svojih ekstralogičkih aksioma i
koristi logičke teoreme kao svoja pravila dokaza.
Za izgradnju jedne fundirajuće aksiomatske logike trebamo odrediti sintaksu
njezinog jezika: navesti popis osnovnih simbola i pravila za tvorbu rečenica u
tom jeziku. Dalje ćemo analizirati jednu aksiomatizaciju propozicijska logike,
Frege-Lukasiewiczev sustav.
3.2.1.1 Frege-Lukasiewiczev sustav
Sintaksa.
Neka su u jeziku teorije LP osnovni simboli: propozicijska slova:
‘P 1 ’, ‘P 2 ’,..., pomoćni simboli: ‘(‘, ‘)’, i konstante: ‘→ ‘i’¬ ’.
Pravilo tvorbe rečenica neka glasi: propozicijska slova su rečenice
ujezikuteorijeLP,aakosuA i B rečenice u tom jeziku onda su i ¬A i
(A → B) rečenice u tom jeziku, te ništa drugo nije rečenica tog jezika.
Aksiomi, definicije i pravila dokazivanja.
Aksiomski oblici:
A1. (A → (B → A))
A2. ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)))
A3 ((¬B →¬A) → (A → B))
Definicije veznika:
¬(A →¬B) označava A ∧ B, itd.
Pravilo dokazivanja:
Ako je (A → B) teorem i ako je A teorem, onda je B teorem.
3.2.1.2 Primjer dokazivanja logičkog teorema
Dokaz ispravnosti za hipotetički silogizma u aksiomatskom sustavu LP :
(1) aksiom tipa A1:
((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))) → ((B → C) → ((A →
(B → C)) → ((A → B) → (A → C))))
(2) aksiom tipa A2:
((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(3) teorem dobiven iz (1) i (2) primjenom pravila modus ponens:
((B → C) → ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))))
(4) aksiom tipa A2:
((B → C) → ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)))) → (((B →
C) → (A → (B → C))) → ((B → C) → ((A → B) → (A → C))))
(5) teorem dobiven iz (3) i (4) primjenom pravila modus ponens:
(((B → C) → (A → (B → C))) → ((B → C) → ((A → B) → (A →
C))))