-priručnikdoc.dr.sc

SIMBOLIČKA LOGIKA 

-priručnikdoc.dr.sc. 

Berislav Žarnić

http://www.vusst.hr/~logika/pilot

http://www.vusst.hr/~logika/pilot

Pregled sadržaja 

Predgovor 

vii 

1 Atomarnerečenice 1 

1.1 Predikati i individualne konstante 1 

1.2 Ime i predmet 2 

1.3 Broj “mjesta” u predikatu. 3 

1.4 Pravo-pisani zapis atomarne rečenice 4 

1.5 Ontološki design. 4 

1.6 Atomarne rečenice: podsjetnik 6 

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 6 

1.8 Termi 8 

1.9 Atomarne rečenice u teoriji skupova i aritmetici 9 

2 Identitet 12 

2.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet 12 

2.2 Refleksivnost identiteta 14 

2.3 Leibnizov zakon: nerazlučivost istovjetnog 14 

2.4 Pravila za simbol identiteta 15 

2.5 Identitet u filozofskoj logici 17 

2.6 Za zapamtiti 19 

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 19 

3 Propozicijska logika i teorija dokaza 21 

3.1 Aksiomatski sustav 21 

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 23 

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 35 

3.4 Prirodna dedukcija 39 

4 Pouzdanost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 48 

4.1 Tautološka posljedica 49 

4.2 Pouzdanost 50 

4.3 Dokaz pouzdanosti 51 

4.4 Potpunost 57 

4.5 Filozofija logike 58 

5 Uvod u kvantifikaciju 60 

iii

iv 


5.1 Kvantifikacija u prirodnom jeziku 60 

5.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljene formule 62 

5.3 Simboli za kvantifikatore 64 

5.4 Isf-e i rečenice 65 

5.5 Semantika kvantifikatora 66 

5.6 Četiri aristotelovska oblika 69 

5.7 Kvantifikatori i funkcijski simboli 71 

6 Logika kvantifikatora 73 

6.1 Tautologije i kvantifikacija 73 

7 Valjanosti i posljedice prvog reda 78 

7.1 Metoda zamjene predikata 79 

7.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovi zakoni 80 

7.3 Još neke ekvivalencije s kvantifikatorima 84 

8 Višestruka kvantifikacija 86 

8.1 Višestruka primjena jednog kvantifikatora 86 

8.2 Mješoviti kvantifikatori 88 

8.3 Prijevod korak-po-korak 88 

8.4 Preneksna forma 92 

9 Metode dokaza za kvantifikatore 99 

9.1 Valjani koraci s kvantifikatorima 99 

9.2 Dokazi s raznorodnim kvantifikatorima 106 

10 Formalni dokazi i kvantifikatori 112 

10.1 Pravila za univerzalni kvantifikator 112 

10.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator 113 

10.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili rečenice koje 

opravdavaju druge rečenice? 115 

11 Istinitosno stablo 116 

11.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta 116 

12 Numerička kvantifikacija 120 

12.1 Barem n predmeta 120 

12.2 Najviše n predmeta 122 

12.3 Točno n predmeta 124 

12.4 Što je dovoljno za znati iskazati numeričke tvrdnje? 127 

13 Odre ¯deni opisi 131


v 

13.1 Taj 131 

13.2 Oba 132 

13.3 Presupozicije 133 

14 Logika generalizirane kvantifikacije 137 

14.1 Logička svojstva determinatora 137 

14.2 Logička gramatika 140 

15 Teorija skupova 148 

15.1 Osnovni rječnik teorije skupova 148 

15.2 Jezik za različite vrste predmeta 149 

15.3 Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova 149 

15.4 Jednočlani skupovi, prazni skup, podskupovi 152 

15.5 Presjek i unija 155 

15.6 Digresija: konzistentnost 158 

16 Skupovi skupova 161 

16.1 Ure ¯deni parovi 161 

16.2 Modeliranje relacija u teoriji skupova 163 

16.3 Svojstva za odnose 164 

16.4 Partitivni skup 171 

16.5 Russellov paradoks 175 

16.6 Zermelo Fraenkel teorija skupova 178 

17 Matematička indukcija 187 

17.1 Malo povijesti "nematematičke" indukcije 187 

17.2 Kako matematička indukcija može opravdati općenitu 

konkluziju koja se odnosi na beskonačan broj slučajeva? 188 

17.3 Induktivni dokaz 189 

18 Potpunost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 194 

18.1 Dodjelivanje istinitosne vrijednosti i istinitosne tablice 194 

19 Potpunost propozicijske logike 197 

19.1 Formalna konzistentnost 197 

19.2 Strategija dokazivanja reformuliranog Teorema potpunosti 200 

19.3 Potpunost formalno potpunog skupa rečenica 201 

19.4 Proširenje na formalno potpune skupove rečenica 203 

19.5 Sve zajedno: dokaz potpunosti 204 

20 Strukture prvog reda 206

vi 



20.2 Posljedica prvoga reda 207 

20.3 Struktura prvoga reda 208 

21 Istina i zadovoljavanje 212 

21.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 212 

21.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednosti 215 

22 Pouzdanost logike prvoga reda 220 

23 Potpunost i nepotpunost 223 

23.1 Teorem potpunosti za logiku prvog reda 223 

23.2 Dodavanje konstanti koje svjedoče 226 

23.3 Henkinova teorija 227 

23.4 Eliminacijski teorem 231 

23.5 Henkinova konstrukcija 235 

24 Löwenheim-Skolemov teorem 244 

24.1 Potrebni dopunski pojmovi 244 

24.2 Skolemov paradoks 248 

24.3 Teorem kompaktnosti 249 

25 Gödelov teorem nepotpunosti 253 

25.1 Kodiranje 254 

25.2 Reprezentacija 254 

25.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema) 259 

26 Turingovi strojevi 263 

26.1 Churchova teza 263 

26.2 Opis Turingovog stroja 263 

26.3 Neodlučivost logike prvoga reda 270 

27 Osnovne ideje modalne logike 274 

27.1 Višestruko vrednovanje 274 

28 Zadaci 282 

28.1 Literatura za pripremu ispita 300

Predgovor 

Sadržaj ovog priručnika većim dijelom prati sadržaj sljedećih udžbenika (po 

navedenim poglavljima): 

1. Jon Barwise i John Etchemendy (2000) Language, Proof and Logic. CSLI 

Publications. Center for the study of Language and Information Stanford 

University. Seven Bridges Press. New York·London. 

I Poglavlja: 1, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. 

2. George S. Boolos i Richard C. Jeffrey(1989) Computability and Logic. 

CambridgeUniversity Press. 

I Poglavlja: 3, 5, 10. 

3. L.T.F. Gamut [J. van Benthem, J. Groenendijk, D. de Jongh, M. Stokof, H. 

Verkuyl] (1991) Logic, Language and Meaning. Volume II: Intensional Logic 

and Logical Grammar. The University of Chicago Press. Chicago·London. 

I Poglavlje: 2. 

Sve pogreške treba pripisati autoru ovog priručnika, a ne autorima udžbenika 

čiji se sadržaj prati. 

Vježbe logičkih tehnika ostvaruju se uz primjenu interaktivnosti: 

• Graditelji i provjerivači dokaza za sustav prirodne dedukcije 

I U Fitch stilu: 

∗ G. Allwein, D. Barker-Plummer, A. Liu: Fitch (software koji prati 

Language, Proof and Logic) 

I U Lemmon stilu: 

∗ Christian Gottschal: graditelj dokaza (hrvatska verzija 

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/konstruktor.htm) 

• Za usvajanje jezika logike prvog reda: 

I ∗ G. Allwein, D. Barker-Plummer, A. Liu: Tarski’s World (software 

koji prati Language, Proof and Logic) 

• Za gradnju istinitosnih stabala: 

I ∗ Wolfgang Schwarz: automatski graditelj (hrvatska verzija 

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/wostablo/index.html) 

∗ Nik Roberts: Tableau 3 (hrvatska verzija 

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/stablo/konstrukcija.htm) 

• Za gradnju dokaza u teoriji skupova: 

I ∗ Daniel Velleman: "dizajner" dokaza (hrvatska verzija 

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/skupovi/dizajner.htm) 

• Za Turingove strojeve: 

I 

∗ Ken Schweller: Turingov stroj (hrvatska verzija 

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/turing/turing.htm) 

vii

viii 

Predgovor 

• Za propozicijsku modalnu logiku: 

I 

∗ Jan Jaspars: modalni kalkulator (hrvatska verzija 

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/modal/modalni.htm) 

Ostale logičke interaktivnosti i nastavni sadržaji dostupni su na autorovim 

tematskim stranicama INTERAKTIVNA LOGIKA (http://www.vusst.hr/~logika/pilot)

Poglavlje 1 

Atomarne rečenice 

1.1 Predikati i individualne konstante 

Atomarne rečenice su najjednostavnije rečenice u logičkom smislu. U tipičnom 

su slučaju sastavljene od predikata i imena. U negativnom smislu, mogli bismo 

ih odrediti kao rečenice koje ne sadrže niti jedan logički simbol. 

Primjer 1.1 Logičku strukturu rečenica ’Albert cijeni samoga sebe’ i ’Albert je student’ 

prikazujemo kao Cijeni(albert, albert) i Student(albert). Riječ istaknutu velikim 

početnim slovom nazivamo predikatom. Imena upisujemo unutar zagrada. Za 

razliku od gramatičke, logička konvencija nalaže malo početno slovo. 

U jeziku logike prvoga reda imena se nazivaju individualnim konstantama. 

Glavna razlika leži u činjenici da u prirodnom jeziku isto ime može referirati na 

različite predmete ovisno o kontekstu, dok u logici prvoga reda jedna individualna 

konstanta referira uvijek na isti na predmet. Za razliku od prirodnog jezika, 

jezik logike prvoga reda neovisan je o kontekstu. 

Primjer 1.2 Obavijest sadržanu u tekstu ’Naša administrativna tajnica i naš sistem 

inženjer imaju isto ime. I ona i on zovu se "Doris".’ ne možemo iskazati kao AdministrativnaT ajnica(Doris)∧ 

SistemInženjer(Doris). Jezik LPR zahtijeva da napravimo razliku izme ¯du istih imena 

različitih osoba. To bismo mogli učiniti pomoću dodatnih oznaka, na primjer ovako: 

AdministrativnaT ajnica(Doris1) ∧ SistemInženjer(Doris2). 

Primjer 1.3 Rečenice ’Albert ne cijeni samoga sebe’, ’Albert ne cijeni nikoga osim 

samoga sebe’ i ’Albert je zaposleni student’ nisu atomarne. Prikaz njihovelogičke strukture 

zahtijeva uvo ¯denje dodatnih simbola koji nisu ni predikati niti imena. ’Albert ne 

cijeni samoga sebe’ formaliziramo kao negaciju atomarne rečenice, 

¬Cijeni(albert, albert). 

Za ’Albert ne cijeni nikoga osim samoga sebe’ treba nam konjunkcija, kvantifikacija i 

složeni uvjet, 

Cijeni(albert, albert) ∧∀x(Cijeni(albert, x) → x = albert). 

’Albert je zaposleni student’ je konjunkcija dviju atomarnih rečenica Student(albert)∧ 

Zaposlen(albert). 

1

2 Poglavlje 1 Atomarne rečenice 

1.2 Ime i predmet 

Vlastita imena predstavljaju vrstu individualnih konstanti. Individualne konstante 

su simboli koje koristimo da bismo pokazali na neki odre ¯deni pojedinačni 

predmet. Možemo tako ¯der kazati da individualne konstante imenuju ili referiraju 

na odre ¯dene predmete. One su svojevrsna “logička imena”. 

Primjer 1.4 Vlastita imenice i neke zamjenice u prirodnom jeziku obavljaju ulogu 

referiranja. U rečenicama ’To je izvrsno’, ’Ona je glazbenica’, ’Bertrand Russell je filozof’ 

i ’Danas je ponedjeljak’ ta uloga redom pripada pokaznoj zamjenici, osobnoj zamjenici, 

vlastitoj imenici i prilogu, Izvrsno(to ∗ ), Glazbenica(ona ∗ ), Filozof(bertrand_russell), 

Ponedjeljak(danas ∗ ). Nadznak ‘*’ označava izraze kod kojih je “veza sa stvarnim 

svijetom dio njihovog doslovnog značenja”. Takvi se pokazni izrazi nazivaju ’indeksikalima’, 

’indeksičkim izrazima’ ili ’indeksalnim izrazima’. 

Primjer 1.5 Urečenici ’Ja sam ovdje sada’ nalazimo tri indeksikala, tri izraza koje 

bismo mogli shvatiti kao individualne konstante: NalaziSe(ja ∗ ,ovdje ∗ ,sada ∗ ). 

Primjer 1.6 Ne-primjeri. U rečenici ’To su studenti filozofije!’ pokaznu zamjenicu 

’to’ ne moramo shvatiti kao individualnu konstantu: ∀x(NalaziSe(x, ovdje ∗ ) → StudentF ilozofije(x)), 

tj. ’svaka osoba koja je ovdje jest student filozofije’. 

U logici prvog reda: 

Svaka individualna konstanta imenuje. 

Svaka individualna konstanta imenuje točno jedan postojeći predmet. 

Predmet može imati više imena. 

Predmet ne mora imati ime. 

Primjer 1.7 Neki realni brojevi nemaju ime 1 . 

1 

Skup realnih brojeva nije prebrojiv, to jest, ne postoji procedura koja omogućuje da se prona ¯de 

svaki pojedini realni broj. Za racionalne brojeve postoji postupak prebrojavanja. Racionalne 

brojeve treba postaviti u dvostruki beskonačni poredak na ovaj način: 

0/1 1/1 2/1 3/1 ... 

0/2 1/2 2/2 3/2 ... 

0/3 1/3 2/3 3/3 ... 

0/4 1/4 2/4 3/4 ... 

− − − − 

Zatim ih se postavi u niz po dijagonalnom postupku izbrajanja: 

→ . → . 

↓ % . 

% . 

↓ 

...

1.3 Broj “mjesta” u predikatu. 3 

1.3 Broj “mjesta” u predikatu. 

Predikatni simboli iskazuju neko svojstvo predmeta ili odnos izme ¯du predmeta. 

Urečenici ’a je izme ¯du b i c’ nalazimo tri “logička subjekta”. Zato kažemo 

da je predikat Izmedju(_, _, _) tro-mjesni predikat. 

“Mjesnost” predikata označava broj pojava individualnih konstanti potrebnih 

da se on upotpuni, broj pojava imena potreban da se od toga predikata sačini 

atomarna rečenica. 

Primjer 1.8 Jednomjesni predikat: Student(_). Dvomjesni: Cijeni(_, _). Tromjesni: 

Izmedju(_, _, _). Četveromjesni npr. Preporučuje([tko], [koga], [kome], [za 

što]). 

Imaju li pridjevi i imenice slično ili različito logičko ponašanje? Pridjevi 

dolaze uz imenice. No, pridjevi i imenice mogu imati jednaku logičku ulogu: i 

pridjevi i opće imenice mogu iskazati uvjete koje netko ili nešto može ispunjavati. 

Primjer 1.9 ’Bertrand Russell je bio britanski filozof’ možemo u jednom od tumačenja 

promatrati kao: 

Filozof(bertrand_russell) ∧ Britanac(bertrand_russell) 

Nekad pridjevi ne dodaju novi uvjet već ograničavaju uvjet zadan s imenicom. 

Potomseuklonebrojevičiji se duplikat već pojavio u nizu. Na kraju se pokaže da se dobiveni niz 

može postaviti u odnos 1 − za − 1 s prirodnim brojevima: 

Q 0/1 1/1 1/2 2/1 3/1 1/3 ... 

N 1 2 3 4 5 6 ... 

Georg Cantor (1845-1918) pronašao je dokaz da skup realnih brojeva nije iste veličine kao skup 

prirodnih brojeva. Pretpostavimo suprotno. Po pretpostavci, moguće je postaviti realne brojeve 

u niz tako da prvi me ¯du njima odgovara prvom prirodnom broju a n-tirealni-n-tom prirodnom 

broju. Za tu svrhu neka se svaki realni broj predstavi kao beskonačni decimalni broj. Na primjer, 

1/4 se predstavlja ne kao 0, 25 nego kao 0, 24999... Radi jednostavnosti ograničimo se na realne 

brojeve izme ¯du 0 i 1. Neka su svi takvi brojevi posloženi u niz 

0,a 1 a 2 a 3 ... 

0,b 1 b 2 b 3 ... 

0,c 1c 2c 3... 

... 

Sada je lako pronaći pravilo zamjenjivanja decimala koje će dati broj koji se ne javlja u nizu. Na 

primjer, neka se takav broj napiše po sljedećem pravilu na prvom decimalnom mjestu on ima bilo 

koji broj osim a 1 , 0 ili 9, na drugom mjestu on ima bilo koji broj osim b 2 , 0 ili 9,natrećem - bilo 

koji broj osim c 3 , 0 ili 9. Natajnačin dolazimo do broja koji se razlikuje od bilo kojeg broja u 

nizu. Time je osporena pretpostavka da se svi realni brojevi mogu postaviti u niz kojega možemo 

postaviti u korelaciju s prirodnim brojevima.


Primjer 1.10 (i)’Bertrand Russell je bio dobar filozof’ izvorni govornik neće razumjeti 

kao 

Filozof(bertrand_russell) ∧ Dobar(bertrand_russell) 

već kaoDobarF ilozof(bertrand_russell), (ii) rečenicu ’Dumbo je mali slon’ ne formaliziramo 

kao 

Slon(dumbo) ∧ Malen(dumbo) 

već kaoMalenSlon(dumbo). 

Broj mjesta u nekom predikatu odre ¯dujemo polazeći od nekog analitičkog 

stajališta. U analizi rečenice ’Albert cijeni samoga sebe’ možemo se odlučiti za 

jednomjesni predikat, CijeniAlbert(_) ili dvomjesni predikat, Cijeni(_, _),te, 

kao granični slučaj, za 0-mjesni, CijeniAlbertaAlbert.Atomarnerečenice koje 

dobivamo su redom: CijeniAlbert(albert), Cijeni(albert, albert), CijeniAlbertAlbert. 

U logici prvog reda svaki predikatni simbol ima čvrsto utvr ¯deni broj mjesta, 

broj koji pokazuje koliko je pojava individualnih konstanti potrebno za 

tvorbu atomarne rečenice. Svaki se predikat tumači kao odre ¯deno svojstvo 

ili odnos koje ima jednak broj članova kao i njegov jezični zastupnik 

- predikat. 

1.4 Pravo-pisani zapis atomarne rečenice 

Ortografija atomarnih rečenica dopušta različite pristupe. Najčešće koristimo 

prefiksni zapis: predikat se zapisuje ispred niza individualnih konstanti upisanih 

unutar zagrada, Predikat(_,...,_). Ponekad se koristi infiksni zapis: dvomjesni 

predikatni simbol se upisuje izme ¯du individualnih konstanti, xRy. Postfiksni 

zapis, gdje je predikat upisan iza niza individualnih konstanti, rijetko se koristi. 

Primjer 1.11 Infiksni zapis: chomolungma = mt.everest, 2 > 0. 

Primjer 1.12 Miješanje sintaktičkih uloga. ’Izme ¯du mene i tebe je izme ¯du’ neispravno 

je i u prirodnom i u formalnom jeziku, Izmedju(ja ∗ ,Izmedju,ti ∗ ). 

1.5 Ontološki design. 

Dizajniranje formalnog jezika uključuje izbor predikata i izbor objekata. Načelo 

ekonomičnosti ili maksimalne izražajnosti uz minimalni rječnik obično se prepoznaje 

kao rukovodećo načelo. Načelo uporabe samo neophodnih alata naziva 

se «Ockhamova britva» 2 . Ugrubo rečeno, cilj je doći do jezika koji može iskazati 

2 

Srednjovjekovno načelo ekonomičnosti, po kojemu "teorijske entitetenetrebamoumnažati 

bez potrebe", postalo je poznato pod nazivom Ockhamova britva jer je William iz Ockhama 

(1285-1349.) odbacio mnoge entitete čije postojanje bilo postulirano u skolastičkoj filozofiji.

1.5 Ontološki design. 5 

sve ono što želimo iskazati a da pri tome koristimo "najtanji mogući rječnik". 

Zadatak 1 Usporedi izražajnost dva jezika koji se razlikuju samo u rječniku! Prvi 

sadrži unarni predikat, CijeniAlberta i individualne konstante, albert i robert, drugi 

sadrži iste individualne konstante te binarni predikat, Cijeni. Koliko atomarnih rečenica 

možemo sačiniti u prvom, a koliko u drugom jeziku? Što moramo učiniti da bi oba jezika 

imala jednaku ekspresivnu moć? 3 

Pitanje o jednostavnosti ne može se razriješiti na neovisan način. Svojstvo 

jednostavnosti rečenice odre ¯dujemo u nekom ontološkom okviru. Rečenica koja 

je jednostavna unutar jednog ontološkog okvira može biti složena u drugome. 

Primjer 1.13 Rečenica ’Ivica je vidio jučer Maricu u Dubrovniku’ jest jednostavna 

rečenica u perspektivi ontologije koja govori o osobama, mjestima i vremenskim isječcima: 

Vidio(ivica, marica, jučer ∗ ,dubrovnik). U ontološkom okviru u kojemu su 

doga ¯daji «predmeti» o kojima govorimo ta rečenica postaje složenom rečenicom koja 

govori o nekom doga ¯daju, doga ¯daju x koji nije zastupljen s nekom odre ¯denom riječju, 

ali prešutno jest upravo ono o čemu rečenica govori, 

∃x[Vidjenje(x) ∧ Subjekt(x, ivica) ∧ 

∧Objekt(x, marica) ∧ Mjesto(x, dubrovnik) ∧ Vrijeme(x, jučer ∗ )]. 

Primjer 1.14 ’Tweedledee je gurno Tweedlduma’ je atomarna rečenica ako je predstavimo 

pomoću binarnog predikata Gurnuo: Gurnuo(tweedledee, tweedledum). Ako 

je formaliziramo oslanjajući se na ontologiju doga ¯daja, ona nije atomarna. Mogući prijevodi 

su: (i) ∃xGuranje(x, tweedledee, tweedledum), (ii) ∃x[Guranje(x)∧Subjekt(x, tweedledee)∧ 

Objekt(x, tweedledum)]. 

[...] za svaki glagol radnje ili promjene dodajemo mjesto za doga 

¯daj; za takve glagole možemo reći da uzimaju doga ¯daj kao predmete. 

Na taj se način priloško modificiranje pokazuje kao logički par pridjevskoj 

modifikaciji: ono što priloške oznake modificiraju nisu glagoli, 

već doga ¯daji koje odre ¯deni glagoli uvode. 

Donald Davidson. The Individuation of Events. u Essays on 

Actions and Events, str. 167. Oxford University Press, 1982. 

Willard Van Orman Quine (1908.-2000.) pokazao je da je s logičkog stajališta 

svaka ontologija jedan izbor, izbor kojeg se držimo sve dok "podnošljivo 

funkcionira". Izbor ontologije, po Quineovom mišljenju, je odluka čija se racionalnost 

uvijek može dovesti u pitanje. 

3 

Prihvaćanje ontologije je, u načelu, slično prihvaćanju znanstvene 

teorije, recimo sustava fizike: barem u mjeri u kojoj smo racionalni, mi 

U prvom jeziku možemo sačiniti dvije, a u drugom četiri atomarne rečenice. Da bismo 

izjednačili izražajnost dvaju jezika, prvome moramo pridodati unarni predikat CijeniRoberta.


usvajamo najjednostavniji pojmovni okvir u kojega se razasuti dijelovi 

našeg nesre ¯denog iskustva mogu ugraditi i tu urediti. 

Willard Van Orman Quine. O onome što jest. u Novija filozofija 

matematike, str. 116. 

1.6 Atomarne rečenice: podsjetnik 

Ulogiciprvogaredaatomarnerečenice nastaju kada se n-mjesnipredikatstavi 

ispred n pojava imena (smještenih unutar zagrada i razdvojenih zarezom 4 ). Jedna 

vrsta atomarnih rečenica nastaje korištenjem predikata identiteta, =;uinfiksnom 

zapisu tog predikata argumenti su smješteni s njegove obje strane. Poredakimena 

je važan u tvorbi atomarnih rečenica. 

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 

U atomarnim rečenicama, pored individualnih konstanti, možemo naćiidruge 

izraze koji obavljaju ulogu imenovanja, referiranja na točno jedan postojeći predmet. 

U nedostatku terminološke suglasnosti, te druge izraze nazovimo funkcijskim 

izrazima. Niz sačinjen od funkcijskog simbola praćenog odgovarajućim 

brojem individualnih konstantama čini jednu vrstu funkcijskih izraza. 

Primjer 1.15 Izraze ’Albertov otac’ i ’Albertov najbolji prijatelj’ možemo shvatiti kao 

funkcijske izraze (pretpostavljajući u drugom slučaju da najbolji prijatelj može biti samo 

jedan): 

funkcijski izraz 

z }| { 

otac 

|{z} 

( albert 

| {z } 

), 

funkcijski simbol individualna konstanta 

najbolji_prijatelj(albert). 

Primjer 1.16 

funkcijski izraz 

z }| { 

|{z} 

2 + 

|{z} |{z} 

2 . 

individualna konstanta funkcijski simbol individualna konstanta 

Primjer 1.17 Ne-primjeri. Ni ’Albertov brat’ ni ’Albertov prijatelj’ ne mogu se shvatiti 

kao funkcijski izrazi jer i braće i prijatelja može biti više. 

Zapis funkcijskih izraza može biti prefiksni, infiksni i postfiksni. Funkcijski 

simbol mora se upotpuniti s nekim drugim referirajućim izrazom. Ta notacijska 

4 

Koristeseidrukčij i zapisi. Na primjer, umjesto R(a 1,...,a n) neki autori koriste zapis 

Ra 1 ...a n .

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 7 

sličnost s predikatima može navesti na krivu pomisao o srodnosti funkcija i 

predikata. Zapravo i u sintaktičkom smislu i u semantičkom smislu funkcijski 

su izrazi slični individualnim konstantama, a ne predikatima. Prva sličnost, za 

funkcijske izraze može se naći «mjesto» unutar predikata i tako upotpuniti atomarnu 

rečenicu, a predikati se nikada ne mogu "ugnjezditi u krošnji" predikata. 

Druga, funkcijski izrazi imenuju, a to znači - pokazuju na (zastupaju) točno jedan 

predmet. 

Primjer 1.18 Atomarne rečenice upotpunjene s funkcijskim izrazom. Sintaksu rečenice 

’Albert cijeni svog oca’ možemo prikazati u obliku Predikat (individualna konstanta, 

funkcijski simbol (individualna konstanta)) iformalno 

zapisati kao 

Cijeni(albert, otac(albert)). 

Primjer 1.19 Primjena funkcijskog simbola može se ponavljati. Tako umjesto da 

kažemo da Albert cijeni svog djeda mogli bismo reći da on cijeni oca svog oca: 

Cijeni(albert, otac(otac(albert))). 

Primjer 1.20 

čitanja za izraz 

Takve iteracije ne funkcioniraju u slučaju predikata. Nema smislenog 

Cijeni(Cijeni(albert, albert)). 

Da bi se neki izraz mogao ubrojiti u referirajući funkcijski izraz, on mora 

zadovoljiti uvjete postojanja i jedinstvenosti. 

Predmet kojega u logičkom smislu zastupa funkcijski izraz mora postojati 

ibitijedanjedini. 

Kada neki unarni (jednomjesni,monadički) funkcijski simbol povežemo s 

individualnom konstantom tada ne dobivamo rečenicu nego novo “ime”, nešto 

što bi trebalo referirati na točno jedan predmet. 

Funkcijski izraz može imati više simultanih "ulaznih vrijednosti", ali izlaz 

je samo jedan. U istinitoj atomarnoj rečenici 2+2 = 4(zapisanoj infiksno), 

nalazimo jedan binarni funkcijski simbol, ’+’, jedan binarni predikat, ’=’, te 

dvije individualne konstante., ’2’i’4’. 

Primjer 1.21 Alternativni prefiksni zapis za 2+2=4: 

Identično(zbroj(2, 2), 4). 

Primjer 1.22 Zahvaljujući činjenici da svaki prirodni broj ima sljedbenika i to jednog 

jedinog, njihova imena se mogu zamijeniti s funkcijskim izrazima. Umjesto "vlastitog


imena", 1, možemo upisati funkcijski izraz u prefiksnom zapisu, sljedbenik(0) ili u 

postfiksnom, 0 0 (gdje crtica ima ulogu simbola za unarnu funkciju ’sljedbenik’). Logički 

pravopis dopušta i 2+2=4i Identično(zbroj(0 00 , 0 00 ), 0 0000 ). 

1.8 Termi 

Složeni termi nastaju kada se funkcijski simbol s n mjesta stavi ispred n 

pojava terma (jednostavnih ili složenih). 

U tvorbi atomarnih rečenica složeni termi koriste se na jednaki način kao 

i individualne konstante (imena). 

U logici prvog reda pretpostavljamo da složeni termi referiraju na jedan i 

samo jedan predmet. 

Termi (singularni termini) su jezični izrazi koji referiraju ili "pokušavaju 

referirati na" točno jedan predmet. U drugom slučaju, kada ne referiraju, oni 

sadrže varijablu. Neki autori singularnim terminima nazivaju samo termine s 

fiksnom referencijom, pri čemu isti termin može u različitim prilikama referirati 

na različito (kao ’danas’ - uvijek isti naziv za različite intervale). Drugi (kojima 

se pridružujemo) pod nazivom ’term’ uključuju i varijable, a time i funkcijske


izraze u kojima se javljaju varijable. 

1.9 Atomarne rečenice u teoriji skupova i aritmetici 

Logika prvog reda izvorno je razvijena za matematičke potrebe i zato su najpoznatiji 

jezici prvog reda oni koji su povezani s odre ¯denim granama matematike, 

posebno s teorijom skupova. Jezik teorije skupova koristi dva predikata: = i ∈. 

Dvije su osnovne tvrdnje: tvrdnja o identitetu, a = b i tvrdnja o članstvu, a ∈ b 

(gdje su a i b individualne konstante). 

Rečenice oblika a ∈ b istinite su ako je stvar označena s b – skup, a stvar 

označena s a član tog skupa. 

Primjer 1.23 

Rečenica ringo ∈ thebeatles je istinito jer 

thebeatles = {john, paul, george, ringo}. 

Dok u nekim jezicima ne susrećemo funkcijske simbole, kod drugih je njihova 

primjena vrlo česta, kao u aritmetici. Jedan smo način elimiranja imena u 

korist funkcijskih izraza već razmotrili (koristeći funkciju sljedbenika). 

Primjer 1.24 Dva imena, 0 i 1, dva simbola za binarne relacije, = i


Zadatak 3 Pokažite da ima beskonačno mnogo terma u aritmetičkom jeziku prvog 

reda koji referiraju na (imenuju) broj jedan 6 . 

Zadatak 4 Usporedimo dva jezika prvog reda. Prvi, nazovimo ga funkcijskim, sadrži 

imena eugene, anastasie, goriot, funkcijski simbol otac, tepredikate= i VišiOd. 

Drugi jezik, nazovimo ga relacijski, sadrži ista imena i tri binarna predikata OtacOd, 

= i VišiOd, a ne sadrži funkcijske simbole. [a] Prevedite sljedeće rečenice relacijskog 

jezika u rečenice funkcijskog jezika: 1. OtacOd(goriot, eugene);2.OtacOd(goriot, anastasie); 

3. VišiOd(eugene, anastasie)! [b] Prevedite iz funkcijskog na relacijski jezik! Gdje 

se to ne može učiniti, objasnite zašto. 4. otac(eugene) =goriot; 5. otac(eugene) = 

otac(anastasie);6.VišiOd(otac(eugene),otac(goriot)). 

1.9.1 Vježbe iz filozofske logike 

Zadatak 5 Očigledno je da rečenica ’Ivica je jučer vidio Maricu u Dubrovniku’ povlači 

’Ivica je vidio Maricu’. S druge strane predikati s različitim brojem mjesta su različiti 

predikati pa ne ostvaruju odnos logičke posljedice prvoga reda, to jest ne ostvaruju 

odnos značenja koji ovisi samo o logičkim simbolima. Neka je e ime jednog doga ¯daja 

jučerašnjeg Ivičinog vi ¯denja Marice u Dubrovniku. Pokažite kako Davidsonov pristup 

semantici glagola radnje objašnjava spomenuti odnos "povlačenja"! 

Zadatak 6 Ludwig Wittgenstein u svom znamenitom djelu Tractatus Logico-Philosophicus 

piše: 2.062 Iz postojanja ili nepostojanja atomarne činjenice ne može se izvesti postojanje 

ili nepostojanje druge atomarne činjenice. 3. Logička slika činjenica je misao. 

4. Misao je smisleni stav. 4.1.1 Stav prikazuje postojanje i ne-postojanje atomarnih 

činjenica. 4.25 Ako je elementarni stav istinit, atomarna činjenica postoji; ako je neistinit, 

atomarna činjenica ne postoji. Interpretirajte tekst tako da ’elementarni stav’ 

znači ’atomarna rečenica’. Pretpostavljajući takvu interpretaciju, tvrdi li Wittgenstein 

da su atomarne rečenice logički neovisne? Navedite razloge i odredite je li takva tvrdnja 

istinita? 

Zadatak 7 

Proučite stavove 5.555-5.5571 iz Tractatus-a! 

Zadatak 8 Pokušajte naći semantičke razloge kojima biste osporavali i sintaktičke razloge 

kojima biste opravdavali klasifikaciju koja u rod imenica uvrštava i vlastite imenice 

iopće imenice. 

6 

Dat ćemo induktivnu definiciju za beskonačni skup terma koji imenuju broj jedan: osnovna 

klauzula je da 1 imenuje broj jedan, induktivna kaluzula je da ako t imenuje broj jedan onda 

(t +0)i (t · 1) imenuju broj jedan. Primjer: ((((1 + 0) + 0) + 0) + 0).


Zadatak 9 U logici prvog reda predikati se interpretiraju kao sasvim odre ¯dena svojstva 

i odnosi. No neka svojstva ovise o perspektivi promatrača. Na slikama nalazimo dva 

pogleda na isti svijet. Odredite istinitosnu vrijednost donjih rečenica i izdvoji predikate 

koji označavaju odnose ili svojstva koja ovise o kontekstu! 

VećeOd(a, b) 

Izmedju(c, d, b) 

LijevoOd(c, b) 

Ispred(c, b) 

Iza(e, b) 

DesnoOd(a, b)

Poglavlje 2 

Identitet 

2.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet 

Primjer 2.1 Dokaz prikazan u «Fitch formatu». Okomita crta pokazuje da su rečenice 

zdesna dio dokaza. Vodoravna crta dijeli pretpostavke (premise) od konkluzija, ispod 

nje se upisuju posredne konkluzije i željena konkluzija. Zdesna svakoj izvedenoj rečenici 

(konkluziji) upisuje se opravdanje: oznaka logičkog pravila i brojevi rečenica nad kojima 

je pravilo primjenjeno. 

1. Kocka(c) 

2. c = b 

3. Kocka(b) = Elim;1, 2 

Dvomjesni predikat identiteta zauzima poseban položaj u filozofskoj logici. 

Kod drugih predikata možemo zamisliti da se skup predmeta koji imaju označeno 

svojstvo ili skup nizova predmeta koji stoje u označenoj relaciji može mijenjati 

ovisno o okolnostima. Tako možemo zamisliti okolnosti u kojima smo uspješniji 

nego što jesmo i okolnosti u kojima smo manje uspješni nego što jesmo. Možemo 

zamisliti i okolnosti u kojima Kina nema najveći broj stanovnika. No ne možemo 

zamisliti okolnosti u kojima nismo ono što jesmo kao što ne množemo zamisliti 

okolnosti u kojima Kinezi nisu Kinezi. 

Sve je identično sa samim sobom i ni sa čime drugim. Ništa 

12

2.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet 13 

drukčije ne da se zamisliti. 

w1 

w2 

w3 

Primjer 2.2 Ekstenzija predikata VećeOd može se mijenati ovisno o «svijetu». U 

svijetu w1: a je veće od b. U svijetu w2 nema ničega što bi bilo veće od nečeg drugog. U 

svijetu w3: b je veće od a. U svakom svijetu u kojemu se javljaju a i b vrijedi da je a = a 

i b = b. Ni u jednom svijetu ne vrijedi da je a veće od a, bilo da je b veće od b. Relacija 

Identitet je refleksivna, relacija VećeOd je irefleksivna.

14 Poglavlje 2 Identitet 

2.2 Refleksivnost identiteta 

Načelo da je sve jednako samom sebi nazivamo refleksivnošću identiteta. Binarnu 

relaciju kod koje vrijedi da je svaki predmet ostvaruje prema samome sebi 

nazivamo refleksivnom. Zahvaljujući refleksivnosti odnosa identiteta bilo gdje 

u dokazu možemo upisati rečenicu n = n. To se pravilo naziva pravilom za 

uvo ¯denje simbola =. 

2.3 Leibnizov zakon: nerazlučivost istovjetnog 

Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646-1716), njemački filozof vjerojatno slavenskog 

podrijetla, matematičar i državnik. Spominje se kao vodeći europski 

intelekt u 17. stoljeću. Logička pravila povezana s identitetom ponekad 

se nazivaju Leibnizovim zakonom.. «Eadem sunt, quae mutuo substitui 

possunt, salva veritate» Isto je ono što se može uzajamno zamjenijivati uz 

očuvanje istinitosti. Ili, ona imena čija zamjena u rečenicama u kojima 

se javljaju, ne dovodi do promjene istintosne vrijednost tih rečenica – su 

imena koja imenuju isti predmet. 

Druga važna dimenzija značenja predikata identiteta pored refleksivnosti jest 

ona koju se obično naziva nerazlučivošću istovjetnog, ponekad Leibnizovim zakonom, 

ponekad pravilom supstitucije identiteta. Načelo nerazlučivosti istovjetnog 

može se iskazati riječima: ako dva terma imenuju istu stvar, onda sve što 

vrijedi za nju pod prvim imenom vrijedi i pod drugim. 

Alfred Tarski (1936) je koristio jaču, bikondicionalom iskazanu varijantu: 

x = y ako i samo ako x ima svako svojstvo koje ima y i y ima

2.4 Pravila za simbol identiteta 15 

svakosvojstvokojeimax. 

Nerazlučivost identičnog nalazi se u smjeru s lijeva prema desno: identičnost 

povlači da su svojstva zajednička. No smjer s desna na lijevo iskazuje identičnost 

nerazlučivog: ako su sva svojstva x i y zajednička, onda x = y. 

Primjer 2.3 U Formalno neodlučivim stavcima u Principia Mathematica i u srodnim 

sustavima (1930) Kurt Gödel: ne uvrštava ’=’ u popis osnovnih (tj. primitivnih) simbola. 

No definicija koju on koristi nije ona Tarskijeva. Umjesto Tarskijeve varijante: 

x = y akko ∀P (P (x) ↔ P (y)), 

Gödel koristi na kondicional oslabljenu varijantu: 

x n = y n akko ∀x n+1 (x n+1 (x n ) → x n+1 (y n )). 

Već prije, Russell i Whitehead su pokazali da se bikondicional u definiens-u 

može oslabiti do kondicionala jer je i identičnost sa samim sobom jedno me ¯du 

svojstvima,pajetodovoljnozazaključiti da x = y. Ako je identičnost sa samim 

sobom jedno od svojstava x-a, onda ako y ima sva x-ova svojstva, ima i to svojstvo, 

te y mora biti identično s x. Uočimo da se u ovakvim definicijama služimo 

s logikom višeg reda, logikom u kojoj možemo govoriti ne samo o predmetima 

nego i svojstvima . 

2.4 Pravila za simbol identiteta 

Barwise i Etchemendy koriste slabiju varijantu i značenje identiteta razlažu kroz 

pravilazauvo¯denje i pravilo za isključivanje simbola =. 

2.4.1 Pravilo za uklanjanje simbola identiteta 

Pravilo se primjenjuje na dvije rečenice. Jedna od dvije rečenicemorabiti 

identitetna, a u drugoj se mora koristiti term koji se javlja u identitetnojrečenici.


2.4.2 Pravilo za uvo ¯denje simbola identiteta 

U bilo kojem retku dokaza smijemo upisati n = n, gdje je n bilo koje ime. 

Budući je riječ ologičkoj istini prvoga reda, takva konkluzija ne ovisi ni o kojoj 

premisi. 

2.4.2.1 Supstitucija identiteta i jednolika supstitucija 

Važno je razlikovati supstituciju identiteta od jednolike supstitucije. Jednolika 

supstitucija se provodi tako da se neki nelogički simbol zamijeni s drugim na 

svim mjestima u nekoj formuli. Za razliku od jednolike supstitucije, supstituciju 

identiteta ne moramo izvršiti na svakom mjestu. Dok pravilo isključenja 

identiteta čuva istinitost, pravilo jednolike supstitucije to ne čini. No, pravilo 

jednolike supstitucije ipak posjeduje važno iako slabije logičko svojsvtvo: to 

pravilo čuva teoremstvo. 

Primjer 2.4 

Zamjena se ne mora izvriti svugdje. 

Primjer 2.5 Zadana je istinita rečenica ’Hamlet i Ofelija se uzajamno vole’. Označimo 

s A rečenicu ’Hamlet voli Ofeliju’ i s B rečenicu ’Ofelija voli Hamleta’. Dobivamo: 

A∧B. Jednolikom supstitucijom A∧¬A za A u A∧B dobivamo (A∧¬A) ∧B. 

Očigledno je da istinitost nije očuvana. 

Uz pomoćdvajupravilazauvo¯denje i isključivanje identiteta možemo dokazati 

daljnja svojstva tog odnosa. Posebno su zanimljiva svojstva simetričnostiitranzitivnosti. 

Simetričnost identiteta: ako x = y, onda y = x.

2.5 Identitet u filozofskoj logici 17 

Tranzitivnost identiteta: ako x = y i y = z, onda x = z. 

Relacije koji su refleksivne, simetrične i tranzitivne nazivamo 

relacijama ekvivalencije. Očigledno je da je identitet relacija ekvivalencije. 

2.5 Identitet u filozofskoj logici 

2.5.0.2 Paradoks identiteta: pitanje o informativosti identitetnih 

rečenica. 

5.5303 Grubo govoreći, reći za dvije stvari da su identične - besmisleno 

je, a reći za neku stvar da je sa sobom identična – znači ne reći ništa. 

Ludwig Wittgenstein (1921) Tractatus Logico-Philosophicus 

Korisni su samo oni iskazi o identitetu u kojima su imenovani 

predmeti isti, a njihova imena različita, zato je pojam identiteta potreban 

samo kako bi ukazao na karakter jezika. Kada bi naš jezik bio 

savršena kopija onoga o čemu on govori tada bi svaka stvar imala 

samo jedno ime a iskazi identiteta bili bi suvišni...Dvije varijable smiju 

referirati na različite predmete, ali mogu referirati i na iste. Zato znak 

identiteta postaje potreban kada se pitanje istovjetnosti ili razlike u referenciji 

postavi o varijablama. S logičkog stajališta ključna primjena 

znaka identiteta vezana je uz varijable, a ne uz singularne termine. 

Cijela kategorija singularnih termina je teorijski suvišna i postižemo


logički dobitak uklonimo li ih. 

Quine, Methods of Logic, str.222 

2.5.1 Intenzionalni kontekst i neuspjeh supstititucije 

identiteta 

Primjer 2.6 Russellova zagonetka. (P1) Scott je autor Waverley-a. (P2) George IV 

želio je znati je li Scott autor Waverley-a. (K3) Dakle, George IV je želio znatijeliScott 

-Scott. 

Primjer 2.7 Prethodni primjer interpretirao bi se u okviru modalne logike na način 

sličan sljedećem: 

· ¸ 

Znageorge 

(P 1) Želi IV. (scott = ιx(xjeautorWaverleya))∨ 

george IV. 

Zna george IV. (scott 6= ιx(xjeautorWaverleya)) 

(P 2) scott = ιx(xjeautorWaverleya) 

· ¸ 

(¬K3) ¬Želi Znageorge IV. (scott = scott)∨ 

george IV. 

Zna george IV. (scott 6= scott)) 

Mnogi će se složiti da je gornji niz rečenica zadovoljiv. 

Primjer 2.8 Za Davidsona izuzeće od važenja Leibnizovog zakona predstavlja razlikovno 

obilježje psihičkog rječnika: "One glagole koji izražavaju sudne stavove kao što 

su vjerovanje, namjeravanje, željenje, nadanje, znanje, zapažanje, sjećanje i sl. možemo 

nazvati mentalnim. Takvi su glagoli obilježeni činjenicom da se javljaju u rečenicama 

čiji se gramatički subjekt odnosi na osobe, a upotpunjuju ih uklopljene rečenice u kojima 

izgleda da ne vrijede uobičajena pravila supstitucije." 

Primjer 2.9 Kripkeova zagonetka vjerovanja . Pretpostavimo da je govornik normalan 

ako nije sveznajući, ako je iskren, svjestan sebe i ako poznaje značenja riječi 

koje koristi. Prihvatimo u svrhu istraživanja sljedeće načelo (N): Ako običan govornik 

jezika L iskreno i promišljeno prihvaća da je istinita rečenica r iz jezika L, onda taj 

govornik vjeruje da r∗, pričemu r∗ označava prijevod rečenice r na jezik u kojemu je 

iskazano načelo (N). Razmotrimo jedan primjer. Francuz Pierre, koji dobro govori kako 

svoj materinski tako i engleski jezik, za vrijeme svog življenja u Parizu više je puta čuo 

da je London jedan vrlo lijep grad. Na osnovi uvjerenja proširenog u krugu njegovih 

poznanika i gledanja lijepih londonskih veduta prikazanih na razglednicama, Pierre 

prihvaća da je rečenica (i) Londres est jolie istinita. Po načelu (N) slijedi da Pierre 

vjeruje da (i)∗ London jest lijep grad jer je rečenica (i)∗ prijevod rečenice (i). Kasnije, 

Pierre se seli u Veliku Britaniju i nastanjuje u Londonu. Nakon obilaženja grada on 

stječe uvjerenje da London nije lijep i prihvaća da je rečenica (ii) London is not pretty 

istinita. Pierre ne zna da je taj neugledni grad u kojem sada živi onaj isti grad čije je 

slike s divljenjem gledao dok je živio u Parizu. Budući da Pierre iskreno prihvaća da su

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 19 

obje rečenice (i) i (ii) istinite, vjeruje li on kao normalni govornik da (i)∗ London jest 

lijep ili vjeruje da (ii)∗ London nije lijep, ili vjeruje i jedno i drugo? 

Problem supstitucije identiteta i dalje predstavlja zanimljiv problem u filozofskoj 

logici, problem koji ukazuje na posebnost "jezika o doživljajima, radnjama 

i osobama" i koji još uvijek nema općeprihvatljivo rješenje. U literaturi se 

kontekst u kojem načelo "supstitutivnosti koekstenzivnih izraza" (tj. zamjene 

identičnih terma, koesktenzivnih predikata te ekvivalentnih rečenica) dopušta 

iznimke naziva "intenzionalnim kontekstom". 

2.6 Za zapamtiti 

Četiri važna načela odnosa identiteta: 

1. = Elim: Ako b = c, onda sve što vrijedi za b vrijedi i za 

c. Načelo se tako ¯der naziva načelom nerazlučivosti identičnoga. 

2. = Intro: Rečenice čiji je oblik b = b uvijek su istinite (u 

logici prvoga reda). Načelo se naziva načelom refleksivnosti identiteta. 

3. Simetričnost identiteta: Ako je b = c, onda c = b. 

4. Tranzitivnost identiteta: Ako je a = b i b = c, onda je 

a = c. 

Posljednja dva načela mogu se izvesti iz prva dva. 

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 

Razmišljajući o drugim predikatima na način na koji smo razmišljali o identitetu, 

moglibismoizanjihuvestinizsličnih pravila. Na primjer, mogli bismo za 

pojedinu relaciju pitati je li simetrična, refleksivna ili tranzitivna. 

Primjer 2.10 Relacija LijevoOd je tranzitivna. Relacija ImatiIstiOblik je simetrična, 

refleksivna i tranzitivna, dakle relacija ekvivalencije. 

Analitičkom posljedicom možemo nazvati postupak izvo ¯denja koji se oslanja 

na značenja riječi koje se javljaju u premisama. Taj postupak može koristiti i 

značenja predikata. 

1. LijevoOd(a, c) 

2. LijevoOd(c, d) 

3. LijevoOd(a, d) Ana Con;1, 2 

U gornjem se primjeru iskoristila tranzitivnost relacije LijevoOd. 

Neke binarne relacije mogu biti «inverzne» u odnosu na druge. Relacija i 

njezina inverzija vrijede za iste predmete ali u «suprotnom smjeru». Relacija 

LijevoOd inverzna je u odnosu na DesnoOd: LijevoOd(a, b) ako i samo ako 

DesnoOd(b, a).


U ovom dokazu 4. je rečenica analitička posljedica od 1. jer je predikat 

LijevoOd inverzija predikata DesnoOd. 5. je rečenica dobivena iz 3. i 4. 

zahvaljujući «nerazlučivosti identičnog»: što vrijedi za b vrijedi i za d jer b = d. 

Zahvaljujući tranzitivnosti predikata LijevoOd, iz 5. i 2. izvodimo 6. 

Zadatak 10 

tranzitivne! 

Odredite jesu li relacije iz prethodnog dokaza refleksivne, simetrične i

Poglavlje 3 

Propozicijska logika i teorija 

dokaza 

Aksiomatski sustav Istinitosno stablo Prirodna dedukcija 

tableaux metoda 

David Hilbert Evert Beth Gerhard Gentzen 

Zaključak čije su premise P 1 ,...,P n a konkluzija K ispravan je ako (je): 

teorem zatvoreno stablo za postoji dokaz 

àksiomatski (P 1 

∧... ∧ P n ) → K {P 1 ,...,P n , ¬K} P 1 ,...,P n`prirod.deduk. K 

3.1 Aksiomatski sustav 

Logika se može izložiti kao aksiomatski sustav u kojem će teoremi biti logičke 

istine. Za poseban slučaj propozicijske logike, to znači da će takva aksiomatska 

teorija obuvaćati tautologije. Daljnja su pitanja: obuvaća li ta teorija samo tautologije 

i obuhvaća li sve tautologije. 

21

22 Poglavlje 3 Propozicijska logika i teorija dokaza 

3.1.1 Što je aksiom? 

U logici i matematici, osnovno načelo za koje se, bez dokaza, pretpostavlja da je 

istinito. 

Primjer 3.1 Aristotel (384-322) znanost je obilježena ne samo s istinitošću rečenica 

koje je tvore već i s njihovim ustrojstvom. Znanost se treba izlažiti kao deduktivan sustav 

u kojemu su manje općenite rečenice dokazane pomoću prvih, najopćenitijih načela. 

Primjer 3.2 (Načelo neproturječnosti) Nijedna rečenica ne može istodobno biti i istinita 

i neistinita. 

Primjer 3.3 Euklid (oko 330-260) u knjizi Elementi aksiomatizira geometriju. "Općenita 

načela" obuhvaćaju 23 definicije, 5 postulata i 5 općenitih ideja. 

Primjer 3.4 

5. općenita ideja: "Cjelina je veća od svakog svog dijela." 

Primjer 3.5 Spinoza (1632 - 1677) daje grandiozni filozofski sustav u aksiomatskom 

obliku (Ethica more geometrico demonstrata). Primjer aksioma: Sve što jest, jest ili u 

sebi ili u drugome. 

3.1.1.1 Izbjegavanje beskonačnog regresa 

Dokazivanje ne može ići u beskonačnost. Ono mora negdje stati. Ako dokaz 

shvatimo u smislu dedukcije, onda su krajnje točke dokaza aksiomi. Iskustveni 

sudovi, zapisi opažanja (promatranja, mjerenja) ne mogu biti polazište dedukcije. 

3.1.1.2 Kako prepoznajemo aksiome? 

U tradiciji su aksiomi bili shvaćeni kao istine jasne po sebi (samo-evidentne 

istine). 

Primjer 3.6 Descartes, René (1596-1650): "I uočivši da mi u postavci mislim, dakle 

jesam baš ništa drugo ne jamči da govorim istinu, osim da vidim vrlo jasno kako moramo 

postojati da bismo mislili, došao sam do uvjerenja da mogu postaviti opće pravilo, da 

su stvari koje shvaćam jasno i razgovijetno potpuno istinite." 

Primjer 3.7 Aksiomski način razmišljanja proteže se i izvan granica filozofije. U 

Deklaraciji nezavisnosti (1776) tvrdnja o ljudskim pravima shvaća se kao aksiom (uočite 

uporabu pridjeva ’self-evident’): "We hold these truths to be self-evident, that all men are 

created equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights, 

that among these are Life, Liberty, and the pursuit of Happiness."


U novije vrijeme napušten je zahtjev da aksiomi moraju biti "jasni sami po 

sebi". Razlozi napuštanja vjerojatno su povezani s racionalističkom pristranošću 

takvog pojma i činjenicom da on uključuje nepouzdana psihološka obilježja. 

3.1.2 Anatomija formalnog aksiomatskog sustava 

Formalni aksiomatski sustav (i) koristi neki rječnik (popis simbola, alfabet) (ii) 

od kojega se po pravilima tvorbe slažu rečenice. Na taj se način zadaje jezik 

teorije. K tome, (iii) neke rečenice (aksiomi) uzimaju se (iv) za polazište primjene 

pravila za dokazivanje drugih rečenica. Aksiomatska teorija obuhvaća one 

rečenice iz zadanog jezika koje se mogu dokazati. Dokaz je niz rečenica gdje je 

svaka rečenica ili aksiom ili je dobivena primjenom pravila dokaza iz prethodnih 

rečenica u nizu. Neka je rečenica R teorem ako postoji njezin dokaz, to jest ako 

postoji dokaz R 1 ,...,R n i R = R n . 

Svrha teorije je da iz zadanog jezika izdvoji neki dio. Konstrukcija teorije 

koja bi obuhvaćala sve rečenice zadanog jezika besmislen je i bezvrijedan poduhvat. 

Primjer 3.8 Jedan "igračka-sustav". Simboli: a, b. Rečenice: (a)a i b su rečenice, 

(b) ako je R rečenica onda su Ra i Rb rečenice, (c) ništa drugo osim onoga što možemo 

R 

dobiti primjenom pravila (a) i (b) nije rečenica. Aksiom: a. Pravilo dokaza: 

Ra (R 

dokazuje Ra). Odredite koji uvjet trebaju zadovaljavati rečenice u zadanom jeziku da 

bi bile teoremima! Uočite da pravilo koje ste otkrili nije teorem igračka-sustava, već 

metateorijska tvrdnja, tj. tvrdnja o teoriji! 

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 

Neki aksiomatski sustav mora, ako je to moguće, zadovoljiti nekoliko uvjeta. 

Konzistentnost: sustav ne smije omogućiti dokaz obje rečeniceizparaproturječnih 

rečenica, tj. ne smije biti slučaj da je dokaziva neka rečenice kao i 

njezina negacija. Ovaj se uvjet mora ispuniti. 

Potpunost ne znači isto za ne-logičke i logičke aksiomatske. U ne-logičkim 

sustavima, potpunost zahtijeva da iz para kojeg čine rečenica i njezina negacija 

uvijek jedna me ¯du njima bude dokaziva. U mnogim se slučajevima ovaj uvjet ne 

može ispuniti.U logičkom sustavu potpunost znači nešto drugo. Ovdje poželjno 

svojstvo teorem nije samo istinitost, već nužna istinitost. Negacije kontingentne 

rečenice je kontingentna rečenica. No, ni jedna niti druga ne smiju biti dokazive 

u nekom logičkom sustavu. 

Neovisnost: (i) i (ii) nijedan teorem nije aksiom. Ako uvjet neovisnosti nije 

zadovoljen, greška nije fatalna. 

Uvjeti o kojima ima smisla govoriti povodom nekog ne-logičkog 

aksiomatskog sustava sa skupom aksioma T .Znak’`’označava tročlani 

odnos dokazivosti ’Dokazivo([rečenica], [skup aksioma], [logički sustav])’. 

Npr. ’T `L P ’ čitamo ’rečenica P (iskazana u jeziku teorije)


može se dokazati polazeći od pretpostavki T koristeći pravila dokaza 

L’. 

Konzistentnost: ni za jednu rečenicu P ne vrijedi da T `L P i 

T `L ¬P 

[Ne postoji rečenica P takvadajedokazivoP i da je dokazivo ¬P .] 

Potpunost: za svaku rečenicu P vrijedi da T `L P ili T `L ¬P 

[Svaka rečenica P je takva da je dokaziva ili rečenica P ili rečenica ¬P .] 

Neovisnost: za svaki aksiom vrijedi da ako A ∈ T , onda ¬(T − 

{A} `L A) 

[Njedan aksiom A ne možemo dokazati polazeći skupa aksioma iz kojih 

je on uklonjen (tj. polazeći od T −{A}).] 

David Hilbert. Matematički problemi (predavanje na Me ¯dunarodnom kongresu 

matematičara u Parizu, 1900.) 

U pomnijem razmatranju, javlja se pitanje: ovise li neki iskazi 

pojedinih aksioma jedni o drugima, te ne sadrže li zato aksiomi neke 

zajedničke elemente, koji moraju biti izdvojeni ako želimo doći do sustava 

aksioma koji su posve neovisni jedni o drugima. Ali iznad svega 

želim sljedeće istaknuti kao najvažnije me ¯du mnogobrojnim pitanjima 

koja se mogu postaviti u vezi aksioma: dokazati da oni nisu kontradiktorni, 

naime, da odre ¯deni broj, na njih oslonjenih logičkih koraka ne 

može nikada dovesti do kontradiktornog rezultata. 

Zadatak 11 O kojim poželjnim svojstvima aksiomatskog sustava govori Hilbert? Pripisuje 

li on istu važnost svim svojstvima? 

Zadatak 12 Zadatak. «Deduktivna teorija je konzistentna, ili neproturječna ako [. . . ] 

se od svaka dva proturječna iskaza bar jedan ne može dokazati. [. . . ] teorija je potpuna 

akosezasvakadvaproturječna iskaza formulirana u terminima te teorije barem jedan 

može dokazati. Za iskaz koji ima svojstvo da se njegova negacija može dokazati kažemo 

da se može osporiti» A. Tarski. Koristeći termine ’dokazati’ i ’osporiti’ iskaži uvjet 

konzistentnosti i uvjet potpunosti drugim riječima! 

3.2.1 Logički aksiomski sustav 

Jedan način razmišljanja o ispravnosti zaključaka u analitičkom okviru propozicijske 

logike je sljedeći: logika je teorija, a ispravni zaključci njezini su teoremi. 

U tom okviru kretala su razmišljanja formalnih logičara poput Fregea, Russella, 

Hilberta i Heytinga.


Logička aksiomatska teorija i ne-logička aksiomatska teorija odnose se kao 

fundirajući i fundirani sustavi ( foundational and postfoundational systems, Sheffer). 

Fundirajući logički sustavi imaju svoja pravila dokaza. S druge strane, 

fundirana teorija u svojim dokazima polazi od svojih ekstralogičkih aksioma i 

koristi logičke teoreme kao svoja pravila dokaza. 

Za izgradnju jedne fundirajuće aksiomatske logike trebamo odrediti sintaksu 

njezinog jezika: navesti popis osnovnih simbola i pravila za tvorbu rečenica u 

tom jeziku. Dalje ćemo analizirati jednu aksiomatizaciju propozicijska logike, 

Frege-Lukasiewiczev sustav. 

3.2.1.1 Frege-Lukasiewiczev sustav 

Sintaksa. 

Neka su u jeziku teorije LP osnovni simboli: propozicijska slova: 

‘P 1 ’, ‘P 2 ’,..., pomoćni simboli: ‘(‘, ‘)’, i konstante: ‘→ ‘i’¬ ’. 

Pravilo tvorbe rečenica neka glasi: propozicijska slova su rečenice 

ujezikuteorijeLP,aakosuA i B rečenice u tom jeziku onda su i ¬A i 

(A → B) rečenice u tom jeziku, te ništa drugo nije rečenica tog jezika. 

Aksiomi, definicije i pravila dokazivanja. 

Aksiomski oblici: 

A1. (A → (B → A)) 

A2. ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))) 

A3 ((¬B →¬A) → (A → B)) 

Definicije veznika: 

¬(A →¬B) označava A ∧ B, itd. 

Pravilo dokazivanja: 

Ako je (A → B) teorem i ako je A teorem, onda je B teorem. 

3.2.1.2 Primjer dokazivanja logičkog teorema 

Dokaz ispravnosti za hipotetički silogizma u aksiomatskom sustavu LP : 

(1) aksiom tipa A1: 

((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))) → ((B → C) → ((A → 

(B → C)) → ((A → B) → (A → C)))) 


((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) 

(3) teorem dobiven iz (1) i (2) primjenom pravila modus ponens: 

((B → C) → ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)))) 


((B → C) → ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)))) → (((B → 

C) → (A → (B → C))) → ((B → C) → ((A → B) → (A → C)))) 


(((B → C) → (A → (B → C))) → ((B → C) → ((A → B) → (A → 

C))))



((B → C) → (A → (B → C))) 


(B → C) → ((A → B) → (A → C)) 

(7) je izraz za hipotetički silogizam. Dakle, ispravnost hipotetičkog silogizma 

dokazana je u LP jerjenaosnovidefinicijarečenica (B → C) → ((A → 

B) → (A → C)) samo drukčiji zapis za ((B → C) ∧ (A → B)) → (A → C). 

Iako dokaz izlažemo od vrha prema dnu, dokaza tražimo suprotnim smjerom, 

od dna prema vrhu. Osnovni nacrt algoritma traženja dokaza za izraz čiji je oblik 

A → K u sustavu LP sastoji se od sljedećih koraka: 1. ako ciljna rečenica nije 

aksiom, onda je dobivena primjenom pravila modus ponens iz rečenica X → 

(A → K) i X, 2. notadarečenica X ili mora biti istovjetna s K, koja mora 

biti aksiom ili, ako to nije slučaj, onda treba pronaći rečenicu X takvu da (a) 

X → (A → K) i(b)X budu dokazive, čime dobivamo dvije nove ciljne rečenice 

(a) i (b) za koje ponavljamo postupak. 

Dokaz se oslanja na instance aksioma (1, 2, 4, 6). Primjenom samo jednog 

pravila zaključivanja (MPP, tj. modus ponendo ponens) dobivaju se teoremi 

(3, 5, 7) me ¯du kojima je i ciljni teorem (hipotetički silogizam, 7).


Zadatak 13 Neka je zadan gornji logički aksiomski sustav. Aksiomski oblici: A1. 

(A → (B → A)), A2. ((A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))), A3. 

.((¬B →¬A) → (A → B)). Pravilo dokazivanja: Ako je (A → B) teorem i ako je A 

teorem, onda je B teorem. Dokažite 7 A → A! 

3.2.1.3 Zanimljivost 

U 1956. sastavljen je Logic Theorist, pionirski rad u području umjetne inteligencije 

(AI). Autori su bili A. Newell, J.C. Shaw i H.A. Simon. Zadatak koji je 

program trebao moći riješiti bio je dokazati teoreme iz Russellove i Whitheadove 

Principia Mathematica iz 2. glave. Rezultat: program je uspio dokazati 38 od 

prvih 52 teorema. 

Kod jednog teorema, dokaz do kojeg je došao Logic Theorist 

bio je elegantniji od onoga kojeg su dali Russell i Whitehead.[...] Tri 

su autora napisala kratki članak s novim dokazom i u popis imena autora 

pored vlastitih uvrstili Logic Theorist kao koautora. To je bio prvi 

akademski članak u povijesti u kojemu je stroj bio jedan od autora, ali, 

nažalost, urednik The Journal of Symbolic Logic nije prihvatio članak 

za objavljivanje . 

J. Copeland. Artificial Intelligence: a Philosophical Introduction. 

str.8. 

3.2.2 Izbori pri izgradnji aksiomskog sustava propozicijske 

logike 

3.2.2.1 Broj logičkih konstanti (logičke operacije i vrijednosti)? 

Jednočlane opcije: (i) ne istodobno, inkompatibilnost, ekskluzija, NAND, ↑, (ii) 

ni niti, binegacija, NOR, ↓. Dvočlane opcije: (i) samo s istinitosnofunkcionalnim 

veznicima (npr. kao u Frege-Lukasiewiczevom sustavu: ¬ i →), (ii) jedan veznik 

i istinitosna vrijednost neistinitog (npr. → i ⊥). 

