-priručnikdoc.dr.sc

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 27
Zadatak 13 Neka je zadan gornji logički aksiomski sustav. Aksiomski oblici: A1.
(A → (B → A)), A2. ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))), A3.
.((¬B →¬A) → (A → B)). Pravilo dokazivanja: Ako je (A → B) teorem i ako je A
teorem, onda je B teorem. Dokažite 7 A → A!
3.2.1.3 Zanimljivost
U 1956. sastavljen je Logic Theorist, pionirski rad u području umjetne inteligencije
(AI). Autori su bili A. Newell, J.C. Shaw i H.A. Simon. Zadatak koji je
program trebao moći riješiti bio je dokazati teoreme iz Russellove i Whitheadove
Principia Mathematica iz 2. glave. Rezultat: program je uspio dokazati 38 od
prvih 52 teorema.
Kod jednog teorema, dokaz do kojeg je došao Logic Theorist
bio je elegantniji od onoga kojeg su dali Russell i Whitehead.[...] Tri
su autora napisala kratki članak s novim dokazom i u popis imena autora
pored vlastitih uvrstili Logic Theorist kao koautora. To je bio prvi
akademski članak u povijesti u kojemu je stroj bio jedan od autora, ali,
nažalost, urednik The Journal of Symbolic Logic nije prihvatio članak
za objavljivanje .
J. Copeland. Artificial Intelligence: a Philosophical Introduction.
str.8.
3.2.2 Izbori pri izgradnji aksiomskog sustava propozicijske
logike
3.2.2.1 Broj logičkih konstanti (logičke operacije i vrijednosti)?
Jednočlane opcije: (i) ne istodobno, inkompatibilnost, ekskluzija, NAND, ↑, (ii)
ni niti, binegacija, NOR, ↓. Dvočlane opcije: (i) samo s istinitosnofunkcionalnim
veznicima (npr. kao u Frege-Lukasiewiczevom sustavu: ¬ i →), (ii) jedan veznik
i istinitosna vrijednost neistinitog (npr. → i ⊥).
3.2.2.2 Neizbježna negacija
Ako usmjerimo pažnju na veznike ∧, ∨, →, i↔, lakoćemo uočiti da oni nisu
dovoljni da bi izrazili sve istinitosne funkcije. Ako je rečenica R neistinita u
7
(1) aksiom A1:
A → ((A → A) → A)
(2) aksiom A2:
(A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A))
(3) modus ponens; (1),(2):
(A → (A → A)) → (A → A)
(4) aksiom A1:
A → (A → A)
(5) modus ponens; (3),(4):
A → A