-priručnikdoc.dr.sc

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 31
Rjeenje 1 U dokazu treba pokazati da pravilo dokaza «prenosi kontradiktornost»,
tj. da ćemo primjenom pravila izvoda uvijek iz kontradikcija izvesti novu kontradikciju.
Ispitajmo prijenos kontradiktornosti Neka su ¬A ∧ B i A aksiomi,
dakle kontradikcije. Budući da je A kontradikcija, onda je ¬A tautologija.
Kako je ¬A ∧ B kontradikcija a A tautologija, onda B mora biti kontradikcija.
Pretpostavimo da se kontradiktornost ne prenosi. Neka je rečenica S prva
koja ne uspijeva sačuvati kontradiktornost. Tada S nije aksiom, već morabiti
dobivena pomoću pravila. Ako je dobivena pomoću pravila, onda je nastala iz
nekih prethodnih rečenica uz primjenu pravila. Budući da su prethodne rečenice
kontradikcije a pravilo čuva to svojstvo, slijedi da je S kontradikcija. Time
smo osporili pretpostavku. Dalje treba pokazati da se ne može dogoditi da par
kontradiktornih rečenica bude u K. Očigledno je da to ne može biti slučaj jer je
negacija kontradikcije tautologija, a po prethodnom dokazu pouzdanosti uprijenosu
kontradiktornosti, znamo da se u sustavu K nalaze jedino kontradikcije.
Primjer 3.11 Dodajmo Frege-Lukasiewiczevom aksiomskom sustavu još dvije aksiomske
sheme, A4: A iA5:¬A. Posintaktičkom kriteriju, novonastala teorija je inkonzistentna.
Dokažite da je u toj teoriji svaka rečenica teorem 9 !
Primjer 3.12 U sljedećoj definiciji ispitajmo je li riječ o pojmu potpunosti za logičke
ili ne-logičke aksiomske sustave. «Sustav je sintatički potpun ako i samo ako ne postoji
nedokaziva shema B koja bi se mogla dodati sustavu a da pri tome ne unese inkonzistentnost
» Što bi se dogodilo kada bismo jednom logičkom sustavu tautologija pridodali
kontingentni iskaz?
9
Proizvoljna rečenica R je teorem. Dokaz:
(1) A3:
(¬R →¬A) → (A → R)
(2) A2:
¬A → (¬R →¬A)
(3) A4:
¬A
(4) modus ponens; (2),(3):
¬R →¬A
(5) modus ponens; (1), (4)
A → R
(6) A5:
A
(7) modus ponens; (5),(6):
R