3.2.2.2 Neizbježna negacija 

Ako usmjerimo pažnju na veznike ∧, ∨, →, i↔, lakoćemo uočiti da oni nisu 

dovoljni da bi izrazili sve istinitosne funkcije. Ako je rečenica R neistinita u 

7 

(1) aksiom A1: 

A → ((A → A) → A) 


(A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) 

(3) modus ponens; (1),(2): 

(A → (A → A)) → (A → A) 


A → (A → A) 


A → A


vrednovanju u kojem su sva propozicijska slova istinita, onda tu rečenicu ne 

možemo iskazati pomoću spomenuta četiri veznika. Dakle, u svim dvočlanim 

izborima veznika u kojim koristimo neki od spomenuta četiri veznika potrebna 

nam je negacija ¬. 

3.2.2.3 Normalne forme: disjunktivna i konjunktivna 

Teorem 1 Sve se istinitosne funkcije mogu iskazati u disjunktivnoj normalnoj 

formi i u konjunktivnoj normalnoj formi. 

Literalima nazivamo atomarnu rečenicu i njezinu negaciju. Disjunktivna 

normalna forma je disjunkcija konjunkcija u kojima se javljaju samo literali. 

Konjunktivna normalna forma je konjunkcija disjunkcija u kojoj se javljaju samo 

literali. Njihovo postojanje pokazat ćemo putem postupka konstrukcije. 

Najprije pokazujemo način konstrukcije disjunktivne normalne forme. Neka 

je zadana neka rečenica propozicijske logike, tj. istinitosna funkcija. Motrimo 

samo vrednovanja u kojima je ona istinita, te zapišimo atomarnu rečenicu ako 

je ona istinita pod tim vrednovanjem, a u protivnom zapišimo njezinu negaciju. 

Tako dobivene literale povežimo u konjunkciju. Postupak ponavljamo na svakom 

istinitom slogu, a dobivene konjunkcije povezujemo u disjunkciju. Na ovajnačin 

bilježimo okolnosti u kojima je rečenica istinita, a njezino značenje je disjunkcija 

takvih uvjeta. 

Kod konjunktivne normalne forme činimo suprotno: bilježimo pod kojim je 

uvjetima neistinita. Motrimo vrednovanja kojima je ona neistinita, te zapišimo 

negaciju atomarne rečenice ako je ona istinita pod tim vrednovanjem, a u protivnom 

(tj. ako je neistinita) upisujemo samu atomarnu rečenicu. Tako dobivene 

literale spojimo u disjunkciju. Postupak ponavljamo i sve dobivene disjunkcije 

spajamo u konjunkciju. 

Primjer 3.9 

DNF 

KNF 

P Q zadana i.f. (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ Q) ∨ (¬P ∧¬Q) ¬P ∨ Q 

> > > P ∧ Q 

> ⊥ ⊥ ¬P ∨ Q 

⊥ > > ¬P ∧ Q 

⊥ ⊥ > ¬P ∧¬Q 

Zadatak 14 Prona ¯dite DNF i KNF za istinitosne funkcije po vašem izboru. Rješenja 

možete provjeriti pomoću analizatora na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/analizator.htm!


3.2.2.4 Ekspresivna potpunost 

Je li neki izbor veznika dovoljan za iskazati sve istinitosne funkcije? Na to 

pitanje je prilično lako odgovoriti. Evo jednog me ¯du odgovorima. Ako pomoću 

tog izbora veznika možemo definirati konjunkciju i negaciju, onda je taj izbor 

ekspresivno potpun. Zašto? Svaku istinitosnu funkciju možemo prikazati u obliku 

disjunktivne normalne forme, a iz nje možemo ukloniti disjunkciju koristeći 

DeMorganove zakone. Time smo pokazali da su ∧ i ¬ istinitosno funkcionalno 

potpuni, pa će onda i izbor veznika koji omogućuje definiciju za ∧ i ¬ biti potpun. 

Na sličan način možemo argumentirati u slučaju kad se pozivamo na konjunktivnu 

normalnu formu, tj.na ekspresivnu potpunost disjunkcije i negacije. 

binegacija ekskluzija 

P Q P ↓ Q P ↑ Q 

> > ⊥ ⊥ 

> ⊥ ⊥ > 

⊥ > ⊥ > 

⊥ ⊥ > > 

Redukcija na dva simbola 

{¬, ∨} {¬, ∧} {→, ⊥} 

¬P ¬P ¬P P →⊥ 

P ∧ Q ¬(¬P ∨¬Q) P ∧ Q (P → (Q →⊥)) →⊥ 

P ∨ Q P ∨ Q ¬(¬P ∧¬Q) (P →⊥) → Q 

Redukcija na jedan simbol 

{↓} 

{↑} 

¬P P ↓ P P ↑ P 

P ∧ Q (P ↓ P ) ↓ (Q ↓ Q) (P ↑ Q) ↑ (P ↑ Q) 

P ∨ Q (P ↓ Q) ↓ (P ↓ Q) (P ↑ P ) ↑ (Q ↑ Q 

3.2.2.5 Format aksioma i pravila dokazivanja. 

Daljnji izbori u gradnji aksiomatskog sustava propozicijske logike odnose se na 

izbor izme ¯du aksioma ili aksiomskih oblika, gdje prva opcija zahtijeva dodavanje 

supstitucije u skup pravila dokazivanja. Jedna aksiomska shema (Nicod- 

Łukasiewicz aksiomski sustav za propozicijsku logiku) ili više aksiomskih shema? 

Aksiomske sheme (aksiomski oblici) bez pravila jednolike supstitucije (kao u 

Frege-Lukasiewiczevom sustavu) ili aksiomi s pravilom jednolike supstitucije? 

3.2.2.6 Usporedba: logički i izvan-logički aksiomski sustav 

Usporedimo aksiomski sustav propozicijske logike i nelogički aksiomski sustav 

u odnosu na željena svojstva konzistentnosti i potpunosti. U sintaktičkom


smislu neki aksiomatski sustav nazivamo konzistentnim ako se u njemu ne može 

dokazati i rečenica A irečenica ¬A. U tom pogledu nema razlike izme ¯du logičkih 

i ekstralogičkih sustava. Uočimo da konzistentnim u sintaktičkom smislu možemo 

nazvati i sustav koji nije semantički konzistentan. No, od logičkog sustava mi 

očekujemo puno više. Ne samo da bude istinit (semantički konzistentan) većida 

bude istinit u svakoj interpretaciji. Zbog toga je sintaktička potpunost logičkog 

sustava različit pojam od potpunosti ekstralogičkog sustava. 

Razliku u pojmu konzistentnosti prati i razlika u pojmu potpunosti. Tarski 

potpunost definira u odnosu na par proturječnih rečenica, uvijek jedna od njih, 

bilo A bilo ¬A mora biti dio sustava (možda i obje). Očigledno je da pri tome 

misli samo na ekstralogičke sustave. Kod logičkih sustava potpunost u takvom 

smislu nipošto nije poželjna. S ulaskom kontingentnih rečenica ne samo da bi 

nestala razlika logike prema njoj bliskoj matematici 8 već bi nestala i razlika 

prema empirijskim znanostima. 

SLIKA: I lijevi i desni sustav su potpuni (kose crtice ukazuju 

na «prazninu», na «ne-postojanje»). Kuda nas vodi negacija u ekstralogičkim 

(lijevo) i logičkim (desno) konzistentnim i potpunim sustavima 

pokazuju nam zakrivljene crte. 

Primjer 3.10 Razmotrimo primjer jednog sustava koji sve kontradikcije i samo kontradikcije 

preuzima kao teoreme. Neka jeK račun sudova zadan na sljedeći način: 

aksiomski oblici su zadani s nekim skupom antitautologija (tj. kontradikcija), a jedino 

pravilo izvoda je ’iz ¬A ∧ B i A,izvediB’. Ispitajmo je li račun K konzistentan! 

8 

Promotri tvrdnju: ¬∃x : x ∈ N ∧ 0=sljedbenik_od(x). Ona nije logička istina prvog reda. 

Metodom zamjene možemo dobiti i ovakvu rečenicu: ¬∃x : adam = otac_od(x). Nijestvar 

logike prvog reda pitanje o tome ima li Adam potomaka ili ne. Jednako tako, nije pitanje logike 

prvog reda je li nula ičiji sljednik.


Rjeenje 1 U dokazu treba pokazati da pravilo dokaza «prenosi kontradiktornost», 

tj. da ćemo primjenom pravila izvoda uvijek iz kontradikcija izvesti novu kontradikciju. 

Ispitajmo prijenos kontradiktornosti Neka su ¬A ∧ B i A aksiomi, 

dakle kontradikcije. Budući da je A kontradikcija, onda je ¬A tautologija. 

Kako je ¬A ∧ B kontradikcija a A tautologija, onda B mora biti kontradikcija. 

Pretpostavimo da se kontradiktornost ne prenosi. Neka je rečenica S prva 

koja ne uspijeva sačuvati kontradiktornost. Tada S nije aksiom, već morabiti 

dobivena pomoću pravila. Ako je dobivena pomoću pravila, onda je nastala iz 

nekih prethodnih rečenica uz primjenu pravila. Budući da su prethodne rečenice 

kontradikcije a pravilo čuva to svojstvo, slijedi da je S kontradikcija. Time 

smo osporili pretpostavku. Dalje treba pokazati da se ne može dogoditi da par 

kontradiktornih rečenica bude u K. Očigledno je da to ne može biti slučaj jer je 

negacija kontradikcije tautologija, a po prethodnom dokazu pouzdanosti uprijenosu 

kontradiktornosti, znamo da se u sustavu K nalaze jedino kontradikcije. 

Primjer 3.11 Dodajmo Frege-Lukasiewiczevom aksiomskom sustavu još dvije aksiomske 

sheme, A4: A iA5:¬A. Posintaktičkom kriteriju, novonastala teorija je inkonzistentna. 

Dokažite da je u toj teoriji svaka rečenica teorem 9 ! 

Primjer 3.12 U sljedećoj definiciji ispitajmo je li riječ o pojmu potpunosti za logičke 

ili ne-logičke aksiomske sustave. «Sustav je sintatički potpun ako i samo ako ne postoji 

nedokaziva shema B koja bi se mogla dodati sustavu a da pri tome ne unese inkonzistentnost 

» Što bi se dogodilo kada bismo jednom logičkom sustavu tautologija pridodali 

kontingentni iskaz? 

9 

Proizvoljna rečenica R je teorem. Dokaz: 

(1) A3: 

(¬R →¬A) → (A → R) 

(2) A2: 

¬A → (¬R →¬A) 

(3) A4: 

¬A 


¬R →¬A 

(5) modus ponens; (1), (4) 

A → R 

(6) A5: 

A 


R


Sintaktički 

Ekstralogički 

sustav 

Logički 

sustav 

Konzistentnost Nije slučaj da su 

teoremi i A i ¬ A 

Potpunost 

U paru A i 

¬ A uvijek 

je barem 

jedna 

rečenica 

teorem 

? 

Semantički 

Ekstra-logički sustav 

Moguće je da sve 

rečenice sustava budu 

istinite (postoji istinita 

interpretacija, sustav 

ima model) 

Sustav izdvaja sve 

istinite rečenice pod 

danom interpretacijom 

Logički sustav 

Sve rečenice sustava 

nužno su istinite (sve 

interpretacije su 

istinite, svaki model 

je model sustava) 

Sustav izdvaja sve 

logičke istine. 

Zadatak 15 «Łukasiewicz je bio duboko uvjeren da je aksiomska istinitisno-funkcionalna 

logika vježbaonica za druge i važnije primjene aksiomske metode. Ja sam više uvjeren 

u njezinu štetu. Aksiomska logika, sa svojim aksiomskim shemama i posebnim pravilima 

zaključivanja, ne sliči puno post-fundiranim aksiomskim sustavima. Ako se već želi 

nekoga obučiti za primjenu aksiomske metode u post-fundiranim sustavima, onda neka 

se ta osoba uvježbava u takvim sustavima. Glavna komponenta takve obuke je njegovanje 

sposobnosti za prepoznavanje ili dokazivanje implikacije, jer implikacija je ono što 

povezuje post-fundirane aksiome s logičkim teoremima.» W.V. Quine. (1974) Methods 

of Logic. str. 75. Ponudite razloge kojima ćete potvrditi Quine-ov stav da vježbanje 

u aksiomskoj logici nije isto što i vježbanje primjene aksiomske metode u fundiranim 

sustavima! 

3.2.3 Pouzdanost, konzistentnost i potpunost 

Frege-Lukasiewiczeovog sustava 

Važnosvojstvonekoglogičkog sustava je svojstvo pouzdanosti. U slučaju aksiomatskog 

sustava propozicijske logike, trebamo dokazati da su samo tatuologije 

teoremi. Taj je dokaz prilično jednostavan. najprije trebamo pokazati da su 

svi aksiomi tautologije. Zatim trebamo dokazati da pravilo (ili pravila) dokaza 

čuvaju istinitost. 

Teorem 2 

Frege-Lukasiewiczev sustav je pouzdan. 

Koristeći oznake za teoremstvo u tom sustavu, `Frege−Lukasiwicz i tautologičnost,


Taut, teorem možemo zapisati ovako: 

`Frege−Lukasiwicz A ⇒ Taut(A) 

Dokaz 1 Shema A → (B → A) je shema tautologije. Pretpostavimo suprotno. 

tada mora postojati neka instanca ove sheme gdje je A istinito a B → A neistinito. 

Ako je A istinito, onda po definiciji kondicionala B → A mora (protivno 

pretpostavci) biti istinito. Dakle, aksiomska shema je tautologija. Dokažite sami 

da je A3. shema tautologije! Nakon što smo pokazali da su svi aksiomi tautologije, 

trebamo pokazati da pravila dokaza primjenjena na tautologijama mogu 

dokazati jedino tautologije. Ako pravilo modus ponens čuva tautologičnost, onda 

ne može biti slučaj da su A → B i A tautologije, a B da nije. Pretpostavimo 

suprotno, da B nije tautologija. Tada postoji vrednovanje u kojem je B neistinito, 

a budući da je A tautologija, u tom je vrednovanju kondicional A → B neistinit, 

pa nije tautologija. Kontradikcija. Dakle, modus ponens čuva tautologičnost. Na 

kraju trebamo ispitati mogućnost deriviranja rečenicekojanijetautologija.ovaj 

se dokaz obično izvodi putem matematičke indukcija. Budući da ćemo matematičku 

indukciju obra ¯divati kasnije, primijenit ćemo drukčiji dokaz. Promatramo 

proizvoljni dokaz koji derivira rečenicu R koja nije tautologiju i koja je prvi takav 

nevaljan korak. Rečenica R je ili aksiom ili je dobivena primjenom pravila. 

Razmotrimo oba slučaja. Ako je R aksiom, onda je tautologija. Zato to nije 

nevaljan korak. Kontradikcija. U drugom slučaju, ako je dobivena primjenom 

pravila i ako je R prvi nevaljan korak onda je dobivena iz prethodnih koraka koji 

su tautologije. Kako modus ponens čuva tautologičnost, R mora biti tautologija. 

Kontradikcija. Dakle, samo se tautologije mogu dokazati. 

3.2.3.1 Njegova konzistenost 

Teorem 3 

0 Frege−Lukasiwicz ⊥ 

Dokaz 2 Konzistenost izravno sijedi iz pouzdanosti. Budući da su svi teoremi 

tautologije i budući da nijedna tautologija nije negacija druge tautologije, nije 

moguće da obje iz para proturječnih rečenica budu teoremi. 

3.2.3.2 Njegova potpunost 

Teorem 4 Ako je A tautologija, onda se A može dokazati u Frege-Lukasiwicz 

aksiomatskom sustavu: 

Taut(A) ⇒`Frege−Lukasiwicz A


Dokaz 3 Dokaz potpunosti je teži i zahtijeva korištenje stroge (matematičke) 

indukcije, koja će tek kasnije biti uvedena. Zbog tih razloga navodimo samo 

skicu dokaza. Klasični dokaz sadrži tri osnovne etape i nekoliko pomoćnih (*), 

kojima se pokazuje da se odre ¯dene valjane rečenice, potrebne za dokaz mogu 

dokazati u sustavu. (Radi lakšeg zapisa, oznaku dokazivosti dalje ćemo pisati 

bez podznaka.) (1) Najprije treba dokazati teorem dedukcije: 

Γ ∪{A} `B ⇒ Γ ` A → B. 

Dokaz teorema dedukcije provodi se tako da se pokaže da pomoću raspoloživih 

sredstava možemo izvesti traženi pomak. Pokazat ćemo samo dio dokaza: po 

pretpostavci stroge indukcije teorem vrijedi za dokaz od n članova (dokaz sastavljen 

n rečenica). Trebamo pokazati da tada teorem vrijedi i za dokaz od n +1 

članova. Ako je B aksiom ili je B zapravo A ili je B jedna od rečenica u Γ,dokaz 

je rutinski. Promotrimo slučaj u kojemu je B dobiven primjenom (jedinog) dopuštenog 

pravila zaključivanja. Dakle, B je dobiven iz nekih prethodnih rečenica 

R → B i R. Po pretpostavci indukcije vrijedi Γ ` A → (R → B) i Γ ` A → R. 

Korištenje instance aksioma 2: 

(A → (R → B)) → ((A → R) → (A → B)) 

vodi nas do traženog Γ ` A → B. (2) U drugoj etapi ostvaruje se povezivanje 

semantičkih i sintaktičkih svojstava. Budući da je cilj dokaza upravo pokazati da 

su sve tautologije (’tautologija’ je semantički pojam) dokazive (’dokazivost’ je 

sintaktički pojam), ovaj bi se korak mogao shvatiti kao "nerv dokaza". Najprije 

definiramo funkciju λ h koja za svako dodjeljivanje h istinitosnih i rečenicu S 

ispostavlja daljnju rečenicuposljedećem "receptu": 

⎧ 

⎨ 

λ h (S) = 

⎩ 

S ako h(S) =>, 

¬S ako h(S) =⊥. 

Neka se u rečenici S javljaju jedino propozicijska slova iz skupa {P 1 ,...,P n }. 

Tada vrijedi: 

{λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`λ h (S). ((*)) 

Dokaz ovog koraka zahtijeva korištenje indukcije koja uzima o obzir složenost 

rečenice S. Po dopuštenoj sintaksi, S mora ili biti propozicijsko slovo ili imati 

oblik negacije ili kondicionala. Pogledajmo samo treći slučaj. Ako je S kondicional, 

onda postoje rečenice A i B takvedajeS = A → B. Ispitajmo slučajeve: 

ili h(A → B) => ili h(A → B) =⊥. Za razumjeti ideju dokaza dovoljno je da 

proučimo drugi slučaj. U drugom slučaju mora vrijediti h(A) => i h(B) =⊥. 

Trebamo dokazati da tada: 

{λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`λ h (A → B), 

to jest, . {λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`¬(A → B). 

Po pretpostavci indukcije tražena tvrdnja vrijedi za rečenice čija je složenosti


manja od složenosti S-a. Zato, 

{λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`λ h (A), 

to jest, . {λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}À, 

i 

{λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`λ h (B), 

to jest, {λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`¬B. 

Pomoćni korak koristi teorem A → (¬B →¬(A → B)) i do traženog se lako 

dolazi. (3) U trećem koraku povezujemo prethodna dva. Trebamo dokazati da 

ako je K tautologija, da je tada K teorem, ` K. Toćemo učiniti eliminirajući 

pretpostavku po pretpostavku u smjeru s lijeva na desno. Najprije pokažimo da 

možemo ukloniti P n . Definirajmo dva vrednovanja: h + tako da za svaki i ∈ 

{1, .., n} vrijedi h + (P i )=>,teh − tako da za svaki i ∈{1,..,n− 1} h − (P i )= 

> a h − (P n )=⊥. Primjenom (*) dobivamo {λ h +(P 1 ),...,λ h +(P n )}`K. i 

{λ h− (P 1 ),...,λ h −(P n )}`K. Primjena teorema dedukcije daje 

.i 

{λ h +(P 1 ),...,λ h +(P n−1 )}`λ h +(P n ) → K, 

to jest, {P 1 ,...,P n−1 }`P n → K, 

{λ h− (P 1 ),...,λ h −(P n−1 )}`λ h −(P n ) → K, 

to jest, {P 1 ,...,P n−1 }`¬P n → K. 

Koristeći pomoćni korak po kojemu ako Γ ` A → B i Γ `¬A → B, onda 

Γ ` B, dobivamo {P 1 ,...,P n−1 } ` K. Istovrsni postupak treba primijeniti 

redom na preostale pretpostavke i na kraju ćemo dobiti ono što smo htjeli: ` K. 

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 

"Tableaux" sustave uveo je nizozemski logičar Evert Beth u 50-tim godinama 

dvadesetog stoljeća. Temeljito ih proučava Raymond Smullyan. Pedagoški gledano, 

one su lake za korištenje jednom kada se nauče pravila. Slabost proizlazi iz 

činjenice da ne odgovaraju stvarnom deduktivnom zaključivanju, u čemu, inače, 

leži glavna prednost sustava prirodne dedukcije. 

Sam sustav leži negdje izme ¯du semantike i sintakse. Semantičko obilježje 

proizlazi iz činjenice da se gradnjom stabla opisuju minimalne okolnosti u kojima 

su sve rečenice iz nekog skupa istinite. Sintaktička strana proizlazi iz činjenice 

da se na rečenicama primjenjuju pravila zaključivanja (u kojima se neki istinitosnofunkcionalni 

veznik uklanja). 

Tablica je stablo (koje raste odozgo prema dolje). Stablom se naziva. struktura 

koja ima početnu točku i gdje svaka točka, s iznimkom korijena, ima točno 

jednog od sebe različitog neposrednog prethodnika.


Pravila se dijele u tri dijela: pravilo za dvostruku negaciju, pravila dodavanja 

(konjunkcije) ili α-pravila, pravila grananja (disjunkcije) ili β-pravila. 

I. II. III. 

¬¬A α β 

| | / \ 

A α 1 β 1 β 2 

| 

α 2 

α pravila α 1 α 2 β-pravila β 1 β 2 

A ∧ B A B A ∨ B A B 

¬(A ∨ B) ¬A ¬B ¬(A ∧ B) ¬A ¬B 

¬(A → B) A ¬B A → B ¬A B 

A ↔ B A ¬A 

¬(A ↔ B) 

B 

A 

¬B 

¬B 

¬A 

B 

Ako grana (put, staza) stabla sadrži rečenični atom (propozicijsko slovo) i 

njegovu negaciju, nazivamo je zatvorenom. Stablo je zatvoreno ako su mu sve 

grane zatvorene. Ispod zatvorene grane upisuje se križić. Za slučaj propozicijske 

logike, svaka rečenica nad kojom je primijenjeno neko pravilo označava se kvačicom. 

Skup rečenica čije je stablo zatvoreno je nezadovoljiv skup (neispunjiv). 

Ispravnost zaključka utvr ¯duje se gradnjom stabla za skup rečenica koji sadrži 

sve premise i negaciju konkluzije. Zaključak čije su premise P 1 ,...,P n a konkluzija 

K, ispravan je akko skup rečenica {P 1 ,...,P n , ¬K} nije zadovoljiv. Ako 

je stablo zatvoreno za neki skup rečenica, onda taj skup nije zadovoljiv. 

Primjer 3.13 Ispravnost zaključka [A → C], [B → C], [A ∨ B] ∴ C utvr ¯duje se 

ispitivanjem zadovoljivosti skupa {A → C, B → C, A ∨ B,¬C}. Gradnja istinitosnog 

stabla za taj skup pokazuje da je on nezadovoljiv, tj. da je zaključak ispravan.


Pregled pravila za istinitosno funkcionalne veznike.


3.3.0.3 Očitavanje stabla 

Rečenica S zadvoljiva nezadovoljiva 

Broj otvorenih grana sve samo dio nijedna 

valjana nevaljana 

Ispravnost zaključka možemo provjeriti ispitujući je li zadovoljiv skup Γ ∪ 

{¬K}rečenica koji obuvaća sve premise P ∈ Γ i negaciju konluzije K. Ako 

Γ ∪{¬K} nije zadovoljiv, zaključak Γ ` K jest ispravan. Ispravnost zaključka 

možemo odrediti i ispitujući je li negacija njegovog korespondentnog kondicionala 

nezadovoljiva. Korespondentni kondicional zaključka Γ ` K jest ^ 

P → 

Ã ! 

^ 

K. Ako¬ P → K nije zadovoljivo, zaključak je valjan. 

P ∈Γ 

Zadatak 16 Na otoku, čiji su jedini stanovnici vitezovi koji uvijek govore istinu i varalice 

koje uvijek lažu, susrećemo dvojicu domorodaca. Jedan me ¯du njima kaže: "Barem 

je jedan od nas dvojice varalica." Odredite tko je tko gradnjom istinitosnog stabla! 

P ∈Γ 

Odgovor 1 Shema prevo ¯denja: A: Govornikjevitez. B: Drugi stanovnik je 

vitez. Formalni zapis: 

(A → (¬A ∨¬B)) ∧ ((¬A ∨¬B) → A). 

Rješenje: govornik je vitez a drugi stanovnik je varalica. 

Zadatak 17 Na otoku, čiji su jedini stanovnici vitezovi koji uvijek govore istinu i 

varalice koje uvijek lažu, susrećemo dvojicu domorodaca. Jedan me ¯du njima, pokazujući 

na drugoga, kaže: "Ja sam varalica ali on nije." Odredite tko je tko gradnjom istinitsnog 

stabla! 

Zadatak 18 Znamodatočno jedan od dva kovčega, od kojih svaki ima neki natpis, 

sadrži blago. Znamo i to da je barem jedan natpis lažan. Na prvom, drvenom kovčegu 

piše: "Blago je ovdje", a na drugom, željeznom kovčegu piše: "Blago nije ovdje". Odredite 

gdje je blago koristeći metodu gradnje istinitosnog stabla! 

3.3.1 Pouzdanost metode istinitosnog stabla 

Teorem 5 

Akojestablozarečenicu ¬S zatvoreno, onda je S tautologija.


Koristeći oznaku za zatvorenost stabla ’`tableaux S’, koja tvrdi da se S može 

dokazati metodom istinitosnog stabla (tj. da je stablo za ¬S je zatvoreno), tvrdnju 

možemo zapisati ovako: 

`tableaux S ⇒² S 

Dokaz 4 Najprije trebamo dokazati dvije pomoćne tvrdnje (leme) o tome da 

pravila prenose istinitost: 1. ako je korijen α pravila istinit, onda su istiniti i 

njegovi nasljednici, 2. ako je korijen β istinit, onda je istinit barem jedan njegov 

nasljednik. Leme je lako dokazati pozivanjem na definicije pojedinih veznika. 

Za dokaz potpunosti, pretpostavimo suprotno: da je stablo za ¬S zatvoreno a da 

je ¬S zadovoljivo. Ako je ¬S zadovoljivo, onda postoji vrednovanje u kojem je 

ono istinto. Tada po lemama mora postojati otvorena grana. Kontradikcija. 

3.4 Prirodna dedukcija 

Dag Prawitz. Ideje i rezultati teorije dokaza. u Novija filozofija matematike. 

Čini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodne 

dedukcije (i) analiza zaključivanja do atomarnih koraka, kojima su razdvojene 

deduktivne uloge logičkih konstanti, i (ii) otkriće dvovrsnosti 

ovih atomarnih koraka, tj. otkriće uvo ¯denja i uklanjanja, koja stoje u 

odre ¯denoj simetričnoj relaciji. 

Encyclopaedia Britannica ’98 

Najprije, 1934. njemački je matematičar Gerhard Gentzen razvio 

metodu Sequenzen (pravila za konzekvente), koja je bila posebno korisnazaizvo¯denje 

metalogičkih rezultata o odlučivosti. Ovakvu je 

metodu inicirao Paul Hertz 1932, a sličnujemetoduopisaoStanislaw 

Jashkowski 1934. Sljedeća na redu bila je slična metoda bez aksioma – 

metoda "prirodne dedukcije," koja koristi samo pravila zaključivanja; 

tajemetodapoteklaizsugestijeBertrandaRussellaiz1925arazvilisu 

je Quine i logičari iz SAD-e Frederick Fitch i George David Wharton 

Berry. Tehnika prirodne dedukcije široko se koristi u nastavi logike, 

iako time demonstracija metalogičkih rezultata postaje ponešto teža 

[...] 

U sustavu prirodne dedukcije ne štedi se na pravilima transformacija: za 

svaki logički znak u jeziku kojeg promatramo postoji pravilo za uvo ¯denje i pravilo 

za uklanjanje tog znaka. Logički znakovi u jeziku propozicijske logike su 

veznici (uključujući negaciju). Zaključivanje se u sustavu prirodne dedukcije 

može opisati kao proširivanje teksta koji sadrži premise s izvedenim rečenica na 

osnovi jednostavnih koraka u kojima se neka logička konstanta ili introducira ili 

eliminira.


Dokaz u sustavu prirodne dedukcije za rečenicu R koji polazi od skupa 

premisa p: niz rečenica R 1 ,...,R n dokazjezarečenicu S na osnovi skupa 

pretpostavki p ako i samo ako su ispunjeni sljedeći uvjeti: 

(i) svaka je rečenica u nizu ili pretpostavka iz p ili je privremena pretpostavka 

ili je dobivena putem primjene pravila izvo ¯denja iz prethodnih rečenica u nizu, 

(ii) -posljednja rečenicaunizujerečenica S,tj.R n = S 

(iii) posljednja rečenica u nizu ne citira niti jednu privremenu pretpostavku 

ili rečenicu koja ovisi o nekoj privremenoj pretpostavci (drugim rječima, nijedna 

privremena pretpostavka nije na snazi). 

Zadatak 19 Analizirajte sljedeći citat! Alfred Tarski: "Za dokazati: Ako je x = y, 

onda je y = x. Dokaz: 1. Po Leibnizovom zakonu, x = y ako i samo ako x ima svako 

svojstvo koje ima x i y ima svako svojstvo koje ima x. 2. Zamijenimo u Lebnizovom 

zakonu x s y i y s x. Dobivamo: y = x ako i samo ako y ima svako svojstvo x i x ima 

svako svojstvo koje ima y. 3. Po zakonu komutacije za logičko množenje, desne strane u 

bikondicionalima iz 1. i 2. su ekvivalentne. 4. Lijeve strane, tj. formule x=yiy=x, 

moraju tako ¯der biti ekvivalentne. Zato, vrijedi da ako x = y, onda y= x." Izdvojite pravila 

dokaza u citatu? Jesu li ona elementarna? Prikažite strukturu dokaza grafički! 

3.4.1 Pregled pravila i usporedba prirodne dedukcije u 

Lemmon i Fitch stilu 

Oznaka Lemmon Fitch 

Pretpostavke navo ¯denje rednih brojeva pretpostavke koje su na snazi 

pretpostavki o kojima korak ovisi iznad i s lijeva crte dokaza 

Broj koraka u zagradama redni broj ispred rečenice 

Pravilo 

iza dobivene rečenice s citiranjem rečenica na kojima se primjenjuje 

Stavljanje pretpostavke van snage izostavljanje broja pretpostavke izlaženje izvan crte poddokaza 

3.4.1.1 Konjunkcija 

Fitch stil dokaza.


3.4.1.2 ∧ Elim 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i) A ∧ B 

. 

a 1 ,...,a n (j) A [ili B] i ∧Elim 

Fitch 

(i)P 1 ∧ ... ∧ P i ∧ ... ∧ P n 

. 

(j)P i ∧Elim: i 

3.4.1.3 ∧ Intro 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i) A 

. 

b 1 ,...,b m (j) B 

. 

a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m (k) A ∧ B [ili B ∧ A] i,j∧Intro 

(i)P 1 

⇓ 

(j)P n 

Fitch 

. 

(k)P 1 ∧ ... ∧ P n ∧Intro: i,...,j 

3.4.1.4 Disjunkcija 

3.4.1.5 ∨ Elim 

Lemmon 

a 1 ,...,a s (i) A ∨ B 

. 

j (j) A pretpostavka 

. 

b 1 ,...,b t (k) C


. 

l (l) B pretpostavka 

. 

c 1 ,...,c u (m) C 

. 

Pret (n)..C i, j, k, l, m ∨Elim 

gdje Pret = {a 1 ,...,a s }∪{b 1 ,...,b t }−{j}∪{c 1 ,...,c u }−{l} 

Fitch 

(i) P 1 ∨ ... ∨ P n 

. 

(j) P 1 

(k) 

⇓ 

(l) 

. 

(m) 

. 

S 

P n 

. 

(n) S ∨Elim: i, j-k,..., l-m 

3.4.1.6 ∨ Intro 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i)..A 

. 

a 1 ,...,a n (j)..A ∨ B [ili B ∨ A] i ∨Intro 

(i)P i 

Fitch 

. 

(j)P 1 ∨ ... ∨ P i ∨ ... ∨ P n ∨Intro:i 

3.4.1.7 Kondicional 

3.4.1.8 → Elim 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i) A → B 

S


. 

b 1 ,...,b m (j) A 

. 

a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m 

Fitch 

(i)A → B 

. 

(j)A 

. 

(k)B → Elim: i,j 

3.4.1.9 → Intro 

(k)..B i, j → Elim 

Lemmon 

i (i) A 

. 

a 1 ,...,a n (j) B 

. 

{a 1 ,...,a n }−{i} (k) A → B i, j → Intro 

Fitch 

. 

(i) A 

. 

(j) B 

(k) A → B → Intro:i-j 

3.4.1.10 Negacija 

3.4.1.11 ¬ Elim 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i) ¬¬A 

. 

a 1 ,...,a n (j) A i ¬Elim


3.4.1.12 ¬ Elim 

Fitch 

(i)¬¬A 

. 

(j)A ¬Elim: i 

3.4.1.13 ¬ Intro 

Lemmon 

i (i) A 

. 

a 1 ,...,a n (j) ⊥ [bilo koja eksplicitna kontradikcija] 

. 

{a 1 ,...,a n }−{i} (k) ¬A i, j ¬Intro 

. 

(i) 

Fitch 

A 

. 

(j) ⊥ 

(k) ¬A ¬Intro:i-j 

3.4.1.14 Neistina (apsurd, falsum) 

3.4.1.15 ⊥ Elim 

Fitch 

(i)⊥ 

. 

(j)A ⊥Elim: i


3.4.1.16 ⊥ Intro 

Fitch 

(i)A 

. 

(j)¬A 

. 

(k)⊥⊥Intro:i,j 

3.4.1.17 Bikondicional 

3.4.1.18 ↔ Elim 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i)..A ↔ B 

. 

a 1 ,...,a n (j)..(A → B) ∧ (B → A) i D ↔ 

Fitch 

(i)A ↔ B [ili B ↔ A] 

. 

(j)A 

. 

(k)B ↔ Elim: i,j 

3.4.1.19 ↔ Intro 

Lemmon 

a 1 ,...,a n (i)..(A → B) ∧ (B → A) 

. 

a 1 ,...,a n (j)..A ↔ B [ili B ↔ A] i D ↔


Fitch 

(i) Ạ 

. 

(j) B 

. 

(k) B 

. 

(l) A 

(m) A ↔ B ↔ Intro: i-j, k-l 

3.4.1.20 Reiteracija 

Fitch 

(i) 

(j) 

Ạ 

. 

AReit:i 

Zadatak 20 Usporedite na primjerima po vašem izboru dokazivanje u Lemmon-stilu 

koristeći interaktivnost na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/konstruktor.htm 

i dokazivanje u Fitch-stilu koristeći interaktivnost na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/joj/joj.htm! 

3.4.2 Pravila prvog i drugog reda 

Razmotrena pravila prirodne dedukcije za istinitosno funkcionalne veznike ne 

"leže na istoj razini". Jedna vrsta takvih pravila koristi rečenice da bi se izvela 

neka rečenica, druga koristi dokaze da bi se dokazala neka rečenica. Te dvije 

vrste pravila, po sugestiji Davida Makinsona, mogli bismo nazvati: (i) izravna 

pravila ili pravila prvog reda, koja rečenice ili rečenicanarečenicu, i (ii) neizravna 

pravila ili pravila drugog reda, koja dopuštaju prijelaz sa zaključka na zaključak. 

Primjer 3.14 Pravila drugog reda u Makinsonovom zapisu. A je skup rečenica, β, 

β 1 , β 2 , γ su rečenice. 

A ∪{β} `γ 

[Kondicionalan dokaz] 

A ` β → γ 

A ∪{β 1 }`γ 

A ∪{β 2 }`γ 

[Disjunktivan dokaz] 

A ∪{β 1 ∨ β 2 }`γ 

A ∪{¬γ} `⊥ 

[Reductio ad absurdum] 

A ` γ 

3.4.3 Pitanja za razmišljanja


Zadatak 21 

Kojem biste sustavu dokaza dali prednost za svrhu početnog učenja logike? 

Zadatak 22 Kako biste objasnili povijesni redoslijed javljanja sustava dokaza (aksiomatski; 

prirodna dedukcija; istinitosno stablo)? 

Zadatak 23 Kako se odnose jezična i logička sposobnost, razumijevanje značenja 

rečenica i razumijevanje odnosa značenja me ¯du rečenicama? Koji od razmotrenih sustava 

bolje objašnjava vezu izme ¯du dviju sposobnosti? 

Zadatak 24 Usporedite dva načina ispitivanja zadovoljivosti: putem istinitosnih tablica 

i putem istinitosnog stabla! Koji je me ¯du njima kompleksniji, tj. koji uključuje više koraka 

i zahtjeva veći "prostor" u memoriji? 

Zadatak 25 

Kako biste odredili značenje izraza ’elegantni dokaz’?

Poglavlje 4 

Pouzdanost sustava prirodne 

dedukcije za propozicijsku 

logiku 

Zadatak 26 Ekskluzivna disjunkcija. Prikaži P Y Q u konjunktivnoj i disjunktivnoj 

normalnoj formi. Ispitajte je li sljedeća metoda dokaza valjana za taj veznik (na slici 

označen s ’XOR’)! 

Opravdajte svoj pozitivni odgovor. Negativan odgovor potkrijepite protuprimjerom 10 . 

Primjer 4.1 

Iskažite pravila uvo ¯denja (YIntro) i isključivanja (YElim) za ovaj veznik! 

10 

(DNF) (P ∧¬Q) ∨ (¬P ∧ Q) 

(KNF) (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨¬Q) 

Ispitujemo valjanost pravila vrednujući korake. Po pravilu → Intro možemo izvesti na 

osnovi prvog poddokaza P → Q inaosnovidrugogaQ → T . Postoji vrednovanje u kojemu su 

PXORQ, P → Q, Q → T istinite, a SXORTneistinita. Čitatelju ostavljamo da prona ¯de 

vrednovanje o kojem je riječ. 

48


Odgovor 2 

Jednoodmogućih rješenja: 

YElim 

YIntro 

4.1 Tautološka posljedica 

Q je tautološka posljedica od P 1 ,...,P n ako i samo ako je Q istinito u 

svakom vrednovanju u kojemu je svaka rečenica P 1 ,...,P n istinita. 

Primjer 4.2 DesnoOd(b, a) je analitička posljedica rečenice LijevoOd(a, b) jer su 

te dvije relacije inverzne. Ipak prvospomenuta rečenica nije tautološka posljedica druge 

jer metoda istinitosnih tablica zanemaruje značenje predikata koji se javljaju u atom-

50 Poglavlje 4 Pouzdanost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 

arnim rečenicama. 

Korespondentni kondicional nije tautologija. 

Druga rečenica je analitička posljedica prve, ali nije njezina tautološka 

posljedica.. 

4.2 Pouzdanost 

Pouzdanost (soundness) zaključka i pouzdanost formalnog logičkog sustava su 

različiti pojmovi. Prvo je svojstvo valjanog zaključka čije su sve premise istinite. 

Drugo je svojstvo logičkog sustava, a posebnom slučaju propozicijske logike 

riječ je o svojstvu da se u sustavu samo tautološke posljedice premisa mogu 

dokazati. 

Primjer 4.3 Prona ¯dite korespondentni kondicional za metodu dokazivanja iz Primjera 

26 i umjesto ekskluzivne disjunkcije poslužite se s bikondicionalom. Prona ¯dite


protuprimjer! 

Protuprimjer za dokaz iz Primjera 1. Još jedan dobivamo s vrednovanjem 0;1;1;1 za 

P;Q;S;T. 

Kako možemo biti sigurni da pravila za uvo ¯denje i isključivanje veznika neće 

na kraju nekog dugog dokaza uspostaviti konkluziju koja zapravo nije tautološka 

posljedica premisa? Kako možemo znati možemo li se pouzdati u dani formalnologički 

sustav? Da bismo postigli takvu sigurnost moramo dokazati pouzdanost 

(soundness) sustava. 

Uvedimo sljedeće oznake: 

4.3 Dokaz pouzdanosti 

F T , za dio razmatranog deduktivnog sustava koji sadrži pravila uvo ¯denja i 

isključivanjazalogičke simbole ¬, ∧, ∨, →, ↔, ⊥. 

`T , za odnos dokazivosti u sustavu F T 

Rečenicu zapisanu u infiksnom obliku ’P 1 ,...,P n `T Q’ čitamo ’za Q postoji 

formalni dokaz iz premisa P 1 ,...,P n usustavuF T ’ili’Q se može dokazati u 

sustavu F T pomoću premisa P 1 ,...,P n ’. 

Teorem 6 (Pouzdanost sustava F T )AkoP 1 ,...,P n `T S, onda je S tautološka 

posljedica rečenica P 1 ,...,P n . 

Dokaz 5 Pretpostavimo da je d neki dokaz sačinjen u sustavu F T . Pokazat 

ćemodajebilokojarečenica koja se javlja u bilo kojem koraku dokaza d tautološka 

posljedica pretpostavki koje su na snazi u tom koraku. Ova se tvrdnja


ne odnosi samo na rečenice koje su premise dokaza već inarečenicekojese 

javljaju u poddokazu, ma koliko duboko one bile "ukopane". Pretpostavke koje 

su na snazi uvijek uključuju glavne premise dokaza, ali ako promatramo korak 

u nekom poddokazu, onda pretpostavke na snazi na tom koraku uključuju 

sve pretpostavke tog poddokaza. Tvrdnja da je bilo koja rečenica u dokazu 

d tautološka posljedica pretpostavki na snazi u tom koraku povlači teorem o 

pouzdanosti. Naime, ako se S javlja na glavnoj razini u d, onda su P 1 ,...,P n 

jedine pretpostavke na snazi u tom koraku pa je S njihova tautološka posljedica. 

U dokazu tvrdnje koristit ćemo dokaz kontradikcijom (reductio ad absurdum). 

Pretpostavimo da postoji korak u dokazu d koji nije tautološka posljedica 

pretpostavki koje su na snazi u tom koraku. nazovimo taj korak nevaljanim 

korakom. Nerv dokaza je u tome da se pokaže da niti jedno od 12 pravila nije 

moglo opravdati taj nevaljani korak. Drugim riječima, primijeniti ćemo dokaz 

ispitivanja slučajeva i pokazati da koje god pravilo iz F T primijenimo na tom koraku 

uvijek dobivamo kontradikciju. Ta nam činjenica omogućuje da zaključimo 

u dokazima u F T ne može biti nevaljanih koraka. 

→ Elim : Pretpostavimo da je prvi nevaljani korak derivira rečenicu R 

putem primjene pravila isključivanja kondicionala nad rečenicama Q → R i 

Q koje se javljaju ranije u dokazu d. NekajeA 1 ,...,A n popis pretpostavki koje 

su na snazi pri derivaciji rečenice R. Ako je ovaj korak nevaljan, onda R nije 

tautološka posljedica rečenica A 1 ,...,A n . No pretpostavka o nevaljanosti tog 

koraka vodi nas u kontradikciju. 

Budući da je R prvi nevaljan korak u dokazu d, znamo da su i Q → R i 

Q valjani koraci, tj. tautološke posljedice pretpostavki koje su na snazi u tim 

koracima. Važno je uočiti da zahvaljujući činjenici da nam F T dozvoljava samo 

citirati glavne premise i pretpostavke iz poddokaza koje su još na snazi znamo 

da su rečenice koje su na snazi u Q → R iuQ tako ¯der na snazi u R. Zato 

se pretpostavke za te korake nalaze me ¯du rečenicama A 1 ,...,A n . Slika može


pomoći: 

Restrikcije citiranja ranijih koraka garantiraju da će pretpostavke koje su na 

snazi u ranijim koracima i dalje biti na snazi u koraku koji sadrži R. U gornjem 

primjeru, pretpostavka A 1 je na snazi u koraku Q → R, pretpostavke A 1 i A 2 u 

koraku Q,aA 1 ,A 2 ,A 3 u koraku R. 

Pretpostavimo dalje da konstruiramo istinitosnu tablicu za rečenice 

A 1 ,...,A n ,Q→ R, Q, R. 

Pretpostavka da je R nevaljan korak povlači da mora postojati vrednovanje h,tj. 

redak u tablici u kojemu su A 1 ,...,A n istinite a R neistinita. Me ¯dutim, Q → R i 

Q su tautološke posljedice rečenica A 1 ,...,A n i stoga istinite u retku h. Notada 

po definiciji za → dolazimo do nemoguće situacije. 

→ Intro: Pretpostavimo da prvi nevaljani korak derivira rečenicu Q → R 

putem primjene uvo ¯denja kondicionala na neki prethodni poddokaz kojemu je u 

pretpostavci Q a u konkluziji R.


Neka su na snazi u koraku Q → R pretpostavke A 1 ,...,A n . Tada su u 

koraku R na snazi pretpostavka Q i pretpostavke A 1 ,...,A n . Budući da korak 

R prethodi prvom nevaljanom koraku, R je tautološka posljedica pretpostavki Q 

te A 1 ,...,A n . 

Konstrukcija istinitosne tablice za A 1 ,...,A n ,Q,Ri Q → R mora nas dovesti 

do retka h ukojemususveA 1 ,...,A n istinite a Q → R neistinita po pretpostavljenom 

nevaljanom koraku. Da bi Q → R bila neistinita, (*) Q mora biti 

istina i R neistina Budući da je R tautološka posljedica pretpostavke Q zajedno 

s A 1 ,...,A n , to bi bilo moguće samo ako je u tom vrednovovanju Q neistinito. 

Ali to protuslovi prethodnom (*). 

⊥Elim : Pretpostavimo da prvi nevaljani korak u dokazu d derivira Q iz ⊥. 

Kako je to prvi nevaljani korak, ⊥ mora biti tautološka posljedica A 1 ,...,A n . 

Pretpostavke na snazi u koraku Q su na snazi i kod ⊥. Budući je ⊥ tautološka 

posljedica, jedini način da bi to moglo biti je ako A 1 ,...,A n nisu TT-zadovoljive 

(zadovoljive na istinosnoj tablici). Drugim riječima, nema vrednovanja u kojemu 

su sve rečenice A 1 ,...,A n istinite. No tada je Q na isprazan način njihova tautološka 

posljedica (ex falso quodlibet). 

⊥Intro : Pretpostavimo da prvi nevaljani korak u dokazu d derivira ⊥ iz 

Q i ¬Q, koje moraju biti tautološke posljedice od A 1 ,...,A n . To je moguće 

jedino ako pretpostavke A 1 ,...,A n nisu it-zadovoljive (zadovoljive na istinosnoj 

tablici, zadovoljive pod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti). No tada je ⊥ na 

isprazan način njihova tautološka posljedica (ex falso falsum). 

Zadatak 27 

Dokaži da ∨Elim i ¬Intro ne mogu generirati nevaljan korak! 

Odgovor 3 Pretpostavljamodajeprvinevaljankorak∨Elim koji generira rečenicu 

R iz koraka P ∨ Q i dva poddokaza, gdje se R izvodi iz premisa koje su na snazi


uz dodatak u prvom slučaju rečenice P ,audrugomrečenice Q. Moguća su 

dva slučaja obzirom na položaj rečenice P ∨ Q: (i) ona može biti premisa ili 

privremena pretpostavka i (ii) ona može biti izvedena rečenica. Ispitajmo je li 

moguće da prvi nevaljani korak derivira rečenicu R uobaslučaja! Prvi slučaj: 

nemoguće vrednovanje 

A 1 ,...,A n R P Q P ∨ Q 

>,...,> ⊥ ⊥ ⊥ > 

prvi nevaljani korak jer je R tautološka posljedice od jer je P ∨ Q 

{A 1 ,...,A n }∪{P }, jedna od rečenica 

odnosno od 

A 1 ,...,A n 

{A 1 ,...,A n }∪{Q} 

Drugi slučaj: 

nemoguće vrednovanje 

A 1 ,...,A n R P Q P ∨ Q 

>,...,> ⊥ ⊥ ⊥ > 

prvi nevaljani korak jer je R tautološka posljedice od jer je P ∨ Q 

{A 1 ,...,A n }∪{P }, tautološka posljedica 

odnosno od 

nekog podskupa od 

{A 1 ,...,A n }∪{Q} {A 1 ,...,A n } 

Teorem pouzdanosti daje nam potpunu sigurnost da nikada nećemo moći 

dokazati konkluziju koja ne slijedi iz premisa, npr. nikada nećemo moći iz 

premise ¬(MalenPas(fido)∧Sretan(fido)) izvesti konkluziju ¬Sretan(fido). 

Korolarij je rezultat kojeg lagano možemo dobiti iz nekog prethodnog teorema. 

Sada ćemo primijeniti teorem pouzdanosti na slučaj na dokaz bez premisa. 

Dokaz bez premisa.


Dokaz bez premisa pokazuje da je konkluzija logička istina. 

Dokaz korespondentnog kondicionala za modus tollendo tollens ne ovisi 

ni o kojim premisama jer je to logička istina. 

Korolarij 7 Ako `T S, tj. ako postoji dokaz bez premisa za S, onda je S 

tautologija. 

Dokaz 6 Po teoremu pouzdanosti izvedene konkluzije su tautološke posljedice 

premisa. Iskažimo teorem drukčije: za svako istinitosno vrednovanje vrijedi 

da ako su (*) pod njime istinite sve premise, onda je (**) pod njime istinita 

i konkluzija. Budući da u ovom slučaju premisa nema, na isprazan je način 

zadovoljen uvjet (*): to jest, u svakom su vrednovanju istinite sve premise jerih 

nema. Zato mora vrijediti da je konkluzija istinita u svakom vrednovanju: ona 

je, dakle, tautologija.

4.4 Potpunost 57 

Dokazivo u F T 

Sretan(a) ∨ ¬Sretan(a) 

Tautologije: ??? 

Logičke istine 

a = a ∧ b = b 

Zahvaljujući teoremu pouzdanosti znamo da su samo tautologije dokazive, 

ali ne znamo jesu li sve tautologije dokazive. 

4.4 Potpunost 

Neki formalni logički sustav treba imati željena svojstva deduktivnog sustava: 

potpunost i pouzdanost. 

Uvjeti koje treba ispuniti ne logički aksiomski sustav sa skupom 

aksioma T : 

Konzistentnost: nema rečenice P takve da T ` P i T `¬P . 

Potpunost: za svaku rečenicu P vrijedi da T ` P ili T `¬P . 

Neovisnost: za svaki aksiom A vrijedi da ako A ∈ T , onda 

(T −{A} 0 A. 

Očigledno je da je konzistentnost preslab zahtjev za logički sustav, zato smo 

dokazivali jače svojstvo - svojstvo pouzdanosti. U semantičkom smislu konzis-


tentnost zahtjeva mogućnost da teorija bude istinita, dok potpunost zahtjeva nužnu 

istinitost teorema formalnog sustava. 

Termin ’potpunost’ (’completness’) ima čisto sintaktičko značenje kada govorimo 

o potpunosti ne-logičkog aksiomatskog sustava S, on iz para kontradiktornih 

rečenicamoramoći dokazati barem jednu. Kod logičkog sustava L ’potpunost’ 

je pojam koji povezuje semantičku i sintaktičku dimenziju. U slučaju 

razmatranog sustava F T semantičko svojstvo o kojem je riječ jesvojstvo’biti 

tautološka posljedica’. 

U traženju dokaza može se pojaviti sumnja u mogućnost sustava F T da dokaže 

svaku tautološku posljedicu. Možemo li biti sigurni da će nam uz zadane premise 

P 1 ,...,P n i njihovu tautološku posljedicu S sustav omogućiti konstrukciju dokaza 

za S iz P 1 ,...,P n ? Teorem potpunosti daje nam potvrdan odgovor na to pitanje. 

Teorem 8 (Potpunost za F T )Akojerečenica S tautološka posljedica od P 1 ,...,P n , 

onda P 1 ,...,P n `T S. 

Dokaz ovog teorema zahtijeva dodatna sredstva, pa ćemo ga odgoditi za 

kasnije. 

Dva teorema daju nam sigurnost da se jedino tautologije i tautološki valjani 

zaključci mogu dokazati i sigurnost da se sve tautologije i tautološki valjani zaključci 

mogu dokazati. Zahvaljujući tome možemo biti sigurni da neki tautološki 

valjan zaključak ima dokaz i da se za neki tautološki nevaljan zaključak ne može 

pronaći dokaz. 

4.5 Filozofija logike 

Kada vrednujemo formalni logički sustava logike, pitamo se da li njegovi aksiomi 

ili njegova pravila na ispravan način opisuju strukturu racionalnog mišljenja 

i kooperativnog komuniciranja. Logika ne može dati odgovor na pitanje 

racionalnosti ili kooperativnosti, ali ih ne može ni izbjeći: logičari moraju opravdati 

načela koja proglašavaju. 

Možemo li se složiti s Gentzenovom tvrdnjom: "[p]ravila uvo ¯denja predstavljaju 

svojevrsne "definicije" simbola koji se uvode, a pravila uklanjanja samo 

su posljedice tih definicija". 

4.5.1 Arthur Prior: problem proizvoljnih pravila 

Možemo li uvesti neki veznik δ na sljedeći način: 

δIntro 

A 

. 

. i δElim 

AδB 

. 

. ? 

. 

. 

B AδB B B 

Takva "definicija" dovela bi do kolapsa sustava jer bi svaka rečenica postala

4.5 Filozofija logike 59 

ekvivalentna s bilo kojom drugom. 

Je li nužno osloniti se na semantiku da bi se izbjegli ovakvi paradoksi? 

Čini se da nije. Evo jednog sintaktičkog pojma koji će onemogućiti Priorov 

paradoks. Nuel Belnap je ponudio jedno rješenje: "zahtjev konzistentnosti za 

definicije novih konektiva možemo iskazati na sljedeći način: ekstenzija mora 

biti konzervativna". 

4.5.1.1 Konzervativnost 

Neka je zadana logika L s jezikom J. Dodavanje veznika δ u jezik J daje njegovu 

ekstenziju J ∗ , a s pravilima za δ dobivamo logiku L ∗ . 

Ekstendirani sustav L ∗ je konzervativan ako za bilo koje P 1 ,...,P n ,S ∈ J 

vrijedi da ako P 1 ,...,P n `L∗ S, onda P 1 ,...,P n `L S. 

4.5.2 Intuicionistička logika 

Intuicionistička logika proizlazi iz L. E. J. Brouwer-ovog pristupa matematici: 

matematika je intuitivna konstrukcija objekata i dokaza. Konstruktivni dokaz 

treba dati obavijest o objektima. 

Primjer 4.4 (Ne-konstruktivan dokaz) Treba dokazati da postoje dva iracionalna 

broja x i y takva x y jest racionalan. Ispitajmo pojedinačan slučaj (trebamo znati da je 

√ 

√ √ 2) 

√ 

2 iracionalan i da ( 2 

2 

= √ 2 (√ 2·√2) 

√ 2 

= 2 = 2). Dokaz započinjemo s 

pravilom isključenja trećega, A ∨¬A. Dobivamo ili (i) √ 2 

2√ 

√ jest racionalan broj ili (ii) 

√ 2 

2 nije racionalan broj. Primijenimo pravilo isključivanja disjunkcije i ispitujemo 

slučajeve. Ako (i), onda je teorem dokazan i traženi x = y = √ 2. Ako (ii), onda 

( √ 2) 

√ 

2 

2√ 

= √ 2 (√ √ 

2·√2) 

√ 2 √ 2 √ 

= 2 =2itraženix = 2 a y = 2. Ovaj dokaz ne 

govori što je slučaj: (i) ili (ii) i koji objekti zadovoljavaju traženi uvjet. Zbog toga se u 

intuicionističkoj logici zakon isključenja trećeg odbacuje u svom općenitom obliku.

Poglavlje 5 

Uvod u kvantifikaciju 

5.1 Kvantifikacija u prirodnom jeziku 

U prirodnom jeziku susrećemo izraze poput ’neki’, ’većina’, ’barem jedan’, ’skoro 

svi’, ’tri’, ’samo jedan’.... Njima označavamo koliko predmeta zadovoljava odre ¯deni 

uvjet. Takvi se izrazi nazivaju determinatorima. Kada determintor povežemo s 

općomimenicomdobivamoimeničku frazu. Na primjer, ’neka kocka’, ’samo 

jedan dodekaedar’,... Na ovaj način determiniranu imeničku frazu nazivamo u 

logici kvantificiranim izrazom. 

Primjer 5.1 Urečenici ’Svatko voli nekoga’ zamjenice ’svatko’ i ’netko’ možemo 

shvatiti kao: ’svaka osoba’ i ’neka osoba’. 

Logička svojstva kvantificiranih rečenica u velikoj mjeri ovise o primijenjenom 

kvantifikatoru. 

Primjer 5.2 ’Svi američki filmovi imaju sretan završetak. "Love story" je američki 

film. Dakle, on ima sretan kraj’ - valjano i nepouzdano. ’Većina američkihfilmovaima 

sretan završetak. "Love story" je američki film. Dakle, on ima sretan kraj’ - nevaljano, ali 

prihvatljivo pod uvjetom da je općenita premisa točna i u nedostatku daljnjih obavijesti. 

’Nijedan američki film nema sretan završetak. "Love story" je američki film. Dakle, on 

ima sretan kraj’ - nevaljano. 

5.1.1 Složene i jednostavne rečenice 

Jesu li kvantificirane rečenice (rečenice u kojima se javlja kvantifikacijski izraz) 

složene ili jednostavne rečenice? U nekim slučajevima čini se očiglednim da su 

složene. 

Primjer 5.3 ’Svaka ptica svome jatu leti’ - bi se moglo razumjeti kao otvorena konjunkcija 

rečenica Ptica(x) → LetiP rema(x, jato_od(x)) gdje na mjesto koje zauzima 

x treba uvrštavati redom individualne konstante koje zastupaju predmete nakojesetvrdnja 

primijenjuje. Kada takvih predmeta ima nepregledno mnogo ili ako nema načina da 

se imenuje svaki predmet, ovakvo razlaganje neće biti izvedivo. 

5.1.2 Skrivena kvantifikacija 

Vremenski prilozi mogu unijeti skrivenu kvantifikaciju iako u tom slučaju nema 

determinatora koji se vezuje uz opću imenicu. 

60

5.1 Kvantifikacija u prirodnom jeziku 61 

Primjer 5.4 Urečenici ’Thai uvijek jede sa štapićima’ prilog ’uvijek’ je implicitni 

kvantifikator koji znači ’u svakom trenutku’. 

Kadasetvrdidajenekarečenica K logička posljedica rečenice P, tada nije 

dovoljno samo motriti koje su aktualne istinosne vrijednosti tih rečenica. Tvrdnja 

’P implicira K’ govori više nego ’ili nije slučaj da P ili je slučaj da K’. S ’P 

implicira K’ tvrdimo da svaka logički moguća situacija koja čini P istinitom čini 

i K istintom. 

Implikacija vrijedi samo kad je kondicional valjan. [...] kako 

bismo u potpunosti uvažili razliku izme ¯du ’→’, odnosno ’ako-onda’ 

i implikacije, nužno je osvijestiti razliku izme ¯du korištenja i spominjanja. 

[...] Možemo napisati: ’dreary’ se rimuje s ’weary’, ali ovdje 

spominjemo imena rimujućih riječi o kojima govorimo. [...] kada 

kažemo da neka tvrdnja ili shema implicira drugu, ne smijemo pisati 

’implicira’ izme ¯du tvrdnji ili shema, već izme¯du njihovih imena. Tada 

mi spominjemo tvrdnje ili sheme, govorimo o njima [...] 

Quine, W.V.O. (1974) Methods of Logic, str. 43. 

[...] "striktna implikacija". [...] uočimo da za tvrdnje s "⇒" 

u ulozi glavnog konektiva, istinitost postaje ista stvar kao i valjanost 

(istinitost u svim slučajevima ako imamo istinitost u jednom slučaju) 

[...] 

Jeffrey, R. (1989) Formal Logic: its Scope and Limits, str. 64. 

Materijalna implikacija Striktna implikacija Materijalna implikacija Striktna implikacija 

p q p → q ’p’ implicira ’q’ p → (p ∨ q) ’p’ implicira ’p∨q’ 

> > > ⊥ > > 

> ⊥ ⊥ ⊥ > > 

⊥ > > ⊥ > > 

⊥ ⊥ > ⊥ > >

62 Poglavlje 5 Uvod u kvantifikaciju 

Hume, David (1711-1776), škotski povjesničar i filozof. Hjumovskim pojmom 

uzročnosti nazivamo shvaćanje uzročne veze kao redovitog slijeda 

vrsta doga ¯daja. 

Ponekad kondicional koristimo u uzročnom smislu. Na primjer, (*) ’Ako 

uzmeš antibiotik, ozdravit ćeš za dva dana’ možemo shvatiti u uzročnom smislu. 

Pod takvim tumačenjem, rečenica (*) neće biti istinita za par istinitosnih vrijednosti 

h>, >i ako izliječenje nije nastupilo zbog antibiotika. Uzročni kondicional 

povlači protučinjenične: što bi bilo da (ni)je bilo i što bi bilo kad bi bilo. 

Rečenica (*) povlači ’Da nisi uzeo antibiotik, ne bi bio ozdravio za dva dana’. 

Uzročni kondicional ’ako a, onda b’ sadrži skrivenu kvantifikaciju ’svaki (većina) 

doga ¯daj one vrste kojoj pripada doga ¯daj a,praćeni su doga ¯dajem one vrste kojoj 

pripada b’. 

U prirodnim jezicima susrećemo mnoge oblike kvantifikacije. Nasuprot tome, 

u logici prvog reda koristimo samo dva: ’∀’i’∃’, koji znače ’sve’ i ’nešto’. Koristeći 

ih zajedno s istinitosno-funkcionalnim veznicima i predikatom identiteta, 

s ova dva kvantifikatora možemo sačiniti brojne količinske izraze, poput ’najviše 

jedan’, ’točno tri’, ’barem n’, itd. 

Ekspresivna snaga logike prvog reda je ograničena u odnosu na kvantifikaciju. 

Mnogi uobičajni količinski izrazi običnog jezika ostaju izvan ekspresivnog dosega 

ove logike. 

Primjer 5.5 Kvantifikatori ’većina’, ’manji dio’, ’beskonačno mnogo’ ne mogu se 

iskazati u logici prvog reda. 

Zadatak 28 Koristeći pojmovnu razliku izme ¯du materijalne implikacije (kondicionala), 

uzročnog kondicionala i striktne implikacije pokušajte objasniti paradoksalnu valjanost 

sljedećih zaključaka: (i) ’Slomit ću nogu danas. Znam da je tako jer znam da nije istina 

da ako slomim nogu danas, da ću sutra skijati’, (ii) ’Neću umrijeti prije podneva. Znam 

da je tako jer znam da nije istina da ću umrijeti prije podneva ako ne popijem još jednu 

šalicu kave’. Dokažite valjanost zaključaka (i) i (ii) ako se ’ako-onda’ shvati istinitosnofunkcionalno! 

5.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljene 

formule 

Za primjenu kvantifikatora u logici prvog reda trebaju nam dodatni simboli: 

termi koje nazivamo varijable.

5.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljene formule 63 

Varijable su vrsta terma. 

5.2.1 Varijable i individualne konstante: sličnosti i razlike 

Sličnost varijabli i individualnih konstanti je sintaktička: one se javljaju na mjestu 

argumenata za predikate i funkcijske simbole. 

Primjer 5.6 Infiksni zapis funkcije: ’2 +2’i’x + y’. Prefiksni zapis predikata: 

’Cijeni(albert, goriot)’ i’Cijeni(x, y)’. Predikat čiji su argumenti složeni termi: 

’Cijeni(albert, otac(albert))’ i’Cijeni(x, otac(x))’. 

Razlika je semantička: varijable ne referiraju na predmete. Varijable "zauzimaju 

mjesto" argumenata na način koji omogućuje da se izraze različiti odnosi 

izme ¯du kvantifikatora i položaja argumenata u različitim predikatima i funkcijama. 

4. 1272 [...] Kad god se riječ ’predmet’ (’stvar’, ’entitet’,...) koristi 

na ispravan način, ona se u pojmovnom pismu izražava varijablom. 

Wittgenstein, L. Tractatus Logico-Philosophicus 

5.2.2 Ispravno sastavljene formule (isf-e, well-formed 

formulas, wffs) 

Izraze koji imaju oblik atomarnih rečenica u kojima se na mjestu neke individualne 

konstante nalazi varijabla nazivamo atomarnim ispravno sastavljenim 

formulama (isf-ama). 

Definicija 1 Ako su t 1 ,...,t n termi i ako je Pn-mjesni predikat, onda je P (t 1 ,...,t n )


atomarna ispravno sastavljena formula. 

Primjedba 1 Ako je P atomarna rečenica, onda je P atomarna ispravno sastavljena 

formula. 

Primjer 5.7 

Atomarne isf-e: Cijeni(x, otac(x)), Cijeni(x, otac(albert)), Cijeni(albert, otac(albert)). 

Atomarne isf s varijablama nisu rečenice. Prije bismo ih mogli shvatiti kao 

opis nekog uvjeta. Tek dodavanjem kvantifikatora eventualno dobivamo tvrdnju 

o tome da neki predmeti zadovoljavaju taj uvjet. 

Primjer 5.8 Isf-u Cijeni(x, otac(x)) možemo shavtiti kao uvjet ’onaj koji cijeni svog 

oca’. Dodavanjem kvantifikatora, na primjer sa ’svatko’ dobivamo rečenicu: ’Svatko je 

onaj koji cijeni svoga oca’ odnosno ’Svatko cijeni svoga oca’. Rečenicu dobivamo i 

zamjenom varijable s indvidualnom konstantom. Na primjer, ’Ivica (je onaj koji) cijeni 

svog oca’ ili ’Cijeni(ivica, otac(ivica))’. 

Dodavanje kvantifikatora može vezati varijablu u ispravno sastavljenoj formuli. 

Podsjetnik 

1. U jeziku logike prvog reda možemo koristiti beskonačan broj 

varijabli. Za označavanje varijabli obično se koriste slova t, u, v, w, x, y, z, 

bilo s brojčanim podznakom ili bez njega. 

2. U ispravno sastavljenoj formuli varijable se javljaju na mjestu 

koje obično zauzima ime. 

5.3 Simboli za kvantifikatore 

5.3.1 Univerzalni kvantifikator ∀ 

Ulogu univerzalnog kvantifikatora u prirodnom jeziku obavljaju izrazi poput 

’sve’, ’svatko’, ’bilo tko’,... 

∀x možemo čitati na različite načine: "za svaki predmet x (vrijedi 

da)", "svaka je stvar (takva da)", "svaki predmet (zadovoljava uvjet 

da)", "sve je (takvo da)",... 

Primjer 5.9 ’∀xCijeni(x, x)’ znači da svaka stvar x ispunjava uvjet da x cijeni 

x. Rijetko kada izričemo takve tvrdnje o bilo čemu, ma što ono bilo. Gornju tvrdnju 

izričemo misleći na osobe. Ako kontekstom nije zadana domena iz koje "dolaze sve 

stvari", potrebno je ograničiti predmete za koje se tvrdi da ispunjavaju uvjet ’x cijeni

5.4 Isf-e i rečenice 65 

x’ na skup osoba. To činimo ovako: ’Za svaki predmet x za kojeg vrijedi da je x osoba, 

vrijedi da x cijeni x’. Prema tome rečenicu ’Svatko cijeni samoga sebe’ u formalnom 

jeziku zapisujemo ’∀x(Osoba(x) → Cijeni(x, x))’. 

5.3.2 Egzistencijalni kvantifikator ∃ 

Egzistencijalni kvantifikator koristimo za tvorbu onih izraza koje u prirodnom 

jeziku tvorimo pomoću riječi ’neki’, ’barem jedan’, ... 

’∃x’ možemo čitati: "za barem jedan predmet x (vrijedi da)", 

"barem jedna stvar (jest takva da)", "za neki predmet (vrijedi da)", ... 

Primjer 5.10 ’∃xCijeni(x, x)’znači da neka stvar x ispunjava uvjet da x cijeni x. 

Primjedba 2 Univerzalni i egzistencijalni kvantifikatori ne mogu iskazati ograničenje 

domene na osobe koje se u prirodnom jeziku ostvaruje korištenjem zamjenica 

’svatko’ i ’netko’. 

Primjer 5.11 Rečenicu ’Netko cijeni samoga sebe’ možemo prevesti na jezik logike 

prvoga reda vodeći računa o ograničenju domene kao ’∃x(Osoba(x) ∧ Cijeni(x, x))’ 

umjesto kao ’∃xCijeni(x, x)’. 

Primjer 5.12 

Svatko cijeni svakoga. 

Svatko cijeni nekoga. 

Netko cijeni nekoga. 

Netko cijeni svakoga 

Nekoga svatko cijeni. 

∀x∀y[(Osoba(x) ∧ Osoba(y)) → Cijeni(x, y)] 

∀x[Osoba(x) →∃y(Osoba(y) ∧ Cijeni(x, y)] 

∃x∃y[Osoba(x) ∧ Osoba(y) ∧ Cijeni(x, y)] 

∃x[Osoba(x) ∧∀y(Osoba(y) → Cijeni(x, y))] 

∃x[Osoba(x) ∧∀y(Osoba(y) → Cijeni(y, x))] 

5.4 Isf-e i rečenice 

U atomarnoj ispravno sastavljenoj formuli pojava bilo koje varijable je uvijek 

slobodna. Polazeći od atomarnih isf-a možemo izgraditi složenije isf-e. Sa 

zadnja dva uvjeta (6. i 7.) pokazujemo kako se pojava varijable može vezati. 

1. Ako je P isf, onda je i ¬P isf. 

2. Ako su P 1 ,...,P n isf-e, onda je (P 1 ∧ ... ∧ P n ) isf-a 

3. Ako su P 1 ,...,P n isf-e, onda je (P 1 ∨ ... ∨ P n ) isf-a 

4. Ako su P i Q isf-e, onda je (P → Q) isf-a. 

5. Ako su P i Q isf-e, onda je (P ↔ Q) isf-a.


6. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je ∀vP isf i svaka pojava varijable 

v u ∀vP je vezana. 

7. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je ∃vP isf i svaka pojava varijable 

v u ∃vP je vezana. 

Vanjske zagrade možemo izostaviti kada one obuhvaćaju cijelu isf-u. 

Primjer 5.13 (i) Započnimo s atomarnim isf-ama Kocka(x) i Malen(x). Primjenom 

pravila 2. dobivamo isf-u (Kocka(x)∧Malen(x)). (ii) Polazeći od isf-e LijevoOd(x, y) 

primjenom pravila 7. dobivamo ∃yLijevoOd(x, y), gdje je pojava varijable x slobodna 

a pojava varijable y vezana. (iii) Primjenom pravila 4. na (i) i (ii) dobivamo 

((Kocka(x) ∧ Malen(x)) →∃yLijevoOd(x, y)). (iv) Primjenom pravila 6. dobivamo 

∀x((Kocka(x)∧Malen(x)) →∃yLijevoOd(x, y)), dobivamo složenu rečenicu u kojoj 

su pojave svih varijabli vezane. Rečenica tvrdi da je svaka mala kocka s lijeve strane 

nekog predmeta. 

Podsjetnik 

1. Složene isf-e gradimo polazeći od atomarnih isf-a primijenjujući 

pravila 1-7. 

2. Isf-a bez slobodnih varijabli je rečenica. 

3. Neki autori isf-u u kojoj je neka varijabla slobodna nazivaju 

otvorenom rečenicom. 

5.5 Semantika kvantifikatora 

Kada opisujemo značenja različitih konektiva, opisujemo kako značenje složene 

rečenice u kojoj se on javlja ovisi o značenju sastavnih rečenica. Značenje kvantificiranih 

izraza ne možemo odrediti na sličan način. 

5.5.1 Zadovoljavanje 

Primjer 5.14 Značenje za ¬P , odre ¯dujemo pomoću značenja za P :’¬P ’ je istinito 

ako je ’P ’ neistinito, u protivnom, ’¬P ’ je neistinito. Značenje za ’∃xKocka(x)’ ne 

možemo odrediti pomoću značenja ’Kocka(x)’ jer taj izraz nije rečenica. 

Za odrediti pod kojim je uvjetima kvantificirana rečenica istinita treba nam 

dodatni pojam - pojam zadovoljavanja (satisfaction). 

Definicija 2 

U. 

Predmet o zadovoljava atomarnu isf-u U(x) ako i samo ako o jest

5.5 Semantika kvantifikatora 67 

Primjer 5.15 Za predmet a kažemo da zodovoljava uvjet Kocka(x) jer je a kocka. 

Za predmet c kažemo da zadovoljava uvjet Kocka(x) ∧¬Velik(x) jer c jest kocka koja 

nije velika. 

Pojam zadovoljavanja može se definirati na različite načine. Ovdje ćemo 

opisati onaj koji je ugra ¯den u program Tarski’s World. 

Neka je S(x) isf-a u kojoj je x jedina slobodna varijabla. Želimo znati zadovoljava 

li odre ¯deni objekt S(x). Ako taj objekt ima ime, recimo b, pravimo novu 

rečenicu S(b) tako što zamjenjujemo svaku slobodnu pojavu x-a s individualnom 

konstantom b. Ako je nova rečenica S(b) istinita, onda taj objekt zadovoljava 

formulu S(x); akonovarečenica nije istinita, onda taj objekt ne zadovoljava 

formulu. 

5.5.2 Zadovoljavanje i imena 

Ovakav postupak funkcionira dobro sve dok predmeti imaju imena. No, logika 

prvog reda ne zahtijeva da svi predmeti imaju imena. Kako definirati zadovoljavanje 

za "bezimene" predmete? 

Za tu svrhu Tarski’s World ima dodatni popis individualnih konstanti n 1 ,...,n n . 

Želimo li znati zadovoljava li neki bezimeni predmet formulu S(x), uzimamo 

prvo slobodno ime s popisa, na primjer n 6 i njime privremeno imenujemo taj 

predmet. Potom provjeravamo je li rečenica S(n 6 ) istinita. 

Uz pomoć pojma zadovoljavanja možemo definirati uvjete istinitosti za rečenicu 

∃xS(x). Onaće biti istinita ako i samo ako postoji predmet koji zadovoljava isf-u 

S(x). Sličnim načinom definiramo uvjete istinitosti za ∀xS(x). 

Definicija 3 Rečenica ∀xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet zadovoljava 

ispravno sastavljenu formulu S(x). 

Definicija 4 Rečenica ∃xS(x) je istinita ako i samo ako barem jedan predmet 

zadovoljava ispravno sastavljenu formulu S(x).


U gornjim definicijama prešutno pretpostavljamo da nam je zadana jasno 

odre ¯dena kolekcija predmeta o kojima je riječ. 

Primjedba 3 U vrednovanju rečenice ∀xKocka(x) Tarski 0 sWorlduzima u 

obzir samo predmete koji se javljaju u prozoru koji opisuje "svijet" o kojemu je 

riječ. 

Općenito, rečenicekojesadržekvantifikatoreistinite su odnosno neistinite 

samo u odnosu na neku domenu rasprave (domenu kvantifikacije, područje rasprave,...). 

Ponekad intendirana domena obuhvaća sve predmete. 

5.5.2.1 Konvencije zapisa 

Oznaka S(x) ili P (y) stoji za možda složenu isf-u logike prvog reda. Varijabla 

u zagradama zastupa samo slobodne pojave te varijable. 

Primjer 5.16 ’P (y)’ može stajati za ’∃x(LijevoOd(x, y)∨DesnoOd(x, y))’. U tom 

slučaju ’P (b)’označava ’∃x(LijevoOd(x, b) ∨ DesnoOd(x, b))’ 

Podsjetnik 

Kvantificirane rečenice izražavaju tvrdnje o nekom intendiranom 

području rasprave. 

Rečenica ∀xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet iz područja 

rasprave zadovoljava isf-u S(x). 

Rečenica ∃xS(x) je istinita ako i samo ako neki predmet iz područja 


5.5.3 Razlaganje 

Neka je područje rasprave konačno i neka svaki predmet ima ime i to samo jedno. 

Neka je popis imena n 1 ,...,n n .Tada∀xS(x) možemo zapisati kao S(n 1 ) ∧ ... ∧ 

S (n n ) jer su te rečenice pod danim uvjetima istovrijedne. Jednako tako, ∃xS(x) 

možemo zapisati kao S(n 1 ) ∨ ... ∨ S (n n ). 

Kod kombiniranih kvantifikatora raščlanu počinjemo s lijeve strane. 

Primjer 5.17 

zatim 2. korak 

∃x∀yR(x, y) raščlanjujemo: 1. korak 

∀yR(n 1 ,y) 

| {z } 

1 

∨ ... ∨∀yR(n n ,y) 

| {z } 

n 

(R(n 1 ,n 1 ) ∧ ... ∧ R(n 1 ,n n )) 

| {z } 

1 

∨ ... ∨ (R(n n ,n 1 ) ∧ ... ∧ R(n n ,n n )) 

| {z } 

n

5.6 Četiri aristotelovska oblika 69 

5.6 Četiri aristotelovska oblika 

univerzalno-afirmativan A ∀x(P (x) → Q(x)) 

partikularno-afirmativan I ∃x(P (x) ∧ Q(x)) 

univerzalno-negativan E ∀x(P (x) →¬Q(x)) 

partikularno-negativan O ∃x(P (x) ∧¬Q(x)) 

AffIrmo; nEgO 

Česta pogreška. ’Neki P su Q’ ne možemo prikazati kao ’∃x(P (x) → 

Q(x))’. Primjenimo raščlanjivanje. Neka je područje rasprave konačno i 

neka svaki predmet ima ime i to samo jedno. Popis imena je n 1 ,...,n n . 

’∃x(P (x) → Q(x))’raščlanjujemo na 

(P (n 1 ) → Q(n 1 )) ∨ ... ∨ (P (n n ) → Q(n n )) 

Uočimo da je po definiciji kondicionala ova rečenica istinita kada ni jedan 

predmet ne zadovoljava P (x), tj. kada nijedan predmet nije P . No u tim 

uvjetima rečenica ’Neki P su Q’ nije istinita.


Tradicionalni "logički kvadrat" ili "kvadrat opreka". Uočite da neka pravila 

vrijede samo pod pretpostavkom egzistencije predmeta koji je A. 

Zadatak 29 Pokažimo da su kontradiktorni sudovi uzajamne negacije. Neka je područje 

rasprave konačno i neka svaki predmet ima ime i to samo jedno. Popis imena 

je n 1 , ..., n n . (i) ¬∀x(P (x) → Q(x)) razlažemou(ii)¬((P (n 1 ) → Q(n 1 )) ∧ ... ∧ 

(P (n n ) → Q(n n ))). (iii) zamijenimo kondicional s disjunkcijom: ¬((¬P (n 1 )∨Q(n 1 ))∧ 

... ∧ (¬P (n n ) ∨ Q(n n ))), (iv) primjenimo DeMorganov zakon: ¬(¬P (n 1 ) ∨ Q(n 1 )) ∨ 

... ∨¬(¬P (n n ) ∨ Q(n n )), (v) primjenimo DeMorganov zakon još jednom: (P (n 1 ) ∧ 

¬Q(n 1 )) ∨ ... ∨ (P (n n ) ∧¬Q(n n )). Disjunktivna normalna forma (v) upravo prikazuje

5.7 Kvantifikatori i funkcijski simboli 71 

∃x(P (x) ∧¬Q(x)). Generalizirajući možemo utvrditi da vrijedi 

¬∀x(P (x) → Q(x)) ⇔∃x(P (x) ∧¬Q(x)) 

Zadatak 30 Kombinacija nekvantificiranih i kvantificiranih rečenica. Neka ’I’ stoji 

za ’Ivica će se iznenaditi’, neka su predikati’PozvanNaZabavu(x)’ i ’DolaziNaZabavu(x)’. 

Popis imena je i, n 1 , ..., n n . Kako bismo u prirodnom jeziku pročitali (i) ∀x((PozvanNaZabavu(x)∧ 

DolaziNaZabavu(x)) → I),akako(ii)∀x((PozvanNaZabavu(x) → DolaziNaZabavu(x)) → 

I? 

5.6.1 Razgovorne implikature 

Rečenicu ’Svi P su Q’ obično razumijemo kao da ona povlači ’P postoji’. No to 

nije slučaj, tu postoji konverzacijska ali ne i logička implikacija. 

Primjer 5.18 ’Svi studenti koji su predali rješenja zadataka, dobili su izvrsne ocjene’ 

No nitko nije predao rješenja pa je rečenica istinita. Konzistentno je nastaviti s rečenicom 

’Ali nitko nije predao rješenja’. 

Razgovornaimplikaturamožeseosporiti bez stvaranja kontradikcije. 

Rečenicu’NekiPsuQ’običnorazumijemokao’NekiPjesuQ,anekinisu’. 

I ovdje je riječ samo o razgovornoj implikaturi. 

Primjer 5.19 ’Neki studenti su posjetili on-line tečaj. Zapravo, to su učinili svi’ je 

konzistentan tekst. 

Podsjetnik 

1. Svi P su Q ne povlači, iako u razgovoru sugerira, da postoje 

neki P. 

2. Neki P su Q ne povlači, iako u razgovoru sugerira, da svi P 

nisu Q. 

5.7 Kvantifikatori i funkcijski simboli 

Promotrimo rečenicu: 

∀xLjubazniji(otac(otac(x)),otac(x)) 

Ona tvrdi da je svačiji patrilinearni djed ljubazniji od oca te osobe. Za iskazati 

istu rečenicu bez funkcijskih simbola treba nam složena rečenica 

∀x∀y∀z(((OtacOd(x, y) ∧ OtacOd(y, z)) → Ljubazniji(x, y)) 

Funkcijski simboli su vrlo korisni u logici prvog reda.


Zadatak 31 

Iskaži rečenicu ’∀xCijeni(x, otac(x))’ ne koristeći funkcijske simbole!

Poglavlje 6 

Logika kvantifikatora 

Primjer 6.1 Definirajmo pridjev ’slično’ po uzoru na Oxford Dictionary of Modern 

English kao ’ono što podsjeća na nešto ali nije isto s time’. Ako dalje prihvatimo da 

’isto’ znači ’podudarati se u svim svojstvima’, onda vrijedi Slično(a, b) samo ako a ima 

neka svojstva koja nema b i a ima neka svojstva koja ima b. Da bismo definirali (i)’isto’, 

(ii)’različito’ i (iii)’slično’ moramo govoriti o svojstvima: (i)x = y ↔∀P (P (x) → 

P (y)), (ii) Različito(x, y) ↔∃P (P (x)∧¬P (y)), (iii) Slično(x, y) ↔ (∃P ∃Q(P (x)∧ 

P (y) ∧ Q(x) ∧¬Q(y)) ∧ Podsjeća(x, y, koga?)). 

Primjer 6.2 

jednom’, ... 

’Ona ima sva svojstva pravog prijatelja’, ’Po svemu su slični osim u 

Rečenice koje govore o svojstvima ne mogu se iskazati u logici prvog reda. 

U logici prvog reda govorimo o predmetima i tvrdimo kako oni imaju odre ¯dena 

svojstva i stoje u odre ¯denim odnosima, ali o svojstvima i odnosima ne možemo 

govoriti. Zbog toga su rečenice iz prethodnih primjera neiskazive u logici prvoga 

reda. 

6.1 Tautologije i kvantifikacija 

Pojam tautologije uži je od pojma logičke istine. Je li neka rečenica tautološka, 

to odre ¯dujemo pomoću istinitosne tablice. Kvantificirane rečenice ne možemo 

analizirati onako kako analiziramo složene rečenice u propozicijskoj logici. Sintaktički 

oblik kvantificirane rečenice je ’kvantifikator-s-varijablom (ispravno_- 

sastavljena_formula)’. 

Primjer 6.3 

Gornji zaključak je očigledno valjan. U svijetu u kojemu je svaka kocka 

malena i u kojemu je svaka stvar kocka, u tom je svijetu tako ¯der i svaka stvar 

mala. Pitanje je: je li ovaj zaključak tautološki valjan? Je li ovdje riječ ojednokratnoj 

primjeni pravila za uklanjanje kondicionala (modus ponendo ponens)? 

73

74 Poglavlje 6 Logika kvantifikatora 

Drugim riječima, možemo li primjeniti logička pravila zanemarujući kvantifikatore? 

Protuprimjer. Uočite da dodekaedar desno zadovoljava isf-u Cube(x) → 

Small(x). 

Protuprimjer pokazuje dvije činjenice: zaključak s egzistencijalno kvantificiranim 

rečenicama nije valjan i zaključak s univerzalno kvantificiranim rečenicama 

jest valjan ali nije tautološki valjan. Drugu činjenicu možemo ovako objasniti: 

da smo konkluziju uveli samo primjenom dokazano pouzdanog pravila 

modus ponens, to bismo mogli učiniti u oba slučaja. Budući da u jednom od 

njih uvo ¯denje konluzije nije uspjelo "očuvati istinitost", slijedi da ni ispravna 

konkluzijanijeuvedenanatajnačin. 

Primjer 6.4 ’∃xKocka(x) ∨∃x¬Kocka(x)’ jelogičkaistina(rečenica koja je istinita 

u svim zamislivim okolnostima u kojima nečega, na što se predikati mogu primjeniti, 

ima). No, ona nije tautologija: rečenica istinita jedino zahvaljujući značenju 

istintosno-funcionalnih veznika.


Možemo sastaviti rečenicu jednaku u smislu sintakse propozicijske logike (tj. čiji je oblik 

A ∨ B)kojaneće biti logička istina: ’∀xKocka(x) ∨∀x¬Kocka(x)’. 

Razmotreni primjeri naizgled sugeriraju da u jeziku kvantificiranih rečenica 

nema tautologija. Takva indukcija je preuranjena. Ako u bilo kojoj tautologiji 

u kojoj se javljaju atomarne rečenice izvršimo zamjenu tako da na mjesto atomarnih 

rečenica upišemo složene rečenice bilo s kvantifikatorima ili bez njih, dobit 

ćemo opet tautologiju. 

Primjer 6.5 

U tautologiji ’A → (B → A)’ smouprvomslučaju ’A’ zamijenili s ’A → C’, a u 

drugom slučaju ’A’ smo zamijenili s ’∃xSameSize(x, a)’ a’B’ s’∀xCube(x)’. U sva 

tri slučaja istinitost proizlazi iz značenja veznika ’→’. 

6.1.1 Test tautologičnosti 

Tautologiju možemo dobiti supstitucijom iz različitih rečenica koje same ne moraju 

biti tautologije. 

Primjer 6.6 

A 

A → B 

A → (B → A) 

’∃xSameSize(x, a) → (∀xCube(x) →∃xSameSize(x, a))’za’A’ 

’∃xSameSize(x, a)’za’A’i’(∀xCube(x) →∃xSameSize(x, a))’za’B’ 

’∃xSameSize(x, a)’za’A’i’∀xCube(x)’za’B’ 

Samo je trećem slučajem tautološka rečenica ’∃xSameSize(x, a) → (∀xCube(x) → 

∃xSameSize(x, a))’ dobivena putem supstitucije iz tautologije. 

Da bismo ustanovili je li neka kvantificirana rečenica- tautologija, moramo 

izdvojiti sastavne dijelove tako da istinitisno-funkcionalna struktura postane vidljiva. 

One veznike koji se javljaju u dosegu kvantifikatora zanemarujemo, a promatramosamoonelogičke 

veznike koji se primjenjuju na rečenicama. 

Primjer 6.7 ∃xSameSize(x, a) 

| {z } 

A 

→ (∀xCube(x) 

| {z } 

B 

→∃xSameSize(x, a) ) 

| {z } 

A

76 Poglavlje 6 Logika kvantifikatora 

Postupak izlaganja istinitisno-funkcionalne sintaktičkestrukturenekerečenice 

možemo razložiti u jedan algoritam. 

(i) Kada u rečenici S do ¯dete do kvantifikatora ili do atomarne 

rečenice započnite s potcrtavanjem. Ako je riječ o kvantifikatoru, potcrtajte 

ga kao i cijelu isf-u na koju se on primjenjuje. Ako je riječ o 

atomarnoj rečenici, potcrtajte je. 

(ii) Kad završite s potcrtavanjem rečenice dodjelite joj ime (A, 

B, C,...). 

(iii) Ako se istovjetni sastavni dio pojavljuje na još nekom mjestu 

urečenici S, dajte mu isto ime, ako ne, upotrebite prvo neiskorišteno 

ime. 

(iv) Kada do ¯dete do kraja rečenice, zamijenite svaki sastavni dio 

sa slovom koje ga označava. Rezultat nazivamo istinitosno-funkcionalnom 

formom rečenice S. 

1. ¬(Tet(d) ∧∀xMaleno(x)) → (¬Tet(d) ∨¬∀yMaleno(y)); 

2. ¬(Tet(d) A 

∧∀xMaleno(x)) → (¬Tet(d) ∨¬∀yMaleno(y)); 

3. ¬(Tet(d) A 

∧∀xMaleno(x) B 

) → (¬Tet(d) ∨¬∀yMaleno(y)); 

4. ¬(Tet(d) A 


) → (¬Tet(d) A 

∨¬∀yMaleno(y)); 

5. ¬(Tet(d) A 


) → (¬Tet(d) A 

∨¬∀yMaleno(y) C 

); 

6. ¬(A ∧ B) → (¬A ∨¬C) 

Primjer 6.8


Definicija 5 Kvantificirana rečenica logike prvog reda je tautologija ako i samo 

ako je njezina istinitosno-funkcionalna forma tautologija. 

Primjer 6.9 

zaključak: 

Odredi istinitosno funkcionalnu formu korespodentnog kondicionala za 

Je li taj korespondentni kondicional tatologija? 

Podsjetnik 

1. Pomoću istinitosno-funkcionalnog algoritma možemo odrediti istinitosnofunkcionalnu 

formu rečenice ili zaključka u kojima se javljaju kvantificirani 

izrazi. 

2. Istinitosno-funkcionalna forma razotkriva kako su atomarne rečenice i 

kvantificirane rečenice povezane. 

3. Kvantificirana rečenica je tautologija ako i samo ako je njezina istinitosnofunkcionalna 

forma tautologija. 

4. Svaka je tautologija logička istina, ali me ¯du kvantificiranim rečenicama 

nalazimo mnoge logičke istine koje nisu tautologije. 

5. Mnogi valjani zaključci logike prvog reda nisu tautološki valjani.

Poglavlje 7 

Valjanosti i posljedice prvog 

reda 

Intuitivna ideja o logičkoj istini i logičkoj posljedici poziva se na istinitost u 

svim logički mogućim okolnostima: rečenica je logički istinita ako i samo ako 

je istinita u svim logički mogućim okolnostima. Rečenica S je posljedica danih 

premisa ako i samo ako je S istinita u svim logički mogućim okolnostima u kojima 

su sve premise istinite. Preciznost ovih definicija možemo povećati za slučaj 

tautologija i tautoloških posljedica modelirajući "logički moguće okolnosti" kao 

redak u istinitosnoj tablici. 

Nažalost pojmovi ’tautologija’ i ’tautološka posljedica’ ne mogu nas dovesti 

do željenog cilja u logici prvog reda: naime oni ne mogu razdijeliti logičke 

istine i logičke posljedice prvoga reda od drugih rečenica i logičkih posljedica u 

logici prvoga reda. Ono što nam treba je dodatna metoda za analiziranje logičkih 

istina i logičkih posljedica koje ovise o istinitosnofunkcionalnim veznicima te o 

kvantifikatorima i identitetu. 

Najprije trebamo razriješiti terminološki problem: koji naziv dodjeliti takvim 

rečenicama i takvim odnosima u logici prvog reda. 

Propozicijska logika Logika prvoga reda Općeniti pojam 

Tautologija ?? Logička istina 

Tautološka posljedica ?? Logička posljedica 

Tautološka ekvivalencija ?? Logička ekvivalencija 

Nema uvriježenih naziva, Barwise i Etchemendy predlažu sljedeće: 

Propozicijska logika Logika prvoga reda Općeniti pojam 

Tautologija Valjana rečenica prvoga reda Logička istina 

Tautološka posljedica Posljedica prvoga reda Logička posljedica 

Tautološka ekvivalencija Ekvivalencijaprvogareda Logička ekvivalencija 

Ti se podebljani nazivi odnose na one logičke istine, posljedice i ekvivalencije 

koje su takve kakve jesu zahvaljujući značenju istinitosno-funkcionalnih 

veznika, kvantifikatora i identiteta. Na taj način, zanemarujemo značenje imena, 

predikata (s iznimkom predikata identiteta) i funkcijskih simbola. 

Predikat identiteta zauzima posebno mjesto me ¯du predikatima jer samo kod 

njega dopuštamo da se doprinos njegovog značenja promatra kao svojstven logici 

prvog reda. Razlozi zbog kojih se predikat identiteta tretira kao poseban,"logički" 

predikat su dvojaki. Oni obuhvaćaju općenitost njegove primjene i doprinos u 

kvantifikacijskoj izražajnosti. Prvo, identitet se javlja u skoro svim jezicima. 

Dok je ’>’ svojstven aritmetici, ’∈’ teoriji skupova a ’LijevoOd’ običnom jeziku 

i "jeziku blokova" (Tarski’s World), dotle je predikat identiteta prisutan u svim 

tim jezicima. Drugo, zahvaljujući ’=’ možemo koristeći samo dva kvantifikatora 

78

7.1 Metoda zamjene predikata 79 

iskazati koliki je točan broj predmeta koji ispunjava neki uvjet, koji je najveći, a 

koji najmanji broj takvih predmeta. 

Akomožemoreći je li rečenica logički istinita bez da poznajemo značenje 

predikata (osim identiteta) koji se javljaju u njoj, onda je ta rečenica valjana 

rečenica prvoga reda. 

Primjer 7.1 ’∀xIsteV eličine(x, x)’, ’∀xKocka(x) → Kocka(b)’i’∀x∃yV oli(x, y)∨ 

¬∀x∃yV oli(x, y)’sulogičke istine (Svaka stvar jednako je sama sebi po svojoj veličini; 

Ako je svaka stvar kocka onda je i b kocka; Svatko voli nekoga ili netko ne voli nikoga). 

Pitanje je jesu li to valjane rečenice prvoga reda? 

7.1 Metoda zamjene predikata 

Je li neka rečenica S valjana rečenica prvoga reda možemo otkriti zamjenjujući 

predikate s drugim predikatima, a posebno s besmislenim. Ako se istini-

80 Poglavlje 7 Valjanosti i posljedice prvog reda 

tost izgubi u tim zamjenama, onda je istinitost posljedica značenja početn-og/ih 

predikata, pa S nije valjana rečenica prvoga reda. 

Primjer 7.2 Prva rečenica ne prolazi na testu: ’∀xR(x, x)’, ’∀xP (x) → P (b)’ i 

’∀x∃yR(x, y) ∨¬∀x∃yR(x, y) 

1. Za provjeru valjanosti i posljedice prvoga reda, zamijenite sve predikate osim 

identitetnog s novim simbolima bez značenja, pazeći pri tome da u slučaju 

kada se neki predikat javlja više puta, svaku njegovu pojavu zamijenite s 

istim predikatom bez značenja. 

2. Za provjeru valjanosti prvog reda za rečenicu S, pokušajte opisati okolnosti i 

dati tumačenje imena, predikata i funkcija iz S u kojima će ona biti neistinita. 

Ako se takve okolnosti ne mogu zamisliti, S je valjana rečenica prvoga reda. 

3. Za provjeriti je li S posljedica prvog reda premisa P 1 ,...,P n , pokušajte naći 

okolnosti i tumačenje u kojem će S biti neistinito a P 1 ,...,P n istinito. Ako 

se takve okolnosti ne mogu zamisliti, izvorni je zaključak posljedica prvog 

reda. 

Primjer 7.3 

Neka je zadan zaključak 

Je li ovdje riječ o posljedici prvog reda? Metoda zamjene pokazuje da nije. Istina je 

da 1.Logičar(charles_dodgson) i2. Književnik(lewis_carroll), ali nije istina 3. 

¬(charles_dodgson = lewis_carroll). 

7.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovi 

zakoni


Augustus DeMorgan 

Prethodne tehnike možemo primjeniti i u utvr ¯divanju ekvivalencija prvog 

reda. Ako primjena istinitsono funkcionalnog algoritma pokaže da su dvije 

rečenice tautološki ekvivalentne, onda su one i ekvivalencije prvoga reda. 

Primjer 7.4 Iz ’¬(∃xKocka(x) A 

∧∀yDodekaedar(y) B 

)’ primjenom istinitosno funkcionalnog 

algoritma dobivamo ’¬(A ∧ B)’, a iz ’¬∃xKocka(x) A 

∨¬∀yDodekaedar(y) B 

’ dobivamo 

’¬A ∨¬B’. Dobivene rečenice su tautološki ekvivalentne, one su jedna instanca 

DeMorganovih zakona. 

No, DeMorganove zakone i slična logička načela možemo primijeniti i unutar 

dosega kvantifikatora. 

Primjer 7.5 Kontrapozicija: (A → B) ⇔ (¬B → ¬A). (i) ∀x(Kocka(x) → 

Maleno(x)), (ii)∀x(¬Maleno(x) →¬Kocka(x)) su ekvivalentne (ako su sve kocke 

malene, onda ništa što nije maleno nije kocka, i obratno) 

Istražimo primjer! Izdvojimo nekvantificirani dio 

(i) P (x) → Q(x) 

(ii) ¬Q(x) →¬P (x) 

’P’ i ’Q’ predstavljaju bilo koju isf-u pod uvjetom da ona sadrži slobodnu varijablu 

x i nijednu drugu slobodnu varijablu. Ne možemo zapitati jesu li ove dvije 

isf-e ekvivalentne, jer one nisu rečenice. Unatoč tome, možemo lako dokazati da 

bilo koji predmet koji zadovoljava prvu isf-u (i) tako ¯der zadovoljava i i isf-u (ii). 

Dokaz 7 Primijenimo indirektan dokaz (reductio ad absurdum). Pretpostavimo 

da postoje okolnosti u kojima neki predmet zadovoljava prvi uvjet (i) i ne zadovoljava 

drugi (ii). Uvedimo novo ime za taj predmet - n 1 . Uvrštavanjem dobivamo 

(i*) P (n 1 ) → Q(n 1 ) i(ii*)¬Q(n 1 ) →¬P (n 1 ). Budući da je x bila jedina 

slobodna varijabla, (i*) i (ii*) su rečenice. Po pretpostavci dokaza i definiciji 

zadovoljavanja (i*) mora biti istinita a (ii*) neistinita. No to je nemoguće jer su 

(i*) i (ii*) ekvivalentne po kontrapoziciji.


Definicija 6 Logički ekvivalentne isf-e. Dvije isf-e sa slobodnim varijablama 

su logički ekvivalentne akko ih u bilo kojim mogućim okolnostima zadovoljavaju 

isti predmeti. 

Iskaži prethodnu definiciju na drugi način koristeći definiciju zadovolja- 

Zadatak 32 

vanja 11 . 

Ako generaliziramo prethodni rezultat (tj. da su dvije formule logički ekvivalentne 

ako nije moguće da neki predmeti zadovoljavaju jednu a ne i drugu), onda 

će primjena načela logičkih ekvivalencija na neku isf-u dati logički ekvivalentnu 

isf-u, formulu koju zadovoljavaju isti predmeti kao i prvu. 

7.2.1 Supstitucija logički ekvivalentnih isf-a 

Neka su P i Q logički ekvivalentne isf-e, koje možda sadrže slobodne varijable 

inekajeS(P ) proizvoljna rečenica koja sadrži P kao sastavni dio. Tada ako su 

P i Q logički ekvivalentne, tj. 

P ⇔ Q 

onda su ekvivalentne i S(P ) i S(Q),tj.. 

S(P ) ⇔ S(Q) 

Dokaz načela supstitucije zahtjeva dodatne tehnike (dokaz indukcijom), pa 

će biti izostavljen ovdje. 

Opremljeni s načelom supstitucije možemo dokazati cijeli niz novih ekvivalencija. 

Primjer 7.6 

∀x(P (x) → Q(x)) ⇔ ∀x(¬P (x) ∨ Q(x)) definicija → 

⇔ ∀x(¬P (x) ∨¬¬Q(x)) dvostruka negacija 

⇔ ∀x¬(P (x) ∧¬Q(x)) DeMorganov zakon 

Očigledno je gornje rečenice nisu tautološki ekvivalentne jer su izmjene izvele "u unutrašnjosti", 

pod dosegom kvantifikatora. 

7.2.2 DeMorganovi zakoni za kvantifikatore 

U propozicijskoj logici DeMorganovi zakoni opisuju važne odnose izme ¯du negacije, 

konjunkcije i disjunkcije. Postoji stroga analogija izme ¯du ∀ i ∧,teizme¯du 

∃ i ∨. 

11 

Dvije isf-e sa slobodnim varijablama su logički ekvivalentne akko svaka jednolika supstitucija 

imena (starih ili novih) na mjestima njihovih slobodnih varijabli daje logički ekvivalentne 

rečenice.


Primjer 7.7 Neka govorimo o četiri imenovana bloka: a, b, c i d. Tada će rečenica 

∀xKocka(x) biti istinita ako i samo ako vrijedi 

Kocka(a) ∧ Kocka(b) ∧ Kocka(c) ∧ Kocka(d) 

Slično rečenica ∃xKocka(x) bit će istinita ako i samo ako vrijedi 

Kocka(a) ∨ Kocka(b) ∨ Kocka(c) ∨ Kocka(d) 

Analogija sugerira da bi kvantifikatori mogli reagirati na negaciju na sličan 

način kao konjunkcija i disjunkcija. 

Primjer 7.8 

¬∀xMaleno(x) bit će istinita ako i samo ako vrijedi 

¬(Maleno(a) ∧ Maleno(b) ∧ Maleno(c) ∧ Maleno(d)) 

a po DeMorganovom zakonu prethodno vrijedi ako i samo ako 

¬Maleno(a) ∨¬Maleno(b) ∨¬Maleno(c) ∨¬Maleno(d) 

A to je istinito ako i samo ako 

∃x¬Maleno(x) 

DeMorganovi zakoni omogućuju nam da negaciju pomičemo iza kvantifikatora. 

7.2.2.1 DeMorganovi zakoni za kvantifikatore 

¬∀xP (x) ⇔∃x¬P (x) 

¬∃xP (x) ⇔∀x¬P (x) 

Zadatak 33 Pokažite da je negacija univerzalno afirmativnog suda ekvivalentna partikuralno 

negativnom sudu i navedite naziv logičkog načela koji omogućuje pojedinu 

supstituciju ekvivalentnih isf-a. 

. 

¬∀x(P (x) → Q(x)) ⇔ ¬∀x(¬P (x) ∨ Q(x)) 

⇔ ∃x¬(¬P (x) ∨ Q(x)) 

⇔ ∃x(¬¬P (x) ∧¬Q(x)) 

⇔ ∃x(P (x) ∧¬Q(x)) 

Zadatak 34 

Dokažite ekvivalenciju 

. ¬∃x(P (x) ∧ Q(x)) ⇔ ∀x¬(P (x) → Q(x))


Odgovor 4 

¬∃x(P (x) ∧ Q(x)) ⇔ ∀x¬(P (x) ∧ Q(x)) 

⇔ ∀x(¬P (x) ∨¬Q(x)) 

⇔ ∀x(P (x) →¬Q(x)) 

7.3 Još neke ekvivalencije s kvantifikatorima 

Primjer 7.9 Zamislimo da u svijetu nalazimo točno n predmeta čija su imena a 1 , ..., a n 

(svaki predmet ima ime). Rečenica ∀x(P (x) ∧ Q(x)) istinita je u tim okolnostima ako i 

samo ako 

(P (a 1 ) ∧ Q(a 1 )) ∧ ... ∧ (P (a n ) ∧ Q(a n )) 

Budući da je konjunkcija asocijativna dobivamo 

(P (a 1 ) ∧ ... ∧ P (a n )) ∧ (Q(a 1 ) ∧ ... ∧ Q(a n )) 

Što je ekvivalentno s 

∀xP (x) ∧∀xQ(x) 

Primjer 7.10 Rečenica ∀x(Kocka(x)∨Tetraedar(x)) nije ekvivalenta s ∀xKocka(x)∨ 

∀xT etraedar(x). Prva rečenica istinita je u svjetovima a) u kojemu su svi predmeti 

kocke, b) u kojemu su svi predmeti tetraedri i c) u kojem su neki predmeti kocke a neki 

tetraedri, dok drukčijih predmeta nema. Druga rečenica nije istinita u svjetovima c) tipa. 

Zadatak 35 

Pokažite da je egzistencijalni kvantifikator distributivan prema disjunkciji! 

Rjeenje 2 Zamislimo da u svijetu nalazimo točno n predmeta čija su imena 

a 1 ,...,a n (svaki predmet ima ime). Rečenica ∃x(P (x) ∨ Q(x)) istinita je u tim 

okolnostima ako i samo ako 

(P (a 1 ) ∨ Q(a 1 )) ∨ ... ∨ (P (a n ) ∨ Q(a n )) 

Budući da je disjunkcija asocijativna dobivamo 

(P (a 1 ) ∨ ... ∨ P (a n )) ∨ (Q(a 1 ) ∨ ... ∨ Q(a n )) 

Što je ekvivalentno s 

∃xP (x) ∨∃xQ(x) 

Zapamtite! 

∀x(P (x) ∧ Q(x)) ⇔∀xP (x) ∧∀xQ(x)

7.3 Još neke ekvivalencije s kvantifikatorima 85 

∃x(P (x) ∨ Q(x)) ⇔∃xP (x) ∨∃xQ(x) 

∀x(P (x) ∨ Q(x)) < ∀xP (x) ∨∀xQ(x) 

∃x(P (x) ∧ Q(x)) < ∃xP (x) ∧∃xQ(x) 

7.3.1 Nulta kvantifikacija 

Za svaku isf-u P u kojoj x nije slobodna varijabla: 

∀xP ⇔ P 

∃xP ⇔ P 

∀x(P ∨ Q(x)) ⇔ P ∨∀xQ(x) 

∃x(P ∧ Q(x)) ⇔ P ∧∃xQ(x) 

Akourečenici P koja ne sadrži slobodne varijable pokušamo upisati bilo koje 

ime, to nećemo moći učiniti, zato je pitanje koji predmet zadovoljava P istovjetno 

s pitanjem je li P istinito. 

7.3.2 Zamjena vezanih varijabli 

Nije važno koje varijable koristimo sve dok se ne susretnemo s kvantifikatorima 

čiji se dosezi preklapaju. 

Za svaku isf-u P (x) i varijablu y koja se ne javlja u P (x): 

∀xP (x) ⇔∀yP(y) 

∃xP (x) ⇔∃yP(y)

Poglavlje 8 

Višestruka kvantifikacija 

8.1 Višestruka primjena jednog kvantifikatora 

Primjer 8.1 (i) ∃x∃y[Kocka(x)∧Tet(y)∧LijevoOd(x, y)], (ii) ∀x∀y[(Kocka(x)∧ 

Tet(y)) → LijevoOd(x, y)] Sprvomserečenicom tvrdi da je neka kocka s lijeve 

strane nekog tetraedra. S drugom, da je svaka kocka s lijeve strane svakog tetraedra. 

Prethodne rečenice zapisane su na način da su svi kvantifikatori stavljeni sprijeda 

(preneksna forma). Preneksna forma ne mora biti najčitljivija. Zapišimo (i) i (ii) na 

drukčiji način: (i*) ∃x[Kocka(x)∧∃y(Tet(y)∧LijevoOd(x, y))], (ii*) ∀x[Kocka(x) → 

∀y(Tet(y) → LijevoOd(x, y))]. Novi, ekvivalentni izrazi možda su čitljiviji jer imaju 

strukturu aristotelovskih rečenica: 

(i) Neke 

| 

kocke 

{z } 

su /takve_da_su/_s_lijeve_strane_nekog_tetraedra 

| {z } , 

(ii) Sve 

| 

kocke 

{z } 

su /takve_da_su/_svakom_tetraedru_s_lijeva 

| {z } . 

Zadatak 36 Neka je područje rasprave skup predmeta čija su jedinstvena imena a, b 

i c. Prikaži∀x∀yR(x, y) kao konjunkciju atomarnih rečenica! 

Odgovor 5 

1. Prvo razlažemo prvi kvantifikator s lijeva: 

∀yR(a, y) ∧∀yR(b, y) ∧∀yR(c, y) 

| {z } | {z } | {z } 

2. Razlažemo slijedeći, posljednji kvantifikator: 

(R(a, a) ∧ R(a, b) ∧ R(a, c)) ∧ (R(b, a) ∧ R(b, b) ∧ R(b, c)) ∧ (R(c, a) ∧ R(c, b) ∧ R(c, c)) 

| {z } | {z } | {z } . 

Zadatak 37 

Otvorite Cantor’s Sentences i Cantor’s World. 

86

8.1 Višestruka primjena jednog kvantifikatora 87 

a) Je li u gornjem svijetu istinita rečenica: 

∀x∀y[(Kocka(x) ∧ Kocka(y)) → (LijevoOd(x, y) ∨ DesnoOd(x, y)] 

Ako nije, modificirajte je koristeći predikat identiteta tako da postane istinita! 

b) Je li u ovom svijetu istinita rečenica ∃x∃y(Kocka(x) ∧ Kocka(y))? Ako jest, modificirajte 

je koristeći predikat identiteta tako da postane neistinita 12 ! 

Zadatak 38 Otvorite Frege’s Sentences i Peirce’s World. Preinačite veličinu i položaj 

tako da prvih sedam rečenica bude istinito, a drugih sedam lažno. 

Kod vrednovanja rečenica s višestrukim kvantifikatorima često 

se pravi pogreška koja proizlazi iz netočnepretpostavkedaserazličite 

12 

a) Nije istinita. Da bi postala istinita trebamo je modificirati: 

∀x∀y[(Kocka(x) ∧ Kocka(y) ∧ x 6= y) → (LijevoOd(x, y) ∨ DesnoOd(x, y)] 

b) Istinita je. da bi postala neistinita trebamo je modificirati: 

∃x∃y(Kocka(x) ∧ Kocka(y) ∧ x 6= y)

88 Poglavlje 8 Višestruka kvantifikacija 

varijable primjenjuju na različite predmete. 

8.1.0.1 Zapamtite 

∀x∀yP(x, y) implicira ∀xP (x, x) 

∃x∃yP(x, y) ne implicira ∃xP (x, x) 

∃xP (x, x) implicira ∃x∃yP(x, y) 

8.2 Mješoviti kvantifikatori 

Analizirajmo ∀x[Kocka(x) →∃y(Tet(y)∧LijevoOd(x, y))] u aristotelovskom 

stilu, kao ’svi S su P’. Sve kocke x imaju svojstvo ∃y(Tet(y)∧LijevoOd(x, y)), 

tj. da su s lijeve strane barem jednog tetraedra. 

Istovrijednu rečenicu mogli smo izraziti u preneksnoj formi (stavljajući sve 

kvantifikatore sprijeda): 

∀x∃y[Kocka(x) → (Tet(y) ∧ LijevoOd(x, y))] 

Poredak je važan kada koristimo raznovrsne kvantifikatore. 

Primjer 8.2 ∀x∀yV oli(x, y) ⇔∀y∀xV oli(x, y),ali∀x∃yV oli(x, y) < ∃y∀xV oli(x, y). 

Iskažite prethodne rečenice u prirodnom jeziku! 

Zadatak 39 

istinite. 

Otvorite Arnault’s world i napravite svijet u kojem će sve rečenice biti 

8.3 Prijevod korak-po-korak 

Uslučaju kada rečenica u prirodnom jeziku sadrži više od jedne kvantificirane 

imeničke fraze, prijevod na jezik logike prvoga reda može biti prilično složen. 

Primjer 8.3 Nijedna kocka koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra nije s lijeve 

strane nekog, od nje većeg dodekaedra. 

Metodom "korak-po-korak" nazovimo postupakukojemuukojemuizdvajamo 

imeničke fraze i formaliziramo ih jednu za drugom. 

Primjer 8.4 Svaka je kocka s lijeve strane svakog dodekaedra. (1) ∀x(Kocka(x) → 

x je s lijeve strane svakog dodekaedra), (2) ∀y(Dodek(y) → LijevoOd(x, y)), (3) 

∀x(Kocka(x) →∀y(Dodek(y) → LijevoOd(x, y)))


Primjer 8.5 

Nijedna kocka koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra 

nije 

s lijeve strane nekog, od nje većeg dodekaedra. 

(1) ∀x(Kocka(x) koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra)→ ¬(x je s lijeve strane 

nekog od x većeg dodekaedra). (2) ∀x(Kocka(x) ∧ x je s lijeve strane nekog tetraedra) → 

¬(x je s lijeve strane nekog od x većeg dodekaedra) (3) ∀x(Kocka(x) ∧∃y(Tet(y) ∧ 

LijevoOd(x, y)) →¬(x je s lijeve strane nekog od x većeg dodekaedra) (4) ∀x[(Kocka(x)∧ 

∃y(Tet(y) ∧ LijevoOd(x, y))) →¬∃z(LijevoOd(x, z) ∧ Dodek(z) ∧ VećiOd(z, x))] 

Zadatak 40 Prevedi koristeći oznake predikata iz "Tarski’s World": 1. Svaki je dodekaedar 

jednak po veličini nekoj kocki, 2. Svaki predmet koji se nalazi izme ¯du dodekaedara 

je kocka., 3. Svaka kocka koja ima neki predmet iza sebe je malena, 4. 

Svaki dodekaedar koji nema ništa sa svoje desne strane ima neki predmet s lijeve strane. 

Kad dovršite prijevod, otvorite Bolzano’s world - sve rečenice moraju biti istinite u tom 

svijetu. 

8.3.1 Parafraziranje prirodnog jezika 

U mnogim slučajevima "površinski" oblik rečenice nije istovjetan s njezinim 

logičkim oblikom. Tada "metoda korak-po-korak" nije uspješna. 

U prijevodu rečenice s prirodnog jezika na jezik logike prvoga 

reda cilj doći do rečenice koja ima isto značenje kao i izvornik. 

Primjer 8.6 ’Ako neka kocka ima neki predmet ispred sebe, ona je malena’. 13 

Primjer 8.7 ’Svaki seljak koji ima magarca tuče ga (tog magarca)’ nije ispravno 

prikazana s ∀x((Seljak(x) ∧∃y(Magarac(y) ∧ Posjeduje(x, y)) → Tuče(x, y)) - 

naime, ta formula nije rečenica jer je pojava varijable y u Tuče(x, y) slobodna. Rješenje 

zahtijeva dva univerzalna kvantifikatora. Na primjer: ∀x[Magarac(x) →∀y((Seljak(y)∧ 

Posjeduje(y,x)) → Tuče(y, x))]. 

Zadatak 41 Izradite prijevod na jezik logike prvoga reda za rečenicu ’Svaka kocka 

koja je iza nekoga dodekadra manja je od njega’. 

Rjeenje 3 ∀x[Kocka(x) →∀y((Dodek(y)∧Iza(x, y)) → ManjeOd(x, y))], 

ili ∀x∀y[(Kocka(x)∧Dodek(y)∧Iza(x, y)) → ManjeOd(x, y)], ili ∀x[Dodek(x) → 

∀y((Kocka(y) ∧ Iza(y, x)) → ManjeOd(y, x))], ili... 

13 

∀x((Kocka(x) ∧∃yIspred(y, x)) → Maleno(x))


8.3.2 Višeznačnost i ovisnost o kontekstu 

Primjer 8.8 "Svatko cijeni neku crvenokosu osobu": (i) Svatko ima voljenu crvenokosu 

osobu: ∀x∃y(Cijeni(x, y) ∧ Crvenokos(y)), (ii) Neku crvenokosu osobu vole svi: 

∃x∀y(Crvenokos(x) ∧ Voli(y, x)). 

Primjer 8.9 Pod kojim značenjem prve premise je sljedeći zaključak valjan odnosno 

nevaljan: Svatko cijeni neku crvenokosu osobu. Svatko tko cijeni samoga sebe je samopouzdan. 

Dakle, neka crvenokosa osoba je samopouzdana". Dokažite konkluziju koja slijedi, 

a nevaljanom zaključku prona ¯dite protuprimjer (tj. situaciju u kojoj su sve premise 

istinite a kokluzija lažna 14 ) 

Rjeenje 4 

Valjani zaključak (inferencija, argument): 

Izvor višeznačnosti u prirodnim jezicima ponekada je povezan s 

redoslijedom u kojem se javljaju kvantifikatori. Za uspješan prijevod u 

logiku prvog reda potrebno je znati što je sugovornik htio reći. Često 

14 

Valjani zaključak (inferencija, argument):


namjeravano značenje možemo otkriti na osnovi konteksta u kojem se 

rečenica izrekla. 

8.3.3 Prijevodi pomoću funkcijskih simbola 

Intuitivno, funkcije su vrsta relacija. Oslanjajući se na tu intuiciju, možemo 

zaključiti da ono što možemo izreći u logici prvoga reda koristeći funkcijske 

simbole možemo, tako ¯der, izreći pomoću relacijskih simbola. 

Primjer 8.10 

otac(nikomah) =aristotel možemo iskazati kao 

OtacOd(aristotel, nikomah) 

Rečenica 

(∗f)∀xStarijiOd(otac(x),x)) 

kazuje da je otac bilo koje osobe stariji od te osobe. Ako (*) iskažemo kao 

∀x∃y(OtacOd(y,x) ∧ StarijiOd(y, x)), 

onda tvrdimo da svaka osoba ima barem jednog oca koji je stariji od nje. Ako 

(*f) iskažemo kao 

∀x∀y(OtacOd(y, x) → StarijiOd(y, x)), 

onda tvrdimo su svi očevi bilo koje osobe stariji od nje. Ono što nam zapravo 

treba je tvrdnja da svatko ima barem jednog oca (*1) 

i da svatko ima najviše jednog oca (*2) 

∀x∃yOtacOd(y,x) 

∀x∀y∀z[(OtacOd(y, x) ∧ OtacOd(z,x)) → y = z]. 

Zagledajmo se u (*2): ona zabranjuje situaciju u kojoj netko ima više od jednog 

oca, npr. osoba a ima oca b iocac. Tada ne bi vrijedilo 

(OtacOd(b, a) ∧ OtacOd(c, a)) → b = c 

jer bi antecedent bio istinit a konzekvent neistinit budući da b i c nisu različita 

imenaisteosobe. Sdrugestrane,akoznamootac(a) =b i otac(a) =c, onda 

možemo s pravom zaključiti b = c. 

Željeni prijevod daje nam, dakle, konjunkcija (*1)∧(*2). Nju možemo kraće 

iskazati ovako: 

(∗R)∀x∃y[OtacOd(y, x) ∧ StarijiOd(y, x) ∧∀z(OtacOd(z,x) → y = z)] 

Kada usporedimo (*f) i (*R), očigledna je ušteda na duljini zapisa koju dobivamo 

koristeći funkcijske simbole.


Sve što možemo iskazati koristeći n-mjesne funkcijske simbole 

možemo iskazati koristeći n +1-mjesne relacijske simbole, te identitetni 

predikat. Takvim se prijevodom povećava složenost rečenice. 

Primjer 8.11 Rečenicu "Majka nečije majke je mla ¯da od Marije" iskaži na dva načina: 

koristeći funkcijske, a zatim koristeći relacijske simbole 15 . 

Primjer 8.12 "Svaki prirodni broj je ili 0 ili veći od nule" Možemo li iskazati ovu 

rečenicu koristeći funkcijske simbole 16 ? 

8.4 Preneksna forma 

Kada prevodimo rečenice iz prirodnog jezika na jezik logike prvoga reda često 

dolazimo do takvih izraza u kojima su kvantifikatori i logički veznici ispremiješani. 

Primjer 8.13 Rečenice poput "Svaka kocka koja je na lijevoj strani nekog tetraedra 

nalazi se iza nekog dodekaedra" prikazujemo 

∀x[(Kocka(x) ∧∃y(Tetra(y) ∧ LijevoOd(x, y)) →∃y(Dodek(y) ∧ Iza(x, y))] 

Unekimslučajevima ovakav prijevod, iako prirodan, nije najprikladniji. Ponekad 

je potrebno preurediti rečenice tako da svi kvantifikatori budu sprijeda i svi 

veznici straga. za takvu rečenicu kažemo da je u preneksnoj formi budući da 

su svi kvantifikatori sprijeda. 

Definicija 7 Ispravno sastavljena formula je u preneksnoj normalnoj formi ako 

ili ne sadrži kvantifikatore ili ima oblik 

Q 1 v 1 Q 2 v 2 ...Q n v n P 

gdje je svaki Q i ili ∀ ili ∃, gdje je svaki v i varijabla, a u isf-i P ne javlja se niti 

jedan kvantifikator. 

Različiti su razlozi zbog kojih je potreban prikaz rečenice u preneksnoj formi. 

Preneksna forma jasno pokazuje logičku složenost neke rečenice. Složenost u 

manjoj mjeri ovisi o broju kvantifikatora, a u većoj o prijelazu s ∀ na ∃ i obratno. 

S druge strane preneksna forma je slična disjunktivnim i konjuktivnim normalnim 

formama i ekstenzivno se koristi u automatiziranim dokazivanjima teorema. 

15 

16 

1. ∃xMladjaOd(majka(majka(x)),marija) 

2. ∃x∃y∃z[MajkaOd(y, z) ∧ MajkaOd(x, y) ∧ MladjaOd(x, marija)∧ 

∀v∀w((MajkaOd(v, z) ∧ MajkaOd(w, y)) → v = y ∧ w = x] 

Ne: ∀x(N(x) → (x =0∨ x>0))


Teorem 9 Za svaku rečenicu postoji njezina ekvivalentna rečenica u preneksnoj 

normalnoj formi (zapravo takvih rečenica ima puno). 

Primjedba 4 Dokaz teorema naći ćete u točki 8.4.1. 

Za tvorbu preneksne normalne forme oslanjamo se na definicije veznika i na 

ekvivalencije prvoga reda: 

Podsjetnik: 

1. (Pomicanje kvantifikatora preko ∨ i ∧) Za svaku isf-u P (x) i 

Q(x): 

∀x(P (x) ∧ Q(x)) ⇔∀xP (x) ∧∀xQ(x) 

∃x(P (x) ∨ Q(x)) ⇔∃xP (x) ∨∃xQ(x) 

2. (Nulta kvantifikacija 17 ) za svaku isf-u P u kojoj x nije slobodan: 

∀xP ⇔ P 

∃xP ⇔ P 

∀x(P ∨ Q(x)) ⇔ P ∨∀xQ(x) 

∃x(P ∧ Q(x)) ⇔ P ∧∃xQ(x) 

3. (Zamjena vezanih varijabli) Za svaku isf-u P (x) i varijablu y 

koja se ne javlja u P (x): 

∀xP (x) ⇔∀yP(y) 

∃xP (x) ⇔∃yP(y) 

4. (DeMorganovi zakoni za kvantifikatore) 

¬∀xP (x) ⇔∃x¬P (x) 

¬∃xP (x) ⇔∀x¬P (x) 

5. (Supstitucija ekvivalentnih isf-a) /S(P ) i S(Q) označavaju 

rečenice čije su komponente isf-e P i Q/ 

(P ⇔ Q) ⇒ (S(P ) ⇔ S(Q)) 

Zadatak 42 

Iskažimo rečenicu u ∃xP (x) →∃yQ(y) u preneksnoj formi! 

Odgovor 6 1. Zamjenimo kondicional s disjunkcijom i negacijom koje jasnije 

reagiraju prema kvantifikatorima: ¬∃xP (x)∨∃yQ(y).2. U dobivenoj disjunkciji 

primijenimo DeMorganove zakone: ∀x¬P (x) ∨∃yQ(y). 3.Nulta kvantifikacija: 

∀x(¬P (x) ∨∃yQ(y)) . 4. Nulta kvantifikacija nad a daje b: ∃y(¬P (x) ∨ Q(y)). 

| {z } 

a 

Zamjena isf-e a s njezinim ekvivalentom b daje: ∀x∃y(¬P (x) ∨ Q(y)). 

17 

Ako u rečenici P koja ne sadrži slobodne varijable pokušamo upisati bilo koje ime, to 

ne ćemo moći učiniti, zato je pitanje koji predmet zadovoljava P istovjetno s pitanjem je liP 

istinito.


Primjer 8.14 Primjer primjene strategije "iznutra prema vani": 1. (∃xP (x)∨R(b)) → 

∀x(P (x) ∧∀xQ(x)). 2. Nulta kvantifikacija: ∃x(P (x) ∨ R(b)) →∀x(P (x) ∧∀xQ(x)). 

3. Distribucija ∀ prema ∧: ∃x(P (x) ∨ R(b)) → ∀x(P (x) ∧ Q(x)). 4. Definicija 

→: ¬∃x(P (x) ∨ R(b)) ∨∀x(P (x) ∧ Q(x)). 5. DeMorgan: ∀x¬(P (x) ∨ R(b)) ∨ 

∀x(P (x) ∧ Q(x)). 6. Zamjena varijabli: ∀x¬(P (x) ∨ R(b)) ∨∀z(P (z) ∧ Q(z)). 7. 

Nulta kvantifikacija: ∀x(¬(P (x) ∨ R(b)) ∨∀z(P (z) ∧ Q(z))). 8. Nulta kvantifikacija i 

definicija za →: ∀x∀z((P (x) ∨ R(b)) → (P (z) ∧ Q(z))). 

Primjer 8.15 Rečenicu iz prethodnog primjera 8.13: 

A 

z }| { z }| { 

∀x[ 

(Kocka(x) ∧ ∃y (Tetra(y) ∧ LijevoOd(x, y))) → ∃y (Dodek(y) ∧ Iza(x, y))] 

|{z} 

|{z} 

a 

b 

možemo prikazati u ekvivalentnoj preneksnoj formi: 

∀x∀y∃z[(Kocka(x) ∧ Tetra(y) ∧ LijevoOd(x, y))) → (Dodek(z) ∧ Iza(x, z))] 

Možemo uočiti da nismo jednostavno premjestili kvantifikatore na početak. ∃y je pod 

|{z} 

a 

utjecajem ¬ jer se nalazi u antecedensu kondicionala. Budući je A → K ⇔¬A ∨ K, 

taj će kvantifikator po DeMorganovim zakonima postati univerzalan. 

Gornji primjer postupno analiziramo (koristeći u zapisu predikata samo njihovo 

početno slovo): 

∀x[(K(x) ∧∃y(T (y) ∧ L(x, y))) →∃y(D(y) ∧ I(x, y))] ⇔ 

∀x[¬(K(x) ∧∃y(T (y) ∧ L(x, y))) ∨∃y(D(y) ∧ I(x, y))] ⇔(definicija →) 

∀x[¬∃y(K(x)∧T (y)∧L(x, y))∨∃y(D(y)∧I(x, y))] ⇔(nulta kvantifikacija+supstitucija) 

∀x[∀y¬(K(x) ∧ T (y) ∧ L(x, y)) ∨∃y(D(y) ∧ I(x, y))] ⇔(DeMorgan) 

∀x[∀y¬(K(x)∧T (y)∧L(x, y))∨∃z(D(z)∧I(x, z))] ⇔(zamjena varijabli) 

∀x∀y[¬(K(x)∧T (y)∧L(x, y))∨∃z(D(z)∧I(x, z))] ⇔(nulta kvantifikacija) 

∀x∀y∃z[¬(K(x)∧T (y)∧L(x, y))∨(D(z)∧I(x, z))] ⇔(nulta kvantifikacija) 

∀x∀y∃z[(K(x) ∧ T (y) ∧ L(x, y)) → (D(z) ∧ I(x, z))] (definicija →) 

K 

Zadatak 43 

Neka varijabla x nije slobodna u isf-i Q. Dokažite ekvivalencije: 

a) ∀xP → Q ⇔∃x[P → Q], 

b) ∃xP → Q ⇔∀x[P → Q], 

c) Q →∀xP ⇔∀x[Q → P ], 

d) Q →∃xP ⇔∃x[Q → P ]! 

Označite zvjezdicom korake koji ne bi bili dopušteni ako bi varijabla x bila slobodna u 

Q!


Odgovor 7 a) 

∀xP → Q ⇔ 

⇔ ¬∀xP ∨ Q 

⇔ ∃x¬P ∨ Q 

⇔ ∃x¬P ∨∃xQ ∗ 

⇔ ∃x[¬P ∨ Q] 

⇔ ∃x[P → Q] 

a) 

∀xP → Q ⇔ 

⇔ ¬∀xP ∨ Q 

⇔ ∃x¬P ∨ Q 

⇔ ∃x¬P ∨∃xQ ∗ 

⇔ ∃x[¬P ∨ Q] 

⇔ ∃x[P → Q] 

a) 

Q → ∀xP ⇔ 

⇔ ¬Q ∨∀xP 

⇔ ∀x[¬Q ∨ P ] ∗ 

⇔ ∀x[Q → P ] 

d) 

Q → ∃xP ⇔ 

⇔ ¬Q ∨∃xP 

⇔ ∃x¬Q ∨∃xP ∗ 

⇔ ∃x[¬Q ∨ P ] 

⇔ ∃x[Q → P ]. 

8.4.1 Dokaz teorema o preneksnoj normalnoj formi 

Za dokazati postojanje preneksne normalne forme za bilo koju isf-u logike prvoga 

reda moramo se osloniti na dokazni postupak stroge indukcije (matematičke 

indukcije, pogledajte 17). Taj postupak možemo primijeniti zahvaljujući činjenici 

da je pojam isf-e definiran na induktivan način: opisom osnovnih slučajeva 

(atomarne isf-e), opisom načina kako se iz danih isf-a dobivaju nove, te navo ¯denjem 

činjenice da isf-e ne mogu nastati ni na koji drugi način. Ako pokažemo 

[osnovni korak] da za atomarne isf-e vrijedi traženo i ako pokažemo [induktivni 

korak] da ako traženo vrijedi za dane isf-e, onda ono vrijedi i iz njih dobivenim 

isf-ama, tada ćemo pokazati da traženo vrijedi za sve isf-e, jer su one ili atomarne 

ili su dobivene po pravilima tvorbe.


U osnovnom koraku trebamo dokazati da svaka atomarna isf ima svoju preneksnu 

formu. Po definiciji preneksne forme, atomarna isf već jest u preneksnoj 

normalnoj formi jer ne sadrži kvantifikatore. 

U induktivnom koraku moramo pokazati da se traženo svojstvo "naslje ¯duje" 

u primjeni pravila tvorbe za složene isf-e. Budući da pravila tvorbe pokrivaju nastanak 

novih isf-a iz već danih putem primjene veznika i kvantifikatora, potrebno 

je ispitati svaki mogući način dobivanja novih isf-a. 

[Slučaj ¬P ] Pretpostavimo da P ima svoju preneksnu formu. Dakle, za neku 

isf-u S bez kvantifikatora vrijedi 

P ⇔ Q 1 v 1 ...Q n v n S, 

gdje je svaki Q i ili ∀ ili ∃, gdjejesvakov i varijabla, a u isf-i S ne javlja se niti 

jedan kvantifikator. Definirajmo funkciju alt koja mijenja kvantifikatore: 

½ ∃ ako je Qi univerzalni kvantifikator, 

alt(Q i )= 

∀ ako je Q i egzistencijalni kvantifikator. 

Po načelu zamjene ekvivalentnih isf, 

¬P ⇔¬Q 1 v 1 ...Q n v n S. 

Primjenom DeMorganovog zakona dobivamo traženu preneksnu formu: 

alt(Q 1 )v 1 ...alt(Q n )v n ¬S. 

[Slučaj R ∧ S] Pretpostavimo da R i S imaju svoju preneksnu formu. Dakle, 

za neke isf-e F i G bez kvantifikatora vrijedi: 

R ⇔ Q 1 v 1 ...Q n v n F , 

S ⇔ Q n+1 v n+1 ...Q n+k v n+k G. 

Oslanjajući se na načelo zamjene varijabli, zamijenimo sve pojave varijabli v 1 ,...,v n+k 

u kvantifikatorskom dijelu i u matricama F i G s novim varijablama w 1 ,...,w n+k . 

Označimo s F v w i G v w matrične isf-e koje dobivamo takvom zamjenom varijabli. 

Dobivamo: 

R ⇔ Q 1 w 1 ...Q n w n F v w, 

S ⇔ Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k G v w. 

Na kraju, koristeći načelo "nulte kvantifikacije" i činjenicu da niti jedna varijabla 

w 1 ,...,w n+k nema slobodnu pojavu u F i G, dobivamo traženu preneksnu formu: 

Q 1 w 1 ...Q n w n Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k (F v w ∧ G v w). 

[Slučaj R → S] Pretpostavimo da R i S imaju svoju preneksnu formu. 

Dakle, za neke isf-e F i G bez kvantifikatora vrijedi: 

R ⇔ Q 1 v 1 ...Q n v n F v w, 

S ⇔ Q n+1 v n+1 ...Q n+k v n+k G v w.


Oslanjajući se na načelo zamjene varijabli, zamijenimo sve pojave varijabli v 1 ,...,v n+k 

u kvantifikatorskom dijelu i u matricama F i G s novim varijablama w 1 ,...,w n+k . 

Varijable w 1 ,...,w n+k trebaju se razlikovati i od vrijabli, ako takvih ima, čije su 

pojave slobodne u F i G. Dobivamo: 

R ⇔ Q 1 w 1 ...Q n w n F v w, 

S ⇔ Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k G v w. 

Koristeći načela iz zadatka na str. 43 i činjenicu da niti jedna varijabla w 1 ,...,w n+k 

nema slobodnu pojavu u F i G, dobivamo traženu preneksnu formu: 

alt(Q 1 )w 1 ...alt(Q n )w n Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k (F v w → G v w). 

[Slučaj ∀xP ] Pretpostavimo da P ima svoju preneksnu formu. Dakle, za 

neku isf-u N u preneksnoj formi vrijedi: 

Tražena preneksna forma je: 

P ⇔ N. 

∀xN. 

Zadatak 44 Dokažite slučajeve P ∨ Q, P ↔ Q i ∃xP ! 

Odgovor 8 (Slučaj P ∨ Q) 

modifikacije dobivamo 

Zaključujemo slično kao za konjunkciju i uz potrebne 

Q 1 w 1 ...Q n w n Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k (F v w ∨ G v w). 

[Slučaj P ↔ Q] Kombiniramo dokaz za kondicional i konjunkciju i dobivamo 

najprije: 

a zatim: 

[alt(Q 1 )w 1 ...alt(Q n )w n Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k (Fw v → G v w)] ∧ 

[Q 1 w n+k+1 ...Q n w 2n+k alt(Q n+1 )w 2n+k+1 ...alt(Q n+k )w 2n+2k (G v w → Fw)] 

v 

alt(Q 1 )w 1 ...alt(Q n )w n Q n+1 w n+1 ...Q n+k w n+k 

Q 1 w n+k+1 ...Q n w 2n+k alt(Q n+1 )w 2n+k+1 ...alt(Q n+k )w 2n+2k 

(G v w ↔ F v w). 

[Slučaj ∃xP ] Zaključujemo slično kao kod univerzalnog kvantifikatora i dobivamo: 

∃xN.


Zadatak 45 Primjenite postupak koji se koristio u gornjem dokazu da biste odredili 

jednu preneksnu formu za isf-u: 

(∃xP (x) ∨ R(b)) →∀x(P (x) ∧∀xQ(x)). 

Primjenimo strategiju "iznutra prema vani" i izdvojimo slučajeve: 

(∃xP (x) ∨ R(b)) 

| {z } 

1 

→∀x(P (x) ∧∀xQ(x)) . 

| {z } 

| 

2 

{z } 

3 

| {z } 

4 

Slučaj 1: ∃x(P (x) ∨ R(b)). Slučaj 2: ∀y(P (x) ∧ Q(y)). Slučaj 3: ∀x∀y(P (x) ∧ Q(y)). 

Slučaj 4: ∀z∀u∀v[(P (z) ∨ R(b)) → (P (u) ∧ Q(v))].

Poglavlje 9 

Metode dokaza za 

kvantifikatore 

Trebamo otkriti metode dokaza koje će nam omogućiti da dokažemo sve i samo 

valjane implikacije logike prvog reda. Drugim riječima, cilj nam je pronaći 

metode dokaza koje će nam omogućiti da dokažemo sve ono što slijedi zahvaljajući 

značenju kvantifikatora, predikata identiteta i istinitosno-funkcionalnih 

veznika. Rezultirajući deduktivni sustav, poput onoga koji će biti izložen ovdje, 

zaista ostvaruje ovaj cilj, ali dokaz za tu činjenicu moramo odgoditi za kasnije. 

Počinjemo s analizom neformalnih obrazaca zaključivanja. Najprije ćemo 

razmotriti dokaze u kojima se javlja jedan kvantifikator, a zatim ćemo razmotriti 

višestruku i raznorodnu kvantifikaciju. 

9.1 Valjani koraci s kvantifikatorima 

Četiri su osnovna koraka s kvantifikatorima, a u svakom paru jedan ide u suprotnom 

smjeru od drugoga. 

9.1.1 Univerzalna eliminacija 

Pretpostavimo da nam je kao premisa zadana tvrdnja da je svaki predmet u 

domeni diskursa ili kocka ili tetraedar. Pretpostavimo dalje da znamo da je 

predmet c u domeni. Slijedi, naravno, da je c ili kocka ili tetraedar. 

Općenito, pretpostavimo da smo ustanovili da ∀xS(x) i da znamo da c imenuje 

predmet u području rasprave. Tada možemo s pravom zaključiti da S(c). 

Doista nije moguće da nešto vrijedi za svaki predmet a da ne vrijedi za 

pojedini. To načelo nazivamo univerzalnom instancijacijom ili univerzalnom 

eliminacijom. Tradicionalni naziv je: aksiom silogizma. Uočimo da zahvaljujući 

univerzalnoj instancijaciji možemo polazeći od već poznate rečenice koja počinje 

s kvantifikatorom ∀x(...x...) doći do rečenice (...c...) u kojoj je kvantifikator 

uklonjen. 

9.1.2 Egzistencijalna introdukcija 

Korak dokaza za uvo ¯denje ∃ je tako ¯dervrlojednostavan,nounatoč jednostavnosti, 

on je važan jer nam omogućuje da uvedemo taj kvantifikator. Pretpostavimo 

da smo utvrdili da je predmet čije je ime c - maleni tetraedar. Na 

osnovi toga slijedi da je neki premet maleni tetraedar. Nije moguće da neki 

uvjet ispunjava predmet čiji je ime c a da pri tome taj isti uvjet ne ispunjava niti 

jedan predmet. Općenito, ako smo ustanovili da S(c), onda možemo zaključiti 

∃xS(x).Ovaj se korak naziva egzistencijalnom generalizacijom ili egzistencijalnom 

introdukcijom. 

99

100 Poglavlje 9 Metode dokaza za kvantifikatore 

U matematičkim dokazima, poželjni način dokazivanja egzistencijalne tvrdnje 

je konstruktivan. Naime, pokaže se koji predmeti ispunjavaju odre ¯deni uvjet, 

a zatim se primijeni egzistencijalna generalizacija. 

Primjer 9.1 ∃x∃y∃z : x 2 + y 2 = z 2 . Za dokaz ovakve egzistencijalne tvrdnje pokaže 

se na instancu koja zadovoljava uvjet. Ovdje je to trojka brojeva < 3, 4, 5 >, jer3 2 + 

4 2 =5 2 . Zatim se primjeni egzistencijalna introdukcija (u ovom slučaju triput). 

Valjanost ovih koraka nije beziznimna u prirodnom jeziku, gdje nije zadovoljen 

uvjet da svako ime imenuje neku postojeću stvar. 

Primjer 9.2 

"Djed Mraz ne postoji. Dakle, postoji nešto što ne postoji." 

Zadatak 46 

Formalizirajte gornji primjer! 

Odgovor 9 

Primjer 9.3 

∀x[Kocka(x) → Veliko(x)] 

∀x[Veliko(x) → LijevoOd(x, b)] 

Kocka(d) 

∃x[Veliko(x) ∧ LijevoOd(x, b)] 

Dokaz. Koristeći univerzalnu instancijaciju dobivamo:1. ako je d kocka, onda je d veliko 

i 2. ako je d veliko onda je d lijevo od b. Koristeći modus ponens nad 1. i premisom d 

je kocka dobivamo da je d veliko. Ponovna primjena modus ponens-a daje nam da jed 

lijevo od b. Time smo dobili da je d veliko i da je d lijevo od b. Dakle, po egzistencijalnoj 

introdukciji nešto je veliko i lijevo od b.


Osim egzistencijalne introdukcije, postoje i drugi načini da se dokaže egzistencijalna 

rečenica. Možemo koristiti dokaz kontradikcijom (reductio ad absurdum) 

pretpostavljajući ¬∃xP (x) iizvodeći iz toga ⊥. Ovakava metoda dokazivanjajemanjezadovoljavajuća 

jer ne pokazuje na predmet koji zadovoljava 

P (x). U intuicionističkoj logici takav dokaz nije prihvatljiv. 

Za zapamtiti 

1. Univerzalna instancijacija: Iz ∀xS(x) izvedite S(c) ako c 

označava neki predmet iz predmetnog područja. 

2. Egzistencijalna generalizacija: Iz S(c) izvedite ∃xS(x) ako c 

označava neki predmet iz predmetnog područja. 

9.1.3 Metoda egzistencijalne instancijacije 

Egzistencijalna instancijacija je jedna od zanimljivijih i "profinjenijih" metoda 

dokaza. Ona omogućuje da dokažemo rezultate polazeći od ezgzistencijalne 

rečenice. Neka predmetno područje obuhvaća svu djecu i neka nam je rečeno 

da su neka djeca kod kuće. Na osnovi ovih činjenica ne možemo ni za koje 

odre ¯deno dijete, recimo za Martina, znati je li kod kuće. No ono što možemo 

učiniti jest to da damo "privremeno ime" jednom od one djece koja su kod kuće. 

To ime možemo koristiti da bismo označili dijete koje zadovoljava dani uvjet 

pazeći pri tome da to ime ne bude istovjetno ni s jednim imenom koje se već 

javlja u premisama. 

U svakodnevnom životu ovakvo se zaključivanjejavljakadaznamodaneka 

osoba zadovoljava odre ¯deni uvjet ali ne znamo koja je to osoba. 

Primjer 9.4 Jack Trbosjek je ime koje je Scotland Yard dao nepoznatom počinitelju 

višestrukih ubojstava. na taj način uvedeno je ime koje referira na osobu koja je izvršila 

zločinmatkoonabila. 

Osnovnastrategijajesljedeća. Ako je dokazano ili premisama zadano da 

∃xS(x), onda možemo dodijeliti ime jednom od onih objekata koji zadovoljavaju


S(x) pod uvjetom da se to ime ne koristi ni u jednoj rečenici. Neka je to novo 

ime c. Tada možemo pretpostaviti da S(c) i dalje ga koristiti u dokazu. Uočimo 

da S(c) nije konkluzija, nego pretpostavka poddokaza. Ovo se pravilo naziva 

pravilom egzistencijalne instancijacije ili eliminacije. 

U matematičkim i logičkim dokazima takav se korak uvodi izrazom "neka 

je c (predmet) ono što zadovoljava taj-i-taj uvjet" ili "nazovimo predmet koji 

zadovoljava taj i taj uvjet predmetom c". 

Primjer 9.5 

∀x[Kocka(x) → Veliko(x)] 

∀x[Veliko(x) → LijevoOd(x, b)] 

∃xKocka(x) 

∃x[Veliko(x) ∧ LijevoOd(x, b)] 

Prve dvije premise su istovjetne kao i u prethodnom primjeru, no treća je "slabija". Ako 

bismo mogli eliminirati ∃ iz treće premise, onda bismo imali situaciju jednaku onoj u 

prethodnom primjeru. Dokaz: Po trećoj premisi postoji predmet koji je kocka. Neka je 

"e" ime za jedan od takvih predmeta. Postupimo isto kao i prije i doći ćemodotogada 

je e velik i lijevo od b. Egzistencijalnom introdukcijom dolazimo do željene konkluzije. 

Zadatak 47 

Formalizirajte gornji dokaz. 

Odgovor 10 

Moramo paziti da u egzistencijalnoj eliminaciji uvijek uvedemo novo ime. U 

protivnom mogli bismo doći do neželjenih posljedica. 

Primjer 9.6 Jedna neželjena posljedica bila bi kada bismo zadovoljive premise učinili 

nezadovoljivim. Na primjer da smo u prethodnom primjeru iskoristili ime b došli bismo 

do konkluzije ∃xLijevoOd(x, x) što nije moguće. Tada bismo trebali zaključiti da su 

premise nezadovoljive, a to nije slučaj.


9.1.4 Metoda općenitog kondicionalnog dokaza 

Jedna me ¯du najvažnijim metodama uključuje zaključivanje o nekom proizvoljnom 

objektu radi dokazivanja neku općenite tvrdnje o svim predmetima. Ta se metoda 

naziva općenitom metodom kondicionalnog dokaza. Ona je snažnija verzija 

kondicionalnog dokaza, a po pristupu je slična metodi egzistencijalne instancijacije. 

Primjer 9.7 Neka područje rasprave obuhvaća studente nekog fakulteta. Dobili smo 

neke informacije o njima u premisama. Pretpostavimo da pod tim premisama možemo 

dokazati da je Doris, student-ica fizike bist-ra/ar. Kako bismo mogli dokazati da su svi 

studenti fizike na tom fakultetu bistri? 

Na prvi pogled čini se da ne bismo nikako mogli doći do takve konkluzije 

osim ako Doris nije jedin-a/i student/ica fizike na tom fakultetu. Ono što vrijedi 

za pojedini predmet ne mora i najčešće ne vrijedi za sve. Ali što možemo reći o 

slučaju kada naš dokaz da je Doris bist-ra/ar ne koristi ništa što bi bilo svojstveno 

Doris-u? Što ako na temelju premisa ništa drugo ne znamo o Doris već samo 

to da je on/a student/ica fiizike? Što ako bi se dokaz mogao jednako dobro 

primijeniti na bilo kojeg studenta fizike? 

SvatkotkopoložiLogikuI.s5jebistar. 

Svi studenti fizike su položili Logiku I. s 5. 

Svi studenti fizike su bistri. 

Dokaz 8 Dokaz: Neka se ime "Doris" odnosi na proizvoljnog (bilo kojeg studenta 

fizike. Po drugoj premisi, Doris je položi-o/la ispit iz Logike I s 5. Poprvoj 

premisi, slijedi da je Doris bist-ra/ar. No budući je Doris proizvoljno odabrani 

student fizike, slijedi da su sudenti fizike bistri. 

Drugim načinom ovo načelo zaključivanja mogli bismo iskazati riječima. 

"što vrijedi za bilo koga, vrijedi za sve". 

Ova metoda je česta u matematici. neka imamo za dokazati ∀x[P (x) → 

Q(x)] iz nekih premisa. Najizravniji način za učiniti to jest pretpostaviti da neki 

proizvoljni predmet pod imenom c, imenom koje se inače drugdje ne koristi, 

zadovoljava P (x). Dakle, pretpostavljamo P (c) i pokušavamo dokazati Q(c). 

Akouspijemoutome,imamopravotvrditi∀x[P (x) → Q(x)]. 

Zamislimo da hoćemo dokazati da svaki prost broj ima iracionalni kvadratni 

korijen. Za opći kondicionalni dokaz moramo pretpostaviti da je p proizvoljni 

prosti broj. Naš je cilj pokazati da je √ p iracionalan. ako uspijemo u tome, opći 

iskaz je dokazan. 

Primjer 9.8 Neka je p proizvolji prost broj. Budući da je prost, slijedi k 2 /p ∈ N → 

k/p ∈ N, tezatok 2 /p ∈ N → k 2 /p 2 ∈ N. Za reductio pretpostavimo da je √ p ∈ Q.


Zapišimo ga u najmanjem razlomku kao √ p = n/m. Možemo provjeriti da n i m nisu 

djeljivi s p bez ostatka. Kvadratirajući obje strane dobivamo: p = n 2 /m 2 izatopm 2 = 

n 2 . Ali tada slijedi da je n 2 djeljivo s p, pazaton je djeljivo s p i n 2 je djeljivo s p 2 .Iz 

posljednjeg slijedi da je pm 2 djeljivo s p 2 , pa onda je i m 2 djeljivo s p. Ali tada je i m 

djeljivo s p. Time smo pokazali da su i n i m djeljivi s p što proturječi našem izboru n-a 

i m-a. Ova kontradikcija pokazuje da je doista √ p iracionalan. 

Odgovor 11 Prikazat ćemo samo dokaz za x/y → x 2 /y 2 . x/y promatramo 

kao tvrdnju: x/y ⇐⇒ ∃z(y ∗ z = x). Umjesto ’x ∗ y’ pišemo’m(x,y)’,aumjesto 

’x 2 ’ pišemo ’k(x,x)’. U dokazu koristimo kao premise definiciju kvadratne 

funkcije (1) i jedan teorem asocijativnosti (2)⇐⇒ (x∗y)∗(z∗u) =(x∗z)∗(y∗u) 

9.1.4.1 Univerzalna generalizacija 

U formalnim sustavima dedukcije, metoda općeg kondicionalnog dokaza obično 

se razdvaja u dva dijela: u kondicionalni dokaz i u jednu metodu za dokazivanje 

posve općenitih rečenica ∀xS(x). Ova druga metoda se naziva univerzalnom 

generalizacijom ili univerzalnom introdukcijom. Ona nam kaže da ako možemo


uvesti novo ime c za proizvoljni predmet iz predmetnog područja i tako dokazati 

rečenicu S(c), onda možemo zaključiti ∀xS(x). 

Primjer 9.9 

∀x[Kocka(x) → Maleno(x)] 

∀xKocka(x) 

∀xMaleno(x) 

Uvodimo novo ime d koje zastupa proizvoljnog člana domene. Primijenjujući univerzalnu 

instancijaciju dvaputa dobivamo 1. ako je d kocka, onda je d maleno i 2. d je kocka. Po 

modus ponens dobivamo da je d maleno. Ali d označava proizvoljni objekt u domeni, pa 

onda ∀xMaleno(x) slijedi po univerzalnoj generalizaciji. 

Svaki dokaz koji koristi općeniti kondicionalni dokaz možemo pretvoriti u 

dokaz koji koristi univerzalnu generalizaciju zajedno s metodom kondicionalnog 

dokaza. Pretpostavimo da smo uspjeli dokazati ∀x[P (x) → Q(x)] koristeći 

opći kondicionalni dokaz. To bismo mogli u segmentiranom obliku učiniti na 

sljedeći način. Prvo bismo uveli novo ime c koje bi zastupalo proizvoljni predmet. 

Znamo da možemo dokazati P (c) → Q(c) što smo i učinili u originalnom 

dokazu. ali budući da je c proizvoljni objekt, možemo generalizirati i doći do 

∀x[P (x) → Q(x)]. 

No mogli bismo tako ¯der univerzalnu generalizaciju promatrati kao poseban 

slučaj općeg kondicionalnog dokaza. Na primjer, ako bismo željeli dokazati 

∀xS(x) mogli bismo započeti s uvjetom koji zadovoljavaju svi predmeti, npr. 

x = x ili Stvar(x) idoći do konkluzije koja je logički ekvivalentna ∀x[x = 

x → S(x)]. 

Primjer 9.10 

∀xKocka(x) 

∀xMaleno(x) 

∀x[Kocka(x) ∧ Maleno(x)] 

Dokaz 9 Neka je d proizvoljni predmet iz domene. Iz prve premise univerzalnom 

eliminacijom dobivamo da je d kocka. Istim postupkom dobivamo da je d 

maleno. Po introdukciji konjukcije dobivamo da je d malena kocka. Budući je d 

proizvoljni predmet, slijedi da su svi predmeti u domeni malene kocke. 

Zadatak 48 

Izradite neformalni dokaz za sljedeći zaključak: 

∀x[(B(x) ∧ T (x)) → M(x)] 

∀y[(T (y) ∨ M(y)) → S(y)] 

∃x(B(x) ∧ T (x)) 

∃zS(z)


Odgovor 12 Po trećoj premisi znamo da postoji stvar koja je B i T. Nazovimo 

je b. Po prvoj premisi znamo da je ona M. Po drugoj premisi ona je S. Dakle, 

nešto je S. 

Zadatak 49 Izradite dokaz za sljedeći zaključak ako je to moguće, u protivnom napravite 

protuprimjer u Tarski’s world. 

∀x[(Veliko(x) ∧ Tetraedar(x)) → Iza(x, b)] 

∀y[(Tetraedar(y) ∨ IstiOblik(y,b)) → Maleno(y)] 

∃xV eliko(x) ∧∃xT etraedar(x)) 

∃zMaleno(z) 

9.2 Dokazi s raznorodnim kvantifikatorima 

Nema posebnih pravila za dokaze s raznorodnim kvantifikatorima. Ali trebamo 

biti pažljivi kada je riječ o uvo ¯denju novih imena. 

∃y[Djevojka(y) ∧∀x(Momak(x) → Voli(x, y))] 

∀x[Momak(x) →∃y(Djevojka(y) ∧ Voli(x, y))] 

U prirodnom jeziku: Postoji djevojka koju svi momci vole. Dakle, svaki 

momak voli neku djevojku 

Dokaz 10 Dokaz. Pretpostavimo premisu. Barem jednu djevojku vole svi 

momci. Neka je to djevojka c. Primijenimo generalni kondicionalni dokaz. 

Neka je d proizvoljni momak. Želimo dokazati da on voli neku djevojku. Ali 

svi momci vole c, tako i d voli c. Zato d voli neku djevojku, po egzistencijalnoj 

generalizaciji. A kako je d proizvoljno odabran slijedi da svaki momak volineku 

djevojku.


∀x[Momak(x) →∃y(Djevojka(y) → Voli(x, y))] 

∃y[Djevojka(y) →∀x(Momak(x) → Voli(x, y))] 

Dokaz 11 Ovaj nevaljani zaključak pokušajmo dokazati u pseudo-dokazu. Pretpostavimo 

premisu, tj. da svaki momak voli neku djevojku. Neka je proizvoljni 

momak - e. Po premisi e voli neku djevojku. Uvedimo ime f za djevojku koju 

e voli.Budući da je e proizvoljno ime slijedi da svi momci vole djevojku f. Po 

egzistencijalnoj generalizaciji dobivamo da neku djevojku svi momci vole. 

Važno je uvidjeti zašto je gornje zaključivanje neispravno. Pogledajmo kako 

je ime f došlo u dokaz: kao ime djevojke koju prozvoljni e voli. Ali za nekog 

drugog momka mogli smo imenovati neku drugu djevojku. Kada govorimo o univerzalnoj 

generalizaciji i proizvoljnom objektu važno je da taj proizvoljni objekt 

ne smije imati nikoja svojstva osim pretpostavljenih. No kada smo imenovali 

djevojku koju momak e voli, onda je e prestao biti proizvoljan (tj. lišen svih 

svojstava i odnosa). 

Za zapamtiti 

Neka su S(x), P (x) i Q(x) ispravno sastavljene formule. 

1. Egzistencijalna instancijacija: Ako smo dokazali ∃xS(x), 

onda možemo odabrati novi simbol individualne konstante c koji zastupa 

bilo koji predmet koji zadovoljava S(x) i pretpostaviti S(c). 

2. Općeniti kondicionalni dokaz: Ako želimo dokazati ∀x[P (x) → 

Q(x)], onda možemo odabrati novi simbol individualne konstante c, 

pretpostaviti P (c) i dokazati Q(c) pazeći pri tome da Q ne sadrži niti 

jedno ime koje je eventualno bilo uvedeno putem egzistencijalne instancijacije 

a pod pretpostavkom P (c).


3. Univerzalna generalizacija: Ako želimo dokazati ∀xS(x), 

onda možemo odabrati novi simbol individualne konstante c i dokazati 

S(c) pazeći pri tome da S(c) ne sadrži niti jedno ime koje je eventualno 

bilo uvedeno putem egzistencijalne instancijacije nakon uvo ¯denja 

konstante c. 

Zadatak 50 

Otvorite Quantifier Strategy 1 iz Fitch Exercise Files. 

9.2.1 Poznati dokazi 

9.2.1.1 Euklidov teorem 

Malo znamo o Euklidu, osim da je živio i naučavao u Aleksandriji u III. st. 

pr. Kr. Njegovi najpoznatiji spisi su Elementi geometrije.Iako nema mnogo 

geometrijskih i aritmetičkih sadržaja koje bismo mogli pripisati Euklidu kao njegov 

izvorni rezultat, ipak Euklidov je položaj u povijesti znanosti posve izniman. 

On je prvi ostvario Aristotelov ideal znanosti izgra ¯dujući sustav geometrije kao 

strogi deduktivni sustav. U tom sustavu 35 rečenica (23 definicije, 5 postulata i 

8općenitih pojmova)ima ulogu premisa iz kojih putem dokaza bivaju izvedene 

glavne geometrijske tvrdnje 18 . 

Epohalni Euklidov obrat nije, dakle, u novom sadržaju nego u novom obliku 

znanosti. Takav oblik znanosti nazivamo aksiomskim sustavom. 

Primjer koji ćemo analizirati nije geometrijski nego aritmetički i predstavlja 

rezultat koji se pripisuje Euklidu. Riječ je o takozvanom Euklidovom teoremu po 

kojemu ne postoji najveći prost broj: ∀x∃y(Prost(y) ∧ y = x), gdje se varijable 

protežu nad skupom prirodnih brojeva. 

18 

Izvorni dokaz: Prostih brojeva ima više od bilo koje proizvoljne 

množine prostih brojeva. Neka su A, B i C prosti brojevi. Kažem da 

ima većeg prostog broja od A, B i C. Uzmimo najmanji broj DE koji je 

mjerljiv s A, B i C. Dodajmo jedinicu DF k DE. Tada EF ili jest ili nije 

prost broj. Prvo, neka je EF prost broj. Onda je prona ¯den prost broj 

koji je veći od A, B i C. Dalje, neka EF nije prost broj. Stoga je djeljiv 

s nekim prostim brojem. Neka je taj broj G. Tvrdim da G nije jednak ni 

sjednimodbrojevaA,BiC.Akojetoipakmoguće, neka tako bude. 

Budući da je DE mjerljiv s A, B i C, mora biti mjerljiv i s G (ako je G 

Primjeri (korijeni definicije točke sežu do elejaca i pitagorejaca; 5. postulat je napušten u 

neeuklidskim geometrijama; 8. općenita ideja ne mora vrijediti kada se primjeni na beskonačne 

skupove): 

Definicije 

1.Točka je ono što nema dijelova. 

Postulati: 

5. Ako jedan pravac siječedrugadvapravca,ondasetadvapravcabeskonačno produžena 

sijeku s one strane s koje je zbroj kutova na presjeku manji od dva prava kuta. 

Općenite ideje: 

8.Cjelinajeveća od svog dijela.


jednak nekom od njih). Ali G mjeri EF, a tada mora mjeriti i ostatak - 

jedinicu DF što je besmisleno (*prosti brojevi su veći od1!) dakle, G 

nije jednak niti jednom od brojeva A, B i C. A po hipotezi je prost broj. 

Zato,smo pronašli prost broj veći od proizvoljnih prostih brojeva A, B 

iC. 

Modificirani dokaz: Neka je a proizvoljni prirodni broj. Neka je 

b produkt svih prostih brojeva manjih od a. Zato svaki prost broj manji 

od a dijeli b bez ostatka. Dalje, neka je s(b) =b +1. Svaki prost broj 

dijeli s(b) sostatkom1. Ali znamo da se s(b) kaoisvakibrojmože 

faktorizirati u proste brojeve. Neka je c jedan od njih. Očigledno je da 

c mora biti veći ili jednak s a (jer svi prosti brojevi manji od a dijele c 

sostatkom1). Ali a je proizvoljan, pa zato za svaki broj postoji prost


broj koji je veći od ili jednak s njime. 

Analizirajte pomoću Fitch-a izvorni dokaz kojeg možete uzeti na adresi 

http://www.vusst.hr/~logika/2003/euklid.prf 

Služeći se gore skiciranim "modificiranim dokazom" otkrijte koje se premise 

koriste u dokazu i kakav je njihov logički status (i.e. jesu li aksiomi, definicije 

ili teoremi). U dokazu se koriste pokrate (TautCon, tautološke posljedice). Osv-


ježite pamćenje s ovim dokazom 

http://www.vusst.hr/~logika/2003/mtt.prf 

a zatim sami dokažite jednu tautološku posljedicu koja se koristi u dokazu 

9.2.1.2 Paradoks brijača 

http://www.vusst.hr/~logika/2003/prosirMTT.prf 

U jednom je gradiću bio brijač koji je brijao sve one koji nisu brijali sami sebe. 

Priču možemo formalizirati ovako: 

∃z∃x[BrijačIz(x, z)∧∀y(MuškaracIz(y, z) → (Brije(x, y) ↔¬Brije(y, y)))] 

Naizgled nema nikakvih logičkih prepreka za postojanje takvog gradića. No, 

evo dokaza da takvog gradića ne može biti. 

Dokaz 12 Navodni dokaz. pretpostavimo da postoji takav gradić. Nazovimo 

ga Gradin i brijača u njemu Frane. Po pretpostavci Frane brije sve one i samo 

one muškarce koji ne briju sami sebe. Frane ili brije samoga sebe ili ne brije. 

Uprvomslučaju Frane sebe brije, pa slijedi da se ne brije jer on ne brije one 

muškarce koji se briju sami. U drugom slučaju, on sebe ne brije, ali kako Frane 

brije sve one koji se ne briju sami, on mora brijati sebe. Iz svake mogućnosti 

slijedi apsurd. Ispitujući pojedine slučajeve (isključenje disjunkcije) izveli smo 

kontradikciju iz početne pretpostavke. Kontradikcija pokazuje da je početna 

pretpostavka lažna, pa zaključujemo da takvog gradića nema niti može biti. 

Seksistička pristranost u dokazu: ako je brijač žena, onda nema paradoksa. 

Ono što dokaz pokazuje jest da ako postoji takav gradić onda lokalni brijač dolazi 

iz nekog drugog grada ili je brijač žena. Dokaz pokazuje da je sljedeća rečenica 

valjana rečenica prvoga reda: 

¬∃z∃x[MuškaracIz(x, z) ∧∀y(MuškaracIz(y, z) → (Brije(x, y) ↔ 

¬Brije(y, y)))] 

Zadatak 51 Pokušajte iskazati gornju rečenicu u prirodnom jeziku 19 . 

19 

∀z∀x[¬MuškaracIz(x, z) ∨¬∀y(MuškaracIz(y, z) → (Brije(x, y) ↔ 

¬Brije(y, y)))] ⇐⇒ 

∀z∀x[MuškaracIz(x, z) →∃y(MuškaracIz(y, z) ∧ (Brije(x, y) Y ¬Brije(y, y)))] 

Muškarci iz bilo kojeg grada ili briju nekog muškarca ili taj muškarac ne brije sebe.

Poglavlje 10 

Formalni dokazi i kvantifikatori 

10.1 Pravila za univerzalni kvantifikator 

10.1.1 Univerzalna elminacija (∀ Elim, uklanjanje 

univerzalnog kvantifikatora) 

B 

∀xS(x) 

. 

S(c) 

Ako smo ustanovili da 

∀xS(x) 

iakojec ime nekog predmeta iz domene na koju se odnose rečenice našeg jezika, 

onda možemo zaključiti daS(c). Tradicionalni iskazi: što vrijedi za sve, vrijedi 

i za pojedine. Uočimo da smo polazeći od rečenice u kojoj se javlja univerzalni 

kvantifikator došli do rečenice u kojoj je izostavljen. 

10.1.2 Općeniti kondicionalni dokaz i univerzalna 

introdukcija (∀ Intro, uvo ¯denje univerzalnog kvntifikatora) 

c P (c) 

. 

Q(c) 

B ∀x(P (x) → Q(x)) 

c se ne javlja izvan poddokaza u kojem je uveden. 

c 

. 

P (c) 

B ∀xP (x) 

c se ne javlja izvan poddokaza u kojem je uveden. 

Ako za proizvoljni predmet kojemu smo dodijelili ime c možemo dokazati 

P (c), onda možemo zaključiti da 

∀xP (x). 

U varijanti kondicionalnog dokaza: ako pod pretpostavkom da P (c) vrijedi za 

112

10.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator 113 

proizvoljni predmet c možemo dokazati daQ(c), onda možemo zaključiti 

∀x(P (x) → Q(x)). 

Važno je uvijek upotrebiti novo ime jer to ime "pokušava referirati" na proizvoljni 

predmet, predmet o kojemu ne znamo ništa (odnosno u varijanti općenitog kondicionalnog 

dokaza: predmet o kojemu ne znamo ništa osim da ispunjava uvjet u 

pretpostavci poddokaza). 

10.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator 

10.2.1 Egzistencijalna introdukcija 

B 

S(c) 

. 

∃xS(x) 

Ako smo ustanovili da S(c), onda možemo zaključiti da 

∃xS(x). 

10.2.2 Egzistencijalna eliminacija 

∃xS(x) 

. 

c 

S(c) 

. 

Q 

B Q 

c se ne javlja izvan poddokaza u kojemu je uveden. 

Uvo ¯denje novog, privremenog imena (“Neka je c predmet koji zadovoljava 

S(x)”). Ako pretpostavkom da predmet kojem smo dodijelili novo ime c zadovoljava 

uvjet S(x) možemo dokazati Q (ukojemsenejavljac), onda možemo 

zaključiti da Q. 

Zadatak 52 

20 

Dokažite valjanost kategoričkog silogizma 20 Barbara koristeći jednom 

Raspored pojmova u silogizmu (dovoljno je gledati premise - konkluzija je uvijek S P): 1. 

figura MP; SM 

2. figura PM; SM 

3. figura MP; MS 

4. figura PM; MS 

Valjani silogizmi 

1: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO 

2: CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO 

3: DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON 

4: BRAMANTIP, CAMENES, DIMARIS, FESAPO, FRESISON

114 Poglavlje 10 Formalni dokazi i kvantifikatori 

pravilo univerzalne introdukcije a drugi put koristeći samo pravo pravilo općenitog 

kondicionalnog dokaza. 

10.2.3 Pravila prirodne dedukcije u Lemmon stilu za 

kvantifikatore 

10.2.3.1 Egzistencijalni kvantifikator 

10.2.3.2 ∃ Intro 

p 1 ,...,p n (i) P (a) 

. 

p 1 ,...,p n (j) ∃xP (x) i ∃Intro 

10.2.3.3 ∃ Elim 

p 1 ,...,p n (i) ∃xP (x) 

. 

j (j) P (a) pretpostavka 

. 

q 1 ,...,q m (k) Q 

. 

Pret (l)..C i, j, k ∃Elim 

gdje je Pret =({p 1 ,...,p n }∪{q 1 ,...,q m }) −{j} i gdje se konstanta a ne 

javlja u Pret 

10.2.3.4 Univerzalni kvantifikator 

10.2.3.5 ∀ Intro 

p 1 ,...,p n (i) P (c) 

. 

p 1 ,...,p n (i) P (c) 

. 

p 1 ,...,p n (j) ∀xP (x) i ∀Intro 

gdje je c proizvoljno ime koje se ne javlja u rečenicama p 1 ,...,p n ,j. 

10.2.3.6 ∀Elim 

p 1 ,...,p n (i) ∀xP (x) 

.

10.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili rečenice koje opravdavaju druge 115 rečenice? 

p 1 ,...,p n (j) P (c) i ∀Elim 

10.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili rečenice 

koje opravdavaju druge rečenice? 

Nedavno je David Makinson upozorio na mogućnost nastanka nesporazuma ako 

se sustav prirodne dedukcije predstavi kao skup pravila o uvo ¯denju logičkih 

konstanti u rečenicu i pravila o uklanjanju logičkih konstanti iz rečenice. On 

upozorava na razliku koja postoji izme ¯du pravila (#) "prijelaza s rečenic-a/e na 

rečenicu", kojim se povezuju "stare" i "nove" rečenice i (##) pravila "prijelaza sa 

zaključkanazaključak", kojim se povezuju dva dokaza. Pravila ∀Elim i ∃Intro 

mogu se shvatiti kao pravila za transformaciju rečenice u novu rečenicu: 

[∀Elim] ∀xP (x) ` P (a), (10.1) 

[∃Intro] P (a) ` ∃xP (x), 

gdje je ’`’ simbol za odnos dokazivosti, koji je infiksno zapisan. No ovakvo 

zapisivanje "u jednoj crti" nije moguće kod pravila ∀Intro i ∃Elim jer ovdje 

jedan dokaz opravdava drugi. Označimo s Γ premise koje su na snazi u dokazu: 

[∀Intro] 

[∃Elim] 

Γ,P(a) `∀xP (x) 

pod uvjetom da se a javlja jedino u P (a), (##) 

Γ `∀xP (x) 

Γ,P(a) ` Q 

pod uvjetom da se a javlja jedino u P (a). 

Γ, ∃xP (x) ` Q 

Zaista, ne možemo zanemariti Makinsonovo upozorenje. Pravila ∨Elim, ¬Intro, 

→ Intro, ∀Intro i ∃Elim razlikuju se od ostalih i o tome treba voditi računa u 

učenju i podučavanju "prirodne dedukcije".

Poglavlje 11 

Istinitosno stablo 

11.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta 

11.1.1 Pravila prema Jeffrey-u 

11.1.1.1 = 

Pravilo identiteta: ako otvorena grana sadrži m = n kao i rečenicu p 

u kojoj se imena n, m javljaju barem jednom, upišite na kraju svake 

otvorene staze (grane) rečenicu q koja nastaje ako se jedna ili više pojava 

jednog od tih imena zamijeni s drugim imenom, pod uvjetom da q 

već nije prethodno upisano u toj stazi(grani). 

Pravilo razlike: zatvorite svaku stazu (granu) koja sadrži n 6= n. 

11.1.1.2 ∀ 

Univerzalna instancijacija: ako se u otvorenoj stazi (grani) javlja rečenica 

čiji je oblik ∀vp[v], onda(1)akoseimen javlja u toj stazi, upišite 

na njezinom kraju p[n], pod uvjetom da se p[n] već nenalaziutoj 

stazi; (2) ako se niti jedno ime ne javlja u stazi, odaberite novo ime 

n inapištep[n] na kraju staze. Nakon primjene ovog pravila nemojte 

označiti ∀vp[v] skvačicom. 

11.1.1.3 ¬∀ i ¬∃ 

Pravilo negirane kvantifikacije: ako se rečenicakojapočinje s (i) ¬∀, 

(ii) ¬∃ javlja u otvorenoj stazi, označite je kvačicom i na kraju svih 

otvorenih staza koje sadrže tu rečenicu upišite umjesto (i) ∃¬, odnosno 

umjesto (ii) ∀¬. 

11.1.1.4 ∃ 

Egzistencijalna instancijacija: ako se u otvorenoj stazi javlja rečenica 

koja nije označena kvačicom i čiji je oblik ∃vp[v], ispitajte javlja li se 

rečenica čiji je oblik p[n] u toj stazi; ako ne, odaberite novo ime n (ime 

koje se nije koristilo nigdje u toj stazi) i na kraju staze upišite p[n]. 

Kada to učinite na kraju svake otvorene staze koja sadrži ∃vp[v], nju 

označite kvačicom. 

116


11.1.2 Pravila uz Tableua 3 

∀xΦ: dodajte "Ψ" na kraju svake otvorene grane koja sadrži ovu pojavu "∀xΦ", 

gdje je "Ψ" rezultat zamjene svake pojave "x"u"Φ" s nekim imenom (individualnom 

konstantom) koje se većjavilougranikojojseΨ dodaje. 

¬∀xΦ: dodajte "∃x¬Φ" na kraju svake otvorene grane koja sadrži ovu pojavu 

"¬∀xΦ". Označite kvačicom! 

∃xΦ: dodajte "Ψ" na kraju svake otvorene grane koja sadrži ovu pojavu 

"∃xΦ", gdje je "Ψ" rezultat zamjene svake pojave "x" u"Φ" s nekim imenom 

(individualnom konstantom) koje je novo u grani kojoj se Ψ dodaje. Označite 

kvačicom! 

¬∃xΦ: dodajte "∀x¬Φ" na kraju otvorene grane koja sadrži ovu pojavu 

"¬∃xΦ". Označite kvačicom! 

Univerzalna instancijacija 

∀xP (x) 

P (a) 

a je ime koje se već javilo 

¬∀xP (x) √ 

∃x¬P (x) 

Egzistencijalna instancijacija 

∃xP (x) √ 

P (a) 

a je novo ime 

¬∃xP (x) √ 

∀x¬P (x) 

Identitetna pravila 

a = b; P (a) 

P (b) 

¬a = a 

zatvorite granu 

Zadatak 53 Everybody loves my baby but my baby don’t love nobody but me. Pjesma 

Palmer-a i Williams-a iz 1924. Konkluzija: Baby is me. 

Zadatak 54 Neka je relacija R je irefleksivna i tranzitivna. Ispitajte slijedi li da je R 

asimetrična relacija!

118 Poglavlje 11 Istinitosno stablo 

Zadatak 55 Simbolizirajte i pokažite valjanost sljedećeg zaključka: ’Ja nemam ni 

braće ni sestara, ali otac tog čovjeka je sin moga oca. Dakle, ja sam otac tog čovjeka.’ 

Koristite sljedeće simbole: a za ’ja’, b za ’taj čovjek’ i Otac(x, y) za ’x je otac od y’. 

11.1.2.1 Protuprimjeri 

Metoda stabla prikladna je za pronalaženje protuprimjera nevaljanim zaključcima. 

Valjan zaključak nema protuprimjera, a to u neformalnom smislu znači da nisu 

moguće okolnosti pod kojima bi sve premise bile istinite a konkluzija neistinita. 

Sve grane (staze) stabla izgra ¯denog na osnovi premisa i negacije konkluzije kod 

valjanog zaključka bit će zatvorene. No, kod nevaljanog zaključka barem jedna 

granastablabitće otvorena i na njoj ćemo moći očitati protuprimjer. Protuprimjer 

ćemo očitati na sljedeći način: 1. prepišimo sva imena koja se javljaju na 

otvorenojstaziidobitćemo domenu, 2. izdvojimo sve predikate koji se javljaju 

u literalima na otvorenoj stazi, 3. ako se neka n-torka javlja u afirmativnom 

literalu (tj. u atomarnoj rečenici) onda i samo onda uvrstimo je u ekstenziju 

predikata koji se javlja u toj rečenici. Ako je više grana otvoreno, moći ćemo 

očitati više protuprimjera. 

Primjer 11.1 

Slika pokazuje stablo koje bi moglo nastati pri ispitivanju valjanosti zaključka ∃xP (x)∧ 

∃xQ(x) `∃x(P (x) ∧ Q(x)). Pravokutnici s lijeve strane pokazuju točke koje moramo 

gledati da bismo očitali protuprimjer. D = {a, b}, P = {a}, Q = {b}. 

Primjedba 5 Sistematska izgradnja strukture prvog reda ponekad može uključivati 

beskonačno mnogo koraka. Ako bismo samo sljedili upute za gradnju stabla, 

onda za ∀x∃yR(x, y) → R(a, a) našem poslu ne bi bilo kraja. Zato odgovor na


pitanje o valjanosti tog kondicionala ne bismo mogli dati na osnovi "mehaničke 

gradnje" stabla.

Poglavlje 12 

Numerička kvantifikacija 

Zanimljivo je pitanje o tome koja je sintaktička uloga brojki. Ako promatramo 

osnovne sintaktičke kategorije logike prvoga reda, singularne termine (terme), 

predikate, istinitosno-funkcionalne veznike i kvantifikatore, onda brojke možemo 

povezati sa svakom sintaktičkom kategorijom osim s istinitosno-funkcionalnim 

veznicima. 

Primjer 12.1 "Postoje točno dvije supstancije" - kakvu formalizaciju odabrati? U 

logici drugog reda: a) kao predikat koji se predicira drugom, 2(Supstancija), b) kao 

singularni term, 2=broj(Susptancija), gdje je ’2’ individualna konstanta a ’broj’ funkcija 

koja za argumente uzima predikate. U logici prvog reda koristili bismo kvantifikatore: 

∃ !2 xSupstancija(x). Cilj nam je u daljnem tekstu pokazati kako možemo unutar 

granica izražajnih mogućnosti logike prvog reda iskazati količinu. 

Numeričketvrdnjekojimasetvrdikakotočno odre ¯deni broj predmeta ispunjava 

neki uvjet možemo iskazati u logici prvoga reda. 

12.1 Barem n predmeta 

Za iskazati tvrdnju da barem n predmeta zadovoljava uvjet P (x) poslužit ćemo 

se s n egzistencijalnih kvantifikatora i n2 −n 

2 

negiranih identitetnih iskaza. 

Barem jedan... ∃xP (x) 

Barem dva... ∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y) 

Barem tri... ∃x∃y∃z(...x 6= y ∧ x 6= z ∧ y 6= z) 

Barem četri ∃x∃y∃z∃v(...x 6= y ∧ x 6= z ∧ x 6= v ∧ y 6= z ∧ y 6= v ∧ z 6= v) 

Barem n... ∃x 1 ...∃x n (...x 1 6= x 2 ∧ ... ∧ x 1 6= x n ∧ ... ∧ x n−1 6= x n ) 

Ako se u nekoj kolekciji nalaze samo svjetovi u kojima se javljaju jedino 

imenovani predmeti i u kojima su jedina imena koja se koriste a, b i c, onda 

je rečenica ∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y) istinita upravo onda kad i (P (a) ∧ 

P (b) ∧ a 6= b) ∨ (P (a) ∧ P (c) ∧ a 6= c) ∨ (P (b) ∧ P (c) ∧ b 6= c). Korisno je 

napraviti vježbu koja će potvrditi prethodno, uvjetno poistovjećenje. Razlažemo 

∃x∃y(P (x)∧P (y)∧x 6= y) tako se krećemo izvana prema unutra. Mora postojati 

barem jedan predmet x koji zadovoljava isf-u ∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y).Budući 

da se predmeti javljaju jedino pod imenima a, b i c, jedname¯du rečenicama 

∃y(P (a) ∧ P (y) ∧ x 6= y), ∃y(P (b) ∧ P (y) ∧ x 6= y), ∃y(P (c) ∧ P (y) ∧ x 6= y) 

mora biti istinita. Ponovimo razlaganje i dobivamo: 

z }| { 

((P (a) ∧ P (a) ∧ a 6= a) ∨ (P (a) ∧ P (b) ∧ a 6= b) ∨ (P (a) ∧ P (c) ∧ a 6= c)) ∨ 

| {z } 

⊥ 

120

12.1 Barem n predmeta 121 

z }| { 

((P (b) ∧ P (a) ∧ b 6= a) ∨ (P (b) ∧ P (b) ∧ b 6= b) ∨ (P (b) ∧ P (c) ∧ b 6= c)) ∨ 

| {z } 

⊥ 

z }| { 

((P (c) ∧ P (a) ∧ c 6= a) ∨ (P (c) ∧ P (b) ∧ c 6= b) ∨ (P (c) ∧ P (c) ∧ c 6= c) 

| {z } ) 

Uklanjajući ⊥ dobivamo: 

((P (a) ∧ P (b) ∧ a 6= b) ∨ (P (a) ∧ P (c) ∧ a 6= c))∨ 

((P (b) ∧ P (a) ∧ b 6= a) ∨ (P (b) ∧ P (c) ∧ b 6= c))∨ 

((P (c) ∧ P (a) ∧ c 6= a) ∨ (P (c) ∧ P (b) ∧ c 6= b)) 

Uklanjajući duplikate (koristeći najprije komutativnost konjunkcije, zatim 

simetričnost relacije ne-identiteta i na kraju idempotentnost disjunkcije) dobivamo 

traženo: 

((P (a) ∧ P (b) ∧ a 6= b) ∨ (P (a) ∧ P (c) ∧ a 6= c)) ∨ (P (b) ∧ P (c) ∧ b 6= c)) 

Predodžba u pozadini: promatramo parove imena, provjeravamo zadovoljavaju 

li njima imenovani predmeti P (x) i jesu li različiti; ako da kažemo da 

je ’barem dva predmeta su P’ istinita rečenica, ako ne nastavljamo postupak do 

posljednje provjere; neuspjeh provjere pokazuje da ’barem dva predmeta su P’ 

nije istinita rečenica. 

⊥ 

Zadatak 56 

dva’ rečenica! 

Pokušajte smisliti još neki način kako bi se mogla provjeravati ’barem 

Odgovor 13 Promatramo imenovane predmete redom, kad do ¯demo do prvoga 

koji zadovoljava zapišemo ’barem jedan predmet je P’; nastavljamo dalje; ako 

na ¯demo još jedan kažemo ’barem dva predmeta su P’; ako ne uspije prvi postupak 

ili ne uspije drugi kažemo da ’barem dva’ rečenica nije istinita. 

Informacijski učinak rečenice ’barem dva predmeta su P ’ možemo zamisliti 

kao dolje skiciranu redukciju koja eliminira sve one interpretacijske mogućnosti 

u kojima je ili samo jedan predmet P ili niti jedan predmet nije P . 

Stanje neznanja u odnosu na P 

Koji su predmeti P? 

1. a,b,c 

2. a,b 

3. a,c 

4. b,c 

5. a 

6. b 

7. c 

8. / 

∃x∃y(P (x)∧P (y)∧x6=y) 

=⇒ 

Učinak informacije 

Koji su predmeti P? 

1. a,b,c 

2. a,b 

3. a,c 

4. b,c

122 Poglavlje 12 Numerička kvantifikacija 

12.2 Najviše n predmeta 

Za iskazati tvrdnju da najviše n predmeta zadovoljava uvjet P (x) možemo iskoristiti 

negaciju tvrdnje da barem n +1predmeta zadovoljava taj uvjet. 

Najviše jedan...(nije tako da barem dva...) ¬∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y) 

Najviše dva... ¬∃x∃y∃z(... ∧ x 6= y ∧ x 6= z ∧ y 6= z) 

Najviše n... ¬∃x 1 ...∃x n+1 (...x 1 

6= x 2 ∧... ∧ x 1 6= x n+1 ∧... ∧ x n 6= x n+1 ) 

Primjenom DeMorganovih zakona za kvantifikatora i definicije kondicionala 

dobivamo "službeni oblik" rečenica kojima se tvrdi da najviše n predmeta zadovoljava 

odre ¯deni uvjet. 

Najviše jedan... ∀x∀y((P (x) ∧ P (y)) → x = y) 

Najviše dva... ∀x∀y∀z((P (x) ∧ P (y) ∧ P (z)) → (x = y ∨ x = z ∨ y = z)) 

Najviše n... ∀x 1 ...∀x n+1 ((...) → (x 1 6= x 2 ... ∨ x 1 6= x n+1 ∨ ... ∨ x n 6= x n+1 )) 

Ako u jeziku susrećemo tri individualne konstante, a, b, c, tvrdnja da ima 

najviše dva predmeta može biti istinita samo ako barem dva imena imenuju 

isti predmet. Ako je jedan od dva predmeta bezimen, onda sva tri imena 

imenuju drugi predmet. 

Da bismo rekli da ima barem n predmeta potrebno nam je n 

egzistencijalnih kvantifikatora. Da bismo rekli da ima najviše n predmeta 

potrebno nam je n +1univerzalnih kvantifikatora. 

12.2.1 Negacije za ’barem ...’ i ’najviše ...’ 

Primjer 12.2 

najviše 2 

barem 3 

z}|{ z }| { 

012345... 

Izrazi ’Najviše dvije stvari su P ’ i ’Barem tri stvari su P ’ uspijevaju razdijeliti sve 

mogućnosti u pogledu broja stvari koje su P . Rečenica ’Najviše dvije ili barem tri

12.2 Najviše n predmeta 123 

stvari su P ’ ne tvrdi ništa. 

Negacija rečenice ’barem n stvari je P ’jerečenica ’najviše n−1 

stvari je P ’. 

Negacija rečenice ’najviše n stvari je P ’jerečenica ’barem n+1 

stvari je P ’. 

Zadatak 57 Dokažite ¬∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y) ⇔∀x∀y((P (x) ∧ P (y)) → 

x = y),tojestdajeznačenje rečenice ’nije slučaj da su barem dva predmeta P ’ jednako 

značenju rečenice ’najviše jedan predmet je P ’. 

Odgovor 14


12.3 Točno n predmeta 

Primjer 12.3 

najviše dva 

←−−−−−→ 

0 1 2 3 4 5 ... 

←−−−−−−−−−−−−→ 

barem dva 

"Postoje točno dva predmeta koja ispunjavaju uvjet P" možemo iskazati kao (i)"Postoje 

barem dva i postoje najviše dva predmeta koja ispunjavaju uvjet P". Sažetije gornju 

tvrdnju možemo iskazati ovako (ii)"Postoje dva različita predmeta koja ispunjavaju uvjet 

P i ma koji predmet zadovoljavao uvjet P taj je predmet identičan s jednim od njih". 

Tako ¯der je možemo iskazati i ovako (iii) "Postoje barem dva predmeta takva da štogod 

zadovoljavalo uvjet P identično je s jednim od njih i što god bilo identično s jednim od 

njih zadovoljava uvjet P". 

Primjer 12.4 

U formalnom zapisu nalazimo sljedeće ekvivalencije 

: 

∃ !2 xP (x) 

barem 2 

z }| { 

∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y)∧ 

⇔ 

najviše 2 

z }| { 

∧∀x∀y∀z((P (x) ∧ P (y) ∧ P (z)) → (x = y ∨ x = z ∨ y = z)) 

⇔∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y ∧∀z(P (z) → (z = x ∨ z = y)) 

⇔∃x∃y(x 6= y ∧∀z(P (z) ←→ (z = x ∨ z = y)) 

⇔∃x∃y∀z(x 6= y ∧ (P (z) ←→ (z = x ∨ z = y))

12.3 Točno n predmeta 125 

Za iskazati tvrdnju da ima točno n predmeta koji zadovoljavaju 

neki uvjet treba nam n +1kvantifikator, od čega je n egzistencijalnih 

dok je jedan univerzalni. 

Primjedba 6 Ponegdje su se, zbog razumljivih razloga, uvriježile pokrate ∃ =n xP (x), 

∃ 5n xP (x), ∃ !n xP (x) za tvrdnje da postoji barem n, najvišen, tetočno n predmeta 

koji zadovoljavaju uvjet P (x). 

Zapamtite kako iskazujemo tvrdnju da je jedan i samo jedan 

predmetP:(i)∃x(P (x)∧∀y(P (y) → x = y)), odnosno (ii) ∃x∀y(P (y) ↔ 

x = y). 

Dokažimo ekvivalenciju ∃x(P (x) ∧∀y(P (y) → x = y)) ⇔∃x∀y(P (y) ↔ 

x = y). Moramo pokazati da je desna strana posljedica lijeve i obratno. Počinjemo 

s lijeva na desno (odredite pravila koja se primijenjuju u ?? ).


Dokazsdesnanalijevo. 

Zadatak 58 Pokušajte pronaći što "prirodnija" čitanjazasljedeće rečenice: (i) ∀x∀y 

x = y, (ii)∀x∃y x= y, (iii) ∃x∀y x= y, (iv)∃x∃y x= y. Kojesume¯du njima valjane 

rečenice prvoga reda? Koje (ako ijedna) su "elejske" ili "sve je jedno"-rečenice? Ako je 

neka rečenica valjanost prvoga reda, izradite dokaz za nju! 

Zadatak 59 Dokažite ∀x∀y x= y ⇔∃x∀y x= y! 

12.3.1 Jedini P 

Razlika u provjeravanju istinitosti za ’Svi’ i ’Neki’ u odnosu na način provjeravanja 

numeričkih kvantifikatora nije beznačajna. Za ’Sve stvari su P’ moramo 

proći preko svakog predmeta da bismo potvrdili istinitost, za ’Neke stvari su P’ 

možemo stati kod prve pozitivne instance, za ’Samo je jedan predmet P’ nužno 

je ispitati sve slučajeve, nakon prve pozitivne instance sve ostale moraju biti 

negativne. 

Sve je P. Nešto je P. Jedno je P. 

verifikacija preko cijele domene do prve pozitivne instance preko cijele domene 

falsifikacija do prve negativne instance preko cijele domene do druge pozitivne instance 

ili preko cijele domene 

Promotrimo formulu ∃x(P (x) ∧∀y(P (y) → x = y)) injojekvivalentnu 

∃x(P (x) ∧¬∃y(P (y) ∧ x 6= y)) Ona kaže da postoji stvar koja je P i nijedna 

druga stvar nije P.


U matematičkom žargonu za "samo jedan" susrećemo izraz "jedan i samo 

jedan" koji treba sugerirati "barem jedan i najviše jedan". Intuicije značenja 

mogu se razlikovati, po mojoj intuiciji "samo jedan" povlači i "barem jedan" i 

"najviše jedan". 

12.3.2 Metode dokaza za numeričke kvantifikatore 

Kada dokazujemo numerički kvantificirane izraze tada moramo dokazati 

dvije tvrdnje: barem-tvrdnju i najviše tvrdnju. Ako dokazujemo ∃ !n xP (x) 

moramo dokazati ∃ =n xP (x) i ∃ 5n xP (x) 

12.4 Što je dovoljno za znati iskazati numeričke 

tvrdnje? 

Za napisati tvrdnje o tome kako odre ¯dena količina predmeta zadovoljava neki 

uvjet dovoljno je znati napisati ’Barem n...’ (ili ’Ne manje od n...’). Sve ostale 

brojčane kvantifikatore možemo dobiti kombinirajući izraze te vrste. 

12.4.1 Kako pišemo ’Barem n predmeta je P’? 

∃x 1 ...∃x n (P (x 1 ) ∧ ... ∧ P (x n ) ∧ z }| { 

x 1 6= x 2 ∧ ... ∧ x 1 6= x n ∧ ... ∧ x n−1 6= x n ) 

Promotrimo isf-u označenu vitičastom zagradom. Ona kaže u podvučenom 

dijelu da je prvospomenuti predmet različit različit od svih drugih spomenutih 

predmeta, o sljedećem predmetu kaže to isto i tako sve posljednjeg spomenutog 

predmeta. Pogledajmo donju tablicu. Polovinu ("donji trokut") ispod dijagonale 

označene kvadratićima možemo zanemariti jer je 6= simetrična relacija i 

ekvivalentne parove s naći ćemo u dijelu iznad dijagonale. Prvi redak s isfama 

dopušta i slučaj da x 2 = ... = x n−1 = x n , dakle i dva predmeta bi 

mogla zadovoljiti tu isf-u. No, to je isključeno drugim retkom, koji dopušta 

x 3 = ... = x n−1 = x n , dakle tri predmeta bi mogli zadovoljiti prve dvije isfe. 

Ali tu mogućnost isključuje treći redak. I tako sve do retka n − 1, zato je 

potrebno barem n predmeta da bi se zadovoljile sve isf-e. Potreban broj rečenica 

izračunavamo kao "površinu" gornjeg dijela tablice: n2 −n 

2 

". 

6= x 1 x 2 ... x n−1 x n 

x 1 ¥ x 1 6= x 2 ... x 1 6= x n−1 x 1 6= x n 

x 2 x 2 6= x 1 ¥ ... x 2 6= x n−1 x 2 6= x n 

... ... ... ¥ ... ... 

x n−1 x n−1 6= x 1 x n−1 6= x 2 ... ¥ x n−1 6= x n 

x n x n 6= x 1 x 1 6= x 2 ... x n 6= x n−1 ¥ 

12.4.2 Kako se odnose ’Barem n...’ i ’Najviše n − 1...’ 

’Nije slučaj da barem n...’ ekvivalentno je ’Najviše n − 1 ...’. 

Primjer 12.5 

Tablica pokazuje kako dva numerička kvantifikatora dijele polje mogućih


količina na dva razdvojena dijela: 

najviše dva 

←−−−−−→ 

0 1 2 3 4 5 ... 

barem tri 

←−−−−−−−−−→ 

[Nije slučaj da barem n...] ’¬∃x 1 ...∃x n (P (x 1 ) ∧ ... ∧ P (x n ) ∧ x 1 6= x 2 ∧ 

... ∧ x 1 6= x n ∧ ... ∧ x n−1 6= x n )’ 

ekvivalento je s 

[Najviše n − 1 ...] ’∀x 1 ...∀x n (¬P (x 1 ) ∨ ... ∨¬P (x n ) ∨ x 1 = x 2 ∨ ... ∨ x 1 = 

x n ∨ ... ∨ x n−1 = x n )’, to jest, nakon transformacije disjunkcije u kondicional: 

’∀x 1 ...∀x n [(P (x 1 )∧...∧P (x n )) → (x 1 = x 2 ∨...∨x 1 = x n ∨...∨x n−1 = x n )] 

12.4.3 Kako kazati ’Točno n...’ 

Činjenicu da ’najviše’ i ’barem’ cijepaju polje mogućih količina na na lijevi dio, 

[najviše] od 0 prema gornjoj graničnoj količini, i na desni dio, [barem] od neke 

donje granične količine prema beskonačnom možemo iskoristiti da iskažemo 

’Točno n...’. Trebamo "poklopiti" gornju granicu od ’najviše’ i donju od ’barem’. 

’Točno n...’ ekvivalentno je s ’Najviše n ... i barem n ...’. 

Primjer 12.6 

Kako ćemo "isječi" jednu odre ¯denu količinu? Primjer za ’Dva...’: 

najviše dva 

←−−−−−→ 

0 1 2 3 4 5 ... 

←−−−−−−−−−−−−→ 

barem dva 

Koristeći ’barem’ kao polazište dobivamo da je ’Točno n...’ ekvivalentno s 

’Nije tako da barem n +1... i barem n ...’. 

Primjer 12.7 

’Točno jedan...’ Najprije nacrtajmo sliku: 

najviše jedan(tj. nije slučaj da barem dva) 

←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 

0 1 2 3 4 ... 

←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ 

barem jedan 

(i) Barem jedan predmet je P . 

∃xP (x) 

(ii) Nije tako da darem dva predmeta jesu P ¬∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y) 

Spajamo (i) i (ii) i dobivamo ’Točno jedan predmet je P ’ 

(iii) ∃xP (x) ∧¬∃x∃y(P (x) ∧ P (y) ∧ x 6= y) 

(iii) je ekvivalentno s (iv) 

∃x∀y(P (y) ↔ x = y) 

Primjer 12.8 Dokažimo ekvivalenciju ∃x(P (x)∧∀y(P (y) → x = y)) ⇔∃x∀y(P (y) ↔ 

x = y). Moramo pokazati da je desna strana posljedica lijeve i obratno. Počinjemo s


lijeva na desno (pritisnite hipervezu, preuzmite prf dokument i odredite pravila koja se 

primijenjuju u ?? ).Dokaz 

Primjer 12.9 Postoji li za izraz "More than one thing is smaller than something larger 

than b." neki drukčiji zapis od onoga "Postoje najmanje dvije stvari koje su manje od


necega većeg od b"? Da. Evo jednog načina. ’Nije tako da je najviše jedan predmet 

manji od nečega što je veće od b’.

Poglavlje 13 

Odre ¯deni opisi 

Primjer 13.1 Ako nema slona u ormaru i ako zato mislimo da je (i) ’Taj slon u ormaru 

ne gužva moju odjeću’ neistinita rečenica, je li negacija te rečenice - rečenica (ii) ’Taj 

slon u ormaru gužva moju odjeću’? Ako jest, onda je potonja rečenica (ii) istinita budući 

je negacija neistininite rečenice (i). 

Primjer 13.2 Sličnu poteškoću stvaraju "Oba slona u ormaru gužvaju moju odjeću" i 

"Ni jedan ni drugi slon u ormaru ne gužva moju odjeću". Što ako u ormaru nema slonova 

ili ih ima tri? 

Primjer 13.3 

Formalizirajte rečenice iz prethodnog primjera! 

13.1 Taj 

Bertrand Russell je početkom 20. stoljeća predložio način analiziranja takvih 

rečenicazakojesečini kao da govore o odre ¯denim predmetima. Po tom prijedlogu 

rečenice "Taj A je jedan B" ("The A is a B") ne treba tretirati kao atomarne 

rečenice "B(tajA)" već kao složene rečenice u kojima izraz "taj A" daje odre ¯deni 

opis. Odre ¯deni opis (definite description) je "unikatni opis" predmeta, "jedini 

predmetkojijeA". Budući da se "taj A" shvaća kao "jedini A", dobivamo 

sljedeći formalni zapis: A(x) ∧∀y(A(y) → x = y), odnosno ∀y(A(y) ↔ 

x = y). Dalje, Taj A je jedan B" shvaćamo kao "Samo je jedna stvar A i ona 

je B" i prikazujemo kao ∃x(A(x) ∧∀y(A(y) → x = y) ∧ B(x)), odnosno kao 

∃x∀y((A(y) ↔ x = y) ∧ B(x)). 

Zadatak 60 Pokažite da je uvjet P (x) jednakovrijedan uvjetu ∀y(y = x → P (y)) 

i time ekvivalenciju ∀y(P (y) ↔ x = y) ⇔ P (x) ∧∀y(P (y) → x = y)! Razlažući 

kvantificirani izraz ∀y(y = x → P (x)) na atomarne isf-e uvi ¯damo da ćemo za svaki 

pojedini konjunkt imati (a = b → P (b)) . To je istinito na isprazan način ako a nije 

identično s b. Ako je a identično s b, onda > → P (b) što je istovrijedno s P (b). 

Alternativno, poslužimo se s reductio ad absurdum.Po pretpostavci mora vrijediti ili 

P (x) ∧¬∀y(y = x → P (x)) ili ¬Px ∧∀y(y = x → P (x). U prvom slučaju, za 

proizvoljni predmet a vrijedi P (a) i ∃y(a = y ∧¬P (a)). Uklanjanje konjunkcije vodi do 

kontradikcije. U drugom slučaju mora vrijediti ¬P (a) i a = a → P (a). Zahvaljujući 

refleksivnosti identiteta dobivamo P (a) i time kontradikciju. 

Rečenice (i)”Sadašnji francuski kralj je ćelav” i (ii)”Sadašnji francuski kralj 

nije ćelav” izgledaju uzajamno proturječne, izgledaju kao da jedna negira/niječe 

131

132 Poglavlje 13 Odre ¯deni opisi 

drugu. Ako tako stoje stvari, onda jedna me ¯du njima mora biti istinita, a druga 

neistinita. Ali, sadašnji francuski kralj ne postoji i ne možemo reći koja je 

rečenica istinita iako po prethodnom stavku jedna mora takvom biti. Najlakše 

rješenje ove potoškoće bilo bi u tome da pravilom tvorbe zabranimo tvrdnje o 

nepostojećim predmetima. Drugo rješenje bilo bi uvo ¯denjenovesemantičke 

vrijednosti za tvrdnje o nepostojećim predmetima (npr. ”neodre ¯deno”). No 

Russell nije odabrao takav način. Po njegovom prijedlogu, ovakve rečenice ne 

trebamo promatrati kao rečenicekojegovoreoodre¯denoj osobi, već o bilo kojoj. 

Prikažimo logički oblik rečenica (i) i (ii) i pretpostavimo da izraz ”sadašnji francuski 

kralj” ima ulogu ”subjekta” tj. ”onoga o čemu se nešto govori”. Dobivamo: 

(i) B (k) 

(ii) ¬B (k) 

uz tumačenje: k : ta osoba koja je sadašnji francuski kralj, B : biti ćelav 

Na temelju ovakvog prikaza logičkog oblika možemo zaključiti ili da rečenice 

nisu ispravno sastavljene ili da logička načela nisu općevaljana. 

Pogledajmo kako Russell prikazuje logički oblik ovih rečenica. 

(i) ∃y∀x ((Kx ←→ x = y) ∧ By) 

(ii) ∃y∀x ((Kx ←→ x = y) ∧¬By) 

uz tumačenje: K: biti sadašnji francuski kralj 

Dobivamo ”Postoji netko tko je jedini sadašnji ćelavi francuski kralj ” i 

”Postoji netko tko je jedini sadašnji francuski kralj i on nije ćelav”, a tu nema 

proturječja, obje su rečenice neistinite. 

Obje rečenice mogu biti neistinite jer jedna ne negira drugu. Negacija rečenice 

”Sadašnji francuski kralj je ćelav” ima oblik: 

(iii) ∀y∃x ((Kx ←→ x = y) →¬By), što u slobodnom prijevodu glasi ”Ako 

je netko jedini sadašnja francuski kralj, onda ta osoba nije ćelava” (i istinito je). 

Jednoznačni opis ne zastupa neki predmet, nije ime. Rečenice koje sadrže 

jednoznačni opis sadrže tvrdnju da postoji predmet koji ispunjava opisom zadane 

uvjete i da je takav predmet samo jedan. 

Sintaksa je sada proširena s novim pravilom tvorbe koje kazuje da sintaktička 

uloga imena i jednoznačnog opisa nije ista. Odstupanje od pravila u razmotrenom 

primjeru poslijedica je netočnog prikaza logičkog oblika. 

13.2 Oba 

Primjer 13.4 Ako rečenicu "Oba slona su u ormaru" shvatimo kao "Postoje točno 

dva slona i oni su u ormaru", a rečenicu "Ni prvi ni drugi slon nisu u ormaru" kao 

"Postoje točno dva slona i oni nisu u ormaru" onda je očigledno da nemamo posla s 

parom kontradiktornih rečenica. U formalnom smilu dobivamo za prvo: ∃ !2 xSlon(x) ∧ 

∀x(Slon(x) → U_Ormaru(x)) i za drugo: ∃ !2 xSlon(x)∧∀x(Slon(x) →¬U_Ormaru(x)) 

∃ !n P (x) ∧∀x(P (x) → Q(x)) znači ’Ima točno n predmeta koji


su P ionisuQ’. 

Primjedba 7 

∃ !n (P (x) ∧ Q(x)) < ∃ !n P (x) ∧∀x(P (x) → Q(x)). 

Zadatak 61 Jesu li sljedeće rečenice ekvivalentne: (i) ∃ !1 xP (x)∧∀x(P (x) → Q(x)), 

(ii) ∃ !1 x(P (x) ∧ Q(x))? Izgradite svijet gdje će (i) biti istinito a (ii) neće! 

Odgovor 15 

Q. 

Nisu. (i) Samo je jedan P i on je Q, (ii) Samo je jedna stvar i P i 

Rečenica1. odgovararečenici (ii): ova rečenica ne zabranjuje da bude 

više od jedne kocake. Rečenica 2. odgovara (i): ova rečenica zabranjuje 

da bude više od jedne kocke. 

13.3 Presupozicije 

Na drukčiji način problem referencije rješavao je Peter Srawson. Po njegovom 

mišljenju Russellova teorija odre ¯denih opisa umjesto da opisuje načine govora, 

unosi revizije koje nisu potrebne. Trebamo razlikovati rečenice i tvrdnje (statement) 

koje govornici pomoću njih izriču. Kada govornik kaže da je taj A jedan


B, onda izraz ’taj A’ suprotno Russellovoj teoriji - doista referira, ili bolje je reći 

pokušava referirati. Da bi izricanje neke tvrdnje bilo smisleno neki uvjeti moraju 

biti zadovoljeni. Takve uvjete nazivamo presupozicijama. Tvrdnja da je sadašnji 

kralj francuske ćelav presuponira, ali ne implicira da on postoji. Slično, ’Frane 

je posjetio svoju kćer’ presuponira da Frane ima kćer. Ako prespozicija nije 

zadovoljena, rečenica nema značenja. Strawsonova analiza ne čini mi se prihvatljivom 

u odnosu na filozofsku pretpostavku koja mi se čini vrlo prihvatljivom: 

ako je rečenica ispravno sastavljena, ona ima značenje. 

Primjedba 8 Presupozicije se razlikuju od razgovornih implikatura. Razgovorne 

implikature se mogu ukinuti a da rečenica kojoj one pripadaju i dalje zadrži 

značenje. Nasuprot tome, ukidanje presupozicije neke rečenicu učinilo bi ju besmislenom. 

Na primjer, rečenica ’Netko je položio ispit’ ne postaje besmislenom 

ako se njezina implikatura da netko nije položio ispit ukine s rečenicom ’Svi su 

položili ispit’. No, rečenica ’Frane je posjetio svoju kćer’ postaje besmislena ako 

se njezina presupozicija ukine s ’Ali Frane nema kćer’. 

1. Po Russellovoj analizi "Taj A je jedan B" u prijevodu na jezik 

logike prvoga reda postaje "Postoji točno jedan A i on je B". 

2. "Oba A su B" po Russellovoj analizi daje "Postoje točno dva 

AisvakiodnjihjeB" 

3."NiprvinidrugiAnisuB"poRussellovojanalizisu"postoje 

točnodvaAinijedanme¯du njima nije B" 

4. Po Strawsonovoj analizi ovakvi determinatori imaju presupozicije. 

Ako presupozicije nisu zadovoljene primjena ovakvih determinatora 

ne uspijeva polučiti tvrdnju. zbog toga takvi determinatori ne 

mogu na adekvatan način biti predstavljeni u logici prvoga reda. 

Donnellan je pokušao naći pomirujući stav. 

Nazvat ću dvije uporabe odre ¯denih opisa [...] atributivnom i 

referencijalnom. Govornik koji koristi odre ¯deni opis u atributivnom 

smislu u nekoj tvrdnju nešto kazuje o bilo kome ili bilo čemu što 

je takvo-i-takvo. Govornik koji koristi odre ¯deni opis u referencijalnom 

smislu u nekoj tvrdnji, koristi taj opis da bi svojim sugovornicima 

omogućio da izdvoje tu stvar ili osobu o kojoj govori i njegova se tvrdnjaodnosinatustvariliosobu. 

Primjer 13.5 ’(i) Napoleon je bio najveći francuski vojskovo ¯da. (ii) Wellington je 

porazio najvećeg francuskog vojskovo ¯du’: u (i) se odre ¯deni opis [najveći francuski vojskovo 

¯da] koristi atributivno, a u (ii) referncijalno. 

Po Donnellan-ovom prijedlogu odre ¯deni opis muškarca u "Taj muškarac s 

dugim vratom je gurnuo ženu sa šeširom" može se koristiti na dva načina. Atribu-


tivno, da se kaže da je samo jedan muškarc ima dugi vrat i da je taj muškarac 

gurnuo ženu sa šeširom. Referencijalno, da se na odre ¯denu osobu i za nju kaže da 

je gurnula ženu sa šeširom. U Donnellanovom prijedlogu pragmatika se razdvaja 

od semantike. Takvo razdvajanje ne mora svakome biti prihvatljivo. Mnogi 

misledasunačini kako se koriste rečenice ovisni o njihovom značenju, da je 

pragmatika ovisna o semantici. 

Razliku izme ¯du atributivne i referencijalne uporabe odre ¯denih opisa, možemo, 

protivno Donnelalnu, objasniti pomoću razlika u epistemičkom stanju sugovornika. 

Ako sugovornik ne zna koja je to jedina osoba ili stvar na koju se 

primijenjuje odre ¯deni opis, onda ga on shvaća atributivno. Ako pak zna tko 

ili što je "to jedino", onda recipijent odre ¯deni opis shvaća referencijalno. Nije 

ništa neobično u tome da informacijski učinak rečenice bude različit ovisno o 

informacijskom stanju onoga koji informaciju usvaja. 

Pretpostavimo da domena obuhvaća samo tri stvari čija su imena re- 

Primjer 13.6 

dom a, b i c. 

Stanje potpunog neznanja u odnosu na odre ¯deni opis P 

Sve su mogućnosti otvorene: 

1.1 a,b,c 

1.2 a,b 

1.3 a,c 

1.4 b,c 

1. a,b,c *Q 

1.5 a 

1.6 b 

1.7 c 

1.8 - 

2.1-2.8 a,b* 

3. 1-3.8 a,c* 

4.1-4.8 b,c* 

5.1-5.8 a* 

6. 1-6.8 b* 

7.1-7.8 c* 

8.1-8.8 /* 

∃ !1 xP (x)∧∀x(P (x)→Q(x)) 

=⇒ 


Samo je jedan P o on je Q 

5. a 

6. b 

7. c 

Q? 

a,b,c 

a,b 

a,c 

b,c 

a 

b 

c


Primjer 13.7 

Stanje znanja u odnosu na odre ¯deni opis P i predikat Q 

Sugovornik zna da je a jedini P, ali ne zna tko je Q 

Q? 

a,b,c 

a,b 

∃ !1 xP (x) ∧∀x(P (x) → Q(x)) P a,c 

b,c 

a 

a 

b 

c 

/ 

∃ !1 xP (x)∧∀x(P (x)→Q(x)) 

=⇒ 


∃ !1 xP (x) ∧∀x(P (x) → Q(x)) 

P Q 

a abc 

a ab 

a ac 

a a 

Donnellan je opisao dva slučaja usvajanja informacija koji se mogu javiti 

povodom rečenica u kojima se javljaju odre ¯deni opisi. No to nužno ne znači 

da jedna rečenica može imati dvije vrste značenja. Takvo bi rješenje bilo u 

suprotnosti s načelom kompozicionalnosti. Rečenice svoje značenje dobivaju 

u kontekstu. U razmatranim primjerima, promjena koju rečenica izaziva na informacijskom 

stanju slušača ovisi o tom informacijskom stanju. Dakle, nije riječ 

o dvije uporabe, nije riječ o pragmatici koja slobodno lebdi iznad semantike, već 

o kontekstualnoj ovisnosti značenja.

Poglavlje 14 

Logika generalizirane 

kvantifikacije 

Determinatori su, u sintaktičkom smislu, operatori koji se povezuju s općenitom 

imenicom tvoreći imeničku frazu; u semantičkom smislu, odnos izme ¯du denotacija 

imeničke i glagolske fraze. Neki detreminatori nisu iskazivi u jeziku logike 

prvoga reda (’više’ u ’Ona ima više položenih ispita od njega’), neki su iskazivi 

pod odre ¯denim ograničenjima (kod konačne veličine imeničke fraze, ’većina’ u 

’Većina Ivanovih prijatelja voli jazz’), neki su iskazivi bez ograničenja (’samo 

jednom ’ u ’samo jednom se ljubi’). 

Primjer 14.1 

Kocke su većinom velike. 

A(x) = def Kocka(x) ∧ Veliko(x) 

B(x) = def Kocka(x) ∧¬Veliko(x) 

∃xA(x) ∧∀x¬B(x) 

Sve su kocke velike ILI 

∨∃ =2 xA(x) ∧∃x 51 xB(x) barem dvije kocke su velike a najviše jedna nije ILI 

... ... 

∨∃ =n−1 xA(x) ∧∃x 5n−2 xB(x) barem n-1 kocki je veliko a najviše n-2 nije. 

Prijevod funkcionira samo kada je denotacija za ’Kocka’ konačna. 

Determinator Q bismo mogli dodati na sljedeći način: ako su A i B isf-e i 

v je varijabla, onda Qv(A, B) jest isf i svaka pojava varijable v u Qv(A, B) jest 

vezana. 

Primjer 14.2 ’Svi osim jednog gosta bili su vegetarijanci’ postaje ’Svi_osim_jednog 

x(Gost(x), V egetarijanac(x))’. 

Za svaki determinator Q iz prirodnog jezika mogli bismo dodati 

odgovarajući kvantifikator Q u jezik logike prvoga reda. U tako 

proširenom jeziku, rečenica Qx(A, B) bila bi istinita akko Q objekata 

koji zadovoljavaju A(x) tako ¯der zadovoljavaju B(x). 

14.1 Logička svojstva determinatora 

Istražit ćemo neka logička svojstva determinatora i to ona koja se odnose na 

proširivanje i sužavanje opsega predikata čije su varijable vezane s determinatorima. 

137

138 Poglavlje 14 Logika generalizirane kvantifikacije 

14.1.1 Konzervativnost 

Ovo svojstvo vrijedi za skoro sve determinatore koji se iskazuju samo s jednom 

riječi iz prirodnog jezika. Riječjeoslijedećem svojstvu: 

Qx(A(x),B(x)) ⇔ Qx(A(x), (A(x),B(x))) 

Primjer 14.3 Primjer za ⇒ polovinu konzervativnosti: ’Ako nijedan liječnik nije odvjetnik, 

onda nijedan liječnik nije liječnik i odvjetnik’. 

Primjer 14.4 Primjer za ⇐ polovinu konzervativnosti: ’Ako su točno tri kocke - 

malene kocke, onda su točno tri kocke malene’. 

Zanimljivo je pitanje zašto ovo svojstvo vrijedi za jednom rječju iskazive 

detrminatore. Čini se kao da riječ ’samo’ (’jedino’) predstavlja protuprimjer za 

općenitu konzervativnost takvih determinatora. 

Primjer 14.5 

’Samo su glumci - bogati glumci’nepovlači ’Samo su glumci bogati’. 

| {z } | {z } | {z } 

A B A 

Možda ’jedino’ nije determinator? Pravilo je da kvantifikatore možemo me ¯dusobno 

zamijenjivati i time dobiti nove rečenice (’Svi A su B’ - ’Većina A je B’ 

- ’Nekoliko A je B’ itd.). ’jedino’ čini se da krši to pravilo: ’Jedino je Ivica 

vegetarijanac’ ne dopušta zamjenu ’Većina Ivica je vegetarijanac’. Ako ’jedino’ 

nije determinator, onda nije niti protuprimjer općenitoj konzervativnosti. 

14.1.2 Monotoničnost 

Monotoničnost determinatora odnosi se na pitanje što će se dogoditi ako povećamo 

ili smanjimo veličinu skupa B, skupa stvari koje zadovoljavaju glagolsku frazu 

urečenici oblika QAB. 

14.1.2.1 Monotoničnost u porastu 

Za determinator Q kažemo da je monotoničan u porastu ako je sljedeći zaključak 

(argument) valjan: 

Qx(A(x),B(x)) 

∀x(B(x) → B 0 (x)) 

Qx(A(x),B 0 (x)) 

Još jednostavniji test dobivamo ako uzmemo glagolsku frazu koja zadaje 

dva uvjeta, tada konkluzija može koristiti samo jedan uvjet, a druga premisa 

je automatski istinita. 

Q kocki je maleno i u istom redu s c 

Q kocki je maleno

14.1 Logička svojstva determinatora 139 

Zadatak 62 Ispitajte imaju li sljedeći detrminatori svojstvo monotoničnosti u porastu: 

nekoliko, svi, najviše dva, oba, barem dva 21 ! 

14.1.2.2 Monotoničnost u smanjenju 

Za determinator Q kažemo da je monotoničan u smanjenju ako je sljedeći zaključak 

(argument) valjan: 

Qx(A(x),B 0 (x)) 

∀x(B(x) → B 0 (x)) 

Qx(A(x),B(x)) 

Još jednostavniji test dobivamo ako uzmemo glagolsku frazu koja zadaje 

jedan uvjet, tada konkluzija može koristiti dva uvjeta, a druga premisa je automatski 

istinita. 

Q kocki je maleno 

Q kocki je maleno i u istom redu s c 

Zadatak 63 Ispitajte imaju li sljedeći detrminatori svojstvo monotoničnosti u smanjenju: 

nijedan, najviše dva, mali broj, točno dva! 

Zadatak 64 

Ispitajte svojstva monotoničnosti za: najviše dva, barem dva, točno dva! 

14.1.3 Perzistentnost i anti-perzistentnost 

Ovdje gledamo povećanje i smanjenje opsega imeničke fraze. 

Determinator Q je perzistentan akko je sljedeći zaključak valjan: 

Qx(A(x),B(x)) 

∀x(A(x) → A 0 (x)) 

Qx(A 0 (x),B(x)) 

Determinator Q je antiperzistentan akko je sljedeći zaključak valjan: 

Qx(A 0 (x),B(x)) 

∀x(A(x) → A 0 (x)) 

Qx(A(x),B(x)) 

”Točno 

dva’ i 

barem 

dva’ nisu 

monotonični 

usmanjenju. 

Zadatak 65 Smislite jednostavne testove za perzistentnost i antiperzistentnost! Jedno 

Q malenih kocki je u istom redu s c 

rješenje. Jednostavni test za perzsitentnost: 

.Jednostavni 

test za antiperzistentnost: 

Q kocki je u istom redu s c 

Q kocki je u istom redu s c 

Q malenih kocki je u istom redu s c 

21 

Jedino ’najviše dva’ nije monotonična u porastu.


Zadatak 66 

jedina 22 ! 

Odredite svojstva sljedećih determinatora: neki, Ivičin, nijedan, mnogo, 

1. Tri su svojstva determinatora važna za njihovo logičko ponašanje: 

konzervativnost, monotoničnost i perzistentnost. 

2. Determinatori su u pravilu konzervativni (sporan slučaj je 

’samo’) 

3. Monotoničnost se odnosi na ponašanje drugog argumenta detrminatora. 

Većina determinatora je monotonična. 

4. Perzistentnost se odnosi na prvi argument determinatora. Manje 

je česta nego monotoničnost. 

14.2 Logička gramatika 

U logici nalazimo više sustava koji izlažu gramatiku prirodnog jezika. Kako 

bismo se približili preciznijem odre ¯denju kategorije determinatora, u kratkom 

ćemo obliku izložitiu jednu logičku gramatiku poznatu pod nazivom kategorijalna 

gramatika. Korijeni sustava kategorijalne gramatike protežu se do 1929. 

kada je poljski logičar Lesniewski formulirao tzv. "teoriju semantičkih kategorija". 

Čista kategorijalna gramatika ima sljedeća četiri obilježja: 

• Skup osnovnih kategorija je konačan (i obično malen). 

• Na osnovi osnovnih konstruiraju se izveden kategorije. 

• Koristi se jedno ili dva sintaktička pravila koji opisuju sintaktičku operaciju 

konkatenacije i koja odre ¯duju rezultat ove operacije. 

• Svaki leksički element povezuje se s nekom kategoriijom. 

14.2.1 Primjeri jednostavnih kategorijalnih gramatika 

14.2.1.1 Ijednosmjerna kategorijalna gramatika 

• Osnovne kategorije su i (imenica) i r (rečenica). 

• Izvedene kategorije konstruiraju se na sljedeći način: ako su A i B kategorije, 

onda je i (A\B) kategorija. 

• Sintaktičko pravilo: ako je α izraz iz kategorije A iakojeβ izraz iz 

kategorije (A\B), onda je αβ izraz iz kategorije A. 

• Rječnik: Ivica je iz kategorije i, hoda je iz kategorije (i\r), brzo je iz 

kategorije ((i\r)/(i\r)). 

22 

Perzistentni: neki, Ivičin. Antiperzistentni: nijedan. Ni perzistentan ni antiperzistentan: 

mnogi, jedini.


U skladu s ovom gramatikom izraz Ivica hoda pripada kategoriji r. 

Ivica 

i 

hoda 

i\r 

Ivica hoda. 

r 

Isto tako, Ivica hoda brzo po izloženoj gramatici pripada kategoriji r, tj. taj 

izraz je rečenica. 

Ivica 

i 

hoda 

i\r 

brzo 

(i\r)\(i\r) 

i\r 

r 

Kategorijalna gramatika nam otvara mogućnostdanamehanički način odredimo 

je li (pod pretpostavkom da nam je dan početni riječnik i njegova kategorizacija) 

neki izraz primjerak kategorije, posebno je li on rečenica ili ne. Sada možemo 

ovu "jednosmjernu" gramatiku upotpuniti s pravilom koje dopušta pored dodavanja 

izraza s desne strane i dodavanje izraza s lijeve strane. 

14.2.1.2 Dvosmjerna kategorijalna gramatika 

• Ako su A i B kategorije, onda su (A\B) i (A/B) kategorije. 

• Ako je α u kategoriji A iakojeβ ukategoriji(A\B), onda je αβ ukategoriji 

B, 

• Ako je α u kategoriji (A/B) iakojeβ u kategoriji B, onda je αβ ukategoriji 

A.


Primjer 14.6 

Rječnik: Ivica, Maricu su iz kategorije i, voli je iz kategorije (i\r)/i. 

Ivica _ 

 

i 

voli _ 

i\r/i 

r 

i\r 

Maricu 

i 

Zadatak 67 

Odredimo kategoriju za veznike! 

Odgovor 16 Pokušajmo varijantu koja počinje s lijevom konkatenacijom. Veznik 

je takav da ako mu dodamo rečenicu s lijeve strane, onda dobivamo izraz kojemu 

dodavanje rečenicesdesnestranedajerečenicu. Dakle, r\(r/r). 

Zadatak 68 

Odredimo kategoriju za determinatore! 

Odgovor 17 Ako determinatoru dodamo imenicu s desne strane, onda ćemo 

dobiti izraz koji pravi rečenicu ako mu se s desne strane doda izraz kategorije 

i\r. Dakle,(i/i). 

Zadatak 69 

Analizirajmo rečenicu ’Većina mladih ljudi voli glazbu’! 

Većina _ 

i/i 

mladih _ 

i/i 

i 

i 

ljudi _ 

r 

i 

voli _ 

i\r/i 

i\r 

glazbu 

i 

14.2.1.3 Vježba aksiomatiziranja 

Pokušajmo aksiomatizirati znanje o odnosu IstiOblik uTarski’sWorld. 

Analitičke istine 

Aksiom1. ¬∃x(Kocka(x) ∧ Tetraedar(x)) 

Aksiom 2. ¬∃x(Kocka(x) ∧ Dodekaedar(x)) 

Aksiom 3. ¬∃x(Tetraedar(x) ∧ Dodekaedar(x))


Ovatriaksiomasuanalitički istinita, istinita zahvaljujući značenju predikata 

koji se javljaju u njima. 

Istina u Tarski-svjetovima 

Četvrti aksiom treba iskazati posebnost svjetova u Tarski’s World gdje svaki 

predmet ima jedan od navedenih oblika. Iskažite taj aksiom! 

Definicija predikata ’IstiOblik’ za Tarski-svjetove putem pravila 

uvo ¯denja i uklanjanja 

Sada ćemo iskazati pravila za uvo ¯denje i uklanjanje predikata IstiOblik. 

Aksiomi uvo ¯denja za IstiOblik 

Aksiom 5. ∀x∀y((Kocka(x) ∧ Kocka(y)) → IstiOblik(x, y)) 

Aksiom6 i Aksiom7 formulirajte sami! 

Aksiomi uklanjanja za IstiOblik 

Aksiome 8, 9 i 10 formulirajte sami. 

Zadatak 70 Izgradite dokaz za sljedeće zaključake ako su oni valjani, u protivnom izgradite 

protuprimjer: a) IstiOblik(b, c) ` IstiOblik(c, b);b)∀x(Kocka(x) → IstiOblik(x, b)) ` 

Kocka(b). 

Svaka je teorija jezični sustav. Jezik se sastoji od rečenica, rečenice od riječi. 

Zato nam u izgradnji izvan-logičkog aksiomatskog sustava najprije trebaju 

termini. Termine dijelimo na primitivne i definirane. 

Primjer 14.7 

(Euklid) Točkajeonoštonemadijelova. 

Primjer 14.8 (Teorija skupova) ∀a∀b(a ⊆ b ↔∀x : x ∈ a → x ∈ b) 

Zadatak 71 Prona ¯dite primitivne termine u gornjim primjerima! Prona ¯dite primitivne 

termine u gornjoj vježbi u gradnji "aksiomatske teorije o istovjetnosti oblika u 

Tarski-svijetu"! 

Rečenice u aksiomskoj teoriji možemo podijeliti na (i) nedokazane rečenice 

pomoću kojih dokazujemo (aksiomi i definicije) i (ii) dokazane rečenice (teoreme, 

leme, korolarije, skolije...). U definicijama primitivni termini daju značenje 

definiranim terminima. A primitivni pojmovi dobivaju značenje u aksiomima. 

Zadatak 72 Što mislite, je li rečenica iz prethodnog primjera, ∀a∀b[a ⊆ b ↔∀x(x ∈ 

a → x ∈ b)] aksiom ili definicija? Obrazložite odgovor vodeći računa o pitanjima 

dosega kvantifikatora i značenja bikondicionala!


"Vezivno tkivo" svakog izvan-logičkog aksiomatskog sustava ILAS je neka 

logička teorija LT . Ako se u izvan-logičkoj aksiomskoj teoriji ILAS izričito 

navede logička teorija koja se koristi u gradnji prvospomenute teorije, onda ona 

zaslužuje poseban naziv. Ponegdje možemo susresti naziv formalna teorija za 

takvu "u pogledu logike osviještenu teoriju" ILAS ◦ LT . 

Zadatak 73 Što bismo trebali učiniti da naša "aksiomatska teorija o istovjetnosti oblika 

u Tarski-svijetu" postane formalnom! 

Što bismo trebali pomišljati pod logičkom teorijom LT ? Čini se da je pojam 

"logičke posljedice" otvoren prema obuhvaćanju različitih odnosa značenja. 

Time i podjela na riječi sa empirijskim sadržajem (kategoremi) i logičke riječi 

(sinkategoremi) postaje "idealno-tipskom" podjelom: podjela odre ¯duje rubne 

položaje ali stvarni slučajevi leže izme ¯du, bliže ili dalje jednom ili drugom rubu. 

U sljedećoj vježbi analizirat ćemo značenje prijedloga ’u’. 

Zadatak 74 Je li dvočlani odnos ’...je u...’ refleksivan, irefleksivan ili ni jedno ni 

drugo (indiferentan prema refleksivnosti)? 

Zadatak 75 Prikažite podjelu dvočlanih odnosa izvedenu na osnovi pitanja ostvaruju 

li svi predmeti takav odnos prema samom sebi, ili ga ne ostvaruje niti jedan predmet, ili 

ga ostvaruju neki a neki ne. 

Zadatak 76 Prevedite prvi aksiom iz Spinozine Etike na jezik logike prvoga reda (koristeći 

U kao simbol za prijedlog ’u’)! 

(A1) Sve što jest jest u sebi ili u nečem drugom. 

Zadatak 77 Koristeći tri tumačenja odnosa ’...je u...’ ispitajte zadovoljivost Spinozinog 

aksioma te očuvanje njegove razgovorne implikature u danom tumačenju! [Podsjetnik: 

Ako rečenica koju govornik tvrdi sa sobom donosi i sugestiju koja se može ukinuti (bez izazivanja 

kontradikcije) dodatnim govornikovim izrekama, onda se ta sugestija naziva razgovornom implikaturomionasenepromatrakaodiosadržajaizvornerečenice.] 

Zadatak 78 Kojem (ili kojim ili kojoj kombinaciji) tumačenju biste dali prednost? 

Kratko obrazložite svoj odgovor! 

Zadatak 79 Pretpostavimo da je ispravno treće tumačenje, tj. da vrijedi (IR) ∀x¬U(x, x). 

Je li koja od ponu ¯denih rečenica: 

∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)), 

∃x∃y∃z(U(x, y) ∧ U(y, z) ∧¬U(x, z))


teorem u sustavu koji sadrži Spinozin aksiom i rečenicu (IR)? Ako jest - izradite dokaz (u 

Fitch-u), u protivnom, na ¯dite protuprimjer i nacrtajte ga u "dijagramu sa strelicama". 

Zadatak 80 Pretpostavimo da vrijedi (IR) ∀x¬U(x, x) i(T)∀x∀y∀z((U(x, y)∧U(y,z)) → 

U(x, z)). Ima li tada odnos ’...je u...’ svojstvo jake povezanosti? Drugim riječima, vrijedi 

li sljedeća tvrdnja o mogućnosti dokazivanja 

(A1), (IR), (T ) `∀x∀y(U(x, y) ∨ U(y, x))? 

Ako da - dajte dokaz u neformalnom obliku. U protivnom, na ¯dite protuprimjer i nacrtajte 

ga u "dijagramu sa strelicama". 

Pretpostavimo da su dvije maksime kooperativne komunikacije iskazane konjunktivnim 

imperativom "Govori istinu i govori cijelu istinu!". Nazovimo maksimu 

iskazanu u prvom imperativom konjunktu - maksimom kvalitete: istinu 

treba govoriti. Maksimu drugog imperativnog konjunkta nazovimo maksimom 

kvantitete: istinu ne treba prešutjeti. U suvremenijim izrazima maksimu kvantitete 

mogli bismo iskazati ovako: o temi razgovara nemoj iskazati rečenicu koja 

je manje informativna od one o koj imaš znanje. 

Primjer 14.9 Ako na pitanje "Kada će biti kolokvij?" naš sugovornik odgovori "U 

ponedjeljak ili u petak", onda po maksimi kvalitete mi pretpostavljamo da on ne zna 

točno kojeg će se dana kolokvij održati. Ako sugovornik zna kojeg će se dana održati 

kolokvij onda on izriče rečenicu manje informativnu od one koju je mogao (a po maksimi 

kvantitete i trebao) izreći. 

"Kvantitet značenja" ili informativnost izjavnih rečenica možemo mjeriti pomoću 

logičkih odnosa. Budući da nas bavljenje sa logičkom semantikom tek 

čeka, logičke ćemo odnose pratiti u sintaktičkoj dimenziji kao odnose dokazivosti, 

` (izvedivosti, derivabilnosti). 

Prvi slučaj: A ` B i B ` A. Objerečenice, A i B podjednako 

su informativne. 

Drugi slučaj: A ` B ali B 0 A. Rečenica A informativnija je 

od rečenice B. 

Treći slučaj: A 0 B i B 0 A. U ovom slučaju odnos informativnosti 

ne možemo definirati pomoću odnosa dokazivosti. 

Zadatak 81 Koja je rečenice informativnija u gornjem smislu: (A1) ’Sve što jest jest 

usebiiliunečemu drugom.’ ili (IR) ’Ništa od onoga što jest nije u sebi’?


(A1) ∀x[U(x, x) ∨∃y(x 6= y ∧ U(x, y))] 

(R) ∀xU(x, x) (*) ∃xU(x, x) ∧∃x¬U(x, x) (IR) ∀x¬U(x, x) 

razgovorna implikatura: (*) (*) (*) 

informativnija rečenica: (R) ∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) 

Promotrimo slučaj teksta ’(A1),(IR)’: 

• (IR), (A1) `∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) 

• (IR), ∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) ` (A1) 

• ∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) ` (A1) 

• (A1) 0 ∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) 

Zadatak 82 Možemo li postaviti sljedeće pravilo: Ako A, B ` C, B 0 C i C ` B, 

onda je govornikov tekst A, C informativniji od teksta A, B. 

Zadatak 83 Izgradite aksiome za ManjiOd za Tarski’s World. Postupite jednako kao 

i za IstiOblik. Moramo reći da svaki predmet ima jednu i samo jednu od tri veličine. 

Nakon toga, moramo odrediti pod kojim uvjetima ’uvodimo’ odnosno ’uklanjamo’ taj 

predikat. 

Zadatak 84 

Definirajte predikat VeceOd! 

Zadatak 85 

Dokažimo: Maleno(a) `∀x¬VeceOd(x, a)! 

Logički su moguće sve one okolnosti koje nisu isključenenaosnoviznačenja 

riječi. Na primjer, zbog značenja predikata ’veće od’, okolnosti u kojima je veliki 

predmet manji od malenog - logički nisu moguće. Ili, zbog značenja determinatora 

’neki’, logički nisu moguće okolnosti u kojima je predmet a kocka i 

istodobno nijedan predmet nije kocka. U tom smislu, nema šireg skupa okolnosti 

od logički mogućih okolnosti. Spoznaja u realnim znanostima ide za time da se 

"otkrije" koje su okolnosti moguće zbog važećih, izvan-logičkih zakonitosti. 

Zadatak 86 U ovoj vježbi zamišljamo da su se stvarno javile okolnosti prikazane na 

slici. Naš je zadatak naslutiti koja pravilnost vrijedi u odnosu na moguće odnose veličina. 

Uočimo da sada riječ ’moguće’ ne koristimo u smislu ’logički moguće’ već ’stvarno ili 

fizički moguće’.


Zadatak 87 Iskažimo neke hipoteze: (P.1. Kocke su najveće) ∀x∀y((Kocka(x) ∧ 

¬Kocka(y)) → ManjeOd(y, x)); (P.2. Nema malenih kocaka) ¬∃x(Kocka(x) ∧ 

Maleno(x)). (P.3 Ima malenih i srednje velikih predmeta) ∃xMaleno(x)∧∃xSrednjeV eliko(x). 

(P.4 Postoje kocke) ∃xKocka(x). Jeste li posve zadovoljni s ovim hipotezama? 

Zadatak 88 Gornji izbor hipoteza ne ispunjava zahtjev neovisnosti. Koja je hipoteza 

suvišna? Kako ćete to dokazati? Dokažite to! 

Odgovor 18 Dva su načina: izvedite navodni aksiom, ili pretpostavite negaciju 

navodnog aksioma i izvedite kontradikciju.

Poglavlje 15 

Teorija skupova 

Teorija skupova je kao rijetko koja druga teorija općenito prisutna i koristi se za 

modeliranje tako ekstenzivno da u tom smislu zaslužuje posve poseban položaj. 

Otvoreno je pitanje je li teorija skupova dio logike ili ne. 

Primjer 15.1 ’Russell je filozof’ istinito je ako i samo ako predmet imenovan s ’Russell’ 

pripada skupu koji je zadan predikatom ’je filozof’. [D. Davidson] 

Započinjemo s naivnom teorijom skupova koja jest inkonzistentna ali, unatoč 

tome, predstavlja kako povijesni tako i didaktički uvod u aksiomatsku teoriju 

skupova. 

Georg Cantor (1845-1918), njemački matematičar koji je prvi ekstenzivno 

proučavao skupove i inkonzistentnosti koje se kriju u naivnom pojmu o 

skupu. 

Skup je "sabiranje u jednu cjelinu odre ¯denih, različitih predmeta 

našeg opažanja ili mišljenja, a njih nazivamo elementima skupa" [G. 

Cantor] 

Koristeserazličiti nazivi: skup, razred, klasa, kolekcija, množina, agregat 

itd. Neki autori razlikuju skup (set) i razred (class), gdje je razred općenitiji 

pojam (skupovi su elementi nekog razreda, a neki razredi, pravi razredi nisu; 

pravi razredi i skupovi zajedno daju razrede). 

15.1 Osnovni rječnik teorije skupova 

148


15.1.0.4 Predikati 

=, dvomjesni predikat identiteta 

∈, dvomjesni predikat članstva 

a ∈ b [čitamo: "a je element od b"] 

⊆, dvomjesni predikat inkluzije (relacija podskupa) 

15.1.0.5 Funkcijski simboli (operacije) 

∩, dvomjesna funkcija presjeka (intersekcije) 

∪, dvomjesna funkcija unije 

15.1.0.6 Individualne konstante 

∅, prazni skup 

15.2 Jezik za različite vrste predmeta 

Moramo naporaviti izbor izme ¯du jezika koji u domeni obuhvaća sve predmete 

bilioniskupoviilineijezikakojikoristirazličite vrste varijabli za različite vrste 

predmeta. Prvospomenuti pristup nalazimo u Fitch-u. Drugospomenuti ("manysorted") 

jezik koristi jednu vrstu varijabli za dio domene koja uključuje sve 

skupove i jedino skupove, a drugu vrstu varijabli za cjelokupnu domenu. U ovoj 

diferenciranoj opciji korisitimo varijable a, b, c, ... koje se protežu preko skupova 

(svih i jedino njih) i varijable x, y, z, ... koje se protežu preko svih predmeta, bili 

oni skupovi ili ne. 

Primjer 15.2 Rečenicu ’Svaka je stvar element nekog, ovog ili onog skupa’ u jeziku 

s jednom vrstom varijabli prikazujemo kao ∀x∃y(Skup(y) ∧ x ∈ y), aujezikusdvije 

vrste varijabli ovako: ∀x∃a(x ∈ a). 

15.3 Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova 

Dva su osnovna načela koja zahvaćaju intutivni pojam skupa. 

15.3.1 Aksiom ekstenzionalnosti 

Skup je u potpunosti odre ¯den svojim članstvom. Ako znamo elemente skupa b, 

onda znamo sve što je potrebno za utvr ¯divanje identiteta tog skupa. Aksiom se 

iskazuje ovako: ako skupovi a i b imaju iste elemente onda su a i b identični. 

∀a∀b[∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = b] 

Identitet skupova ne ovisi o načinu na koji su oni opisani.

150 Poglavlje 15 Teorija skupova 

Skup životinja koje imaju srce i skup životinja koje imaju bubreg istov- 

Primjer 15.3 

jetan je. 

Skupovi se ne mogu poistovjetiti sa svojstvima. Svojstva, za razliku od 

skupova, ne moraju biti ista ako pripadaju istim predmetima. 

Primjer 15.4 Zahvaljujući činjenici da nema predmeta koji bi bili njihovi članovi, 

skupovi okruglih kvadrata, ćelavih sadašnjih kraljeva Francuske, jednoroga, pokretnih 

nekretnina, drvenih štednjaka, stvari koje se razlikuju od samih sebe itd. - jedan su te isti 

skup. 

Primjer 15.5 

Skupovi {1,2}, {2,1}, {2,2,1}, {2,1,1,1,1,1} su identični. 

15.3.2 Aksiom komprehenzije (apstrakcije) 

U naivnoj teoriji skupova nalazimo tzv. neograničeno načelo komprehenzije. Po 

tom načelu, svako svojstvo odre ¯duje neki skup. 

Primjer 15.6 Neka nam je zadan uvjet ’x rado čita Kanta’. Po aksiomu komprehenzije 

postoji cjelina, skup sačinjen od svih onih i jedino od onih koji rado čitaju Kanta. 

Neka nam je zadan uvjet ’∃yV oli(x, y)’. taj uvjet odre ¯duje skup koji obuhvaća sve one i 

samo one koji nekoga vole. 

Ovakav način iskazivanja aksioma donosi stanovite poteškoće. Naime, govorimo 

o svim svojstvima što nas vodi izvan granica logike prvoga reda i što zahtjeva 

teoriju svojstava. Da bismo to izbjegli aksiom iskazujemo kao aksiomsku 

shemu. Sve rečenice koje imaju oblik aksiomske sheme su aksiomi i njih ima 

beskonačno mnogo. 

∃a∀x[x ∈ a ↔ P (x)] 

Aksiom kaže da postoji skup a čiji su članovi sve stvari (P (x) → x ∈ a) i 

samo one stvari (x ∈ a → P (x)) koje zadovoljavaju formulu P (x). 

Zapravo, aksiom treba iskazati u još općenitijem obliku. Na primjer, ako 

bismo htjeli reći da za svaki predmet postoji skup koji sadrži samo taj predmet, 

onda bi nam trebalo još varijabli. 

Primjer 15.7 ∀z∃a∀x[x ∈ a ↔ x = z] 

Zadatak 89 Postojanje kojegih skupova jest zajamčeno sljedećom instancom aksioma 

komprehenzije: ∀y∃a∀x[x ∈ a ↔ Voli(y, x)]?


Odgovor 19 

Zajamčeno je za svakoga postoji skup njegovih voljenih. 

Općeniti oblik za aksiom komprehenzije: 

∀z 1 ...∀z n ∃a∀x[x ∈ a ↔ P (x)] 

Tvrdnja 10 Za svaku isf-u P (x) postoji jedan jedinstveni skup stvari koje zadovoljavaju 

P (x). 

∃!a∀x[x ∈ a ↔ P (x)] 

Dokaz 13 Za dokaz ove numeričke tvrdnje koristimo tehniku dokazivanja ?? i 

da ?? zadovoljava propoziciju. Moramo dokazati (i) ’barem jedan’: ∃a∀x[x ∈ 

a ↔ P (x)], i (ii) ’najviše jedan’: ∀a∀b∀x[((x ∈ a ↔ P (x)) ∧ (x ∈ b ↔ 

P (x))) → a = b)]. (i) je dokazano jer je to upravo aksiom komprehenzije. 

Za (ii) koristimo univerzalnu generalizaciju. Pretpostavimo da su a i b skupovi 

čiji su članovi upravo oni predmeti koji zadovoljavaju P (x). Iz toga proizlazi 

∀x[x ∈ a ↔ x ∈ b]. Izradite ovaj dio dokaza sami: otvorite Proof 15.5 i dokažite 

spomenutu tvrdnju. Primjena aksioma ekstenzionalnosti daje nam a = b. Vidimo 

da za bilo koji uvjet aksiom komprehenzije jamči postojanje skupa predmeta 

koji zadovoljavaju taj uvjet, a aksiom ekstenzionalnosti osigurava jedinstvenost 

takvog skupa. 

Primjena aksioma ekstenzionalnosti, ∀x∀y[∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) → x = y] na 

13. rečenicu dat će željeno: a = b.


Skupovezapisujemonadvanačina: popisujući članove i zapisujući uvjet koji 

članovi moraju zadovoljiti. 

Primjer 15.8 Skup prirodnih brojeva djeljivih sa 7 i manjih od 15 zapisujemo u ’popis 

-zapisu’ovako: {7, 14}, a u ’uvjet zapisu’ ovako: {x | x ∈ N i x

15.4 Jednočlani skupovi, prazni skup, podskupovi 153 

Definicija 8 Ako su zadani skupovi a i b, kažemodajea podskup skupa b ako 

je svaki član skupa a tako ¯der član skupa b. 

Definiciju možemo shvatiti na dva načina. Prvo možemo tvrdnju ’a ⊆ b’ 

shvatiti kao skraćeni zapis tvrdnje 

∀x(x ∈ a → x ∈ b) 

. Drugo, možemo relaciju inkluzije shvatiti kao dodatni simbol i definiciju iskazati 

kao aksiom: 

∀a∀b[a ⊆ b ↔∀x(x ∈ a → x ∈ b)] 

Tvrdnja 11 

∀a : a ⊆ a 

Dokaz 14 Neka je b proizvoljan skup. Za svrhu generalnog kondicionalnog 

dokaza, pretpostavimo da je a proizvoljni element od b. Onda na isprazan način 

reiteracijom dobivamo a ∈ b.- Zato, ∀x(x ∈ b → x ∈ b). Primjena definicije 

podskupa pokazuje da b ⊆ b. Generaliziramo: ∀a : a ⊆ a. Formalizirajte 

Exercise 15.12! 

Tvrdnja 12 

∀a∀b(a = b ↔ (a ⊆ b ∧ b ⊆ a))


Dokaz 15 Metoda univerzalne generalizacije. Prvo dokazujemo s lijeva na 

desno. Pretpostavimo a = b. Desna strana slijedi iz prethodne tvrdnje (o refleksivnosti 

inkluzije) uz nerazlučivost identičnoga. Zadokazsdesnanalijevo, 

pretpostavimo a ⊆ b ∧ b ⊆ a. Za dokazati da tada vrijedi a = b, koristimo 

aksiom ekstenzionalnosti. Dovoljno je pokazati da a i b imaju iste članove. No 

to slijedi iz naše pretpostavke, da je svaki član jednog tako ¯der član drugog skupa 

i obratno. Budući da su a i b proizvoljni skupovi, generaliziramo i dobivamo 

propoziciju. Formalizirajte dokaz Exercise 15.13! 

Relaciju R koja zadovoljava uvjet (R(x, y) ∧ R(y, x)) → x = y nazivamo 

antisimetričnom. Prethodnu tvrdnju pokazuje da je relacija inkluzije (odnos 

podskupa) antismetrična. Pročitana u suprotnom smjeru, tvrdnja pokazuje re-


fleksivnost inkluzije. 

Tvrdnja 13 

∀a : ∅⊆a 

Dokaz 16 Jednostavna univerzalna generalizacija. Neka je a proizvoljni predmet 

i b proizvoljni skup. Pretpostavimo da a ∈∅(u donjem formalnom dokazu 

e označava prazni skup). To je nemoguće zbog definicije praznog skupa. Na isprazan 

način a zadovoljava uvjet a ∈ e → a ∈ b (u formalnom dokazu: uvodimo 

neistinu a potom je uklanjamo). Zato ako a ∈ e onda a ∈ b. Generalizacijom 

dobivamo traženo. 

Za zapamtiti: 

Neka su a i b skupovi. 

1. a ⊆ b akko je svaki element od a tako ¯der element od b. 

2. a = b akko a ⊆ b i b ⊆ a. 

15.5 Presjek i unija 

Dvije poznate i važne operacije sa skupovima su presjek i unija. Te dvije operacije 

uzimaju dva skupa i daju treći. 

Definicija 9 (PRESJEK) Neka su a i b skupovi. Presjek skupova a i b je skup 

čiji su članovi - članovi i u a iub. Zapis:a ∩ b. 

∀a∀b∀z(z ∈ a ∩ b ↔ (z ∈ a ∧ z ∈ b))


Definicija 10 (UNIJA) Neka su a i b skupovi. Unija skupova a i b je skup čiji 

su članovi - članovi ili u a ili u b. Zapis:a ∪ b. 

∀a∀b∀z(z ∈ a ∪ b ↔ (z ∈ a ∨ z ∈ b)) 

Kako znamo da postoje takvi skupovi? Jesu li dva aksioma, komprehenzije i 

ekstenzionalnosti, dovoljna da se utvrdi njihovo postojanje i jedinstvenost? 

Tvrdnja 14 (Postojanje i jedinstvenost presjeka skupova) 

(x ∈ a ∧ x ∈ b)) 

∀a∀b∃!c∀x(x ∈ c ↔ 

Ova je tvrdnja poseban slučaj već 10 : za svaku ispravno sastavljenu formulu 

P (x) postoji jedan jedinstveni skup stvari koje ju zadovoljavaju. 

∀z 1 ...∀z n ∃!a∀x[x ∈ a ↔ P (x)] 

Možemo je nazvati korolarijem, tj. neposrednom posljedicom već dokazane 

tvrdnje u kojoj z 1 treba zamijeniti s a, z 2 s b, a uvjet P (x) sisf-omx ∈ a∧x ∈ b. 

Tvrdnja 15 (Postojanje i jedinstvenost unije skupova) 

(x ∈ a ∨ x ∈ b)) 

∀a∀b∃!c∀x(x ∈ c ↔ 

Dokaz 17 I ova tvrdnja neposredno proizlazi iz 10 . 

Evo još nekoliko tvrdnji čije dokaze treba izraditi! 

Tvrdnja 16 

∀a∀b : a ∩ b = b ∩ a 

Otvorite u Fitch-u 26.1 i odredite pravila koja opravdavaju i rečenice koje 

podupiru pojedine korake. 

Tvrdnja 17 

∀a∀b : a ∩ b = b ↔ b ⊆ a 

Dokaz 18 Koristimo definiciju presjeka, definiciju podskupa i 12 . Formalni 

dokaz je prilično dug i možete ga naći ?? . U neformalnom dokazu moramo 

dokazati dva kondicionala. Smjer s lijeva na desno: pretpostavimo da a ∩ b = 

b. Neka je c element od b. Po definiciji presjeka, c je element skupa a. Po 

definiciji podskupa dolazimo do željenoga: b je podskup od a. Smjer s desna na 

lijevo: (*) pretpostavimo b ⊆ a. Trebamo dokazati tvrdnju o identitetu. Za tu 

svrhu poslužit ćemo se s 12 koju instanciramo s skupovima koji nas zanimaju:


(a ∩ b ⊆ b 

| {z } 

(i) 

Figure 15.1 

∧ b ⊆ a ∩ b) ↔ a ∩ b = b. (i)Nekajec element i od a iodb. Tada 

| {z } 

(ii) 

je c element od b. (ii) Neka je c element od b. Po pretpostavci (*) slijedi da je c 

element od a. Budući da smo utvrdili i (i) i (ii), slijedi a ∩ b = b.Dokazjegotov. 

Zadatak 91 Izradite neformalni dokaz da za svaki skup a postoji jedinstveni skup c 

takav da za svako x, x ∈ c ako i samo ako x /∈ a. Ovaj se skup naziva apsolutnim 

komplementom skupa a, i označava se s a. (Ovaj rezultat neće vrijediti za aksiome 

koje ćemo kasnije koristiti. Zapravo, tada će slijediti da nijedan skup nema apsolutni 

komplement.) Kada bismo formalizirali ovaj dokaz, koju bismo instanciju aksioma komprehenzije 

koristili? 

Odgovor 20 

Treba dokazati: 

Instanca aksioma komprehenzije: 

∀a∃c∀x(x ∈ c ↔ x/∈ a) 

∀a∃!c∀x(x ∈ c ↔ x ∈ a) 

Prvo dokazujemo da postoji barem jedan takav skup: 

Dokaz da ima najviše jedan takav skup ostavljen je čitatelju.


Zapamtimo: 

Neka su b i c skupovi. 

1. x ∈ b ∩ c ako i samo ako x ∈ b ∧ x ∈ c 

2. x ∈ b ∪ c ako i samo ako x ∈ b ∨ x ∈ c 

3. x ∈ b − c ako i samo ako x ∈ b ∧ x/∈ c 

U naivnoj teoriji skupova dopušteno je postojanje univerzalnog skupa V = 

{x | x = x}. Pod tom pretpostavkom, moguće je definirati apsolutni komplement 

nekog skupa a (za označavanje apsolutnog komplementa koristimo crticu 

iznad slova): 

a = V − a. 

Zadatak 92 

Dokažite ∀a∀b∀c[(a ⊆ b ∧ b ⊆ c) → a ⊆ b]! 

Zadatak 93 Dokažite na formalan i na neformalan način ∀a∀b∀x[(x ∈ a∧b ⊆ a) → 

(x ∈ b ↔ x/∈ a − b)]! 

Dokaz 19 (*) Neka je su e i f proizvoljni skupovi i neka je u proizvoljni predmet. 

Pretpostavimo u ∈ e ∧ (u ∈ f → u ∈ e). Pod tom pretpostavkom moramo 

dokazati bikondicional. L-D (i) Pretpostavimo u ∈ f. Trebamo dokazati u /∈ 

e − f, tojestu/∈ e ∨ u ∈ f. ∨Intro daje željeno iz pretpostavke (i). D-L (ii) 

Pretpostavimo u/∈ e ∨ u ∈ f. Trebamo dokazati u ∈ f. Po glavnoj pretpostavci 

vrijedi u ∈ e. Ako je slučaj u /∈ e dolazimo do kontradikcije. Po ⊥Intro 

možemo uvesti u ∈ f. Akojeslučaj u ∈ f, onda reiteracijom dobivamo u ∈ f. 

Po ∨Elim zaključujemo u ∈ f. Univerzalna generalizacija daje željeno. 

Termini sličnog značenja: 

15.6 Digresija: konzistentnost 

• dosljednost 

• neproturječnost 

• neprotuslovnost 

• zadovoljivost 

• ispunjivost 

• koherentnost 

• [razložni ili logični sklad me ¯du dijelovima] 

Razlikujemo dva pojma o konzistentnosti: 

• sintaktički 

• semantički

15.6 Digresija: konzistentnost 159 

Definicija 11 Sintaktička (formalna) konzistentost: neki skup rečenica r nazivamo 

konzistentnim akko pomoću njih nije moguće dokazati obje rečenice iz bilo 

kojeg para kontradiktornih rečenica, A i ¬A. 

Korištenje pojma o dokazivosti čini gornju definiciju sintaktičkom. 

Pokušajmo zapisati gornju definiciju djelomično koristeći jezik logike prvoga 

reda. Uvedimo oznaku ’`’ zatročlani odnos dokazivosti. Članovi tog 

odnosa su (i) neki skup rečenica r, (ii) neki sustav dokazivanja F i (iii) rečenica 

A. Tvrdnju ’rečenicu r možemo u sustavu dokazivanja F dokazati pomoću 

rečenicaizskupar’ zapisujemo r `F A. Za sustav dokazivanja uzet ćemo 

sustav prirodne dedukcije za logiku prvoga reda i izostaviti podznak u zapisu 

odnosa dokazivosti `. 

Neka je L jezik i neka su S 1 ,...,S n ,A,¬A rečenice jezika L. 

Skup rečenica {S 1 ,...,S n } je konzistentan ako nije slučaj da istodobno 

{S 1 ,...,S n }À i {S 1 ,...,S n }`¬A. 

Teorem 18 Akojeskuprečenica {S 1 ,...,S n } iz jezika L konzistentan, onda 

postoji rečenica iz L koja se ne može dokazati. 

Dokaz 20 Poslužit ćemo se neizravnim dokazom, reductio ad absurdum. (*) 

Pretpostavimo da tvrdnja ne vrijedi. Po definiciji kondicionala, tada je (i) skup 

{S 1 ,...,S n } konzistentan i (ii) ne postoji rečenicakojasenemožedokazati.Ali, 

iz (ii) izravno slijedi da možemo dokazati obje rečenice iz para kontradiktornih 

rečenica. No tada, po definiciji konzistentnosti, {S 1 ,...,S n } nije konzistentan 

skup rečenica. Kontradikcija koju smo uspostavili pokazuje da moramo zaključiti 

na negaciju pretpostavke (*), a budući da je to upravo gornja tvrdnja, 

naš je dokaz dovršen. 

Teorem 19 Akojeskuprečenica {S 1 ,...,S n } iz jezika L inkonzistentan (to jest, 

ako nije konzistentan), {S 1 ,...,S n }`⊥. 

Dokaz 21 Pretpostavimo da {S 1 ,...,S n } nije konzistentan skup. Tada postoji 

par dokazivih kontradiktornih rečenica. Neka je par rečenica A i ¬A upravo 

takav. Po pravilu prirodne dedukcij, ⊥Intro možemo uvesti neistinu. 

Zadatak 94 Dokažite na formalan načindajeskupkojisadržirečenice ’Sve kocke su 

malene’ i ’Neke kocke nisu malene’ inkonzistentan!


Zadatak 95 Poslužite se prethodnim dokazom i pokažite kako se bilo koja rečenica 

može dokazati pomoću inkonzistenog skupa! To ćete učiniti tako što ćete dokazati proizvoljnu 

rečenicu B! 

Zadatak 96 Kojim biste razlozima opravdali ili osporili pravilo ⊥Elim, tojest,ex 

falso quodlibet? 

Mogli bismo reći da slabost inkonzistentnog skupa rečenica leži u tome što 

on dokazuje previše, jer on dokazuje sve. Promotrena sa semantičke strane, 

slabost inkonzistentnog skupa rečenica leži na suprotnoj strani - on ne govori ni o 

čemu. Semantički pojam konzistentnosti nećemo uvoditi jer on zahtijeva dodatna 

sredstva formalne semantike. Ali možemo dati neformalnu definiciju. Neki je 

skup rečenica semantički konzistentan akko su moguće okolnosti u kojima su sve 

rečenice iz tog skupa istinite. Radi didaktičke svrhe napravimo jedan korak koji 

u strogoj teoriji nije dopušten i pokušajmo razjasniti semantičku inkonzistentnost 

koristeći pojam o sintaktičkoj inkonzistentnosti. Budući da inkonzistentan skup 

dokazuje par kontradiktornih rečenica i budući da je sustav prirodne dedukcije 

pouzdan, verifikacija inkonzistentnog skupa zahtijevala bi okolnosti u kojima bi 

ista rečenica bila istodobno i istinita i neistinita. Takve okolnosti nisu moguće, 

pa zato inkonzistentna teorija ne govori ni o čemu što bismo mogli zamisliti. 

Inkonzistentnost u sintaktičkom smislu daje sve i ne daje ništa u semantičkom 

smislu: ona sve dokazuje a ništa ne opisuje.

Poglavlje 16 

Skupovi skupova 

Aksiom komprehenzije primijenjuje se općenito tako da on, izme ¯du ostalog, dopušta 

da sačinimo skupove od drugih skupova. Ako smo, na primjer, već formirali 

skupove 23 {0} i {0, 1},ondamožemoići dalje i od tih skupova sačiniti nove, na 

primjer {{0}, {0, 1}}. 

Za bilo koje predmete x i y postoji (jedin- 

Tvrdnja20(Neure¯deni parovi) 

stveni) skup {x, y}. U simbolima: 

∀x∀y∃!a∀w(w ∈ a ↔ (w = x ∨ w = y)) 

Dokaz 22 Postojanje skupa a osigurano je po aksiomu komprehenzije. Potrebna 

instanca aksioma je: ∀x∀y∃a∀w[w ∈ a ↔ (w = x∨w = y)]. Timejeosigurano 

da postoji barem jedna takav skup. Za dokazati da postoji točno jedan takav skup 

još trebamo dokazati da ima najviše jedan takav skup. To ćemo učiniti tako što 

ćemo za proizvoljne predmete e i f dokazati da postoji najviše jedan skup čiji su 

oni jedini članovi: 

∀a∀b[(∀x(x ∈ a ↔ (x = e∨x = f))∧∀x(x ∈ b ↔ (x = e∨x = f))) → a = b] 

Lako je pokazati da ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b). Po aksiomu ekstenzionalnosti slijedi 

da a = b. 

Podsjetimo se da ∀x∀yR(x, y) ⇒∀xR(x, x). Zaslučaju kada x = y dobivamo 

dobivamo jedinstveni skup predmeta w koji zadovaljavju ujet w = x∨w = 

x, odnosno w = y ∨ w = y. Očigledno je da prethodna tvrdnja o jedinstvenosti 

neure ¯denih parova garantira i postojanje jediničnih ili jednočlanih skupova (eng. 

singletons), jer {x, x} = {x} po aksiomu ekstenzionalnosti. 

16.1 Ure ¯deni parovi 

Da bi teorija skupova mogla poslužiti kao korisni okvir za modeliranje različitih 

struktura, važno je naći način za prikazivanje poretka. 

Primjer 16.1 Pravac prikazan na slici može se shvatiti kao skup točaka čija su imene 

ure ¯deni parovi njihovih koordinata, . 

23 

Na primjer: {x | x ∈ N ∧ x =1− 1} ili{x | x je broj koji pripada pojmu ’Venerin mjesec’}; 

i {x | x ∈ N ∧ 0 5 x

162 Poglavlje 16 Skupovi skupova 

Ono što nam je potrebno jest neki način modeliranja ure ¯denih parova koji će 

nam omogućiti da dokažemo sljedeću tvrdnju: 

=< u,v>↔ (x = u ∧ y = v) 

Ako uspijemo dokazati da ova tvrdnja vrijedi za odabrani način reprezentacije 

ure ¯denih parova, onda ćemo znati da nam ta reprezentacija omogućuje da odredimo 

koji je element prvi a koji drugi po redu u ure ¯denom paru. 

Imavišenačina za modelirati ure ¯dene parove. Najjednostavniji i najšire korišteni 

način jest onaj gdje se shvaća kao oznaka skupa {{x}, {x, y}}. 

Definicija 12 

Ure ¯deni par je skup {{x}, {x, y}}. U simbolima: 

∀x∀y = {{x}, {x, y}} 

Ako se osvrnemo na tvrdnju o jedinstvenosti i postojanju skupova neure ¯denih 

parova,lakouvi¯damo da skup {{x}, {x, y}} postoji i da je samo jedan. 

Na sličan način možemo definirati i ostale ure ¯dene n−torke. Na primjer 

=< x,>=< x,{{y}, {y, z}} >= {{x}, {x, {{y}, {y, z}}} 

Općenito: ure ¯denu n-torku prikazujemo kao . 

Oznake za ure ¯dene parove nisu dio "službenog jezika" teorije skupova. Mogu 

se ukloniti bez većih poteškoća, jedino ostaje ona poteškoća koja proizlazi iz 

duljine zapisa. 

Zadatak 97 Primijenite teorem o neure ¯denim parovima na slučaj kada x = y = ∅. 

Koji skup dobivamo? Nazovima taj skup - skupom c. Primijenimo dalje teorem na slučaj 

kada x = ∅ i y = c. Dobivamo li isti ili različiti skup 24 ? 

24 

a) c = {∅}

16.2 Modeliranje relacija u teoriji skupova 163 

Zadatak 98 Koliko članova ima skup {{x}, {x, y}} a) ako x = y, kolikob)akox 6= 

y? 25 16.2 Modeliranje relacija u teoriji skupova 

Intuitivno binarni (dvomjesni) predikati poput VećiOd iskazuju neku binarnu 

(dvočlanu) relaciju (odnos) izme ¯du predmeta u nekoj domeni D (području predmeta 

na koje se odnose tvrdnje u dijelu jezika pod razmatranjem). U teoriji 

skupova, taj se odnos modelira 26 pomoću skupa ure ¯denih parova. Preciznije, 

riječ je o skupu: 

{< x,y>| x ∈ D, y ∈ D, x je veće od y} 

Ovakav se skup naziva ekstenzijom predikata ili relacije. 

Primjer 16.2 

Ekstenzija (opseg) jednomjesnog predikata Kocka u domeni D je skup 

{x | x ∈ D, x je kocka} 

Ekstenzija tromjesnog predikata Izmedju u domeni D je skup ure ¯denih trojki 

{| x ∈ D, y ∈ D, z ∈ D, x je izme ¯du y i z} 

Ekstenzija predikata može ovisiti o okolnostima koje vrijedi u području o 

kojem je riječ. U Tarski’s World okrenuti svijet za 90 0 može učiniti da ekstenzija 

za LijevoOd postane novom ekstenzijom za Iza. Domenasenemijenja,ne 

mijenja ni značenje (intenzija) predikata, ali ekstenzije ne moraju ostati iste. 

Primjer 16.3 Označimo s imenom predikata njegovu ekstenziju u danim okolnostima 

i pod odre ¯denim stajalištem promatrača. Na slici dolje he, bi ∈ Iza i < e,b >/∈ 

LijevoOd 

b) {∅, {∅}} 6= c 

25 

a) 1; b) 2 

26 

Model je "sustav postulata, podataka i zaključaka koji služi kao matematički opis nekog 

predmeta ili stanja stvari" - kaže Merriam Webster Dictionary. 

Predlažem ovakvu radnu definiciju: "model je formalni sustav, tj. misaona konstrukcija kojeg 

izra ¯dujemo kako bismo nešto spoznali ".


Primjer 16.4 

/∈ Iza i ∈ LijevoOd 

16.3 Svojstva za odnose


16.3.1 Neka svojstva binarnih relacija 

Svojstvo Primjer Ne-primjer 

Tranzitivnost ∀x∀y∀z((R(x, y) ∧ R(y, z)) → R(x, z)) ⊆ ∈ 

Refleksivnost ∀xR(x, x) ⊆ VećeOd 

Irefleksivnost ∀x¬R(x, x) VećeOd IstiOblik 

Simetričnost ∀x∀y(R(x, y) → R(y, x)) IstiOblik VećeOd 

Asimetričnost ∀x∀y(R(x, y) →¬R(y, x)) VećeOd IstiOblik 

Antisimetričnost ∀x∀y((R(x, y) ∧ R(y, x)) → x = y) ⊆ IstiOblik; VećeOd 

Još neka svojstva... 

Serijalnost ∀x∃yR(x, y) PotomakOd VećeOd 

Povezanost ∀x∀y(x 6= y → (R(x, y) ∨ R(y,x))) ... 

Intranzitivnost ∀x∀y∀z((R(x, y) ∧ R(y, z)) →¬R(x, z)) ... ... 

Asimetričnost nije isto što ne-simetričnost, ∃y∃y(R(x, y) ∧¬R(y, x)). Isto 

vrijedi za irefleksivnost i intranzitivnost. 

refleksivnost nerefleksivnost 

z }| { z }| { 

∀xR(x, x) ; ∃x¬R(x, x); ∀x¬R(x, x) 

| {z } 

irefleksivnost 

Svojstva relacija mogu se iskazati kao uvjeti koje trebaju biti zadovoljeni u ekstenziji 

predikata. Na primjer, ako je relacija R refleksivna, onda za svaki x ∈ D, 

∈ R. 

Ako je relacija R simetrična onda je valjan zaključak: 

R(a, b) 

R(b, a) 

Ako je relacija R tranzitivna, onda je valjan zaključak: 

R(a, b) 

R(b, c) 

R(a, c) 

Zadatak 99 Opišite valjane oblike zaključka za relacije koje imaju redom sljedeća 

svojstva: asimetričnost, antisimetričnost i irefleksivnost. 

Odgovor 21 Asimetrična R: 

R(a, b) 

¬R(b, a) 

Antisimetrična R: 

R(a, b) 

R(b, a) 

a = b


Irefleksivna R: 

¬R(a, a) 

Pedagoška digresija 

A concept is a rule that may be applied to decide if a particular 

object falls into a certain class 27 .(Encyclopaedia Britannica CD 98) 

Pojam je misao o biti onoga što mislimo.(G. Petrović, Logika) 

Zbog pristranosti tradicionalnog pojma pojmovi o odnosima zanemaruju 

se u izboru gradiva. Razumjeti neki relacijski pojam znači poznavati 

svojstva relacije o kojoj je riječ. Čini se kao da se često pretpostavlja 

da će relacijski pojmovi biti usvojeni sami po sebi, na primjer 

da će učenik samo otkriti da odnos ’južno od’ ima svojstvo postojanja 

krajnjeg članaadaodnos’istočno od’ nije takav, da će se simetričnost 

odnosa ’=’ otkriti sama po sebi, ...Uočimo, da se relacijski pojmovi ne 

uče na isti način kao i tradicionalni pojmovi koji su pojmovi o vrstama, 

a ne o odnosima. 

Zadatak 100 Odredite inverze relacijama: stariji od, jednako visok kao, ro ¯dak od, 

otac od, predak od! 

Odgovor 22 

Mla ¯di od, jednako visok kao, ro ¯dak od, dijete od, potomak od. 

Zadatak 101 

Popunite tablicu upisujući ’DA’ ako relacija ima navedeno svojstvo: 

Tranzitivan 

Refleskivan 

Irefleksivan 

Simetričan 

Asimetričan 

ManjiOd IstiRed LijevoOd IstiOblik 

16.3.2 Inverzne relacije 

Primjer 16.5 

LijevoOd prema DesnoOd, VeceOdprema ManjeOd. 

U smislu teorije skupova relaciji R inverzna (konverzna) je relacija R −1 : 

R −1 = {< x,y>|< y,x>∈ R} 

27 

Pojam je pravilo zahvaljujući kojemu možemo odrediti ulazi li pojedini predmet u neki 

skup.


16.3.2.1 Još neki pojmovi o relacijama 

R|S relativni produkt {hx, yi |∃z(R(x, z) ∧ S(z,y))} Otac|Majka = P atrilinearnaBaka 

I identitetna relacija {hx, yi |x = y} 

R 00 a slika relacije u skupu {x | y ∈ a ∧ R(x, y)} | očevi {z } studenata | {z } 

R a 

init(R) početni članovi {x | R(x, y) ∧ x 6= y} | očevi {z } 

R 

16.3.3 Relacije ekvivalencije i klase ekvivalencije 

Relacije koje su refleksivne, simetrične i tranzitivne nazivaju se relacijama ekvivalencije. 

Primjer 16.6 

=, IstiOblik, IstaV elicina, IstiRed,... 

Relacije ekvivalencije povezuju predmete koji su jednaki u nekom smislu. 

Ovakvo povezivanja predmeta koji jednaki u nekom smislu, koristi se za uvo ¯denje 

teorijski korisne konstrukcije: klase (razreda) ekvivalencije. 

Primjer 16.7 Nalazimo se u dućanu obuće. Sve cipele iste veličine daju klase ekvivalencije 

za pojedini broj. Kada uzmemo jednu cipelu, c, ona može poslužiti kao uzorak za 

svoju klasu ekvivalencije: {y ∈ D |< c,y>∈ IsteV eličine}, koja obuhvaća sve cipele 

koje su istoga broja kao i c. 

Ako je R relacija ekvivalencije, onda je [x] R skup stvari koje su ekvivalentne 

s x s obzirom na R, to je klasa ekevivalencije za x. 

Definicija 13 Neka je R relacija ekvivalencije na skupu D. Za svaki x ∈ D, 

klasa ekvivalencije [x] R je skup 

{y ∈ D |hx, yi ∈R} 

Primjer 16.8 Odredite klase ekvivalencije: [a] IstiRed , [b] IstiOblik , [c] = , [d] IstiRed za 

okolnosti prikazane na donjoj slici!


Tvrdnja 21 Neka je R relacija ekvivalencije na skupu D. 

1.∀x : x ∈ [x] R ; 

2.∀x∀y([x] R =[y] R ↔∈ R); 

3.∀x∀y([x] R =[y] R ↔ [x] R ∩ [y] R 6= ∅). 

Dokaz 23 1. proizlazi iz činjenice da je R refleksivna relacija na skupu D. 

2.dokazujemo u dva smjera, L-D i D-L. L-D: pretpostavimo da [x] =[y]. Po 

1. y ∈ [y]. Eliminacijom identiteta, dobivamo y ∈ [x]. Po definiciji klase 

ekvivalencije, hx, yi ∈R. D-L: pretpostavimo (*) hx, yi ∈R. Za uspostaviti 

identitenu tvrdnju, trebamo dokazati [x] ⊆ [y] i [y] ⊆ [x] ili, u drukčijem 

zapisu, ∀z(z ∈ [x] ↔ z ∈ [y]). Pretpostavimo da z ∈ [x]. Po definiciji 

za klasu ekvivalencije, slijedi da (i) hx, zi ∈R. Po pretpostavci hx, yi ∈R 

te,.zbog simetričnosti, (ii) hy,xi ∈R. Željenu tvrdnju hy,zi ∈R dobivamo po 

tranzitivnosti R-a iz (ii) i (i). Pretpostavimo da z ∈ [y]. Po definiciji za klasu 

ekvivalencije, slijedi da hz, yi ∈R te po simetričnosti(iii) hy, zi ∈R. Popretpostavci 

(*) hx, yi ∈R . Željenu tvrdnju hx, zi ∈R dobivamo po tranzitivnosti 

R-a iz (*) i (iii). 3. L-D: trebamo dokazati [x] =[y] → [x] ∩ [y] 6= ∅. Uočimo 

najprije da je zbog 1. isključen slučaj da [x] =∅. Budući [x] 6= ∅, [x] =[y] 

i ∀a(a ∩ a = a), slijedi da [x] ∩ [y] 6= ∅. D-L:nekaje(*)hu, vi element 

presjeka [x] R ∩ [y] R . Po definiciji klase ekvivalencije, vrijedi da (i) hx, ui ∈R 

i(ii)hy, vi ∈R. Zbog simetričnosti, iz (ii) proizlazi hv, yi ∈R, a iz toga (*) 

po tranzitivnosti (**) hu, yi ∈R . Ponovo po tranzitivnost, (i) i (**) proizlazi 

hx, yi. Iz2.znamohx, yi ∈R povlači [x] =[y].


Zadatak 102 Otvorite u Fitch-u Exercise 15.29. Ovaj dokument kao cilj dokaza 

sadrži tvrdnju da je odnos istovjetnosti oblika ekvivalentan. Svrha ove vježbe je pokazati 

da su ciljne rečenice koje iskazuju to svojstvo odnosa posljedica značenja osnovnog 

predikata. Pravilo Ana Con smijete koristiti samo za atomarne rečenice. 

16.3.3.1 Particija 

Neka je D neki skup i neka je P neki skup ne-praznih podskupova od D takvih 

da je svaki element iz D član točno jednog člana iz P . Takav se skup P naziva 

particijom od D. 

Primjer 16.9 

prvoga reda! 

Zapišite gornju definiciju koristeći simbole teorije skupova i jezik logike 

Odgovor 23 

∀a∀b 

· 

ParticijaOd(a, b) ↔ 

gdje [ a = {x |∃y : y ∈ a ∧ x ∈ y}. 

µ ∀c(c ∈ a → (c ⊆ b ∧ c 6= ∅))∧ 

∀x(x ∈ b →∃!c(c ∈ a ∧ x ∈ c) 

¸ 

, 

Zadatak 103 Neka je P particija od D. Definirajmo relaciju E na sljedeći način: 

ha, bi ∈E akko postoji X ∈ P takav da a ∈ X i b ∈ X. Pokažite da je E relacija 

ekvivalencije te da je P skup klasa ekvivalencije za tu relaciju! 

Odgovor 24 Da bismo dokazali da je E relacije ekvivalencije moramo dokazati 

da je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna relacija. (ref) Za svaki predmet z iz 

domene D vrijedi da postoji neki X ∈ P takav da z ∈ X, po definiciji particije. 

Reiteracijom dobivamo da z ∈ X i z ∈ X. Dakle, ∀x : hx, xi ∈E. (sim) 

Pretpostavimo da hu, vi ∈E. Tada postoji neki X ∈ P takav da u ∈ X i v ∈ X, 

po definiciji relacije E. Zbog komutativnosti konjunkcije, dobivamo hv, ui ∈E. 

(tran) Pretpostavimo da hu, vi ∈E i hv, wi ∈E. Tada postoji neki X ∈ P 

takav da u ∈ X, v ∈ X i neki Y ∈ P takav da v ∈ Y , w ∈ Y , po definiciji 

relacije E. Po definiciji particije, svaki predmet iz D mora biti u točno jednom 

članu particije P . Budući da v ∈ X i v ∈ Y ,proizlazidaX = Y . Eliminacijom 

identiteta, dobivamo w ∈ X. Budući da u ∈ X i w ∈ X, dobivamo traženo: 

hu, wi ∈ E. Da bismo dokazali da je svaki X ∈ P klasa ekvivalencije za 

relaciju E moramo pokazati da svaki X ∈ P postoji z ∈ D takav da [z] E = X. 

Pretpostavimo X ∈ P . (*) Tada postoji neki predmet u ∈ X. Instancirajmo 

definiciju relacije E s u, vrijedi∀x :(u ∈ X ∧ x ∈ X) ↔hu, xi ∈E. Kakoje 

E relacije ekvivalencije, dobivamo ∀x :(u ∈ X ∧ x ∈ X) ↔ x ∈ [u] E .Budući 

da po (*) u ∈ X, proizlazi da ∀x : x ∈ X ↔ x ∈ [u] E . Time smo dokazali 

identitetnu rečenicu [u] E = X jer smo pokazali da [u] E ⊆ X i X ⊆ [u] E .


Zadatak 104 Logička razdioba pojma je adekvatna ako je zbroj opsega članova razdiobe 

jednak opsegu diobene cjeline. Iskažite ovu definiciju koristeći jezik teorije skupova. 

Diobenu cjelinu (totum divisionis) označite s t, članove diobe (membra divisonis) označite 

s m 1 ,...,m n . 

Odgovor 25 Logička razdioba pojma čiji je opsega t na članove diobe čiji su 

opsezi m 1 ,...,m n jest adekvatna akko t = m 1 ∪ ... ∪ m n = [ 

m i . 

i∈{1,...,n} 

Zadatak 105 Logička razdioba pojma je jedinstvena ako se njezini članovi me ¯dusobno 

isključuju. Iskažite ovu definiciju koristeći jezik teorije skupova! 

Odgovor 26 Logička razdioba pojma čiji je opsega t na članove diobe čiji 

su opsezi m 1 ,...,m n jest jedinstvena akko ∀a∀b[(a ∈ {m 1 ,...,m n }∧b ∈ 

{m 1 ,...,m n }∧a 6= b) → a ∩ b = ∅. 

Zadatak 106 Iskažite definiciju jedinstvenosti i adekvatnosti divizije koristeći jezik 

teorije skupova i pojam particije! 

Odgovor 27 Logička razdioba pojma čiji je opsega t na članove diobe čiji su 

opsezi m 1 ,...,m n jest jedinstvena i adekvatna akko ParticijaOd({m 1 ,...,m n } ,t). 

16.3.4 Funkcije 

Intuitivno, funkcija je način povezivanja stvari sa stvarima, na primjer dodjeljivanje 

registarskih oznaka vozilima. 

Funkcije se, jednako kao i dijadične relacije, modeliraju u teoriji skupova 

pomoću ure ¯denih parova. Za relaciju R na skupu D kažemo da je funkcija ako 

zadovoljava sljedeći uvjet: 

Funkcionalnost: ∀x∃ 51 yR(x, y) 

Ovaj uvjet kazuje da za jedan’ulaz’ postoji najviše jedan ’izlaz’. Ako funkcija 

ispunjava dodatni uvjet ("postojanja"), onda se kaže da je ona totalna na D: 

Totalnost: ∀x∃yR(x, y) 

Uobičajeno je za oznaku funkcija koristiti mala slova, počevši od f. Obično 

se piše f(x) =y,umjesto∈ f. 

Domena funkcije f je skup:


Rang funkcije f je skup: 

{x |∃y(f(x) =y)} 

{y |∃x(f(x) =y)} 

Funkcije su u perspektivi teorije skupova jedna vrsta relacija. 

Identitena fukcija: id(x) =x za svaki x iz D. 

Zadatak 107 Koji od sljedećih skupova predstavljaju funkcije na skupu D = {1, 2, 3, 4}? 

Za one koji su funkcije, odredite njihovu domenu i rang! 1. {< 1, 3 >, < 2, 4 >, < 

3, 3 >}, 2.{< 1, 2 >, < 2, 3 >, < 3, 4 >, < 4, 1 >}, 3.{< 1, 2 >, < 1, 3 >, < 3, 4 > 

,},4.{< 1, 1 >, < 2, 2 >, < 3, 3 >, < 4, 4 >},5.∅ 

16.4 Partitivni skup 

Uvedimo pojam skupa koji obuhvaća sve podskupe nekog skupa. Partitivni skup 

skupa b je skup svih podskupova od b: 

℘b = {a | a ⊆ b} 

U engleskom jeziku koristi se naziv "powerset". U hrvatskom "potencijski 

skup" ili "partitivni skup". Prvom bismo nazivu možda trebali dati prednost jer on 

sugerira činjenicu da je broj elemenata takvog skupa izgra ¯denog na osnovi skupa 

s n elemenata 2 n , pa se zato partitivni skup skupa a označava s 2 a . K tome, 

termini "partitivni skup" i "particija skupa" slično zvuče i mogu dati pogrešnu 

sugestiju o njihovoj istovjetnosti. 

Primjer 16.10 Neka je i skup njemačkih idealista, i={Kant, Fichte, Schelling, Hegel}. 

℘i ={ ∅, {Kant}, {Fichte}, {Shelling}, {Hegel}, {Kant,Fichte}, {Kant,Schelling}, {Kant,Hegel}, 

{Fichte,Schelling}, {Fichte,Hegel}, {Schelling,Hegel}, {Kant,Fichte,Schelling}, {Kant, Fichte, 

Hegel}, {Kant, Schelling, Hegel}, {Fichte, Schelling, Hegel}, {Kant,Fichte, Schelling, 

Hegel}}. 

Tvrdnja 22 ∀b∃!c∀x(x ∈ c ↔ x ⊆ b) 

Dokaz 24 Po aksiomu komprehenzije, možemo konstruirati skup c = {x | x ⊆ 

b}. Po aksiomu ekstenzionalnosti, može postojati najviše jedan takav skup.


Tvrdnja 23 

Neka su a i b proizvoljni skupovi, 

1.b ∈ ℘b; 

2.∅ ∈℘b; 

3.a ⊆ b akko ℘a ⊆ ℘b 

Dokaz 25 1. Budući da je odnos ⊆ refleksivan, vrijedi b ⊆ b. Po definiciji 

partitivnog skupa: b ∈ ℘b. 2.∅⊆b, zato ∅∈℘b. 3. L-D. Pretpostavimo (*) 

a ⊆ b. Trebamo dokazati da za svaki (i) z ⊆ a vrijedi (ii) z ⊆ b. Relacija 

⊆ je tranzitivna, pa iz (i) i (*) proizlazi traženo: z ⊆ b. D-L. Pretpostavimo za 

svrhu indirektnog dokaza (reductio ad absurdum)da(A)℘a ⊆ ℘b, tj. da za svaki 

z ⊆ a vrijedi z ⊆ b ali (K) ¬a ⊆ b. (K)znači da postoji neki predmet e takav da 

e ∈ a i e/∈ b. Skup {e} očigledno mora biti podskup od a i ne smije biti podskup 

od b, tj.{e} /∈ ℘b. Ali{e} ∈℘a i(A)ako{e} ∈℘a, onda {e} ⊆℘b, pokazuju 

da {e} ∈℘b. Uspostavljena je kontradikcija, pa zato mora vrijediti kondicional 

D-L. 

Zadatak 108 Dokažite ∀x∀y(℘x ⊆ ℘y → x ⊆ y) metodom izravnog dokaza koristeći 

lemu o refleksivnosti za ⊆! 

16.4.1 Mogu li svi podskupovi nekog skupa biti njegovi 

elementi? 

Primjer 16.11 

Venn}} 

Skup {John Venn} je i element i podskup skupa {John Venn, {John 

Sljedeća tvrdnja pokazuje da niti jedan skup ne može imati kao elemente sve 

svoje podskupove. 

Tvrdnja 24 Za bilo koji skup b, nije tako da ℘b ⊆ b. 

Dokaz 26 U dokazu koristimo instancu aksioma komprehenzije (1) i definiciju 

relacije podskupa (2). Započinjemo s formatom univerzalne generalizacije: neka 

je b proizvoljni skup(3). Želimo dokazati ℘b * b. (tj.∀b¬∀x(x ⊆ b → x ∈ b). 

Po aksiomu komprehenzije, možemo konstruirati podskup od b koji je definiran 

ovako c = {x | x ∈ b ∧ x/∈ x} (1. je jedna instanca aksiomske sheme komprehenzije). 

Taj se skup, koji obuhvaća samo one elemente koji nisu svoji vlastiti 

elementi, naziva Russellovim skupom. Po definiciji operacije partitivnog skupa,


vrijedi c ∈ ℘b,jerc ⊆ b (10). Za reductio ad absurdum pretpostavimo c ∈ b (11). 

Po definiciji relacije podskupa: ℘b ⊆ b ako i samo ako ∀x(x ∈ ℘b → x ∈ b). 

Dakle naša je pretpostavka da će skup c za kojeg znamo da je element partitivnog 

skupa od b, tako¯der biti element i od b. Po isključenju trećeg, mora vrijediti 

ili (i) c ∈ c ili (ii) c /∈ c. Ispitajmo prvi slučaj. Ako c ∈ c (12), onda c ne 

ispunjava uvjet zadan s definicijom za c, pa zato c /∈ c (14). Budući c ∈ c 

povlači neistinu (15), zaključujemo da njezina negacija vrijedi, tj. c /∈ c (16). 

No tada c ispunjava uvjet zadan definicijom za c, pa zato c ∈ c (18). Na ovaj 

smo način dokazali i c ∈ c i c /∈ c, a to je kontradikcija (19). Po pravilu za 

uvo ¯denje negacije (reductio ad absurdum), zaključujemo da ne vrijedi c ∈ b, to 

jest - c/∈ b (20).Dakle, postoji podskup od b koji nije njegov element (u 22 je to 

dokazano pod proizvoljnim imenom c, 23 je rezultat eliminacije egzistencijalnog 

kvantifiktarora, 24 je rezultat uvo ¯denja univerzalnog kvantifikatora). Vidimo da 

je c protuprimjer za ℘b ⊆ b, pa zato ℘b * b.


Gornja tvrdnja kazuje da za svaki skup b možemo naći skup c koji je podskup 

od b, ali nije element od b. Naime, možemo konstruirati Russellov skup za b: 

c = {x | x ∈ b ∧ x/∈ x}. 

Tvrdnja 25 

element od b. 

Za svaki skup b, Russellov skup za b jest podskup od b, ali nije 

Zapamtite. 

Partitivni skup skupa b je skup svih podskupova od b: 

℘b = {a | a ⊆ b} 

"Russellovim skupom" za proizvoljni skup b nazivamo skup {x |


x ∈ b ∧ x/∈ x}. 

Zadatak 109 U sljedećem nizu naslućujućih tvrdnji, prona ¯dite istinite i dokažite ih. 

Za neistinite prona ¯dite primjer koji pokazuje njihovu neistinitost 28 .1.∀b : ∅⊆℘b, 2. 

∀b : b ⊆ ℘b,3.∀a∀b : ℘(a ∩ b) =℘a ∩ ℘b. 

Potrebni sastojci: 27 

16.5 Russellov paradoks 

Tvrdnja 26 Postoji skup c takav da ℘c ⊆ c. 

U naivnoj teoriji skupova možemo dokazati ovu tvrdnju. Po aksiomu komprehenzije, 

postoji univerzalni skup koji sadrži sve. To je skup 

c = {x | x = x} 

(U donjem formalnom dokazu premisa 1. je instanca aksiomske sheme komprehenzije 

koja garantira postojanje univerzalonog skupa. Rečenica 2. uvodi 

privremeno ime za takav skup). No kako je to skup svih skupova, onda su 

i svi njegovi podskupovi članovi (poddokaz 3-5 i 6). Zato ℘c ⊆ c, tojest 

∀y(y ∈.℘c → y ∈ c), odnosno ∀y(y ⊆ c → y ∈ c) (7). 

28 

1. Da. Primjenite dokaz da je prazni skup podskup svakog skupa na poseban slučaj partitivnog 

skupa. 

2. Ne. Protuprimjer: {1}, ℘{1} = {∅, {1}}. Naime, kada bi vrijedilo {1} ⊆℘{1}, onda bi 1 

morao biti element od ℘{1}. 

3. Da. Skupovi a i b su identični akko a ⊆ b i b ⊆ a. L-D. Pretpostavimo 

d ∈ ℘(a ∩ b). Kakojed podskup presjeka on sadržava samo predmete koji su i u a iub; tj. 

∀x : x ∈ d → (x ∈ a ∧ x ∈ b). S druge strane, ℘a ∩ ℘b obuhvaća sve podskupove od a iodb 

koji imaju iste članove; tj. d ∈ ℘a ∩ ℘b ↔∀x(x ∈ d → (x ∈ a ∧ x ∈ b)). Budući da desna 

strana bikondicionala vrijedi po pretpostavci, proizlazi traženo: d ∈ ℘a ∩ ℘b. D-L. Pretpostavimo 

d ∈ ℘a ∩ ℘b. Tada vrijedi ∀x(x ∈ d → (x ∈ a ∧ x ∈ b)). Po definiciji relacije podskupa 

dobivamo d ⊆ a ∩ b. A po definiciji partitivnog skupa, slijedi da d ∈ ℘(a ∩ b). .


No, poteškoća je u tome što možem dokazati i negaciju gornje tvrdnje (to 

smo većbiliučinili). 

Tvrdnja 27 Za bilo koji skup b, nije tako da ℘b ⊆ b. 

Naivna teorija skupova je inkonzistentna, čime je pokazano da nešto nije u 

redu s teorijom. 

Russellov skup za univerzalni skup c je skup svega onoga što nije 

svoj vlastiti element: Z = {x | x ∈ c ∧ x 6= x}. Svaka pretpostavka, 

bilo da Z ∈ Z, bilo da Z/∈ Z vodi u apsurd. 

Najkraće Russellov paradoks možemo iskazati koristeći sljedeću instancu 

aksioma komprehenzije: ∃a∀x(x ∈ a ↔ x/∈ x), a ona je nezadovoljiva. 

Reakcije na otkrivenu ?? naivne teorije skupova išle su u različitim smjerovima. 

Jedan način uklanjanja inkonzistentnosti išao je smjerom revizije aksioma 

komprehenzije. Drugi, smjerom revizije sintakse jezika teorije skupova. 

16.5.1 Aksiom separacije 

Reakcija na inkonzistentnost naivne teorije obuhvatila je i ograničenje aksioma 

komprehenzije. 

16.5.1.1 Intuicija veličine 

Jedna reakcija na otkriće inkonzistentnosti išla je smjerom revizije intuicija o 

skupovima. Ekstenzije nekih predikata prevelike su pa zato ne mogu tvoriti 

cjelinu. 

John von Neumann je postavio sljedeće ograničenje: neki predikati imaju 

"prevelike" ekstenzije koje se ne mogu obuhvatiti u jedan skup. Takav je i skup 

Z. Mi znamo da je takav, jer pretpostavka da on postoji vodi u paradoks.


Modifikacija aksioma komprehenzije ostvaruje se najprije tako da se on primijenjuje 

samo na podskupove nekog skupa. Drugim rječima, aksiom omogućuje 

konstrukciju isključivo podskupova, sam skup, čiji se podskup formira, većtreba 

biti raspoloživ. Intuitivno, ako nam je dan skup a i isf-a P (x), onda možemo 

sačiniti podskup od a: 

{x | x ∈ a ∧ P (x)} 

Idejajeslijedeća: ako a nije "prevelik", onda ni njegov podskup neće biti 

"prevelik". 

Nova, modificirana aksiomska shema naziva se aksiomom separacije: 

tj. 

∀a∃b∀x[x ∈ b ↔ (x ∈ a ∧ P (x))] 

∀z 1 ...∀z n ∀a∃b∀x[x ∈ b ↔ (x ∈ a ∧ P (x))] 

Aksiom separacije blokira mogućnost konstrukcije univerzalnog skupa (jer 

omogućuje konstrukciju samo podskupova nekog danog skupa). 

Aksiom separcije: 

Mogu se konstruirati (postoje) samo skupovi koji nisu "preveliki". 

16.5.2 Russellova teorija tipova 

Drugi način blokiranja inkonzistentnosti išao je smjerom revizije sintakse i ontologije. 

Sintaksa Ontologija Primjeri 

ad infinitum 

Razina3 PredikatizaTip0,Tip1iTip2 U 3 

Razina2 PredikatizaTip0iTip1 U 2 = ℘U 1 Mnogobrojan; VećeOd (?) 

Razina 1 Predikati koji se primjenjuju na Tip 0 U 1 = ℘U 0 Kosook; Kocka 

Razina 0 "Pojedinačni predmeti" U 0 = {x : x je pojedinačnost} Konfucije 

Rečnica x ∈ y koristi binarni predikat ’∈’ koji se smije primijeniti samo 

na predmete različitog tipa. Označimo s t n tip kojemu pripada pojedini izraz, 

onda je rečenica t n ∈ t m ispravno sastavljena samo ako je m>n. Zbog toga, 

formula kojom se konstruira Russellov skup nije ispravno sastavljena formula. 

x/∈ x jednostavno ne uspijeva iskazati niti jedan uvjet. 

Teorija tipova: 

Kada se jedan simbol predicira drugome, prvi mora pripadati 

višem tipu a drugi nižem.


16.5.3 Pokušaj jednog filozofskog objašnjenja 

Popper, Sir Karl Raimund (1902-1994) 

Popperova epistemologija podsjeća na Kantovu: Kant je tvrdio da ljudski 

razum ne izvodi oblik mišljenja iz prirode nego ga nameće prirodi. Kant je 

koristio termin "sintetički sudovi a priori" da bi označio istinite rečenice koje 

nisu logičke istine (tj. gdje poznavanje značenja upotrebljenih znakova nije 

dovoljno da bi se utvrdila istinititost rečenice), no unatoč tometerečenice jesu 

nužno istinite (ovdje se riječ ’nužno’ može shvatiti u značenju ’u svim zamislivim 

okolnostima’). Drugim riječima, struktura ljudskog razuma odre ¯duje spoznaju. 

Na primjer, razum može ’otkriti’ prirodne zakone, ali ideja zakonitosti prirodnih 

doga ¯danja nije otkrivena nego zadana razumu. Slično, po Kantovom mišljenju 

vrijedi i za matematiku. 

Primjenimo Kantovo učenje na teoriju skupova. Ako je aksiom(ska shema) 

komprehenzije sintetički sud a priori, onda (1, "sintetički" dio) pojam ’stvari koje 

ispunjavaju uvjet U’ neuključuje pojam ’skup stvari koji ispunjavaju uvjet U’ i 

(2, "a priori" dio) aksiom je nužno istinit. Ovo drugo svojstvo (a priori, lat. iz 

prethodnog) svrstalo bi aksiom na stranu logike, a ne na stranu činjenične tvrdnje, 

tvrdnjeodkojeseneočekuje da bude nužno istinita. 

Popper se slaže s time da je polazište spoznaje leži u vrlo općenitim načelima. 

No, ta načela nisu neizbježna. Ona su tek hipoteze koje mogu biti i najčešće 

bivaju modificirane ili odbačene. Primjenimo li Popperovu teoriju o spoznaji 

na razmatrani primjer dobivamo jednostavno objašnjenje. Ideja o skupu nije 

"priro ¯dena", "zadana", "neizbježna". Ona se re-konstruira u procesu učenja na 

greškama. 

16.6 Zermelo Fraenkel teorija skupova 

Prvu je aksiomatizaciju teorije skupova dao 1908. Ernst Zermelo, njemački 

matematičar. Na osnovi analize paradokasa, on je zaključio da 

su oni povezani sa skupovima koji su "preveliki", poput skupa svih 

skupova... Zbog toga, Zermelovi aksiomi su restriktivni s obzirom 

na pitanje egzistencije skupova. Zermelov aksiomatski sustav obično 

se razmatra u obliku koji uključuje modifikacije i poboljšanja koja su


dali Norvežanin Thoralf Albert Skolem, pionir u metalogici, i Abraham 

Adolf Fraenkel, izraelski logičar. U literaturi, sustav se naziva 

Zermelo-Fraenkelovom teorijom skupova iako bi povijesno gledajući 

bilo točnije nazivati je Zermelo-Skolem-Fraenkelovom teorijom. 

Dva aksioma naivne teorije skupova omogućavala su nam dokaze postojanja 

i jedinstvenosti raznovrsnih skupova. 

Primjer 16.12 Dokažimo jedinstvenost i postojanje unije skupova, tj. ∀a∀b∃!c∀x(x ∈ 

c ↔ (x ∈ a∨x ∈ b)). U dokazu trebamo dokazati (i) da postoji barem jedan takav skup, 

tj. ∀a∀b∃c∀x(x ∈ c ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ b)),i (ii) da postoji najviše jedan takav skup,tj. 

∀a∀b∀c∀d∀x[((x ∈ c ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ b)) ∧ (x ∈ d ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ b))) → c = d]. 

Prvi dio (i) izravno slijedi iz aksioma komprehenzije kao jedna njegova instanca. Drugi 

dio (ii) zahtijeva primjenu aksioma ekstenzionalnosti. Pretpostavimo da suc i d skupovi 

čiji su članovi upravo oni predmeti koji su elementi u a ili u b. Trebamo dokazati ∀x(x ∈ 

c ↔ x ∈ d). 

Nakon toga primjena aksioma ekstenzionalnosti daje željeni rezultat: 

Na kraju po pravilu za ∀ intro dobivamo (ii). 

Revizija aksioma komprehenzije blokirala je dokaze ovakve vrste. Zato u 

Zermelo-Fraenkelovoj teoriji skupova moraju biti zastupljeni i aksiomi koji će 

garantirati egzistenciju skupova odre ¯denih vrsta. 

16.6.1 Aksiomi Zermelo-Fraenkelove teorije skupova 

1. Aksiom ekstenzionalnosti.


Nije sporan. Jednak je aksiomu ekstenzionalnosti u naivnoj teoriji. 

2. Aksiom separacije. 

Dopušta tvorbu skupova stvari koji zadovoljavaju neki uvjet iz 

već postojećeg skupa. 

3. Aksiom neure ¯denog para: za bilo koja dva predmeta postoji skup koji ih 

ima kao svoje članove, 

4. Aksiom unije: ako je dan bilo koji skup skupova a, unija svih njegovih 

elemenata tako ¯der je skup. To jest: 

∀a∃b∀x[x ∈ b ↔∃c(c ∈ a ∧ x ∈ c)] 

5. Aksiom partitivnog skupa: svaki skup ima partitivni skup 

6. Aksiom beskonačnosti: postoji skup svih prirodnih brojeva. 

Evo dviju formalizacija ovog aksioma. 

∃a[∅ ∈a ∧∀b(b ∈ a → b ∪{b} ∈a)] 

∃a[∃x(x ∈ a∧∀y : y/∈ x)∧∀x(x ∈ a →∃y(y ∈ a∧∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x∨z = x))] 

Pogledajmo kako aksiom generira beskonačni skup:0 ili ∅, 1 

ili ∅ ∪ {∅} = {∅}, 2 ili {∅}∪ {{∅}} = {∅, {∅}}, 3 ili {∅, {∅}} ∪ 

{{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, itd. 

Kumulativna hijerarhija: polazeći od praznog skupa postupno se 

putem definiranih operacija konstruiraju daljni skupovi. U procesu se 

ne koriste početni elementi. Mnogi beskonačni skupovi mogu nastati, 

ali ne i univerzalni skup. 

7. Aksiom zamjene: ako je dan neki skup a i operacija F koja definira 

jedinstveni predmet za svaki x iz a, onda postoji skup {F (x) | x ∈ a}. Drukčije 

kazano, ako ∀x(x ∈ a →∃!yP(x, y)), onda postoji skup b = {y |∃x(x ∈ 

a ∧ P (x, y))} 

Još jedan način tvorbe novih skupova od postojećih. 

8. Aksiom izbora: Ako je f funkcija s nepraznom domenom a i ako za svako 

x ∈ a, f(x) jest neki neprazni skup, onda tako ¯der postoji funkcija g tako ¯der


s domenom a takvadazasvakox ∈ a, g(x) ∈ f(x). (Funkcija g naziva se 

funkcijom izbora jer za svako x iz a ona bira jedan element iz f(x).) 

Ako se Zermelo-Fraenkel teorija skupova koristi zajedno s aksiomom 

izbora, onda se označava s ZFC ("C" stoji za eng. "choice", 

izbor). Aksiom izbora postulira postojanje odre ¯denog skupa (skupa 

izbora) ali za razliku od drugih aksioma te vrste (3, 4 i 5) on ne daje 

upute kako se taj skup konstruira. Ta nekonstruktivna narav aksioma 

izazvala je brojne rasprave. 

9. Aksiom regularnosti: nijedan skup nema neprazan presjek sa svakim od 

svojih elemenata: 

∀b[b 6= ∅→∃y(y ∈ b ∧ y ∩ b = ∅)] 

Ovaj aksiom isključuje skupove koji su svoji vlastiti elementi. 

Pomoću ovoga aksioma može se pokazati da je relacija ∈ irefleksivna i 

asimetrična. 

Povijest pojma o skupu i relaciji ∈ pokazuje da nije riječ jednostavnim pojmovima. 

S filozofskog stajališta, nipošto nije primjereno odbaciti razmatranje 

tog pojma s riječima: "Skup je primitivan pojam i o njemu se ne može ništa 

reći mimo onoga što aksiomi o njemu tvrde." takvo odbacivanje nije primjereno 

jer su upravo razmatranja o pojmu skupa vodila prema otkriću nezadovoljivosti 

naivne teorije i konstrukcijama aksiomatske teorije. U pozadini ZF-teorije stoje 

dvije osnovne intuicije: skupovi ne mogu biti preveliki i skupovi se postupno 

konstruiraju. O ovoj drugoj intuiciji govori aksiom regularnosti. Zašto ne bi 

smjelo vrijediti x ∈ x? Odgovor se mora pozvati na neku temeljnu ideju. 

16.6.1.1 Kumulativni skupovi 

Promotrimo skup a = {a}. Ako bismo ga htjeli zapisati u popis zapisu, susreli 

bismo se poteškoćama: {a} ali a = {a}, pazato{{a}} ali a = {a}, pa zato 

{{{a}}}, itd. Najbliže što možemo doći jest da naznačimo beskonačno "ugnjež 

¯divanje" a = {{{...}}}. Budući da je svoj jedini član tj. a = {a}, slijedi da je 

on jednočlani skup. Zbog toga intuicija o ograničenoj veličini skupova ne može 

odbaciti ovakve skupove. 

Logičar Zermelo tvrdio je da o skupovima trebamo misliti kao o nečemu 

što nastaje na osnovi apstraktne radnje povezivanja u cjelinu predmeta koji su 

nam već dani. prije no što se izgradi neki skup njegovi elementi već moraju biti 

izgra ¯deni. na osnovi ovakve "kumulativne" metafore možemo objasniti zašto se 

skup a = {a} ne može izgraditi. Da bi se taj skup konstruirao prethodno mora 

biti izgra ¯den njegov jedini element, ali to je on sam. Kumulativna konstrukcija 

zahtijeva da element nekog skupa bude konstruiran u nekom prethodnoj fazi, a 

član iregularnog skupa ne može biti konstruiran u prethodnoj fazi. 

Joseph Shoenfield pokušao je opravdati aksiome ZFC teorije pozivajući se


na intuicije u "redoslijedu" konstrukcije: neki skup može nastati ako su njegovi 

članovi nastali prije njega (gdje riječ ’prije’, kaže on, treba razumjeti u logičkom 

a ne u temporalnom smislu). Pogledajmo kako se opravdava aksiom beskonačnosti. 

Pogledajmo zašto je aksiom beskonačnosti istinit. Neka je x 0 prazni skup 

azasvakin neka je x n+1 skup čiji su članovi — članovi od x n isam 

x n . Na bilo kojem stupnju možemo formirati x 0 ;akojex n formiran na 

nekom stupnju, onda se x n+1 može formirati na bilo kojem kasnijem stupnju. 

Pretpostavimo da je x n nastao na stupnju S n . Tada postoji stupanj S 

koji se javlja nakon svih stupnjeva uključno do S n . Na ovom stupnju, 

možemo formirati skup x čiji su članovi x 0 ,x 1 ,...Ovaj x je onaj skup čije 

postojanje tvrdi aksiom beskonačnosti. 

Ako pažljivo pročitamo Shoenfieldovo objašnjenje, vidjet ćemo da se njime 

obrazlaže neograničena mogućnost da se po "receptu" aksioma beskonačnosti 

sačini dodaju novi i novi skupovi. No, zar aksiom ne tvrdi nešto jače od toga 

— postojanje skupa s beskonačno mnogo članova. Shoenfieldovo objašnjenje 

pokazuje kako bi beskonačno mnogo takvih članova moglo nastati, ali ne objašnjava 

kako bi mogao nastati skup koji bi ih obuhvaćao. Takvo objašnjenje 

zahtijevalo bi postojanje stupnja nakon beskonačnog broja stupnjeva i intuiciju 

aktualne beskonačnosti koja čini se nedostaje mnogim filozofima nakon Aristotela. 

16.6.1.2 Problem veličine 

Moguće je dovesti u pitanje intuiciju o skupovima kao o predmetima koji nisu 

preveliki. 

Najprije se trebamo osvrnuti na činjenicu da partitivni skup nekog skupa koji 

ima n članova ima 2 n članova. Ako, na primjer, neki skup ima 1000 članova, 

onda njegov partitivni skup ima 2 1000 -veći (kako se kaže) od broja atoma u 

svemiru. 

No što se doga ¯da ako je broj članova nekog skupa beskonačan? 

16.6.1.3 Kantorovska veličina 

Definicija 14 Funkciju f nazivamo injektivnom ili 1 − za − 1 ako za različite 

predmete u svojoj domeni ona dodjeljuje različite predmete u svom rangu: ako 

f(x) =f(y) onda x = y za sve x, y iz domene funkcije f. 

Označimo s |b| kantorovsku veličinu skupa b. Kažemo da dva skupa b i c 

imaju istu kantorovsku veličinu, |b| = |c| akko se njihovi elementi mogu povezati 

na način 1−za−1, to jest - ako postoji injektivna funkcija s domenom b i rangom 

c. 

Zadatak 110 Pokažite da je gornja definicija jednakobrojnosti skupova a i b ekvivalentna 

s tvrdnjom da postoji bijektivna funkcija izme ¯du a i b.


Odgovor 28 Funkcija f sa skupa a uskupb je surjekcija akko je (i) rang 

te funkcije skup b, tojest,b = {y |∃x : f(x) =y}. [Neki autori razlikuju 

kodomenu i rang funkcije: kodomena je skup mogućiharang-skupstvarnih 

vrijednosti funkcije. Kod surjekcije kodomena i rang su jedan te isti skup.] (*) 

Funkcija je bijekcija (1 − za − 1 korespondencija) akko je ona surjekcija i (ii) 

injekcija. Moramo pokazati da je prva definicija ekvivalentna drugoj: a to ćemo 

učiniti ako pokažemo da prva povlači drugu i obratno. L-D Pretpostavimo da 

postoji injektivna funkcija f s domenom b i rangom c. Reiteracijom dobivamo da 

je f injekcija a, po definiciji (*) - slijedi da je f surjekcija. D-L Pretpostavimo 

da je funkcija f s a u b bijekcija. Ona je tada injekcija i njezin je rang b. A to je 

upravo prva definicija. 

Zadatak 111 Neka je f(x) =2x za bilo koji prirodni broj x. Što je domena ove 

funkcije? Što je rang ove funkcije? Je li ta funkcija 1 − za − 1? 

Odgovor 29 Domena ove funkcije je skup prirodnih brojeva N. Rang ove 

funkcije je skup parnih brojeva {x | x ∈ N ∧∃y(y ∈ N ∧ x :2=y)}. Ta je 

funkcija 1 − za − 1 jer je vrijednost 2x različita za svaki x. 

Vidimo da postoji injektivna funkcija s domenom prirodnih brojeva i rangom 

parnih brojeva. Zato oni imaju jednaku kantorovsku veličinu. 

Cantor je pokazao da za bilo koji skup b vrijedi 

|℘b| > |b| 

Budući da aksiom beskonačnosti garantira postojanje beskonačnog skupa, 

a aksiom partitivnog skupa omogućuje konstrukciju partitivnog skupa, onda će 

kantorovska veličina (i) partitivnog skupa beskonačnog skupa biti veća od kantorovske 

veličine (ii) beskonačnog skupa. No i (i) spomenutom partitivnom 

skupu možemo konstruirati partitivni koji će opet biti veći. Nisu li takvi skupovi 

"preveliki" da bi bili cjeline? 

Zadatak 112 

Dokažite da za bilo koji skup b, |℘b| 6= |b|! 

Dokaz 27 Poslužimo se metodom indirektnog dokaza. Pretpostavimo (*) |℘b| = 

|b|. Po definiciji za kantorovsku veličinu, onda postoji injektivna funkcija f s 

domenom ℘b i rangom b. Svi elementi od ℘b podskupovi su od b, zato možemo 

spravompitatizasvakix ∈ b je li slučaj da ako f(y) = x tada x ∈ y. 

Razmotrimo skup c = {x |∃y(x = f(y) ∧ x/∈ y)}, skupsvihelemenataodb 

koji nisu elementi onog podskupa od b kojemu su pridružene po funkciji f. Po 

pretpostavci (*) postoji f(c). Dodjelimo mu ime u. Mora biti slučaj da ili (i) 

u ∈ c ili (ii) u/∈ c. ispitajmo slučajeve. (i) Ako u ∈ c, onda u mora zadovoljavati


uvjet ∃y(x = f(y) ∧ x/∈ y), pa zato mora vrijediti u/∈ c. Kontradikcija. (ii) 

Pretpostavimo u/∈ c. Tadau ispunjava uvjet ∃y(x = f(y)∧x /∈ y) jer u = f(c). 

Zato, u ∈ c. Kontradikcija. 

Različite ideje o skupovima 

B. Russell E. Zermelo, A. Fraenkel,... W.V.O. Quine P. Aczel 

Razdvojeni slojevi Utemeljeni Supostojanje Bez temelja 

Ograničena veličina 

Poredak nastanka 

theory of types ZFC new foundations non-well-founded sets 

Neke razlike Russell ZFC Aczel 

Koliko ima praznih skupova? Beskonačno Jedan 

ako n 6= m, ∅ n 6= ∅ m 

Može li se govoriti o svim skupovima? Ne Da 

Je li relacija ∈ irefleksivna? Da Da Ne 

’x n ∈ x n ’ - sintaktička greška aksiom regularnosti ∃a : a = {a} 

16.6.1.4 Primjene 

Pogledajmo na jednom primjeru dalekosežan utjecaj kojega logička i filozofska 

pitanja imaju na pitanja obrazovanja. Jean Piaget postavio je pitanje o tome kako 

se stječe pojam o broju. Da bi se odgovorilo na to pitanje potrebno je imati, ili, 

boljejereći, pretpostaviti odgovore na prethodna pitanja: što je pojam, što je 

učenje i što je broj. Jean Piaget, iako nije dao vlastitu teoriju prirodnih brojeva, 

zanimljiv je u filozofiji matematike budući da uvodi novi tip argumentacije i navješćuje 

strukturalističku teoriju o brojevima. Izlaganje ćemo započeti s njegovom 

[?] osnovnom tezom (str. 30.): 

Pojam cijelog broja je s psihološkog stajališta sinteza skupa i tranzitivnog 

asimetričnog odnosa, drugim riječima, sinteza u kojoj se logičke operacije 

koordiniraju na novi način - što je rezultat odbacivanja njihovih razlika. 

Zato svaki pojam broja istodobno uključuje i ordinalni i kardinalni aspekt.” 

Temeljne logičke operacije Piaget naziva ”inkluzijom” i ”serijacijom”. Pod 

”inkluzijom” razumijeva ono što se obično naziva apstrakcijom ili generalizaci-


jom, dakle postupak kojim se niz predmeta povezuje na temelju izdvajnja njihovih 

sličnosti i zanemarivanja njihovih razlika 29 Riječ je o svojevrsnom ”mišljenju 

jedinstva” - različiti predmet povezuju se u jedinstvenu cjelinu (pojam, 

skup). Petogodišnje dijete iz Piagetovo eksperimenta promatra kolekcijupločica, 

sve pločice su plave, no neke su pravokutne a neke zaobljene. Piaget pita: Jesu li 

sve plave pločice okrugle?, a dobiva postotak točnih odgovora koji tek neznatno 

premašuje slučajno poga ¯danje. Dijete ne odgovara točno na ovo pitanje jer još 

nije ovladalo s operacijom inkluzije, tj. ono još nema sposobnost da isti predmet 

istodobno svrsta u različite skupove; iako dijete povezuje po sličnosti ono 

još ne ”povezuje takva povezivanja”. Druga operacija je serijacija, nazovimo 

je mišljenjem razlike. Ovdje se predmeti ne povezuju po sličnostima, već se 

sre ¯duju s obzirom na njihove razlike. U predoperacijskoj fazi petogodišnjak 

točno odgovara na pitanje koji je predmet veći, kada se ukloni veći predmet, 

a manjem se doda još manji dijete opet točno odgovara, ali na pitanje je li onaj 

prvi predmet kojega ono više ne vidi više od trećega dijete ne zna odgovoriti i 

traži da mu se ponovo pokaže prvi predmet kako bi moglo usporediti. Dijete još 

ne prepoznaje tranzitivnost odnosa ”biti-veći-od” ili ”ne povezuje povezivanje po 

razlici”. Dovršenje tih dviju intelektualnih operacija, Piaget ih naziva logičkima, 

potrebno je za numeričku intelektualnu operaciju. Da bismo razumjeli kako i 

zašto ponovit ćemo Piagetovu kritiku logicizma i intuicionizma. 

Logicizam broj promatra kao ”skup ekvivalentnih skupova”, no s psihološkog 

stajališta apstrakcija koja vodi k tvorbi skupa (iz U 1 ) razlikuje se od apstrakcije 

koja vodi k tvorbi skupa jednakobrojnih skupova tj. broju (barem iz U 2 ). 

Primjer 16.13 0 je skup skupova {a |∀x : x/∈ a}, zbog aksioma ekstenzionalnosti 

{∅}. 1 je skup {a |∃x(x ∈ a ∧∀y(y ∈ a → y = x))}. 2 je skup {a |∃x∃y(x 6= y ∧ x ∈ a ∧ y ∈ a ∧∀z(z ∈ a → (z 

Inasličan način dalje. 

Primjer 16.14 Ako prirodne brojeve shvatimo na ovaj način, onda za stjecanje takvih 

brojeva treba ovladati: (i) apstrakcijom, kvalificirane vrste koja tvori skupove na osnovi 

svojstava njihovih elemenata, (ii) bijekcijom, za tvorbu skupova koji su brojevi, (iii) 

individuiranjem predmeta.po mjestu u nizu. 

Uprvomslučaju neka svojstva odbacujemo, a neka zadržavamo i na tom 

temelju različite predmete povezujemo u cjelinu i dajemo im zajednički naziv. 

Noudrugomslučaju sva svojstva predmeta moraju biti zanemarena jer za obostrano 

jednoznačno pridruživanje nije važno koji se predmeti povezuju. Takva apstrakcija 

koja zanemaruje sva svojstva nije više apstrakcija, jer lišiti predmet 

svih svojstava znači nemati ga više. 30 Zato takva ”ekstremna” apstrakcija zahtjeva 

nadopunu s komplementarnom operacijom, a to je ”ekstremna” serijacija. 

Svako ure ¯divanje kolekcije predmeta na temelju njihove razlike pretpostavlja razlikovanje 

vrijednosti/intenziteta nekog svojstva. No budući da su ”ekstremnom 

29 

30 

Usporedi s aksiomom apstrakcije. 

Berkeley:”Što ostaje kada trešnju lišimo svih svojstava?”


apstrakcijom” predmeti lišenih svih svojstava to komplementarna ”ekstremna 

serijacija” unosi razliku u ”položaju” i tako restituira predmete dajući im svojstva 

koja imaju kao članovi niza. Operacije serijacije i inkluzije ”koordiniraju se na 

novi način - što je rezultat odbacivanja njihovih razlika”. Numerička operacija 

pretpostavlja logičke jer je njihov produžetak (ekstrem), ali nije istovjetna s njima 

jer im mijenja karakter. Na temlju spomenute analize i intuicizam pokazujesvoje 

slabosti, jer ako broj pretpostavlja logiku, onda intuicija nije temelj. 

Nažalost, čini se da vrijednost Piagetove briljantne analize umanjuje činjenica 

da on preuzima logicistički pojam broja, za kojeg imamo razlog odbacivanja. 

Mogući povrat vrijednosti Piagetov analizi bio bi u ukazivanju da njegova 

teorija tumači spoznajni postanak predznanstvenog pojma broja.

Poglavlje 17 

Matematička indukcija 

Matematička indukcija nije indukcija na osnovi uzorka niti indukcija nabrajanjem. 

Potonje ili nisu oblik deduktivnog zaključivanja ili ne mogu opravdati 

općenitu konkluziju koja se odnosi na beskonačno mnogo slučajeva. Matematička 

indukcija nije indukcija u smislu izvo ¯denja općenite konkluzije na temelju 

konačnog broja opažanja. Takva "empirijska" indukcija na temelju uzorka je 

osporiva: ona ne može potpuno opravdati općenitu konkluziju (koja se odnosi ili 

i na neopažene slučajeve ili na na beskonačno mnogo slučajeva) Nasuprot tome 

matematička indukcija može opravdati općenitu konkluziju (koja se odnosi na 

beskonačno mnogo slučajeva) na temelju konačnog dokaza. 

17.1 Malo povijesti "nematematičke" indukcije 

Kritike indukcije: 

"Da bi indukcija imala snagu dokaza, morala bi ispitati sve pojedine 

slučajeve koliko ih god ima. No, takvoj indukciji nema mjesta u 

utvr ¯divanju prirodnih zakona" Ru ¯der Bošković (1711-1787) 

Samo psihološka "nužnost", ne i logička. David Hume (1711- 

1776) 

17.2 Kako matematička indukcija može opravdati 

187

188 Poglavlje 17 Matematička indukcija 

općenitu konkluziju koja se odnosi na beskonačan broj 

slučajeva? 

Matematička se indukcija može primijeniti samo ako je beskonačni skup predmeta 

čije općenito svojstvo dokazujemo definiran induktivno. 

17.2.1 Induktivna definicija 

Induktivna definicija ima tri dijela. 

1. Osnovna klauzula navodi osnovne elemente skupa kojeg definiramo. 

2. Jedna ili više induktivnih klauzula kazuju kako se tvore dodatni 

elementi od većdanih. 

3. Završna klauzula koja kazuje da su svi elementi ili osnovni ili 

dobiveni po induktivnoj klauzuli. 

Primjer 17.1 Induktivna definicija pal-niza slova. Osnovna kaluzula: svako slovo 

abecede je pal. Induktivna klauzula: ako je niz slova α pal, onda je pal i niz slova koji 

nastaje kada se α doda isto slovo sprijeda i straga (npr. bαb). Završna klauzula: ništa 

nije pal osim onoga što se dobije ponovljenom primjenom osnovne i induktivne klauzule. 

Primjer 17.2 Induktivna definicija rečenice propozicijske logike L*. Osnovna klauzula: 

atomarne rečenice su rečenice propozicijske logike L*. Induktivna klauzula: ako su 

φ i ψ rečenice propozicijske logike L*, onda su i ¬φ, (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), 

(φ ↔ ψ) rečenice propozicijske logike L*. Završna klauzula: ništa drugo nije rečenica 

propozicijske logike L*. 

Primjer 17.3 Primjer iz literature. /K. Gödel, "O formalno neudlučivim iskazima..."/ 

Definicija skupa formula. Osnovna klauzula: elementarna formula je kombinacija simbola 

oblika a(b) gdje je b termin n-tog tipa,i a termin n +1tipa Elementarna formula 

je član skupa formula Induktivna klauzula: ako a i b pripadaju skupu formula onda tom 

skupu pripadaju i ¬(a), (a) ∨ (b), ∀x(a) Završna klauzula: skup formula je najmanji 

skup čiji članovi zadovoljavaju gornje uvjete. 

Primjer 17.4 Primjer iz literature. Induktivne definicije ponekad se zapisuju u takozvanom 

Backus-Naur obliku. "Osnovni jezik modalne propozicijske logike ima sljedeće 

formule: 

P ::= propozicijski atomi p, q, r,... 

F ::= P |¬F | (F ∧ F ) | ♦F " 

Osnovna klauzula pokazuje da su propozicijski atomi osnovni elementi. U donjem retku 

pokazuje se kako se od već postojećih formula F dobivaju nove. To jest: 

F ::= 

P |{z} 

osnovni 

|¬F | (F ∧ F ) | ♦F 

| {z } 

tvorba novih


Zadatak 113 

Iskažite definiciju za pal u Backus-Naur obliku! 

Odgovor 30 Označimo skup nizova slova koji su pal s π. 

λ ::= slova a, b, c,... 

π ::= λ | πλπ 

17.3 Induktivni dokaz 

Zamislimo da moramo dokazati da svaka rečenica propozicijske logike L* sadrži 

barem jednu atomarnu rečenicu. Uočimo da tvrdnja ima oblik općenitog kondicionala: 

∀x[Reč_Iz_L ∗ (x) → Q(x)] i da se odnosi na beskonačno mnogo 

slučajeva. Da bismo dokazali ovakvu tvrdnju, najprije ispitujemo imaju li osnovni 

elementi svojstvo Q (u ovom primjeru, sadržavaju li barem jednu atomarnu 

rečenicu). Očigledno je da imaju: osnovni se elementi sastoje upravo od jedne 

atomarne rečenice. Zatim ispitujemo naslje ¯duje li se to svojstvo. Ako "stari" 

elementi imaju to svojstva hoće li ga imati i "novi" koji su iz "starih" dobiveni 

primjenom induktivne klauzule? Očigledno je da hoće. Pretpostavimo da φ i 

ψ imaju barem jednu atomarnu rečenicu. Budući da ¬φ sadrži sve atomarne 

rečenice koje sadrži φ, onda ¬φ ima barem jednu atomarnu rečenicu. Budući da 

(φ ∧ ψ) sadrži sve one atomarne rečenice koje se javljaju u φ i ψ, onda (φ ∧ ψ) 

ima barem jednu atomarnu rečenicu. I tako dalje,... Budući da "nove" rečenice 

nisu mogle nastati nikako drukčije osim putem primjene induktivne klauzule, 

zaključujemo da sve rečenice iz L∗ imaju traženo svojstvo. 

Ako raspolažemo s induktivnom definicijom skupa, onda induktivan 

dokaz zahtijeva dva koraka. 

1. Osnovni korak: u kojem se pokazuje da osnovni elementi 

imaju traženo svojstvo 

2. Induktivni korak: u kojemu se pokazuje da ako neki elementu 

imaju traženo svojstvo, onda to svojstvo imaju i elementi koji su dobiveni 

primjenom induktivnih članaka. 

Pretpostavka s kojom započinje induktivni korak naziva se induktivnom 

hipotezom. 

Primjer 17.5 Dokažimo da se svaki pal čita jednako sprijeda i straga, tj. da je svaki 

pal palindrom. Dokaz. Osnova: Osnovni elementi su pojedinačna slova. bilo koje 

pojedinačno slovo jednako se čita u oba smjera. Indukcija: Pretpostavimo da se pal α 

jednako čita u oba smjera (induktivna hipoteza). Moramo pokazati da ako dodamo neko 

slovo s u skladu s induktivnom klauzulom na početak i na kraj niza α, da će se onda 

rezultat, sαs čitati jednako u oba smjera. Kada okrenemo niz - dobit ćemo sα 0 s gdje je 

α 0 obrnuti zapis za α. Po induktivnoj hipotezi α 0 = α, zato je rezultat obrata za sαs 

upravo sαs. Na osnovi indukcije, zaključujemo da je svaki pal palindrom.


Metafora. Domine moraju biti tako složene (definicija mora biti induktivna)dakadjednadominapadne-tadapadaisljedeća 

(induktivni korak). 

Da bi se sve domine srušile potrebno je gurnuti prvu (osnovni korak). 

Zadatak 114 Definirajmo egzistencijalnu ispravno sastavljenu formulu(isf-u) induktivnim 

načinom. Osnovna klauzula. 1. Svaka atomarna isf ili njezina negacija je egzistencijalna 

isf (drugim riječima, svaki literal je egzistencijalna isf). Induktivne klauzule. 

2. Ako su P 1 , ..., P n egzistencijalne isf-e, onda su egzistencijalne isf-e i (P 1 ∨ ... ∨ P n ) 

i (P 1 ∧ ... ∧ P n ). 3. Ako je P egzistencijalna isf, onda je ∃vP egzistencijalna isf, za 

bilo koju varijablu v. Završna klauzula. 4. Ništa drugo nije egzistencijalna isf-a osim 

onoga što je dobiveno po klauzulama 1-3. Dokažite sljedeće činjenice putem indukcije! 

(a) Ako je P egzistencijalna isf, onda je ona logički ekvivalentna preneksnoj isf-i koja 

nema univerzalnih kvantifikatora. (b) Pretpostavite da je P egzistencijalna rečenica iz 

jezika za Tarski’s World. Dokažite da ako je P istinita u nekom svijetu, onda će P ostati 

istinita ako se tom svijetu dodaju novi predmeti! 

Odgovor 31 (a) Najprije nam treba definicija preneksne (normalne) forme. Isf 

logike prvoga reda je u preneksnoj normalnoj formi ako ona ne sadrži kvantifikatore 

ili se svi kvantifikatori nalaze "na početku" formule. Trebamo dokazati ekvivalentnost. 

Drugim rječima, moramo pokazati da ako vrijedi P , koja je egzistencijalna 

isf, onda vrijedi neka formula Q koja nema univerzalnih kvantifikatora, 

i obratno. Osnovni korak: osnovne egzistencijalne isf su u preneksnoj formi jer 

ne sadrže kvantifikatore. Zato su logički ekvivalente formule u preneksnoj formi 

bez ∀ za njih upravo oni sami. Induktivni korak: pretpostavimo da za egzistencijalne 

isf-e P 1 ,...,P n postoje logički ekvivalente ∃v 1 ...∃v i Q 1 ,..,∃v 1 ...∃v j Q n 

koje imaju traženi oblik. Trebamo ispitati dva slučaja tvorbe po klauzuli 2. Ako 

je formula dobivena po induktivnoj klauzuli iz P 1 ,...,P n -formula(P 1 ∨...∨P n ), 

onda se tražena ekvivalencija može dobiti zahvaljujući distributivnosti ∃ prema 

∨ ionaje∃v 1 ...∃v n (Q 1 ,...,Q n ). Ako je formula (P 1 ∧ ... ∧ P n ), onda možemo 

preimenovati varijable i ekvivalentna formula će po načelu nulte kvantifikacije 

biti ∃v 11 ...∃v 1i ...∃v n1 ...∃v nj (Q 1 ∧...∧Q n ). Za klauzulu 3. pretpostavimo da je P


egzistencijalna isf i da je ∃v 1 ...∃v i Q njoj ekvivalentna. Tada je za egzistencijalnu 

isf ∃vP - tražena ekvivalencija ∃v∃v 1 ...∃v i Q. 

(b) Ostavljamo čitatelju. 

Neki autori razlikuju dvije vrste matematičke indukcije: prirodnu i snažnu. U 

prirodnoj indukciji koristi se sljedeći oblik zaključka: (i) Svaki osnovni element 

ima svojstvo P . (ii) Svaki način tvorbe novih elemenata uspijeva sačuvati svojstvo 

P . (iii) Dakle, svaki element razreda kojega razmatramo ima svojstvo P .U 

slučaju jake indukcije nije dovoljno samo razmotriti elemente iz kojih nastaje element 

za kojega dokazujemo da ima svojstvo P ,već je potrebno razmotriti cijeli 

razred elemenata koji su nastali prije njega. U snažnoj indukciji u induktivnom 

koraku susrećemno univerzalno kvantificiranu rečenicu, kao na primjer "Ako sve 

formule čija je duljina manja od duljine formule A imaju svojstvo P , onda A ima 

svojstvo P ". 

17.3.0.1 Najmanji skup 

Završna klauzula u induktivnoj definiciji spominje ne samo definiendum već i 

ostale klauzule: "ništa drugo nije definiendum osim onoga što se dobiva ponovljenom 

primjenom osnovne i induktivne klauzule". Očigledno je završna klauzula 

nije iskaziva u jeziku logike prvoga reda jer ona govori o drugim klauzulama, a u 

logici prvoga reda ne možemo govoriti o njezinim vlastitim rečenicama. No ako 

uporabimo teoriju skupova, onda sve klauzule možemo iskazati u jeziku logike 

prvoga reda. 

Postupak je sljedeći: umjesto završne klauzule koristimo izraz "najmanji 

skup". 

"Definiendum" 

je "ono 

što definiramo", 

"definiens" 

je "ono 

pomoću 

čega definiramo". 

Primjer 17.6 Induktivna definicija pal-niza slova. Skup pal nizova slova je najmanji 

skup koji zadovoljava sljedeće klauzule. Osnovna kaluzula: svako slovo abecede je pal. 

Induktivna klauzula: ako je niz slova α pal, onda je pal i niz slova koji nastaje kada se α 

doda isto slovo sprijeda i straga (npr. bαb). 

Ako nam je dana neka kolekcija K skupova koji zadovoljavaju uvjete U, 

onda će presjek svih skupova iz kolekcije zadovoljavati uvjet U. Taj skup mora 

biti najmanji, jer kad uzmemo presjek neke gomile skupova, rezultat će uvijek 

biti podskup bilo kojeg izvornog skupa.


Najmanji skup. 

Zadatak 115 Neka je K kolekcija skupova čiji članovi zadovoljavaju uvjete U. Dokažite 

da je \ K = {x |∀a(a ∈ K → x ∈ a)} najmanji skup, to jest da za svaki skup a ∈ K 

vrijedi da \ K ⊆ a. 

Odgovor 32 Pretpostavimo da postoji skup koji je manji od \ K: 

(*) ∃b[b ∈ K ∧¬ \ K ⊆ b] 

Tada mora postojati neki predmet e takav da e ∈ \ K i e/∈ b. Ali to nije 

moguće jer po definiciji za \ K, b ∈ K → e ∈ b i po pretpostavci dobivamo 

e ∈ b. 

17.3.1 Primjer: aksiomatizacija prirodnih brojeva i primjena 

indukcije 

Giuseppe Peano (1858-1932) dao je jednu aksiomatizaciju aritmetike, koja se 

prihvatila kao adekvatna formalizacija aritmetike. 

Aksiomi: 

1. ∀x∀y(x +1=y +1→ x = y) - najviše jedan sljedbenik 

2. ∀x(x +16= 0)- 0 nije sljedbenik 

3. 0+1=1 

4. ∀x(x +0=x) 

5. ∀x∀y[x +(y +1)=(x + y)+1]- definicija zbrajanja (4,5) 

6. ∀x(x × 0=0) 

7.∀x∀y[x × (y +1)=(x × y)+x] - definicija množenja (6,7) 

Aksiomska shema:


K tome PA ima aksiomsku shemu koja izražava princip matematičke 

indukcije za prirodne brojeve. 

8. [Q(0) ∧∀x(Q(x) → Q(x +1))]→∀xQ(x) 

Aksiom 8. pokazuje jedan poseban slučaj primjene indukcije. Ako trebamo 

dokazati ∀x(N(x) → Q(x)), onda trebamo dokazati (osnovni korak) Q(0), te 

(induktivni korak) Q(x) → Q(x +1). Očigledno je da ova aksiomska shema 

pretpostavlja induktivnu definiciju prirodnog broja u kojoj adicija +1 daje induktivnu 

klauzulu : Skup N je najmanji skup koji zadovoljava sljedeće uvjete: 1. 

0 ∈ N i2.akon ∈ N, onda n +1∈ N. 

Zadatak 116 Otvorite Exercise 16.19 i dokažite ∀x(x +1 = 1+x). Četvrta premisa 

daje nam potrebnu instancu aksioma matematičke indukcije. Ona nam pokazuje kako 

možemo dokazati traženo. Naime, treba dokazati 0+1=1+0i ∀x[x +1=1+x → 

(x +1)+1=1+(x +1)]

Poglavlje 18 

Potpunost sustava prirodne 

dedukcije za propozicijsku 

logiku 

Jedno željeno svojstvo logičkog sustava povezano je uz uskla ¯denost semantike 

i sintakse. Ako se sve ono što slijedi (semantički pojam) može i dokazati (sintaktički 

pojam) pomoću logičkog sustava, onda je on potpun. Ispitat ćemo ima li 

sustav prirodne dedukcije koji pokriva pravila za istinitosno funkcionalne veznike 

i logičku konstantu neistine svojstvo potpunosti. Drugim rječima, pitat ćemo se 

omogućuju li nam pravila eliminacije i introdukcije za ∧, ¬, ∨, →, ↔, ⊥ da 

dokažemo svaku tautološku posljedicu. 

Primjer 18.1 Hipotetički silogizam: konkluzija slijedi i može se dokazati. Vrijedi li 

slično u svim slučajevima? 

18.1 Dodjelivanje istinitosne vrijednosti i istinitosne 

tablice 

Definirajmo dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik logike prvoga reda kao 

bilo koju funkciju h sa skupa svih atomarnih rečenica tog jezika na skup {IS- 

TINITO, NEISTINITO} Ta funkcija nam za bilo koju atomarnu rečenicu A ispostavlja 

njezinu istinitosnu vrijednost, što zapisujemo kao h(A),kojajebiloIS- 

TINITO bilo NEISTINITO. Intuitivno, možemo zamisliti svaku pojedinu funkciju 

h kao prikaz jednoga retka u (možda vrlo velikoj) istinitosnoj tablici. 

Zadatak 117 Zamislimo jezik s jednim predikatom, ’Kocka’ i dvije individualne konstante, 

’a’ i ’b’. Taj jezik ima dvije atomarne rečenice i četiri funkcije dodjeljivanja 

istinitosnih vrijednosti. 

194

18.1 Dodjelivanje istinitosne vrijednosti i istinitosne tablice 195 

Kocka(a) 

Kocka(b) 

h 1 h 1 (Kocka(a)) = ISTINITO ISTINITO 

h 2 ISTINITO NEISTINITO 

h 3 NEISTINITO ISTINITO 

h 4 NEISTINITO NEISTINITO 

Sada možemo proširiti funkciju h dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti s novom 

funkcijom ĥ koja će biti definirana za skup svih rečenica i koja svoju vrijednost 

dobiva iz skupa {ISTINITO,NEISTINITO}. Dok o funkciji h možemo 

misliti kao o lijevom dijelu retka istinitosne tablice koji se nalazi ispod atomarnih 

rečenica (ili propozicijskih slova), dotle o ĥ kao o cijelom retku, koji obuhvaća i 

dio koji se nalazi ispod složenih rečenica. 

Funkciju dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti za sve rečenice dijela jezika 

logike prvoga reda pod razmatranjem definiramo pozivajući se na njezine prethodne 

vrijednosti a na kraju na funkciju dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti za atomarne 

rečenice. 

1. ĥ(Q) =h(Q) za atomarne rečenice Q 

2. ĥ(¬Q) => ako i samo ako ĥ(Q) =⊥ 

3. ĥ(Q ∧ R) => ako i samo ako ĥ(Q) => i ĥ(R) => 

4. ĥ(Q ∨ R) => ako i samo ako ĥ(Q) => ili ĥ(R) =>,iliijednoidrugo 

5. ĥ(Q → R) => ako i samo ako ĥ(Q) =⊥ ili ĥ(R) =>,iliijednoidrugo 

6. ĥ(Q ↔ R) => ako i samo ako ĥ(Q) =ĥ(R) 

Zadatak 118 

Definirajmo tromjesni veznik ’♣’ na sljedeći način: 

P Q R ♣(P, Q, R) 

> > > > 

> > ⊥ > 

> ⊥ > ⊥ 

> ⊥ ⊥ ⊥ 

⊥ > > > 

⊥ > ⊥ ⊥ 

⊥ ⊥ > > 

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 

Njegovo je značenje ’Ako P onda Q, u protivnom R’. Definirajte funkciju ĥ za taj veznik! 

Odgovor 33 ĥ(♣(P, Q, R)) = > ako i samo ako ĥ(P → Q) => i ĥ(¬P → 

R) =>. Ako nastavimo razlaganje, onda vidimo da moraju biti zadovoljena dva

196Poglavlje 18 

Potpunost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 

uvjeta: (i) ĥ(P )=⊥ ili ĥ(Q) =>,i(ii)ĥ(P )=> ili ĥ(R) =>. 

S ovakvim preciznim modelom dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti, možemo 

dati matematički precizne definicije za tautologiju i it-zadovoljivost. (it-zadovoljivost: 

zadovoljivost na istinitosnoj tablici). 

Rečenica S je tautologija ako je istinita za svako dodjeljivanje 

istinitosnih vrijednosti h, drugim riječima, ako je za svako h - ĥ(S) = 

>. 

Rečenica S je tautoloka posljedica skupa rečenica T ako i 

samo ako je u svakom dodjeljivanju istinitosnih vrijednosti pod kojim 

je svaka rečenica iz T istinita tako ¯der i rečenica S istinita. 

Rečenica S je it-zadovoljiva akoisamoakopostojibaremjedno 

dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti takvo da ĥ(S) =>. 

Skup rečenica T je it-zadovoljiv ako i samo ako postoji barem 

jedno dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti pod kojim je svaka rečenica 

iz T istinita. 

Tvrdnja 28 Rečenica S je tautološka posljedica skupa rečenica T ako i samo 

ako T ∪{¬S} nije it-zadovoljiv. 

Zadatak 119 

Dokažite prethodnu tvrdnju! 

Odgovor 34 Dokaz. S lijeva na desno. Reductio. Pretpostavimo (i) da S jest 

tautološka posljedica skupa T ,a(ii)daT ∪{¬S} jest it-zadovoljivo. Ako je 

T ∪{¬S} zadovoljivo onda postoji neko istinitosno vrednovanje h koje čini svaku 

rečenicu iz T istinitom a S neistinitom. No tada S nije tautološka posljedica od 

T , što protuslovi (i) pretpostavci. Dakle uvodeći negaciju, ako (i) onda ¬(ii). S 

desna na lijevo: dovršite sami! 

Uočimo da onda kada je T konačan skup, pitanje je li skup T it-zadovoljiv 

možemo svesti na pitanje je li jedna rečenica it-zadovoljiva, naime ona koja je 

konjunkcija svih rečenica iz T . 

Dodjeljivanje istinitsonih vrijednosti je funkcija s atomarnih rečenica 

uskup{>, ⊥}. Ona modelira jedan redak potpune istinitosne tablice 

za jezik kojega razmatramo.

Poglavlje 19 

Potpunost propozicijske logike 

Sada raspolažemo sa sredstvima koja nam omogućuju da dokažemo Teorem potpunosti 

za propozicijsku logiku. Neka F T označava logički sustav koji sadrži 

samo pravila uklanjanja i uvo ¯denja za ∧, ¬, ∨, →, ↔, ⊥. 

Akonamjedanskuprečenica T i još jedna rečenica S, onda 

pišemo T `T S za tvrdnju da postoji formalni dokaz u sustavu F T za 

rečenicu S akojizapremiseuzimarečenice iz T . 

Uočimo da ako T `T S i T ⊆ T 0 , onda T 0 `T S. Ovo svojstvo odnosa 

dokazivosti nazivamo monotoničnošću. U novije vrijeme intenzivno se proučavaju 

ilogički sustavi koji su lišeni ovoga svojstva (osporivo zaključivanje). 

Teorem 29 (Potpunost sustava F T ) 

skupa rečenica T onda T `T S 

Ako je rečenica S tautološka posljedica 

Teorem ne možemo izravno dokazati pretpostavljajući da je S tautološka 

posljedica od T i, zatim, tražiti dokaz za S,jerništaneznamonioT ni o S. 

Teorem ćemo dokazati dokazujući njegovu konverziju: ako T 0 T 

S (ako nema dokaza), onda S nije tautološka posljedica. To jest, pokazat 

ćemo da kada T 0 T S tada postoji h koji ćini sve rečenice iz T istinitima 

a S neistinitom. Drugim rječima, pokazat ćemo da ako T 0 T 

S, onda T ∪{¬S} jest it-zadovoljivo. 

Najprije ćemo reformulirati teorem potpunosti u nekoliko etapa. 

19.1 Formalna konzistentnost 

Dokazat ćemo jednu lemu koju ćemo koristiti u reformulaciji teorema. 

Lema 30 T ∪{¬S} `T ⊥ ako i samo ako T `T S. 

Dokaz. Pretpostavimo da T ∪{¬S} `T ⊥. Toznači da postoji dokaz za ⊥ 

197

198 Poglavlje 19 Potpunost propozicijske logike 

koji eventualno koristi P 1 ,...,P n iz T i S. 

Sada treba pokazati da T `T S. Ako u poddokazu s pretpostavkom ¬S reproduciramo 

prethodni, po pravilu za uvo ¯denje negacije, moći ćemo dokazati S. 

Dakle, lema vrijedi s lijeva na desno. 

Zadatak 120 

Smjer s desna na lijevo dokažite sami! 

Odgovor 35 

Pretpostavimo T `T S. Toznači da postoji dokaz

19.1 Formalna konzistentnost 199 

Ako premisama dodamo ¬S,ondamožemodokazati⊥. 

Ova nam lema pokazuje da pretpostavka T 0 T S (iz kotrapozicije Teorema 

potpunosti) znači isto što T ∪{¬S} 0 T ⊥. Dosadašnja zapažanja možemo 

iskazati u obliku koji je lakši za pamćenje ako uvedmo novi termin. 

Skup rečenica T je formalno konzistentan ako i samo ako T 0 T 

⊥,tojest,akoisamoakonepostojidokazuF T za ⊥ iz T . 

S novim terminom možemo reformulirati Teorem potpunosti. 

Teorem 31 (Reformulacija potpunosti) 

je it-zadovoljiv. 

Svaki formalno konzistentni skup rečenica


Dokaz 28 

T 0 T S =⇒ ¬TauCon(S, T ) kontrapozicija 

T ∪{¬S} 0 T ⊥ =⇒ ¬TauCon(S, T ) po lemi form.kon. 

T ∪{¬S} 0 T ⊥ =⇒ Zadovoljiv(T ∪{¬S}) po lemi tau.con.zad. 

Teorem potpunosti slijedi iz reformuliranoga kada se primjeni na poseban 

slučaj skupa T ∪{¬S}. 

Sada preostaje dokazati reformulirani teorem. 

19.2 Strategija dokazivanja reformuliranog Teorema 

potpunosti 

Potpunost formalno potpunih skupova: Najprije ćemo pokazati da 

teorem vrijedi za formalno konzistentne skupove koji imaju dodatno

19.3 Potpunost formalno potpunog skupa rečenica 201 

svojstvo, koje se naziva formalnom potpunošću. Skup T nazivamo formalno 

potpunim akozabilokojurečenicu S iz jezika pod razmatranjem vrijedi ili 

T `T S ili T `T ¬S. Ovo je jaki zahtjev, jer on kaže da je skup rečenica 

toliko snažan da može dati odgovor na svako pitanje koje se može postaviti 

za jezik pod razmatranjem. 

Proširenje na formalno potpune skupove: Kada pokažemo da je svaki 

formalno konzistentan i formalno potpun skup rečenica it-zadovoljiv, pokazat 

ćemo da se svaki formalno konzistentni skup rečenica može proširiti (s 

eventualno potrebnim dodatnim rečenicama) tako postane formalno potpun a 

da ostane formalno konzistentan. 

Povezivanje: Činjenica da je prošireni skup it-zadovoljiv jamči da je 

izvorni skup tako ¯der it-zadovoljiv, jer će dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti 

koje zadovoljava restriktivniji skup tako ¯der zadovoljiti i izvorni. 

19.3 Potpunost formalno potpunog skupa rečenica 

Za dokaz tvrdnje da svaki formalno konzistentni, formalno potpuni skup rečenica 

jest it-zadovoljiv trebat će nam sljedeća lema. 

Lema 32 

Neka je T formalno konzistentan, formalno potpun skup rečenica, te


neka su R i S proizvoljne rečenice u jeziku. 

1.T ` T (R ∧ S) akko T `T R i T `T S 

2.T ` T (R ∨ S) akko T `T R ili T `T S 

3.T ` T ¬S akko T 0 T S 

4.T ` T (R → S) akko T 0 T R ili T `T S 

5.T ` T (R ↔ S) akko bilo T `T R i T `T S bilo T 0 T R i T 0 T S 

Dokaz. (1) S lijeva na desno. Očigledno je da ako imamo dokaz 

za R ∧ S iz T , da možemo konstruirati dokaz za R i dokaz za S primjenjujući 

pravilo ∧ Elim dva puta. S desna na lijevo, ako koristeći 

premise P 1 ,...,P n iz T možemo dokazati R, te koristeći Q 1 ,...,Q n iz 

T možemo dokazati S, onda samo trebamo spojiti ta dva dokaza smještajući 

P 1 ,...,P n ,Q 1 ,...,Q n na položaj premisa, reproducirati prethodne 

dokaza (samo će se brojke koraka izmijeniti) i na kraju primijeniti ∧ Intro. 

(2) S desna na lijevo, dokaz je trivijalan: dovoljna je primjena ∨ 

Intro.S lijeva na desno, situacija je malo teža jer ’T `T (R ∨ S) samo 

ako T `T R ili T `T S’ općenito ne vrijedi. Ali vrijedi u posebnom 

slučaju, formalno konzistentnih i formalno potpunih skupova. Pretpostavimo 

za reductio da T `T (R ∨ S) te (*) da T 0 T R i T 0 T S. 

No kako za svaku rečenicu iz T vrijedi da je dokaziva ili ona ili njezina 

negacija, onda mora vrijediti T `T ¬R i T `T ¬S. Ta dva dokaza 

spojim u jedan i primjenimo dokaz za jednu varijantu DeMorgan-ovog 

zakona. i dobivamo da vrijedi T `T ¬(R ∨ S). No, to nije moguće 

budući da je skup T formalno konzistentan. 

Zadatak 121 Dokažite lemu za slučajeve 3., 4. i 5. 

Koristeći ovu lemu možemo dokazati tvrdnju o it-zadovoljivosti formalno 

konzistentnih, formalno potpunih skupova. 

Svaki formalno konzistentan, formalno potpun skup rečenica je it- 

Tvrdnja 33 

zadovoljiv. 

Dokaz. Neka je T formalno konzistentan, formalno potpun skup. 

Definirajmo dodjeljivanje h istinitosnih vrijednosti za atomarne rečenice 

na sljedeći način. Ako T `T A onda h(A) =>, a u protivnom slučaju, 

neka je h(A) =⊥. Ondajefunkcijaĥ definiranazasverečenice, bile 

one atomarne ili složene. Naša tvrdnja tada glasi: 

za svaku isf-u S, ĥ(S) => akko T `T S

19.4 Proširenje na formalno potpune skupove rečenica 203 

Za dokazati ovu tvrdnju, moramo se poslužiti indukcijom. Osnovni 

korak: Tvrdnja vrijedi za sve atomarne rečenice zbog načina kako smo 

ovdje definirali h (tj. istinitost se poklapa s dokazivošću) i zbog definicije 

funkcije ĥ (tj. njezina vrijednost se podudara s vrijednošću za h 

kod atomarnih rečenica). Induktivni korak: ako tvrdnja vrijedi za R i 

S, onda ona vrijedi i za rečenice koje nastaju na osnovi pravila tvorbe: 

(R ∧ S), (R ∨ S), ¬R, (R → S), (R ↔ S). Svih pet slučajeva 

lako proizlazi iz prethodne leme. Razmotrimo kao primjer slučaj disjunkcije. 

Trebamo potvrditi da ĥ(R ∨ S) => akko T `T (R ∨ S). Za 

’samo ako’ dio, pretpostavimo ĥ(R ∨ S) => Onda po definiciji za 

ĥ ili ĥ(R) => ili ĥ(S) =>, ili i jedno i drugo. Po hipotezi indukcije, 

vrijedi ili T `T R ili T `T S iliijednoidrugo.Notadapolemi, 

T `T (R ∨ S), a upravo smo to htjeli dokazati. U suprotnom ’ako’ smjeru, 

pretpostavimo T `T (R∨S). Tada po lemi ili T `T R ili T `T S. 

Po hipotezi indukcije (istinitost i dokazivost se poklapaju), tada vrijedi 

ĥ(R) => ili ĥ(S) =>. A po definiciji funkcije ĥ, prethodno povlači 

ĥ(R ∨ S) => A to smo htjeli dokazati. Na sličan način dokazujemo 

i ostale slučajeve (to ostavljamo čitatelju) Iz ovoga uvi ¯damo da 

na ovaj način definirano dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za atomarne 

rečenice h čini svaku rečenicu koja se može dokazati pomoću T 

istinitom. Budući da se svaka rečenica iz T može dokazati, na primjer 

putem pravila za reiteraciju, slijedi da h čini svaku rečenicu iz T 

istinitom. Dakle, T je it-zadovoljiv. Q.E.D. 

19.4 Proširenje na formalno potpune skupove 

rečenica 

U sljedećoj etapi dokaza potpunosti moramo pokazati kako možemo polazeći od 

formalno konzistentnih skupova doći do skupova koji su i formalno konzistentni 

i formalno potpuni. 

Lema 34 Skup rečenica T je formalno potpun ako i samo ako za svaku atomarnu 

rečenicu A vrijedi T `T A ili T `T ¬A. 

Dokaz. Smjer ’samo ako’ je naprosto posljedica definicije formalne 

potpunosti. Suprotni, ’ako’ smjer zahtjeva indukciju putem indukcije 

na složenost isf-a. Ovdje dokazujemo da je s pitanjem dokazivosti 

atomarnih rečenica riješeno i pitanje dokazivosti svih rečenica. Drugim 

riječima, ako kod svake atomarne rečenice znamo ulazi li ona ili ulazi 

njezina negacija u krug rečenica dokazivih pomoću T , onda to isto 

znamo za sve rečenice. Pretpostavimo desnu stranu bikondicionala: za 

svakuatomarnurečenicu A vrijedi T `T A ili T `T ¬A. Tojeosnova


indukcije. Po induktivnom koraku, ako za R i S vrijedi da se zna koja 

je iz para kontradiktornih rečenica dokaziva, onda se za svaku rečenicu 

koja se može iz njih sačiniti može odrediti je li dokaziva ona ili njezina 

negacija. Proučimo slučaj disjunkcije. Mora vrijediti ili T `T (R ∨ S) 

ili T `T ¬(R ∨ S). Ako T dokazuje bilo R bilo S, onda po pravilu 

∨ Intro: T `T (R ∨ S). U protivnom, ako T ne dokazuje ni R ni S, 

onda vrijedi T `T ¬R i T `T ¬S. Povezivanje tih dvaju dokaza i 

dodavanje koraka ∧ Intro daje: T `T ¬R ∧¬S. Nastavljanje dokaza 

(u smjeru DeMorganovog zakona) daje T `T ¬(R ∨ S). Dakle, što 

god bilo slučaj (ili da je barem jedna rečenica dokaziva ili da niti jedna 

nije) - pitanje o dokazivosti njihove disjunkcije ili njezine negacije bit 

će riješeno. Sami izradite ostale induktivne dokaze. 

Sada možemo prijeći na sljedeću etapu u dokazu potpunosti. 

Tvrdnja 35 Svaki se formalno konzistentni skup rečenica T može proširiti do 

formalno konzistentnog, formalno potpunog skupa rečenica. 

Dokaz. Napravimo popis svih atomarnih rečenica u jeziku pod 

razmatranjem (npr. u abecednom poretku) A 1 ,A 2 ,.... Zatim pregledajmo 

rečenice jednu po jednu. kada nai ¯demo na rečenicu A i takvu da 

ni A i ni ¬A i nisu dokazive pomoću T , dodajmo A i u T .Natajnačin 

nećemo učiniti skup formalno inkonzistentnim. Naime, kada bi to bilo 

slučaj, to jest kada bi vrijedilo T ∪{A i }`T ⊥, onda bi (po već 19730 ) 

vrijedilo T `T ¬A i pa A i ne bi ni bilo dodano. Na kraju ovog procesa 

dobivamo skup koji je po prethodnoj34 formalno potpun. Taj novi, 

eventualno prošireni skup je formalno konzistentan. Kako je svaki 

dokazpaionajza⊥ konačan i koristi konačan broj premisa, inkonzistentnost 

se nije mogla uvući u ovom procesu. 

19.5 Sve zajedno: dokaz potpunosti 

1. Pretpostavimo T 0 T S. 

2. Po dokazanoj lemi vrijedi: T ∪{¬S} `T ⊥ ako i samo ako T `T S. 

Ali zbog 1. dobivamo T ∪{¬S} 0 T ⊥. Zato, je skup T ∪{¬S} formalno 

konzistentan. 

3. Ovaj se skup može proširiti na formalno konzistentan, formalno potpun 

skup (po tvrdnji: Svaki se formalno konzistentni skup rečenica T može proširiti 

do formalno konzistentnog, formalno potpunog skupa rečenica). Označimo taj 

prošireni skup s ext(T ∪{¬S}) 

4. Po tvrdnji "Svaki formalno konzistentan, formalno potpun skup rečenica 

je it-zadovoljiv." slijedi da je skup ext(T ∪{¬S}) - it-zadovoljiv.

19.5 Sve zajedno: dokaz potpunosti 205 

5. Pretpostavimo da je h dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti koje zadovoljava 

skup ext(T ∪{¬S}). 

6. Po definiciji negacije, h čini sve rečenice iz T istinitima a S neistinitom. 

7. S nije zato tautološka posljedica od T 

8. 1. povlači 7., a po kontrapoziciji dobivamo: ako je S tautološka posljedica 

skupa T , onda T `T S. 

Za zapamtiti: 

1. Teorem potpunosti dokazan je tako što smo pokazali da je 

svaki formalno konzistenti rečenični skup T it-zadovoljiv. To smo 

učinili u dva koraka. 

2. U prvom koraku pokazujemo da to vrijedi i za skupove koji 

su tako ¯der i formalno potpuni. 

3. U drugom koraku pokazujemo kako se formalno konzistentni 

skup može proširiti na skup koji je i formalno konzistentan i formalno 

potpun.

Poglavlje 20 

Strukture prvog reda 

20.1 Tautološka posljedica 

U propozicijskoj logici širi pojam logičke posljedice bio uveden preko jedne 

njegove vrste - tautološke posljedice, posljedice koja ovisi značenju istinitosnofunkcionalnih 

veznika. Intuitivna ideja da je istinitost konkluzije posljedica značenja 

veznika koji se javljaju u premisama i konluziji, formalizirala se preko istnitosnih 

tablica. Kasnije smo uveli funkciju dodjelivanja istintosnih vrijednosti za atomarne 

rečenice, h koja je dovoljna za definiranje funkcije dodjeljivanja istinitosnih 

vrijednosti za sve rečenice, ĥ. 

Zadatak 122 

tautologije: 

Opišite odnose izme ¯du logičke (analitičke) istine, istine prvoga reda i 

Prednosti funkcije pred tablicom. Dodjeljujući svim atomarnim rečenicama, 

ma koliko ih bilo, istinitosnu vrijednost i determinirajući time istinitosnu 

vrijednost svih rečenica u jeziku, omogućili smo primjenu pojma tautološke 

posljedice na beskonačni skup rečenica. Drugo, funkcije dodjeljivanja istinitosnih 

vrijednosti unijele su viši stupanj strogosti. 

206

20.2 Posljedica prvoga reda 207 

20.2 Posljedica prvoga reda 

U predikatskoj se logici dalje razra ¯duje intuitivna ideja da je odnos logičke posljedice 

ovisan isključivo o značenju simbola koji se javljaju u premisama i konkluziji. 

Popis simbola čije se značenje prati bio je proširen tako da su istinitosnofunkcionalnim 

veznicima dodali kvantifikatori, ∀ i ∃, te predikat identiteta, =. 

Već smo razmatrali jednu tehniku pomoću koje se moglo odrediti je li neka 

rečenica posljedica prvoga reda nekog skupa premisu. 

Podsjetnik: metoda zamjene 

1. Za provjeriti je ostvaruje li se odnos posljedice prvoga reda 

ili za provjeriti je li neka rečenica - valjana rečenica prvoga reda, sustavno 

zamijenimo svaki predikat osim identiteta s novim simbolima za 

predikate koji nemaju značenja, pazeći pri tome da se zamjena izvrši 

s istim novim predikatom na svakom mjestu na kojemu se javlja stari 

predikat. 

2. .1. Za provjeriti je li neka rečenica S valjana rečenica prvoga 

reda, pokušajte opisati takve okolnosti i dati takvo tumačenje za 

imena, predikate i funkcije koje se javljaju u S da učinite tu rečenicu 

neistinitom. Ako se takave okolnosti i tumačenje ne mogu sačiniti, S 

je valjana rečenica prvoga reda. 

2.2. Za provjeriti je li S posljedica prvog reda premisa P 1 ,...,P n , 

pokušajte naći okolnosti i tumačenje nelogičkih simbola u kojem će S 

biti neistinito a P 1 ,...,P n istinito. Ako se takve okolnosti ne mogu zamisliti, 

izvorni je zaključak posljedica prvog reda. 

Primjer 20.1 Ispitajmo sljedeću logičku istinu: ( Kocka(a) ∧ Tetraedar(b)) → 

¬a = b. Svo¯denje na istinitosno-funkcionalnu formu: 

(Kocka(a) A 

∧ Tetraedar(b) B 

) →¬a = b C 

daje (A ∧ B) → ¬C, atoočigledno nije tautologija. Metoda zamjene predikata i 

individualnih konstanti pokazuje da nije riječ ni o valjanoj rečenici prvoga reda. Prvi 

korak, svo ¯denje na (P (c 1 ) ∧ Q(c 2 )) →¬c 1 = c 2 . Drugi korak, pronalaženje okolnosti 

zajedno s tumačenjem nelogičkih simbola koje falsificira rečenicu: 

(Književnik(lewis_carroll) ∧ Logičar(charles_dodgson)) → 

¬lewis_carroll = charles_dodgson 

Nedostatak preciznosti. Poteškoća s traženjem odgovora na pitanje o postojanju 

odnosa posljedice prvoga reda putem ”traženja okolnosti” ili putem ”zamjene 

jednih simbola s drugima (iste sintaktičke vrste)” leži u tome što nam ne 

daje dovoljno preciznosti. Zbog nedostaka preciznosti ne možemo utvrditi ima li 

sustav kojeg razmatramo odre ¯dena svojstva, poput pouzdanosti. 

Ako primjenimo sredstva za modeliranje koja pruža teorija skupova, nedostatnu 

preciznost intuitivnih zamisli možemo lako ukloniti. 

Neformalna i formalna semantika. Do sada smo se oslanjali na ideju o

208 Poglavlje 20 Strukture prvog reda 

"predmetnom području", "području rasprave", "domeni" pri definiranju istine i 

zadovoljavanja.. 

Podsjetnik. Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sastavljenu 

formulu U(x) ako i samo ako taj predmet jest U. Općenito za 

sve isf-e, predmet o zadovoljava isf-u P (x) ako i samo ako je n individualna 

konstanta koja imenuje predmet o, x je jedina slobodna varijabla 

i P (n) je istinita rečenica. Uočimo kako se nadopunjavaju pojmovi 

’zadovoljavanja’ i ’istine’. 

Kvantificirane rečenice izražavaju tvrdnje o nekom intendiranom 

području rasprave. 

Rečenica ∀xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet iz područja 


Rečenica ∃xS(x) je istinita ako i samo ako neki predmet iz područja 


20.3 Struktura prvoga reda 

Pojam strukture prvoga reda izrasta iz modeliranja područja rasprave pomoću 

teorije skupova. 

20.3.0.1 Primjer modeliranja: izgradnja strukture prvoga reda 

Neka su simboli u jeziku kojeg razmatramo: (predikati) Kocka, VećiOd, = i 

(individualna konstanta) c. Kakoćemo na strogi način prikazati okolnosti koje 

odre ¯duju istinitosnu vrijednost rečenica (kojih ima beskonačno mnogo) u tom 

jeziku? Promotrimo ovakav "svijet": 

Naš je cilj konstruirati matematički predmet koji će predstaviti sve ono što je u 

ovom svijetu relevantno za odre ¯divanje istinitosne vrijednosti rečenica u jeziku 

kojega razmatramo. 

Domena (podruje rasprave). Očigledno je da moramo predstaviti činjenicu 

da u tom svijetu ima točno četiri predmeta. To ćemo učiniti tako što ćemo konstruirati 

četveročlani skup D = {b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 } gdje b 1 predstavlja (recimo) prvi 

predmet s lijeve strane, tj. c, te tako redom do b 4 koji predstavlja mali tetraedar.


Za ovaj skup D kažemo da je područje rasprave u našoj strukturi prvoga reda. 

Predikati i ekstenzije u strukturi.. U tvorbi strukture prvoga reda usmjeravamo 

se samo prema onim obilježjima područja rasprave koja su relevantna za 

odre ¯divanje istinitosti rečenica. Za naš (pod)jezik mnoga su obilježja ”svijeta” 

na slici nevažna, poput položaja predmeta ili njihove boje. S druge strane, oblik 

iveličina imaju važnost jer jezik govori o tim svojstvima: možemo reći je li neki 

predmetkockaijeliveći od drugoga. Zbog toga činjenice o obliku i odnosu 

veličina moramo ugraditi u našu strukturu. To radimo tako što predikatu Kocka 

dodijelimo odre ¯deni podskup Ko iz područja rasprave D. Ovaj skup nazivamo 

ekstenzijom predikata Kocka u ovoj strukturi. Za modeliranje svijeta na slici, 

ekstenzija predikata Kocka je skup Ko = {b 1 ,b 2 ,b 3 }.Nasličan način postupamo 

i s dvomjesnim predikatom VećeOd; kojemu dodjeljujemo skup ure ¯denih 

parova, 

Ve= {, , , , }. 

Veje ekstenzija predikata VećeOd u ovoj strukturi. 

Individualne konstante i referenti. Na kraju, za jezik kojeg razmatramo, 

preostaje još učiniti jedno: povezati individualnu konstantu, c s predmetom kojega 

imenuje. Tehničkim jezikom rečeno, moramo predstaviti činjenicu da je b 1 

referent individualne konstante c (tj. da c imenuje b 1 ). Najjednostavniji način 

da ostvarimo ovakvo vezivanje jest da uvedemo funkciju koja svakom imenom 

dodjeljuje onaj predmet kojega to ime imenuje. 

Identitet. Poseban slučaj predstavlja predikat identiteta, =. Ekstenzija 

predikata identiteta odre ¯dena je čim je zadana domena D. Predikat = uvijek 

se tumači kao identitet: njegova ekstenzija je uvijek skup parova gdje 

a ∈ D. U ovom primjeru, ekstenzija za = je skup {, , < 

b 3 ,b 3 >, }. 

Isti jezik - razliiti model. Ako se zadržimo na jeziku iz našeg primjera, 

kako bismo prikazali druge "svjetove"? Trebaju nam (i) domena rasprave D, 

(ii) podskup Ko od D koji će reprezntirati ekstenziju predikata Kocka,teskup 

ure ¯denih parova Veza reprezentaciju ekstenzije predikata VećeOd, (iii) povezivanje 

individualne konstante c s referentom, elementom iz D. 

Zadatak 123

210 Poglavlje 20 Strukture prvog reda 

D = {a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 }; Ko = {a 1 ,a 2 ,a 3 }, Ve= ∅; c = a 4 

Jedan objekt za reprezentiranje svijeta. Da bismo s jednim jedinim (apstraktnim) 

predmetom reprezentirali cijeli svijet i relevantne činjenice o njemu, 

"upakirat" ćemo domenu rasprave, ekstenzije predikata i referente imena u jedan 

formalni (matematički) predmet. 

Postoje mnogi način "pakiranja". Barwise i Etchemendy najelegantnijim 

smatraju pakiranje u jednu jedinu funkciju M. Slovo "M" upućuje na riječ 

"model" koja se često koristi u istom značanju u kojem se ovdje koristi naziv 

"struktura". 

Funkcija M : struktura prvoga reda. Funkcija M jedefiniranazapredikate, 

imena i kvantifikator ∀.Tasefunkcija,M naziva strukturom prvoga reda ako su 

zadovoljeni sljedeći uvjeti: 

1. M(∀) je neprazan skup D, kojega nazivamo područjem rasprave 

2. Ako je Pn-mjesni predikatski simbol u jeziku, onda je M(P ) skup n-torki 

elemenata iz D. Taj se skup naziva ekstenzijom od P u M. 

Zahtijeva se da ekstenzija simbola identiteta sadrži sve parove za 

x ∈ D. 

3. Ako je c neko ime u jeziku, onda je M(c) element iz D, kojega nazivamo 

referentom od c u M. 

Digresija. Za svaka dva skupa a i b postoji skup svih ure ¯denih 

parova takvih da x ∈ a i y ∈ b. Takav skup označavamo 

s a × b i nazivamo ga Kartezijevim produktom od a i b. Kartezijev 

produktsemožedobitiizvećeg broja skupova. Za a × a korisiti se 

oznaka a 2 ,zaa × a × a korisiti se oznaka a 3 ,azan-člani produkt 

skupa a sa samim sobom - a n , kao notacijska posebnost: a 1 = a. 

Funkcija M 

"Ulaz" 

∀ (univerzalni kvantifikator) 

P n (n-mjesni predikat) 

"Izlaz" 

M(∀) =D (područje rasprave, domena, predmetno područje) 

M(P n ) ⊆{| x 1 ∈ D, ..., x n ∈ D} (ekstenzija) 

Udrukčijem zapisu: M(P n ) ⊆ D n 

= M(=) = {< x,x>| x ∈ D} 

c (individualna konstanta) M(c) ∈ D (referent) 

Alternativni zapisi: umjesto M(∀) pišemo D M ili, kada je jasno o kojoj je 

domeni riječ, samo D; umjesto M(P ) pišemo tako ¯der P M ;umjestoM(c) - c M . 

Fiksiranje znaenja. Ako želimo da predikati imaju one ekstenzije koje 

inače imaju, onda postupamo slično kao i u slučaju identiteta i zahtijevamo da 

elementi domene i ekstenzije reflektiraju stvarna svojstva. Na primjer, možemo 

tražiti da D M bude skup geometrijskih tijela, da ekstenzija predikata Kocka 

obuhvaća sve one i samo one predmete iz D M koji jesu kocke, da ekstenzija


predikata VećeOd obuhvaćasve one i samo one parove predmeta iz D M kod 

kojih je prvi veći od drugoga. 

”Zaboravljanje znaenja” Pokušavamo karakterizirati relaciju logičke posljedice 

prvoga reda. Po definiciji, ta relacija ne ovisi o značenju predikata (osim predikata 

identiteta). Kada zanemarimo posebna značenja predikata Kocka i VećeOd, 

jedino što nas zanima jest pitanje o tome koji predmeti iz domene zadovoljavaju 

atomarne isf-e Kocka(x) i VećeOd(x, y). Zbog toga smo u našoj definiciji 

strukture prvoga reda dopustili da predikati imaju proizvoljne ekstenzije, pod 

uvjetom da se poštuje mjesnost predikata.

Poglavlje 21 

Istina i zadovoljavanje 

Do sada smo se za svrhu definicije istinitosti kvantificiranih rečenica oslanjali na 

pojam zadovoljavanja. 

Podsjetnik. 

Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sastavljenu formulu 

U(x) ako i samo ako taj predmet jest U. Općenito za sve isfe, 

predmet b zadovoljava isf-u P (x) ako i samo ako je n individualna 

konstanta koja imenuje predmet b i P (n) je istinita rečenica. 

Uz pomoć pojma strukture prvoga reda, pojmove istine i zadovoljavanja 

možemo definirati na stroži način. Ovdje ćemonaformalannačin iskazati te 

intuitivne pojmove. 

21.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 

Neka je M struktura prvoga reda s domenom D. Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 

u M je neka funkcija (možda parcijalna) g koja je definirana za skup 

varijabli i koja svoje vrijednosti dobiva u D (g : varijable 7→ D). 

funkcija dodjeljivanja vrijednosti 

"Ulaz" "Izlaz" 

varijabla predmet iz domene 

Primjer 21.1 Neka je M struktura s domenom D = {a, b, c}. Evo nekih funkcija 

dodjeljivanja vrijednosti varijablama: (i) g 1 dodjeljuje b za x (tj. g 1 = {< x,b>}, g 1 

je parcijalna funkcija ako {x |∃y(y = g 1 (x))} 6= skup_varijabli), (ii) g 2 dodjeljuje 

a, b, c za varijable x, y, z, tim redom, (iii) funkcija g 3 dodjeluje svim varijablama u 

jeziku predmet b (totalna funkcija s rangom {y |∃x(g 3 (x) =y)} = {b}), (iv) "prazna" 

funkcija g 4 koja ne dodjeljuje vrijednost niti jednoj varijabli (g 4 = ∅, rang je u ovom 

slučaju {y |∃x(g 4 (x) =y)} = ∅). 

Poseban slučaj je prazno dodjeljivanje vrijednosti varijablama; oznaka za 

takvu funkciju bit će g ∅ . 

Odgovarajue dodjeljivanje vrijednosti varijablama. Ako nam je zadana 

ispravno sastavljena formula P , onda za neko dodjeljivanje vrijednosti varijablama, 

g kažemo da je odgovarajuće za P ako su sve slobodne varijable u domeni od 

g (tj. ako g dodjeljuje neki predmet svakoj slobodnoj varijabli koja se javlja u 

P ) 31 . 

31 

Kako odre ¯dujemo je li varijabla vezana ili slobodna: 

212

21.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 213 

Primjer 21.2 Nastavljamo s prethodnim primjerom: (i) g 1 je odgovarajući ako isf 

ima x kao jedinu slobodnu varijablu ili uopće nema varijable, (ii) g 2 je odgovarajući za 

svaku isf-u kod koje je skup slobodnih varijabli podskup od {x, y, z} (iii) funkcija g 3 je 

odgovarajuća za svaku isf-u, (iv) "prazna" funkcija g 4 je odgovarajuća samo za isf-e bez 

slobodnih varijabli (tj. odgovarajuća je samo za rečenice). 

Bez supstitucije imena za varijable. U prethodnom izlaganju pojmova 

zadovoljavanja i istine oslonili smo se na uvrštavanje imena na mjestu slobodnih 

varijabli. Zahvaljujući uvo ¯denju funkcije g moći ćemo izbjeći posredovanje supstitucije. 

Tako ¯der, koristeći ovakve funkcije moći ćemo postići željenu općenitost 

i definirati zadovoljavanje za n-mjesne predikate. Koristit ćemo induktivnu 

definiciju, gdje će svaki posebni slučaj odgovarati jednom od načina izgradnje 

isf-a iz atomarnih isf-a. Na kraju će se problem postupno svesti na osnovni slučaj 

atomarne isf-e, gdje se izričito odre ¯duje što zadovoljavanje znači. 

Podsjetnik (induktivna definicija isf-e). Atomarna isf je niz 

simbola P (t 1 ,...,t n ) gdje je P n-mjesni predikat a svaki pojedini t i 

je ili varijabla ili individualna konstanta. Osnovna klauzula: atomarna 

isf je isf. Induktivne klauzule (navodimo ih samo nekoliko): Ako je P 

isf, onda je ¬P isf....Ako je P isf i v varijabla, onda su i ∀vP i ∃vP 

isf-e. Završna klauzula: ništa drugo nije isf. 

Da bismo mogli pokriti one slučajeve u kojima isf P započinje s kvantifikatorima, 

potreban nam je način modificiranja dodijeljivanja vrijednosti varijablama. 

Primjer 21.3 Neka je g definirana za x. Da bismo kazali da g zadovoljava ∀zV oli(x, z) 

moramo moći uzeti proizvoljni predmet b iz domene i ispitati dodjeljivanje vrijednosti 

varijablama koje je u svemu jednako s g osim po tome što za varijablu z dodjeljuje b. 

Kazat ćemo da g zadovoljava ∀zV oli(x, z) ako i samo ako svako modificirano dodjeljivanje 

g 0 zadovoljava ∀zV oli(x, z). 

Za oznaku modificiranog dodjeljivanja g 0 koje se od izvornog g razlikuje 

samo po tome što varijabli z dodjeluje predmet b koristimo "g[z/b]". Općenito, 

g[v/b] je dodjeljivanje vrijednosti (i) čija je domena ista kao i domena za funkciju 

g uz dodatak varijable v i (ii) koje dodjeljuje iste vrijednosti kao g osim što za v 

dodjeljuje b. 

Zadatak 124 

Opišite koristeći jezik teorije skupova domenu i rang funkcije g[v/b]! 

1. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je ∀vP isf i svaka pojava varijable v u 

∀vP je vezana. 

2. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je ∃vP isf i svaka pojava varijable v u 

∃vP je vezana.

214 Poglavlje 21 Istina i zadovoljavanje 

Odgovor 36 

{b} 

Domena: {x |∃y(y = g(x))}∪{v}. Rang:{y |∃x(y = g(x))}∪ 

Primjer 21.4 Nastavak prethodnih primjera: (i) g 1 dodjeljuje b za x, zatog 1 [y/c] 

dodjeljuje c za y i b za x, nasuprot tome, g 1 [x/c] dodjeljuje vrijednost jedino varijabli x, 

itopredmetc. 

Zadatak 125 (ii) g 2 dodjeljuje a, b, c za varijable x, y, z, odredite g 2 [x/b] i g 2 [u/c] 

(iii) funkcija g 3 dodjeluje svim varijablama u jeziku predmet b, odredite g 3 [y/b] i g 3 [y/c], 

(iv) "prazna" funkcija g 4 koja ne dodjeljuje vrijednost niti jednoj varijabli, odredite 

g 4 [x/b]. 

Privremena denotacija. Funkcije dodjeljivanja vrijednosti omogućuja nam 

da slobodne varijable tretiramo kao da imaju privremenu denotaciju, ne onukoju 

je zadana sa strukturom, već onu koju su zadobile u svrhu izgradnje induktivne 

definicije zadovoljavanja. Na taj način, ako je dodjeljivanje vrijednosti g odgovarajuće 

za isf-u P , onda zahvaljujući funkcijama M i g svi (singularni) termi, 

bili oni konstante ili varijable, imaju svoju denotaciju (privremene ili stalne referente). 

Za svaki term t,pišemo[[t]] M g kao oznaku za denotaciju od t. 

[[t]] M g 

= t M ako je t konstanta 

[[t]] M g = g(t) ako je t varijabla 

Sada možemo definirati što to znači da dodjeljivanje vrijednosti g zadovoljava 

isf P u strukturi M. Prvo,g mora biti odgovarajuće za P . Drugo, definicija 

neće donijeti nikakvih iznena ¯denja, zapravo je riječ samo o formalizaciji jedne 

intuitivne ideje. 

Definicija 15 (Zadovoljavanje) Neka je P isf i g dodjeljivanje vrijednosti varijablama 

u M koje je odgovarajuće za P . 

1. Atomarni sluaj. Pretpostavimo da je P - R(t 1 ,...,t n ), gdje je R 

n-mjesni predikat. Tada g zadovoljava P u M ako i samo ako n-torka 

< [[t 1 ]] M g ,...,[[t n]] M g 

> jest u R M (tj. < [[t 1 ]] M g ,...,[[t n]] M g 

>∈ M(R)). 

2. Negacija. Pretpostavimo da je P :-¬Q. Tadag zadovoljava P u M ako i 

samo ako g ne zadovoljava Q. 

3. Konjunkcija. Pretpostavimo da je P - Q ∧ R. Tadag zadovoljava Q ∧ R u 

M ako i samo ako g zadovoljava i Q i R. 

4. Disjunkcija. Pretpostavimo da je P - Q ∨ R. Tadag zadovoljava Q ∨ R u 

M ako i samo ako g zadovoljava ili Q ili R. (ili oboje). 

5. Kondicional. Pretpostavimo da je P - Q → R. Tadag zadovoljava Q → R 

u M ako i samo ako g ne zadovoljava Q ili g zadovoljava R. (ili oboje).


6. Bikondicional. Pretpostavimo da je P - Q ↔ R. Tadag zadovoljava Q ↔ R 

u M ako i samo ako g zadovoljava oboje, i Q i R. ili ne zadovoljava ni jedno 

ni drugo.. 

7. Univerzalna kvantifikacija. Pretpostavimo da je P - ∀vQ. Tada g 

zadovoljava ∀vQ u M ako i samo ako za svaki d ∈ D M , g[v/d] zadovoljava 

Q. 

8. Egzistencijalna kvantifikacija. Pretpostavimo da je P - ∃vQ. Tadag 

zadovoljava ∃vQ u M ako i samo ako za neki d ∈ D M , g[v/d] zadovoljava 

Q. 

Zapis. Tvrdnju da dodjeljivanje vrijednosti varijablama g zadovoljava isf P 

u strukturi M zapisujemo na sljedeći način: 

M ² P [g] 

Primjer 21.5 Struktura M s domenom D = {a, b, c}. Jezik sadrži binarni predikat 

Voli čija je ekstenzija u strukturi Voli M = {< a,a >,< a,b >,< c,a >}. Promatramo 

isf: ∃y(Voli(x, y) ∧¬Voli(y, y)). Dodjeljivanje g zadovoljava isf-u ako i 

samo ako ono dodjeljuje a za x (naime jedino a voli nekoga koji ne voli samoga sebe). 

Ispitajmo primjer koristeći gornju definiciju. Prvo, g mora dodjeljivati neku vrijednost 

za x da bi g bilo odgovarajauće za formulu. Ta vrijednost mora biti jedan me ¯du a, b i 

c; nazovimo je e. Drugo, po klauzulu za ∃, g zadovoljava ovu isf akko postoji d ∈ D 

takav da g[y/d] zadovoljava Voli(x, y) ∧¬Voli(y, y). Po klauzulama za konjunkciju i 

negaciju, g[y/d] tada zadovoljava Voli(x, y) i ne zadovoljava Voli(y, y). Gledajući na 

atomarni slučaj, tada mora biti u ekstenziji Voli M ,ane smije biti u 

toj ekstenziji. Ispitajmo slučajeve (i) e = d = a otpada, (ii) e = b i d = a otpada, itd. 

Jedina mogućnost je e = a i d = b. Zatojejedininačin da g zadovolji zadanu isf-u u M 

onaj u kome g dodjeljuje a za x. 

U prethodnom smo primjeru analizirali isf-u s jednom slobodnom varijablom, 

ali za tu smo svrhu morali razmotriti isf-e s dvije slobodne varijable. Zapravo, 

tražimo način za definirati istinitost rečenica, a to znači isf-a bez slobodnih varijabli. 

No za tu svrhu, morali smo ići do višeg stupnja općenitosti i definirati 

zadovoljavanje za isf-e sa slobodnim varijablama. Kada smo jednom definirali 

zadovoljavanje za isf-e, možemo prijeći na poseban slučaj isf-a bez slobodnih 

varijabli i definirati istinu. 

21.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju 

vrijednosti 

Definicija 16 (Istina) Neka je L neki jezik prvoga reda i neka je M stuktura za 

L. Rečenica P je istinita u M ako i samo ako prazno dodjeljivanje vrijednosti 

g ∅ zadovoljava P u M. U protivnom, P je lažna u M.


Zapis. Ako je rečenica P istinita u M pišemo: 

M ² P 

Primjer 21.6 Struktura M s domenom D = {a, b, c}. Jezik sadrži binarni predikat 

Voličija je ekstenzija u strukturi Voli M = {< a,a >,< a,b >,< c,a >}. Promatramo 

rečenicu: ∃x∃y(Voli(x, y) ∧¬Voli(y, y)). Budući da nema slobodnih varijabli, 

prazno dodjeljivanje g ∅ je odgovarajuće za ovu rečenicu. Po definiciji zadovoljavanja, 

ova će rečenica biti istinita akko postoji predmet kojega možemo dodjeliti varijabli x 

tako da rezultirajuće dodjeljivanje zadovolji ∃y(Voli(x, y) ∧¬Voli(y,y)). Vidjeli smo 

da postoji takav predmet, a. ZatoM ² ∃x∃y(Voli(x, y) ∧¬Voli(y, y)). 

Primjer 21.7 Nastavljajući na prethodne primjere, razmotrimo rečenicu ∀x∃y(Voli(x, y)∧ 

¬Voli(y, y)). Zadovoljava li prazno dodjeljivanje ovu rečenicu? Ako da, onda za 

svaki premet e iz domene ako dodjelimo e za x rezultirajuće dodjeljivanje g zadovoljava 

∃y(Voli(x, y) ∧¬Voli(y, y)). Ali to nije slučaj. zato prazno dodjeljivanje ne 

zadovoljava rečenicu, pa je zato njezina negacija istinita, M ² ¬∀x∃y(Voli(x, y) ∧ 

¬Voli(y, y)). 

Intuitivno, istinitost rečenice ovisi samo o značenju pripisanom u strukturi 

za predikate i individualne konstante. Činjenicadajetodoistatakoproizlaziiz 

sljedeće, nešto jače tvrdnje. 

Tvrdnja 36 Neka su M 1 i M 2 strukture koje imaju istu domenu i koje dodjeljuju 

istu interpretaciju za predikate i konstante u isf P . neka su g 1 i g 2 

dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljuju iste vrijednosti (predmete) 

za slobodne varijable u isf-i P . Tada M 1 ² P [g 1 ] ako i samo ako M 2 ² P [g 2 ] 

Dokaz 29 Dokaz treba izraditi koristeći indukciju nad isf-ama. Osnovni korak: 

Pretpostavimo da je P - R(t 1 ,...,t n ), gdje je Rn-mjesni D predikat. Po E definiciji, 

g 1 zadovoljava P u M 1 ako i samo ako n-torka [[t 1 ]] M1 

g 1 

,...,[[t n ]] M1 

g 1 

∈ M 1 (R), 

D 

E 

a g 2 zadovoljava P u M 2 ako i samo ako n-torka [[t 1 ]] M2 

g 2 

,...,[[t n ]] M2 

g 2 

∈ 

M 2 (R). Budući da se dvije strukture i dva dodjeljivanja vrijednosti podudaraju u 

pogledu interpretacije svakog simbola koji se javlja u P , vrijedit će za svaki term 

t i da [[t i ]] M1 

g 1 

=[[t i ]] M2 

g 2 

te za predikat R da M 1 (R) =M 2 (R). Uz potrebne primjene 

eliminacije identiteta dobivamo: M 1 ² P [g 1 ] ako i samo ako M 2 ² P [g 2 ] . 

U induktivnom ćemo koraku razmotrit dva slučaja od mogućih sedam slučajeva: 

konjunktivnu i egzistencijalnu isf-u. Po induktivnoj hipotezi pretpostavit ćemo 

da ciljni bikondicional : pretpostavimo M 1 ² Q[g 1 ] ako i samo ako M 2 ² 

Q[g 2 ].Trebamo dokazati da tada treba vrijediti: (*) M 1 ² ∃vQ[g 1 ] ako i samo 

ako M 2 ² ∃vQ[g 2 ]. Pretpostavimo suprotno, neka je slučaj da (i) M 1 2 ∃vQ[g 1 ]


i M 2 ² ∃vQ[g 2 ] ili (ii) M 1 ² ∃vQ[g 1 ] i M 2 2 ∃vQ[g 2 ]. Ako (i), onda ne postoji 

d ∈ D M 1 takav da g 1[v/d] zadovoljava Q, ali postoji d ∈ D M 2 

takav da g 2[v/d] 

zadovoljava Q. Budući da su domene identične, D M 1 

= DM 2 

, prethodno je 

moguće samo ako se g 1 i g 2 razlikuju u dodjeljivanju vrijednosti za neki term koji 

se pojavljuje u Q. No, to nije moguće. Drukčije kazano, označimo s Q v c isf koju 

ćemo dobiti ako na svim mjestima gdje se u Q javlja varijabla v uvrstimo novo 

ime c koje smo dodijelili predmetu d ∈ D M 2 

koji zadovoljava isf Q. Unovom 

zapisu, mora vrijediti M 2 ² Q v c[g 2 ] i ne smije vrijediti M 1 ² Q v c[g 1 ]. Onda bi se 

ili (i) M 1 i M 2 morali razlikovati u interpretaciji nekog predikata ili konstantne, 

ili (ii) bi se g 1 i g 2 .morali razlikovati u dodjeljivanju vrijednosti varijablama koje 

se javljaju u Q. No ni jedno ni drugo nije moguće: (i) nije moguće zbog toga što 

su M 1 i M 2 strukture koje imaju istu domenu i koje dodjeljuju istu interpretaciju 

za predikate i konstante u isf-i Q, (ii) nije moguće po induktivnoj hipotezi. 

Kada na raspolaganju pojam o istini, može definirati druge važne pojmove 

poput posljedice prvoga reda ili valjane rečenice prvoga reda. 

U sljedećim definicijama pretpostavljamo da nam je zadan neki jezik prvoga 

reda i da sve rečenice o kojima je riječ pripadaju tom jeziku. Pod nazivom 

struktura misli se na bilo koju strukturu prvoga reda koja daje interpretaciju za 

sve predikate i individualne konstante toga jezika. 

Definicija 17 (Posljedica prvoga reda) Rečenica Q je posljedica prvoga reda 

skupa rečenica T = {P 1 ,...} ako i samo ako svaka struktura koja čini sve 

rečenice iz T istinitima, čini i Q istinitom. 

Ova definicija je slična definiciji tautološke posljedice 32 . 

Razlika leži u tome što se umjesto dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti, ovdje 

koristimo strukture prvoga reda. 

Na sličan način možemo modificirati i definiciju tautologije 33 . 

Definicija 18 (Valjana rečenica prvoga reda) Rečenica P je valjana rečenica 

prvoga reda ako i samo ako je P istinito u svakoj strukturi prvoga reda 

Na sličan način idemo i prema ostalim semantičkim pojmovima. Za rečenicu 

možemo reći da je zadovoljiva u smislu logike prvoga reda ako i samo ako postoji 

struktura prvoga reda koja tu rečenicu čini istinitom. Za skup rečenica možemo 

reći da je zadovoljiv u smislu logike prvoga reda ako i samo ako postoji struktura 

prvoga reda koja čini istinitom svaku rečenicu iz tog skupa. 

32 

Za zapamtiti 

Rečenica S je tautoloka posljedica skupa rečenica T ako i samo ako je u svakom 

dodjeljivanju istinitosnih vrijednosti pod kojim je svaka rečenica iz T istinita tako ¯der i rečenica S 

istinita. 

33 

Rečenica S je tautologija ako je istinita za svako dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h, 

drugim riječima, ako je za svako h - ĥ(S) =>.


1. Strukture prvoga reda su matematički (ili formalni) modeli 

domene o kojoj izruičemo tvrdnje koristeći logiku prvoga reda. 

2. Dodjeljivanbje vrijednosti varijablama je funkcija koja presslikava 

varijable u domenu neke strukture prvoga reda. 

3. Dodjeljivanje vrijednosti varijablama zadovoljava isf-u ako 

(u intuitivnom smislu) predmeti dodjeljeni varijablama čine isf-u istinitom 

u strukturi. 

4. Pomoću pojma zadovoljavanja možemo definirati što znači 

istinitost rečenice u strukturi. 

5. Kada na raspolaganju imamo pojam istinitosti u strukturi, 

možemo definirati pojmove o posljedici prvoga reda i logičkoj istini, u 

smislu logike prvoga reda. 

21.2.1 Primjeri drukčijeg (ali istovrijednog) definiranja 

semantičkih pojmova 

Iz: 

Johan van Benthem. Exploring Logical Dynamics. CSLI Publications. Stanford, 

1996. 

str. 48. 

Semantička interpretacija koristi strukture D =(D, O; P ), gdje 

je D domena predmeta, O skup razlikovanih predmeta, a P skup predikata. 

Funkcija interpretacije I pridružuje individualnim konstantama c razlikovane 

predmete I(c) ∈ O, ak−mjesnim predikatnim simbolima 

pridružuje k−mjesne predikate I(P ) ∈ P . Dodjeljivanje vrijednosti 

varijablama a pridružuje individualnim varijablama x predmete a(x) ∈ 

D. Ovdje je I trajnija veza a a lokalnija i ’dinamična’. Dalje dolaze 

vrijednosti terma: 

vrijednost(x, D, I, a) = a(x) 

vrijednost(c, D, I, a) = I(c) 

Dalje, Tarskijeva definicija istine definira središnju ideju "φ je 

istinito u D pod I i a": 

D, I, a ² φ 

putem sljedećih induktivnih klauzula (atomarni slučaj je dan u obliku 

primjera): 

D, I, a ² Rt 1 t 2 akko I(R)(vrijednost(t 1 ,D,I,a),vrijednost(t 2 ,D,I,a)) 

D, I, a ² t 1 = t 2 akko vrijednost(t 1 ,D,I,a)=vrijednost(t 2 ,D,I,a) 

D, I, a ² ¬φ akko nije slučaj da D, I, a ² φ 

D, I, a ² φ ∧ ψ akko D, I, a ² φ i D, I, a ² ψ 

inasličan način za ostale propozicijske veznike 

D, I, a ² ∃xφ akko postoji neki d ∈ D takav da D, I, a x d ² φ 

inasličan način za univerzalni kvantifikator


Ovdje je a x d 

dodjeljivanje vrijednosti b koje je po svemu jednako 

s a osim s mogućom razlikom u tome da ono dodjeljuje predmet d za 

varijablu x. 

Zadatak 126 Usporedite Barwise-Etchemendy definicije s van Benthem-ovim! Koliko 

se funkcija koristi u odre ¯divanju neke strukture prvoga reda? Jesu li funkcije dodjeljivanja 

za varijable totalne u oba slučaja? 

Primjer 21.8 Willem Groenenveld. Logical Investigations into Dynamic Semantics. 

ILLC, Amsterdam, 1995. str. 39. "Statična semantika sastoji se od trojke L, K, ², gdje 

je L jezik, K skup modela, a ² relacija korespondencije izme ¯du M ∈ K i φ ∈ L. Ako 

M ² φ onda kažemo da je φ istinito u M. Ako Γ ⊆ L onda M ² φ znači da svaka 

rečenica ψ ∈ L jest istinita u M. Ako Γ ⊆ L, φ ∈ L kažemo da je argument Γ/φ 

klasično valjan u K pod uvjetom da za svaki model M ∈ K gdje M ² Γ tako ¯der vrijedi 

M ² φ; zapis Γ ² c K φ."

Poglavlje 22 

Pouzdanost logike prvoga reda 

Zahvaljujući činjenici da smo ideju posljedice prvoga reda učinili preciznom (tj. 

formalizirali je), možemo prijeći na iskaz i dokaz teorema pouzdanosti za logiku 

prvoga reda. 

Tvrdnju da se rečenica S može dokazati pomoću skupa premisa T usustavu 

prirodne dedukcije F zapisujemo ovako: 

T ` S 

Teorem 37 (Pouzdanost sustava F ) 

reda skupa T . 

Ako T ` S, onda je S posljedica prvog 

Osnovna ideja dokaza.Kao i kod dokaza potpunosti za propozicijsku logiku 

(sustav F T ) pretpostavljamo da je d neki dokaz sačinjen u sustavu F . Pokazat 

ćemo da je bilo koja rečenica koja se javlja u bilo kojem koraku dokaza d posljedica 

prvoga reda pretpostavki koje su na snazi u tom koraku. Ova se tvrdnja 

ne odnosi samo na rečenice koje su premise dokaza već inarečenicekojese 

javljaju u poddokazu ma koliko duboko one bile "ukopane". Pretpostavke koje 

su na snazi uvijek uključuju glavne premise dokaza, ali ako promatramo korak u 

nekom poddokazu, onda pretpostavke na snazi na tom koraku uključuju sve pretpostavke 

tog poddokaza. Tvrdnja da je bilo koja rečenica u dokazu d posljedica 

prvoga reda pretpostavki na snazi u tom koraku povlači teorem o pouzdanosti. 

Naime, ako se S javlja na glavnoj razini u d, onda su pretpostavke iz T jedine 

pretpostavke na snazi u tom koraku pa je S njihova posljedica prvoga reda. 

U dokazu pouzdanosti za F T koristili smo dokaz kontradikcijom (reductio ad 

220

221 

absurdum). Pretpostavili ćemo da postoji korak u dokazu d koji nije tautološka 

posljedica pretpostavki koje su na snazi u tom koraku i takav korak smo nazvali 

nevaljanim. Nerv dokaza je u tome da se pokaže da niti jedno od pravila nije 

moglo opravdati taj nevaljani korak. Takav pretpostavka o prvom nevaljanom 

koraku, zapravo je bila prikrivena indukcija (prethodni koraci su valjani - to je 

bila induktivna hipoteza). 

Sada ćemo ići izravnije i s eksplicitnom indukcijom. Pretpostavit ćemo da 

smo na n-tom koraku i da su svi prethodni koraci bili valjani. Pod tom pretpostavkom 

(induktivnom hipotezom) pokazujemo da je i ovaj, n-ti korak valjan. 

Dokazi za veznike odgovaraju onima za sustav F T . 

→Elim 

Pretpostavimo da n-ti korak u dokazu derivira rečenicu R putem primjene 

pravila →Elim nad rečenicama Q → R i Q koje se javljaju ranije u dokazu. 

Neka je A 1 ,...,A n popis pretpostavki koje su na snazi u koraku n. Po induktivnoj 

hipotezi, znamo da su Q → R i R valjani koraci (tj. da su posljedice prvoga reda 

pretpostavki na snazi u tim koracima). Budući da F dopušta citirati samo korake 

čije su pretpostavke i dalje na snazi, znamo da su pretpostavke ovih dvaju koraka 

na snazi i u koraku R. Dakle, pretpostavke koraka R nalaze se me ¯du A 1 ,...,A n . 

Pretpostavimo da je M struktura prvoga reda u kojoj je svaka rečenica A 1 ,...,A n 

istinita. Po induktivnoj hipotezi, slijedi da M ² Q i M ² Q → R budući da su 

te rečenice posljedice prvoga reda od A 1 ,...,A n .Noutomslučaju po definiciji 

za istinu u strukturi vidimo da M ² R. Zato je R posljedica prvoga reda od 

A 1 ,...,A n .Dakle,n je valjan korak. 

∃ Elim. 

Pretpostavimo da n-ti korak derivira rečenicu R putem primjene pravila ∃Elim 

na rečenicu ∃xP (x) i na poddokaz koji sadrži R na svojoj glavnoj razini, recimo 

u koraku m. Nekajec nova individualna konstanta uvedena u poddokazu. 

Drugim riječima, P (c) je pretpostavka poddokaza koji sadrži R: 

Neka su A 1 , ..., A n .pretpostavke na snazi u koraku n. Induktivna hipoteza jamči 

da su koraci j i m valjani, zato je ∃xP (x) posljedica prvoga reda pretpostavki

222 Poglavlje 22 Pouzdanost logike prvoga reda 

koje su na snazi u tom koraku, j na slici i te su pretpostavke podskup od A 1 ,...,A n .S 

druge strane, R je posljedica prvoga reda pretpostavki koje su na snazi u koraku 

m, a one su podskup od A 1 ,...,A n plus P (c) - pretpostavke poddokaza. 

Moramo pokazati da je R posljedica prvoga reda samo pretpostavki A 1 ,...,A n . 

Za tu svrhu pretpostavimo da je M struktura prvoga reda u kojoj svaka rečenica 

A 1 ,...,A n istinita. Tako ¯der moramo pokazati da je R istinita u M. Budući da je 

∃xP (x) posljedica prvoga reda tih pretpostavki, onda M ² ∃xP (x).Uočimo da 

se konstanta c ne može javljati u A 1 ,...,A n , ∃xP (x),Ruskladusograničenjima 

koja su postavljena pri uvo ¯denju novog, privremenog imena za pravilo ∃Elim. 

Budući da M ² ∃xP (x), znamo da postoji neki predmet, recimo b, u domeni od 

M koji zadovoljava P (x). Neka je M 0 po svemu jednaka s M, osimpotome 

što konstanti c dodjeljuje predmet b. Očigledno je da će vrijediti M 0 ² P (c) 

u skladu s našim izborom interpretacije za c. Po već dokazanoj tvrdnji 34 M 0 

čini istinitima A 1 ,...,A n No tada M 0 ² R jer je R posljedica prvoga reda tih 

rečenica. Budući da se c ne javlja u R, R je tako ¯der istinit u početnoj strukturi 

M (opet u skladu s već citiranom tvrdnjom). 

Dokaz za ∀Intro je sličan. A preostala dva pravila su jednostavna. 

Teorem pouzdanosti za F jamči nam da nikada nećemo dokazati 

nevaljani zaključak (argument) koristeći samo pravila iz F . On nas 

tako ¯der upozorava da nećemo moći dokazati valjani zaključak čija valjanost 

ovisi o drugim predikatima pored identiteta. 

34 

Neka su M 1 i M 2 strukture koje imaju istu domenu i koje dodjeljuju istu interpretaciju za 

predikate i konstante u isf P .nekasug 1 i g 2 dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljuju 

iste vrijednosti (predmete) za slobodne varijable u isf-i P . Tada M 1 ² P [g 1] ako i samo ako 

M 2 ² P [g 2 ]

Poglavlje 23 

Potpunost i nepotpunost 

Definicija logičke posljedice je uglavnom bila semantička: S je logička posljedica 

premisa P 1 ,...,P n ako nije moguće da premise budu istine a da pri tome 

konkluzija bude neistinita. Postavlja se pitanje jesu li metode dokaza koje smo 

do sada razmatrali dovoljne da dokažemo sve ono što bismo htjeli dokazati. 

Možemo li biti sigurni da ćemo uvijek kada je slučaj da je S logička posljedica 

premisa P 1 ,...,P n moći pronaći dokaz za S iz P 1 ,...,P n ? 

Odgovor na ovo pitanje je i da i ne, ovisno o tome na koji smo način precizirali 

pojam logičke posljedice i ovisno o tome koji jezik promatramo. 

Odgovor na naše pitanje je ’da’ ako pod pojmom logičke posljedice mislimo 

posljedicu prvoga reda. Gödelov teorem potpunosti za logiku prvoga reda jamči 

nam da ako je S posljedica prvoga reda skupa rečenica T , onda postoji i formalni 

dokaz za S koji koristi jedino premise iz skupa T . Prvi dokaz ovakve vrste dao 

je Kurt Gödel u svojoj diserataciji 1929. 

Pretpostavimo, me ¯dutim, da koristimo neki posebni jezik prvoga reda i da 

smo zainteresirani za logičku posljedicu u kojoj uzimamo u obzir i značenje 

predikata iz tog jezika. Trebaju li nam dodatne metode dokazivanja? Ako da, 

mogu li se one svesti na metode koje smo proučavali do sada? Ili je zamislivo da 

ne postoji potpuni formalni sustav koji zahvaća pojam logičke posljedice za pojedine 

jezike? Odgovore na ta pitanja potražit ćemo u raspravi o interpretiranim 

jezicima i Gödelovom dokazu nepotpunosti. 

TautološkaP osljedica(S, T ) ⇒ T `T S 

PosljedicaPrvogReda(S, T ) ⇒ T ` S Gödel 1928. 

AnalitičkaP osljedica(S, T ) ; T ` S Gödel 1931. 

23.1 Teorem potpunosti za logiku prvog reda 

U izlaganju dokaza potpunosti za logiku prvoga reda koristit ćemo termine ’teorija’ 

i ’skup rečenica’ kao da oni znače isto. Mnogi autori ne koriste termin ’teorija’ 

na taj način; često se teorijom naziva skup rečenicaprvogaredakojije"zatvoren 

pod dokazivošću", tj. ako T ` S onda S ∈ T . 

Zapis T ` S značit će da postoji dokaz za rečenicu S iz teorije T u punom 

sustavu F (sustavu koji uključuje sva i samo pravila uvo ¯denja i uklanjanja za 

logičke simbole).Ovaj zapis ne znači da nužno svaka rečenica iz T mora biti 

upotrebljena u dokazu za S, većsamodapostojidokazzaS koji koristi jedino 

rečenice iz T . Posebno, skup T može biti beskonačan ali samo konačan broj 

premisa može biti iskorišten u jednom dokazu. 

Teorem 38 (Teorem potpunosti za F ) 

Neka je T skup rečenica nekog jezika 

223

224 Poglavlje 23 Potpunost i nepotpunost 

prvoga reda L i neka je S rečenica tog jezika. Ako je S posljedica prvoga reda 

od T , onda T ` S. 

Neposredna posljedica teorema potpunosti je teorem kompaktnosti. 

Teorem 39 (Teorem kompaktnosti za logiku prvog reda) Neka je T skup rečenica 

nekogjezikaprvogareda,L. Akozasvakikonačni podskup od T postoji 

struktura prvoga reda koja čini istinitom taj podskup od T , onda postoji 

struktura prvog reda, M koja čini sve rečenice iz T istinitima. 

Rascjep izme ¯du dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti i istinitost u strukturi 

prvog reda. Metoda istinitosnih tablica je pregruba da bi vodila računa o značenju 

kvantifikatora ili simbola identiteta. Sa stajališta te metode, odnosno propozicijske 

logike, rečenice Kocka(b) i ∃xKocka(x) posve su neovisne i zato nema zapreke 

postojanju dodjeljivanju istintosnih vrijednosti koje im pridaje različitu vrijednost, 

na primjer ĥ(Kocka(b)) = > i ĥ(¬∃xKocka(x)) = > S druge strane, 

nema takve strukture prvog reda koja bi omogućila različitu istinitosnu vrijednost 

za te dvije rečenice; nije moguće da M ² Kocka(b) i M 2 ∃xKocka(x).

23.1 Teorem potpunosti za logiku prvog reda 225 

Henkinova metoda pronalazi dovitljiv način da točno ocrta rascjep izme ¯du 

valjanih rečenica prvoga reda i tautologija. Za tu se svrhu koristi skup rečenica 

prvoga reda, H. TajskupH uspijeva zahvatiti upravo ono što metoda istinitosnih 

tablica propušta vidjeti kod kvantifikatora i identiteta. Na primjer, H će sadržavati 

rečenicu Kocka(a) → ∃xKocka(x) inatajnačin isključiti spomenuto 

istinitosno vrednovanje. 

Glavni obrisi dokaza potpunosti. 

Dodavanje konstanti koje svjedoče. Neka je L jezik prvoga reda. Želimo 

dokazati da ako je rečenica S iz jezika L posljedica prvoga reda skupa T 

rečenica jezika L, onda T ` S. Prvi korak je proširiti jezik L na bogatiji 

jezik L H ,kojisadržibeskonačno mnogo novih simbola za individualne 

konstante, koje nazivamo konstantama koje svjedoče. 

Henkinova teorija. Nakon dodavanja konstanti koje svjedoče, izdvajamo 

jednu posebnu teoriju H u obogaćenom jeziku L H . Ova se teorija sastoji 

od raznih rečenica koje nisu tautologije ali jesu teoremi logike prvoga reda, 

uz još neke dodatne rečenice koje se nazivaju Henkinovim aksiomima koji 

svjedoče. Takvi aksiomi imaju oblik ∃xP (x) → P (c) gdje je c konstanta


koja svjedoči. Ta se konstanta pažljivo bira kako bi učinila istinitima lemu 

Henkinove konstrukcije i eliminacijski teorem. 

Eliminacijski teorem. Henkinova teorija je dovoljno slaba a formalni 

sustav F dovoljno jak pa omogućuju da dokažemo sljedeće: Neka je p 

neki formalni dokaz prvoga reda čije su rečenice iz L ili iz H a konkluzija 

rečenica iz L. Premise iz H mogu se eliminarati iz ovog dokaza zahvaljujući 

primjeni pravila za kvantifikatore. Preciznije, postoji formalni dokaz p 0 čije 

su premise samo one premise iz p koje su rečenice jezika L i on, tj. p 0 ima 

istu konkluziji kao i p. 

Henkinova konstrukcija. S druge strane, Henkinova teorija je dovoljno 

jaka a pojam strukture prvoga reda dovoljno širok pa omogućuju da 

dokažemo sljedeće: za svako dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h koje 

dodjeljuje > svakoj ispravno sastavljenoj formuli iz H postoji struktura 

prvoga reda M H takva M H ² S za svaku S kojoj h dodjeljuje >. 

Ovakva konstrukcija strukture M H koja polazi od dodjeljivanja istinitosnih 

vrijednosti h ponekad se naziva Henkinovom konstrukcijom. 

Povezivanje u dokaz potpunosti Ove rezultate možemo iskoristiti za 

svrhu dokazivanja teorema potpunosti. Pretpostavimo da su sve rečenice 

iz T te rečenica S rečeniceizpočetnog jezika L, tedajeS posljedica 

prvog reda od T . Želimo dokazati da T ` S. Po pretpostavci, ne postoji 

struktura prvoga reda u kojoj su sve rečenice iz T ∪{¬S} istinite. Po 

Henkinovoj konstrukciji, ne postoji dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h 

koje dodjeluje vrijednost > svim rečenicama iz skupa T ∪ H ∪{¬S}. Kada 

bi takvog dodjeljivanja bilo, onda bi struktura prvoga reda M H verificirala 

T ∪{¬S}. ZatojeS tautološka posljedica od T ∪ H. Po teoremu potpunosti 

za propozicijsku logiku, postoji formalni dokaz p za S iz T ∪ H. Po 

eliminacijskom teoremu, putem korištenja pravila dokaza za kvantifikatore, 

dokaz p se može transformirati u formalni dokaz p 0 za S iz premisa iz T . 

Dakle, T ` S, što smo i željeli dokazati. 

23.2 Dodavanje konstanti koje svjedoče 

Zadan nam je jezik prvoga reda K. Konstruiramo novi jezik prvoga reda K 0 . 

Novi jezik K 0 imat će iste simbole kao i K s tom razlikom što će sadržavati puno 

novih simbola za konstante. 

Primjer 23.1 Ako je riječ o varijanti jezika iz Tarski’s World, onda će novi, prošireni 

jezik imati i ovakve rečenice: (1) ∃x(Maleno(x) ∧ Kocka(x)) → (Maleno(c 1 ) ∧ 

Kocka(c 1 )),(2)∃z(z 6= a ∧ z 6= b) → (c 2 6= a ∧ c 2 6= b) 

Općenito, za svaku isf-u P iz jezika L koja ima točno jednu slobodnu varijablu, 

sačinite novi simbol individualne konstante c P , pazećipritomedaza 

različite isf-e sačinite različita imena. Takva konstanta naziva se konstantom 

koja svjedoči za P .


Kako možemo biti sigurni da ćemo uspjeti sačiniti različita imena za različite 

formule? Ima različitih načina kojima se to može ostvariti. Jedan me ¯du njima 

je onaj u kojemu odabiremo novi simbol c koji nije u K i za svaku formulu s 

jednom slobodnom varijablom upisujemo nju samu kao podznak. 

Primjer 23.2 (1)Instancirajmo ∃x(Maleno(x) ∧ Kocka(x)) s konstantama sačinjenim 

po gornjem uputstvu! Dobivamo: 

Maleno(c (Maleno(x)∧Kocka(x)) ) ∧ Kocka(c (Maleno(x)∧Kocka(x)) ) 

(2)Slično, za∃z(z 6= a ∧ z 6= b) instancijacija s konstantama daje 

c (z6=a∧z6=b) 6= a ∧ c (z6=a∧z6=b) 6= b 

Tako dobivamo jezik K 0 , koji koristi sve simbole jezika K i njima pridodaje 

nove konstante koje svjedoče. 

Primjer 23.3 U proširenom jeziku imat ćemo i ovakvu rečenicu: ∃z(z 6= c (z6=a∧z6=b) ∧ 

z 6= c (z6=a∧z6=b) ).No,itarečenica traži svoju konstantu-svjedoka. Ponavljajući postupak, 

dobivamo c (z6=c(z6=a∧z6=b) ∧z6=c (z6=a∧z6=b) ). 

Očigledno je da proširenje jezika postavlja zahtjev za uvo ¯denjem novih konstantisvjedoka, 

a njihovo uvo ¯denje opet proširuje jezik reproducirajući zahtjev i tako 

dalje in infinitum. Zato konstrukciju svjedočećih konstanti moramo stalno obnavljati.Time, 

polazeći od jezika L, dolazimodobeskonačnog niza sve opsežnijih 

i opsežnijih jezika: 

L 0 ⊆ L 1 ⊆ L 2 ⊆ ... 

gdje L = L 0 i L n+1 = L 0 n. Naime, jezik L n+1 nastaje primjenom Henkinove 

konstrukcije na jeziku L n . Na kraju, Henkinov jezik L H za jezik L sastoji se od 

svih simbola jezika L n za svaki n =1, 2, 3,.... 

Svaka konstanta-svjedok c P nastajenanekojrazinin = 1 ove konstrukcije. 

Nazovimo razinu konstrukcije - datumom ro ¯denja konstante c P . 

Lema 40 (Lema datuma ro ¯denja) Neka je n +1datum ro ¯denja konstante c P . 

Ako je Q proizvolja isf jezika L n ,ondasekonstantac P ne javlja u Q. 

23.3 Henkinova teorija 

Svakoj isf-i P s jednom slobodnom varijablom dodali smo po jednu konstantusvjedoka. 

Budući da će nam slobodna varijabla biti važna, zapisivat ćemo isf-e 

na način koji upozorava na slobodnu varijablu kao P (x) (izbor varijable nije 

važan, zapravo bismo trebali pisati P (v) gdje je v bilo koja varijabla iz jezika). 

Posljedično, konstanta koja svjedoči označavat će se s c P (x) . Podsjetimo se da


smo s beskonačnim iteriranjem postupka uspjeli urediti stvari tako da svaka isf-u 

P (x) iz L H koja ima točno jednu slobodnu varijablu ima svoju konstantu koja 

svjedoči c P (x) u jeziku L H . Ta nam činjenica omogućuje da sačinimo u L H 

ovakve rečenice: 

∃xP (x) → P (c P (x) ) 

Ovakva je rečenica poznata pod nazivom ’Henkinov aksiom koji svjedoči za 

P (x)’. Intuitivna ideja u pozadini rečenice ∃xP (x) → P (c P (x) ): ako postoji 

neki predmet koji zadovoljava P (x), onda objekt čije je ime c P (x) predstavlja 

primjer (’svjedoči’ o postojanju) jednog takvog predmeta. 

Lema 41 (Lema neovisnosti) Ako su c P i c Q dvijekonstantekojesvjedoče i 

ako je datum ro ¯denja od c P manji od ili jednak datumu ro ¯denja c Q , onda se c Q 

ne javlja u aksiomu koji svjedoči pomoću konstante c P . 

Dokaz 30 Ako je datum ro ¯denja od c P manji od datuma ro ¯denja za c Q , onda 

konzekvens slijedi po lemi datuma ro ¯denja. Ako konstante-svjedoci imaju isti 

datum ro ¯denja, konzekvens proizlazi iz činjenice da različite isf-e iz jezika K 

imaju različite konstante koje svjedoče u K 0 . 

Definicija 19 (Henkinova teorija) Henkinova teorija H sastoji se od svih rečenica 

koje imaju jedan od sljedećih pet oblika, gdje su c i d bilo koje konstante a P (x) 

je bilo koja formula s jednom slobodnom varijablom u jeziku L H : 

H1: Svi Henkinovi aksiom koji svjedoče 

H2: Sve rečenice čiji je oblik 




∃xP (x) → P (c P (x) ) 

P (c) →∃xP (x) 

¬∀xP (x) ↔∃x¬P (x) 

c = c 

(P (c) ∧ c = d) → P (d) 

Uočimo sličnost izme ¯du rečenica iz H i pravila za kvantifikatore i identitet u 

sustavu F : 

H1 približno korespondira pravilu ∃ Elim u smislu da se oba oslanjaju na 

istu intuiciju 

H2 korespondira pravilu ∃ Intro 

H3 reducira ∀ na ∃ 

H4 korespondira = Intro


H5 korespondira pravilu = Elim 

Korespondencija se razlikuje od slučaja do slučaja. Na primjer, aksiomi tipa 

H2-H5 su valjane rečenice prvoga reda, dok H1 nije. Aksiomi svjedočenja daju 

važne tvrdnje za interpretaciju konstanti-svjedoka. Sljedeća tvrdnja nije potrebna 

u dokazu potpunosti, ipak je važna jer pokazuje zašto dokaz može uspjeti. 

Tvrdnja 42 Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji način interpretacije 

svih konstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, 

sve rečenice iz H budu istinite. 

Dokaz 31 Osnovna ideja dokaza: ako M ² ∃xP (x), odaberimo bilo koji element 

b iz domene koji zadovoljava P (x) i neka konstanta-svjedok c P (x) imenuje 

taj predmet b. AkoM ² ¬∃xP (x), onda neka c P (x) imenuje bilo koji predmet 

b. Naovajnačin smo pokrili aksiome tipa H1. Drugi aksiomi su logičkeistinei 

zato su istiniti neovisno o interpretaciji. 

23.3.1 Zadaci 

Zadatak 127 Neka je T teorija formulirana u jeziku L. Primjenite dokazanu tvrdnju 

"Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji način interpretacije svih konstantisvjedoka 

u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, sve rečenice iz H budu 

istinite." da biste pokazali da vrijedi sljedeće: ako je S iz L posljedica prvoga reda 

od T ∪ H, onda je ona posljedica prvoga rada i od T . 

Dokaz 32 (*) Pretpostavimo da je S posljedica prvoga reda od T ∪ H. Po 

definiciji, svaka struktura prvoga reda koja čini sve rečenice iz T ∪ H istinitima 

čini istinitom i rečenicu S. Zareductio, pretpostavimo da je M jedna struktura 

koja čini sve rečenice iz T istinitima ali (#) ne i rečenicu S. No za svaku strukturu 

postoji interpretacija konstanti-svjedoka koja čini istinitima sve rečenice iz H. Ta 

struktura verificira T ∪ H,papopretpostavci(*)verificiraiS. Kontradikcija. 

Pokrenite Tarski’s World i otvorite Henkin’s Sentences. Neka su konstante c 

i d skraćeni zapis konstanti-svjedoka c Cube(x) i c Dodec(x)∧Small(x) ,timeredom. 

1. (a) Pokažite da su sve te rečenice članovi teorije H. Odredite oblik svakog 

aksioma po definiciji za H. 

(b) Po prethodnom i po tvrdnji o postojanju interpertacije za 

konstante-svjedoke koja čini sve rečenice iz H istinitima, bilo koji svijet 

u kojemu se konstante c i d nekoristekaoimenamožesepretvoriti 

u svijet u kojemu su H rečenice istinite. Otvorite Henkin’s World i 

imenujte tijela s c i d tako da sve rečenice postanu istinite.


Rješenje.a) Na primjer, treća rečenica je Henkinov aksiom H2 tipa.Odredbu 

tipa ostalih rečenica ostavljamo čitatelju. b) Neka je c skraćeni zapis za c Cube(x) , 

a d za c Dodec(x)∧Small(x) . Pogledajmo rečenicu 2.: svijet ne verificira ∃x(Dodec(x)∧ 

Small(x)), zato možemo odabrati bilo koji predmet.za interpretaciju svjedoka 

c Dodec(x)∧Small(x) 

ljedice i posljedice prvoga reda Neka T sadrži sljedeći skup rečenica, 

T = {Kocka(a),Maleno(a), ∃x(Kocka(x)∧Maleno(x)) →∃yDodekaedar(y)} 

(a) Dajte neformalne dokaze da su sljedeće rečenice posljedice prvoga reda 

od T :(i)∃x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)),(ii)∃yDodekaedar(y). 

(b) Dajte neformalne dokaze da nijedna od sljedećih rečenica nije 

tautološka posljedica od T :(i)∃x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)), (ii) 

∃yDodekaedar(y), (iii) Dodekaedar(c Dodekaedar(y) ). 

(c) Dajte neformalne dokaze da su sve rečenice iz prethodnog zadatka (b) 

tautološke posljedice od T ∪ H. 

Odgovor 37 Rješenje. a(i) Predmet a je kocka i malen predmet. Dakle postoji 

malena kocka. b(i) Postoji istinitosno vrednovanje u kojemu su rečenice 

Kocka(a) i Maleno(a) istinite, a rečenica ∃x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)) neistinita. 

c(b.i) Henkinova teorija sadrži, izme ¯du ostalog, i sljedeće rečenice /H2


tip/ 

(Kocka(a) ∧ Maleno(a)) →∃x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)) 

Željena konkluzija slijedi nakon primjene pravila ∧ Intro i → Elim. 

23.4 Eliminacijski teorem 

Iz tvrdnje o mogućnosti proširenja bilo koje strukture prvoga reda s interpretacijom 

konstanti-svjedoka koja čini istinitim sve rečenice iz H proizlazi da ako je 

rečenica S iz L posljedica prvoga reda od T ∪ H, onda je S tako ¯der i posljedica 

prvoga reda samo od T . Taj rezultat pokazuje nam da s konstrukcijom teorije H 

nismo dodali nove tvrdnje, odnosno da nismo dodali nove posljedice prvoga reda 

od T s obzirom na jezik L. Eliminacijski teorem pokazuje nam da je deduktivni 

sustav dovoljno jak da omogući sličan rezultat na formalnoj strani. 

Teorem 43 (eliminacije) Neka je p bilo koji formalni dokaz prvoga reda s konkluzijom 

S, kojajerečenica iz L ičije su premise rečenice P 1 ,...,P n iz jezika L 

uz dodatak rečenica iz H. Tada postoji formalni dokaz p 0 za S koji koristi samo 

P 1 ,...,P n . 

Dokaz eliminacijskog teorem razložit ćemo u niz lema. 

Teorem 44 ( dedukcije) Ako T ∪{P }`Q onda T ` P → Q. 

Dokaz 33 Pretpostavimo da T ∪{P }`Q. Toznači da postoji dokaz za Q koji 

eventualno koristi P 1 ,...,P n iz T i Q. Sada treba pokazati da T ` P → Q. Ako 

u poddokazu s pretpostavkom P reproduciramo prethodni dokaz, po pravilu za 

uvo ¯denje kondicionala, moći ćemo dokazati Q. 

Zadatak 128 U Fitch-u otvorite Deduction theorem1.prf. Promotrite dokaz koji ima 

dvije premise, označimo ih s P 1 i P 2 te konkluziju, K! Otvorite zatim Proof Deduction 

Theorem.prf koji ima samo jednu premisu, P 1 i dokažite konkluziju P 2 → K! Sada 

možete uvježbati dokaz teorema dedukcije: otvorite novi poddokaz s pretpostavkom P 2, 

reproducirajte dokaz iz Deduction Theorem1.prf i na kraju kada u poddokazu do¯dete do 

K, zatvorite poddokaz i primjenjujući → Intro doći ćete do željenoga: P 2 → K. 

Tvrdnja45(Uklanjanjepremisa) Ako T ∪{P 1 ,...,P n }`Q i ako za svaki 

i =1,...,nvrijedi da T ` P i , onda T ` Q.


Dokaz 34 Pretpostavimo antecedens. Po44 , ako T ∪{P 1 ,...,P n }`Q, onda 

T ∪{P 1 ,...,P n−1 }`P n → Q. Po pretpostavci, T ` P n . Primjenom pravila 

modus ponens dobivamo Q,dakle:T ∪{P 1 ,...,P n−1 }`Q.Ponavljamo postupak 

sve do P 1 . Na kraju dobivamo T ` Q, što smo i htjeli. 

Lema 46 (A) Neka je T skup rečenica iz nekog jezika prvoga reda L te neka su 

P , Q i R rečenice iz L. Tada vrijedi: 

1. Ako T ` P → Q i T `¬P → Q, onda T ` Q 

2. Ako T ` (P → Q) → R, onda T `¬P → R i T ` Q → R 

Dokaz 35 Možemo bez premisa dokazati P ∨¬P .Zato,T ` P ∨¬P .Primjena 

∨ Elim daje željeni rezultat. Dokaz za 2. jekorisnavježbaizpraviladokaza. 

Lema 47 (B: zamjena konstanti s kvantifikatorima) Neka je T skup rečenica 

iznekogjezikaprvogaredaL i neka je Q rečenica iz L. Nekaje P (x) isf iz L s 

jednom slobodnom varijablom koja ne sadrži c. AkoT ` P (c) → Q iakosec 

ne javlja ni u T ni u Q, onda T `∃xP (x) → Q. 

Dokaz 36 Pretpostavimo T ` P (c) → Q gdje je c konstanta koja se ne javlja 

ni u P (x) ni u T ni u Q. To isto, tj. T ` P (d) → Q vrijedi za bilo koju 

drugu konstantu d koja se ne javlja ni u P (x) u T ni u Q. Dovoljno je preuzeti 

izvorni dokaz p i na svakom mjestu na kojem se javlja c - upisati d. Ako se d 

javljalo u izvornom dokazu p, zamijenimo ga s nekom novom konstantom, ako 

hoćemo, za tu svrhu možemo upotrebiti i c. Neformalni dokaz. Koristeći metodu 

→ Intro, uzimamo ∃xP (x) za pretpostavku i pokušavamo dokazati Q. Za tu 

svrhu koristimo ∃ Elim. Neka je d nova konstanta i pretpostavimo P (d). No 

po prethodnom zapažanju znamo da možemo dokazati P (d) → Q. Uz→ Elim 

dobivamo Q. 

Zadatak 129 

Vježba 19.16 daje primjer transformiranja dokaza po metodi ove leme.


Konkluzija koja sadrži konstantu b. 

Konluzija koja ne sadrži konstantu b. 

Lema 48 (Eliminacija Henkinovih aksioma) Neka je T skup rečenica iz nekog 

jezika prvoga reda L i neka je Q rečenica iz L. Neka je P (x) isf iz L s jednom 

slobodnom varijablom koja ne sadrži c. AkoT ∪{∃xP (x) → P (c)} `Q iako 

se c ne javlja ni u T ni u Q, onda T ` Q. 

Dokaz 37 

Pretpostavimo T ∪{∃xP (x) → P (c)} `Q gdje je c konstanta koja


se ne javlja ni u T ni u Q. Po teoremu dedukcije, T ` (∃xP (x) → P (c)) → Q. 

Po lemi A.2 T `¬∃xP (x) → Q i T ` P (c) → Q. Iz drugoga, po lemi B, 

dobivamo T `∃xP (x) → Q. Primjena leme A.1 daje traženo: T ` Q 

Na ovaj način možemo ukloniti Henkinove aksiome svjedočenja (H1) iz 

dokaza koji ih koristi. Sljedeća lema pokriva ostale aksiome iz H. 

Lema 49 (Eliminacija ostalih članova od H) Neka je T skup rečenica prvoga 

reda, neka je P (x) isf s jednom slobodnom varijablom, te neka su c i d simboli 

konstanti.Sljedeće je dokazivo u F : 

P (c) →∃xP (x) 

¬∀xP (x) ↔∃x¬P (x) 

(P (c) ∧ c = d) → P (d) 

c = c 

Lema 50 Jedino što nije posve očigledno jest DeMorganov zakon.kojeg trebate 

dokazati za svrhu vježbanja. 

23.4.1 Dokaz eliminacijskog teorema 

Neka je k proizvoljni prirodni broj, neka je p formalni dokaz prvoga reda za 

konkluziju iz jezika L čije su sve premise bilo rečenice iz T ili rečenice iz H, 

te gdje je najviše k članova iz H. Moramo pokazati kako se mogu eliminirati 

one premise koje su iz H. U dokazu koristimo indukciju na k. Osnovni slučaj 

je slučaj u kojemu k =0. No tada nemamo ništa za eliminirati, pa smo gotovi. 

Pretpostavimo da rezultat vrijedi za k i dokažimo da onda vrijedi za k+1.Dokaz 

se cijepa na dva slučaja. 

Prvi slučaj: barem jedna od premisa koje treba eliminirati, recimo P ,ima 

jedan od oblika spomenutih u prethodnoj lemi. No tada P može biti eliminiran 

u skladu s tvrdnjom o uklanjanju premisa što nas ostavlja s preostalih k premisa 

za uklanjanje, a one mogu po hipotezi indukcije biti uklonjene. 

Drugi slučaj: Sve premise koje treba ukloniti su Henkinovi aksiomi svjedočenja. 

Osnovna je ideja da se prvo elimiraju aksiomi svjedočenja koji imaju 

’mla ¯de’ konstante. Odaberite premisu oblika ∃xP (x) → P (c) čija svjedokkonstanta 

nije mla ¯da od ostalih konstanti koje se javljaju u rečenicama za uklanjanje 

(njezin datum ro ¯denjajeveći ili jednak datumu ro ¯denja bilo koje druge 

svjedok-konstante). To se može učiniti jer takvih rečenica ima konačno mnogo. 

Po lemi neovisnosti, c se ne javlja ni u jednoj drugoj premisi za eliminiranje. 

Zato se c ne javlja ni u jednoj premisi niti u konkluziji. Po lemi za eliminiranje 

aksioma svjedočenja, ∃xP (x) → P (c) možemo eliminirati. To nas dovodi do 

dokaza s najviše k premisa za eliminaciju, a to po hipotezi možemo učiniti.


23.5 Henkinova konstrukcija 

Već smo dokazali tvrdnju "Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji 

način interpretacije svih konstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom 

interpertacijom, sve rečenice iz H budu istinite". Ona pokazuje da možemo uzeti 

bilo koju strukturu prvog reda za jezik L i proširiti je na strukturu za L H koja čini 

istinitima sve one rečenice koje su bile istinite u strukturi za L. Tome možemo 

pridodati i dodjeljivanje vrijednosti h za sve rečenice iz L H koje poštuje sve 

istinitosno funkcionalne veznike: trebamo dodijeliti vrijednost > za rečenice 

koje su istinite u strukturi, a ⊥ za one koji nisu. 

Zadatak 130 Zadana je struktura prvoga reda, M za jezik L. Definiramo dodjeljivanje 

istinitosnih vrijednosti, h M na sljedeći način: za bilo koju atomarnu rečenicu ili 

rečenicu koja počinje s kvantifikatorom, S 

h M (S) => ako i samo ako M ² S 

Trebamo dokazati da "ako i samo ako" vrijedi za bilo koju rečenicu. 

Odgovor 38 Dokazujemo indukcijom. Bikondicional vrijedi za osnovni slučaj 

atomarnih rečenica i rečenica koje započinju s kvantifikatorom. Pretpostavimo 

da bikondicional vrijedi za P i Q. Treba pokazati da on vrijedi i za rečenice 

koje možemo dobiti po pravilima tvorbe. Dokazat ćemo slučaj negacije. (L-D) 

Pretpostavimo h M (¬P )=>. Treba dokazati da M ² ¬P .Akoh M (¬P )=>, 

onda h M (P )=⊥ po definiciji h. Budući da po hipotezi indukcije P zadovoljava 

bikondicional, iz neistinitosti P ,proizlaziM 2 P . Po definiciji negacije, 

M ² ¬P Time je dokazan "samo ako" smjer. (D-L) Pretpostavimo M ² ¬P . 

Treba dokazati da h M (¬P )=>. Po definiciji zadovoljavanja, iz pretpostavke 

proizlazi M 2 P . Budući da po hipotezi indukcije P zadovoljava bikondicional, 

iz M 2 P ,proizlazih M (P ) = ⊥. Po definiciji zadovoljavanja, dobivamo 

h M (¬P )=>, dočega smo i tebali doći. Konjunkcija. (L-D) Pretpostavimo 

h M (P ∧ Q) =>. Treba dokazati da M ² P ∧ Q. Akoh M (P ∧ Q) =>, onda 

h M (P )=> i h M (Q) => po definiciji h. Budući da po hipotezi indukcije P i 

Q zadovoljavaju bikondicional, dobivamo M ² P i M ² Q. Po definiciji zadovoljavanja, 

M ² P ∧Q.Time je dokazan "samo ako" smjer. (D-L) Pretpostavimo 

M ² P ∧ Q. Treba dokazati da h M (P ∧ Q) =>. Po definiciji zadovoljavanja, 

iz pretpostavke kondicionalnog dokaza proizlazi da M ² P i M ² Q..Budući da 

po hipotezi indukcije P i Q zadovoljavaju bikondicional, vrijedi da .h M (P )=> 

i h M (Q) => Po definiciji zadovoljavanja, dobivamo h M (P ∧ Q) =>,dočega 

smo i tebali doći. Ostali slučajevi prepušteni su čitatelju. 

Glavni korak u Henkinovom dokazu teorema potpunosti sastoji se u tome 

da pokažemo da se proces može odvijati u suprotnom smjeru, od dodjeljivanja 

istinitosnih vrijednosti prema istinitosti u strukturi: o čemu govori sljedeća lema.


Teorem 51 (Lema Henkinove konstrukcije) Neka je h bilo koje dodjeljivanje 

vrijednosti za L H koje dodjeljuje vrijednost > za sve rečenice Henkinove teorije 

H. Postoji struktura prvoga reda M H takva da M H ² S za svaku rečenicu S 

kojoj h dodjeljuje >. 

U dokazu ove leme pretpostavit ćemo da naš jezik sadrži samo simbole za 

relacije i za konstante, a da ne sadrži funkcijske simbole.Dokaz ima dva dijela. 

Najprije pokazujemo kako konstruirati M H polazeći od h, a zatim pokazujemo 

da M H zaista čini istinitima sve one rečenica kojima h dodjeljuje vrijednost >. 

U konstrukciji M H moramo učiniti tri stvari. Prvo, moramo definirati domenu 

D od M H . Drugo, moramo svakom n-mjesnom predikatu R dodijeliti ekstenziju 

R, tj. skup n-torki čiji su članovi elementi iz D. Treće,moramosvakomimenuc 

iz L H dodijeliti neki element iz D. 

Zadatak 131 Najprije ćemo pokušati izvesti jednu konstrukciju koja ne uspijeva zadovoljiti 

zahtjeve, a potom je modificirati tako da postane uspješna. Neka je h proizvoljno 

dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik prvoga reda bez funkcijskih simbola. Konstruirajmo 

strukturu prvoga reda, M H na sljedeći način. Domena: domena za M H je 

skup individualnih konstanti jezika o kojem je riječ. Neka je R binarni relacijski simbol 

čija je ekstenzija definirana ovako: 

{< c,d>| h(R(c, d)) = >} 

Na kraju, interpretirajmo svaku individualnu konstantu tako da ona imenuje sebe (npr. 

ako je a individualna konstanta jezika pod razmatranjem, onda M H (a) =a). Pokažite 

da za svaku rečenicu, S koja ne sadrži kvantifikatore ili simbol identiteta vrijedi: 

M H ² S akko h(S) => 

Odgovor 39 U osnovnom slučaju, za atomarne rečenice vrijedi M H ² R(c 1 ,c 2 ) 

ako i samo ako h(R(c 1 ,c 2 )) = > (gdje su c 1 i c 2 imena iz jezika). Naime, 

po definiciji zadovoljavanja, M H ² R(c 1 ,c 2 )[g ∅ ] znači hM H (c 1 ),M H (c 2 )i∈ 

M H (R),ahc 1 ,c 2 i. je u ekstenziji od R upravo onda kada je R(c 1 ,c 2 ) istinito. U 

induktivnom koraku, pretpostavimo da bikondicional vrijedi za P i Q. Proučimo 

slučaj kondicionala. Trebamo dokazati M H ² (P → Q) akko h(P → Q) =>. 

(L-D) Pretpostavimo M H ² (P → Q). Po definiciji zadovoljavanja, ili M H 2 P 

ili M H ² Q. Po hipotezi indukcije vrijedi h(P )=⊥ ili h(Q) =>. Po definiciji 

za h, tada vrijedi h(P → Q) =>. (D-L) Pretpostavimo .h(P → Q) =>. Tada 

.h(P )=⊥ ili h(Q) =>. Po hipotezi indukcije, M H 2 P ili M H ² Q. Apo 

definiciji zadovoljavanja, M H ² (P → Q) etc. Pokažite da se prethodni rezultat 

ne proteže na rečenice koje sadrže simbol identiteta. Dokaz. Neka h(b = b) =⊥. 

Budući da ekstenziju od = držimo fiksiranom u svim interpretacijama za slučaj 

kada su isti termini na obje strane, dobivamo M H ² b = b. Pokažite da se 

prethodni rezultat ne proteže na rečenice koje sadrže egzistencijalni kvantifikator. 

Dokaz. Razmotrimo h(∃x∃yR(x, y)) = ⊥. Ako je ekstenzija od R 6= ∅, onda


M H ² ∃x∃yR(x, y).Tako ¯der, ako R = ∅, onda M H 2 ∃x∃yR(x, y) ali nema 

zapreke da h(∃x∃yR(x, y)) = >. 

23.5.1 Prvi pokušaj 

Gradimo strukturu M na sljedeći način: 

• Za domenu od M uzimamo skup simbola za konstante c iz L H . 

• Postavljamo da svaka konstanta imenuje samu sebe. 

• Za odre ¯divanje interpretacije relacijskog simbola R, recimo binarnog, 

uzimamo skup R ure ¯denih parova simbola za konstante takav da h 

dodjeljuje > za rečenicu R(c, d) 

Problem s ovom strukturom vezan je uz interpretaciju identiteta. Po definiciji 

strukture prvoga reda, interpretacija identiteta je fiksirana: M(=) = {< x,x>| 

x ∈ D}. No neizbježno da se javljaju različite konstante c i d za koje h dodjeljuje 

vrijednost > za c = d. Problem proizlazi iz činjenice da u ovoj strukturi imena 

imenuju same sebe. Zbog toga različita imena ne mogu imenovati isti predmet. 

Zadatak 132 Pokažite da za svaki simbol konstante c iz L H postoji različita konstanta 

svjedok d takva da je c = d tautološka posljedica od H. 

Odgovor 40 Henkinova teorija sadrži i sljedeće rečenice H4 c = c H2. c = 

c →∃x(x = c), H1. ∃x(x = c) → c x=c = c. Dvije primjene → Elim daju 

traženu tvrdnju c x=c = c, u kojoj se javljaju dva različita imena. 

Poteškoća koja nastaje kada h(c = d) => proizlazi iz činjenice da konstante 

imenuje same sebe, pa su c i d različiti članovi, pa zato M H 2 c = d. 

’Trik’ koji se može primijeniti u ovom slučaju leži u tome da se poistovjete 

elementi koji su sa stajališta strukture M različiti. Za tu svrhu možemo iskoristiti 

pojam o klasama ekvivalencije. 

Primjedba 9 Podsjetnik. Relacije koje su refleksivne, simetrične i tranzitivne 

nazivaju se relacijama ekvivalencije. Relacije ekvivalencije povezuju predmete 

koji su jednaki u nekom smislu. Ovakvo povezivanja predmeta koji jednaki u 

nekom smislu, koristi se za uvo ¯denje teorijski korisne konstrukcije: klase (razreda) 

ekvivalencije.Ako je R relacija ekvivalencije, onda je [x] R skup stvari koje 

su ekvivalentne s x s obzirom na R, to je klasa ekvivalencije za x. 

Definirat ćemo binarnu relaciju ≡ na domeni od M (tj. na konstantama iz 

L H )nasljedeći način: c ≡ d ako i samo ako h(c = d) =>. 

Lema 52 

Relacija ≡ je relacija ekvivalencije.


Dokaz 38 Dokaz ove leme zahtijeva da pokažemo da je ≡ refleksivna, simetrična 

i tranzitivna relacija. (Refleksivnost) Rečenica c = c je element od H i h dodjeljuje 

svakoj rečenici iz H vrijednost >. (Simetričnost) Pretpostavimo h(c = 

d) =>. UH nalazimo tada i rečenicu H5. (c = c ∧ c = d) → d = c pa njoj h 

dodjeluje vrijednost >. Budući da 

h(c = d) =h(c = c) =h((c = c ∧ c = d) → d = c) =>, 

d = c kao njihova tautološka posljedica mora biti istinita. (Tranzitivnost) Pretpostavimo 

da h dodjeljuje vrijednost > za c = d i d = e. Izčinjenice da je c = e 

njihova tautološka posljedica proizlazi h(c = e) =>. 

Iz leme proizlazi da možemo svakoj konstanti c pridružiti njezinu klasu ekvivalencije 

[c] ={d | c ≡ d} 

Opremljeni s time možemo u drugom pokušaju definirati našu strukturu M H. 

23.5.2 Drugi pokušaj 

Struktura M H definiranajenasljedeći način: 

• Domena D za strukturu prvoga reda M H je skup svih klasa ekvivalencije s 

obzirom na relaciju ≡. 

• Svaka konstanta imenuje svoju klasu ekvivalencije. 

• Relacijske simbole R definiramo na način kojeg ćemo radi pojednostavljenja 

uvesti preko primjera binarne relacije. Interpretacija za R je skup 

{< [c], [d] >| h(R(c, d)) = >} 

Sada treba dokazati da M H verificirasveoneisamoonerečenice kojima h 

dodjeljuje vrijednost >,tj.zasvakurečenicu S iz L H vrijedi da M H ² S. Zatu 

svrhu koristimo indukciju na složenost rečenice S. 

Za osnovni slučaj pobrinuli smo se u konstrukciji M H . Ipak treba provjeriti 

jednu važnu stvar. Pretpostavimo da vrijedi [c] =[c 0 ] i [d] =[d 0 ]. Trebamo 

pokazati da je isključena mogućnost da bude i h(R(c, d)) = > i h(R(c 0 ,d 0 )) = 

⊥. Dabitobioslučaj, < [c 0 ], [d 0 ] > bi bili u ekstenziji od R jer < [c], [d] > jest. 

u toj ekstenziji, a ta dva spomenuta para su jedan te isti. No tada bi h dodjelio 

pogrešnu vrijednost za R(c 0 ,d 0 ), a da to nije moguće pokazuje sljedeća lema. 

Lema 53 Ako c ≡ c 0 , d ≡ d 0 ,teh(R(c, d)) = >, onda h(R(c 0 ,d 0 )) = >. 

Prije dokaza leme, izvedimo jednu vježbu. 

Pokažite da za svaki binarni relacijski simbol R iz L i za sve konstante c, c 0 ,d 

i d 0 sljedeća rečenica jest tautološka posljedica od H: 

(R(c, d) ∧ c = c 0 ∧ d = d 0 ) → R(c 0 ,d 0 )


Odgovor 41 Rješenje. Jedan od H5 aksioma je i (R(c, d) ∧ c = c 0 ) →R(c 0 ,d). 

Jednako tako i rečenica (R(c 0 ,d) ∧ d = d 0 ) →R(c 0 ,d 0 ). Pretpostavite R(c, d) ∧ 

c = c 0 ∧ d = d 0 , dvije primjene → Elim daju traženi rezultat. 

Dokaz 39 Dokaz gornje leme. Rečenica (R(c, d)∧c = c 0 ∧d = d 0 ) →R(c 0 ,d 0 ) 

je tautološka posljedica od H. Budući da h dodjeljuje za svaku rečenicu iz H 

vrijednost >, te budući da po antecedensu leme h dodjeljuje vrijednost > za 

svaki konjunkt u R(c, d) ∧ c = c 0 ∧ d = d 0 , onda h mora dodijeliti > za R(c 0 ,d 0 ). 

Ova nam lema pokazuje da je konstrukcija strukture M H uspješna za slučaj 

atomarnih rečenica. Drugim riječima M H će verificirati neku atomarnu rečenicu 

ako i samo ako h toj rečenici dodjeljuje >. 

Sada treba sličnu lemu dokazati općenito. 

Lema 54 Za bilo koju rečenicu S iz L H vrijedi da M H ² S ako i samo ako 

h(S) =>. 

Dokaz 40 (Osnovna ideja dokaza) Osnovna ideja je u korištenju indukcije. 

Eksplicite smo definirali strukturu M H tako da tvrdnja funkcionira u osnovnom 

slučaju atomarnih rečenica. Što se tiče istinitosno-funkcionalnih veznika, problem 

nesklada ne može se javiti jer tu dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti funkcioniraju 

na isti način kao i definicija istine u strukturi (npr. h(P ∧ Q) => akko 

h(P )=> i h(Q) =>; M ² (P ∧ Q)[g ∅ ] akko M ² P [g ∅ ] i M ² Q[g ∅ ] 

itd.). Jedino kvantifikatori mogu prouzročiti problem, no o njima su se pobrinuli 

aksiomi za kvantifikatore u H. Manji problem prouzročuje ∀ koji nije izravno 

obra ¯den već preko DeMorganovih rečenica u H: 

¬∀xP (x) ↔∃x¬P (x) 

Ono što komplicira stvar s obzirom na dokaz indukcijom jest to što bi bilo 

koja očigledna metoda odre ¯divanja složenosti formule, recimo preko njezine 

dužine ili preko broja logičkih operatora, tretirala ∀xP (x) kao formulu čija je 

složenost manja od složenosti formule ∃x¬P (x). U dokazu indukcijom moramo 

pokazati da nešto vrijedi za jednostavniju formulu da bismo to isto pokazali u 

slučaju složenije. Zato možemo uvesti novu mjeru složenosti: za atomarne isfe 

složenost je 0, za¬P i ∃xP složenost je za jedan veće od složenosti od P , 

složenost za P ∧ Q, P ∨ Q i P → Q za jedan je veća od maksimuma složenosti 

od P i Q, za složenost formule ∀xP uzet ćemodajezatriveća od složenosti od 

P .


Zadatak 133 

Provjerite jesu li složenosti dobro odre ¯dene! 

Maleno(x) 0 

¬Maleno(x) 1 

¬(Maleno(x) → x = a) 2 

∃x¬(Maleno(x) → x = a) 3 

∀x(Maleno(x) → x = a) 4 

Dokaz 41 (Dokaz indukcijom) Osnovni slučaj, gdje je složenost jednaka 0, 

vrijedi zbog 23.5.2 M H . 

Induktivni korak. Pretpostavimo da lema vrijedi za sve rečenice čija složenost 

5 k i neka je složenost rečenice S jednaka k +1. 

Najprije promatramo samo jedan slučaj s veznicima, ostali su slični. 

Slučaj 1. Pretpostavimo da je S - P ∨ Q. 

Ako M H ² S onda je barem jedna rečenica, P ili Q istinita u strukturi. 

Pretpostavimo da je P istinita. Budući da je složenost od S jednaka k +1onda 

je složenost od P manja ili jednaka k, pa po hipotezi indukcije h(P )=>. No 

tada h(P ∨ Q) =>, kako smo i htjeli. U suprotnom smjeru dokaz je sličan. 

Slučaj 2. Pretpostavimo da je S rečenica ∃xP (x). Trebamo pokazati M H ² 

∃xP (x) ako i samo ako h(∃xP (x)) = >. 

(L-D) Pretpostavimo prvo da M H ² ∃xP (x). Tada budući da je svaki objekt 

(ovdje -objekti su klase ekvivalencije) u domeni označen s nekom konstantom, 

po definiciji istine mora postojati konstanta c takva da M H ² P (c). No složenost 

potonje, instancirane rečenice je manja od složenosti za S, pa po hipotezi indukcije 

h(P (c)) = >. NoteorijaH sadrži i aksiom P (c) →∃xP (x) a h dodjeljuje 

ovoj 35 rečenici >. No tada po istinitosnoj tablici za →, h mora dodijeliti > za 

∃xP (x). 

(D-L) U suprotnom smjeru, postupak je sličan osim što se koristi svjedokkonstanta 

za P (x). Pretpostavimo da h dodjeljuje > za ∃xP (x). Treba pokazati 

da tada M H ² ∃xP (x). Noh dodjeljuje > za aksiom koji svjedoči: ∃xP (x) → 

P (c P (x) ). Po istinitosnoj tablici za →, h mora dodijeliti > za P (c P (x) ).Taje 

formula manje složena od S, pa po hipotezi mora vrijediti M H ² P (c P (x) ).A 

tada po definiciji istine u strukturi M H ² ∃xP (x). 

Slučaj 3.Pretpostavimo da je S rečenica ∀xP (x). 

Pretpostavimo prvo da M H ² ∀xP (x). OndavrijediM H 2 ∃x¬P (x).Ova 

druga rečenica je manjeg stupnja složenosti, pa po hipotezi indukcije mora vrijediti 

h(∃x¬P (x)) = ⊥. No H sadrži rečenicu ¬∀xP (x) ↔∃x¬P (x). Iz 

ovoga proizlazi h(¬∀xP (x)) = ⊥, a time h(∀xP (x)) = >. 

Pretpostavimo h(∀xP (x)) = >. Onda h(¬∀xP (x)) = ⊥. No H sadrži 

rečenicu ¬∀xP (x) ↔∃x¬P (x). Po hipotezi, vrijedi M H 2 ∃x¬P (x). Notada 

M H ² ∀xP (x). 

35 

Podsjetimo se da se lema Henkinove konstrukcije odnosi na dodjeljivanje vrijednosti koje 

svim rečenivama iz H dodjeljuje >.


Pogledajte donju sliku i proučite kako su dijelovi dokaza me ¯dusobno 

povezani. Neka polja su aktivna i prebacit će Vas na odgovarajući 

odsjek dokumenta. 

23.5.2.1 Zadaci 

1. Zadana je struktura prvoga reda, M za jezik L. Definiramo dodjeljivanje 

istinitosnih vrijednosti, h M na sljedeći način: za bilo koju atomarnu rečenicu 

ili rečenicu koja počinje s kvantifikatorom, S 



(a) Dokaz. Dokazujemo indukcijom. Bikondicional vrijedi za osnovni 

slučaj atomarnih rečenica i rečenica koje započinju s kvantifikatorom. 

Pretpostavimo da bikondicional vrijedi za P i Q. Treba pokazati da on 

vrijedi i za rečenice koje možemo dobiti po pravilima tvorbe. 

I. Negacija. (L-D) Pretpostavimo h M (¬P )=>. Treba dokazati da 

M ² ¬P .Akoh M (¬P )=>, onda h M (P )=⊥ po definiciji h. 

Budući da po hipotezi indukcije P zadovoljava bikondicional, iz 

neistinitosti P , proizlazi M 2 P . Po definiciji negacije, M ² ¬P 

Time je dokazan "samo ako" smjer. (D-L) Pretpostavimo M ² ¬P . 

Treba dokazati da h M (¬P )=>. Po definiciji zadovoljavanja, iz 

pretpostavke proizlazi M 2 P . Budući da po hipotezi indukcije P 

zadovoljava bikondicional, iz M 2 P , proizlazi h M (P )=⊥. Po 

definiciji funkcije dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti, dobivamo 

h M (¬P )=>,dočega smo i tebali doći. 

II. Konjunkcija. (L-D) Pretpostavimo h M (P ∧ Q) =>. Treba 

dokazati da M ² P ∧ Q. Akoh M (P ∧ Q) =>, onda h M (P )=> i 

h M (Q) => po definiciji h. Budući da po hipotezi indukcije P i Q 

zadovoljavaju bikondicional, dobivamo M ² P .iM ² Q. Po 

definiciji zadovoljavanja, M ² P ∧ Q.Time je dokazan "samo 

ako" smjer. (D-L) Pretpostavimo M ² P ∧ Q.. Treba dokazati da 

h M (P ∧ Q) =>. Po definiciji zadovoljavanja, iz pretpostavke 

kondicionalnog dokaza proizlazi . M ² P i M ² Q..Budući da po 

hipotezi indukcije P i Q zadovoljavaju bikondicional, vrijedi da 

.h M (P )=> i h M (Q) => Po definiciji funkcije dodjeljivanja 

istinitosnih vrijednosti, dobivamo h M (P ∧ Q) =>, dočega smo i 

tebali doći. 

III.Ostali slučajevi prepušteni su čitatelju. 

2. Neka je h proizvoljno dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik prvoga 

reda bez funkcijskih simbola. Konstruirajmo strukturu prvoga reda, M H na 

sljedeći način. Domena: domena za M H je skup individualnih konstanti 

jezika o kojem je riječ. Neka je R binarni relacijski simbol čija je ekstenzija


definirana ovako: 

{< c,d>| h(R(c, d)) = >} 

Na kraju, interpretirajmo svaku individualnu konstantu tako da ona imenuje 

sebe (npr. ako je a individualna konstanta jezika pod razmatranjem, onda 

M H (a) =a). 

(a) Pokažite da za svaku rečenicu, S koja ne sadrži kvantifikatore ili simbol 

identiteta vrijedi: 


Dokaz. U osnovnom slučaju, za atomarne rečenice vrijedi 

M H ² R(c 1 ,c 2 ) ako i samo ako h(R(c 1 ,c 2 )) = > (gdje su c 1 i c 2 imena 

iz jezika). Naime, po definiciji zadovoljavanja, M H ² R(c 1 ,c 2 )[g ∅ ] znači 

hM H (c 1 ),M H (c 2 )i∈M H (R), ahc 1 ,c 2 i. je u ekstenziji od R upravo 

onda kada je R(c 1 ,c 2 ) istinito. U induktivnom koraku, pretpostavimo da 

bikondicional vrijedi za P i Q. Proučimo slučaj kondicionala. Trebamo 

dokazati M H ² (P → Q) akko h(P → Q) =>. (L-D) Pretpostavimo 

M H ² (P → Q). Po definiciji zadovoljavanja, ili M H 2 P ili M H ² Q. 

Po hipotezi indukcije vrijedi h(P )=⊥ ili h(Q) =>. Po definiciji za h, 

tada vrijedi h(P → Q) =>. (D-L)Pretpostavimo.h(P → Q) =>. 

Tada .h(P )=⊥ ili h(Q) =>. Po hipotezi indukcije, M H 2 P ili 

M H ² Q. A po definiciji zadovoljavanja, M H ² (P → Q) etc. 

(b) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na rečenice koje sadrže 

simbol identiteta. Dokaz. Neka h(b = b) =⊥. Budući da ekstenziju 

od = držimo fiksiranom u svim interpretacijama za slučaj kada su isti 

termini na obje strane, dobivamo M H ² b = b. 

(c) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na rečenice koje sadrže 

egzistencijalni kvantifikator. Dokaz. Razmotrimo h(∃x∃yR(x, y)) = ⊥. 

Ako je ekstenzija od R 6= ∅, onda M H ² ∃x∃yR(x, y) ali nema zapreke 

da h(∃x∃yR(x, y)) = ⊥.Ako R = ∅,.onda M H 2 ∃x∃yR(x, y) ali nema 

zapreke da h(∃x∃yR(x, y)) = >. 

3. Ispišite konstante-svjedoke za sljedeće isf-e. Simbol konstante a preuzet je 

iz početnog jezika L. 

(a) VeciOd(a, x) 

(b) VeciOd(c 1 ,x) gdje je c 1 nova konstanta iz L 1 

(c) VeciOd(c 2 ,x) gdje je c 2 nova konstanta iz L 2 

4. Pokrenite Tarski’s World i otvorite Henkin’s Sentences. Neka su konstante 

c i d skraćeni zapis konstanti-svjedoka c Cube(x) i c Dodec(x)∧Small(x) ,time 

redom. 

(a) Pokažite da su sve te rečenice članovi teorije H. Odredite oblik svakog 




u kojemu se konstante c i d nekoristekaoimenamožesepretvoriti



imenujte tijela s c i d tako da sve rečenice postanu istinite. 

5. Neka T sadrži sljedeći skup rečenica, 







(c) Dajte neformalne dokaze da su sve rečenice iz prethodnog zadatka (5. b) 



H1 ={∃x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)) → (Kocka(c Kocka(x)∧Maleno(x) ) ∧ 

Maleno(c Kocka(x)∧Maleno(x) )), ∃yDodekaedar(y) → Dodekaedar(c Dodekaedar(y) )} 

1. Neka je T teorija formulirana u jeziku L. Primjenite dokazanu tvrdnju 

"Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji način interpretacije svih 

konstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, sve 

rečenice iz H budu istinite," da biste pokazali da vrijedi sljedeće: ako je S 

iz L posljedica prvoga reda od T ∪ H, onda je ona posljedica prvoga rada i 

od T . 

2. Pokažite da za svaki simbol konstante c iz L H postoji različita konstanta 

svjedok d takva da je c = d tautološka posljedica od H.Rješenje: Henkinova 

teorija sadrži i sljedeće rečenice H4 c = c H2. c = c →∃x(x = c), H3. 

∃x(x = c) → c x=c = c.

Poglavlje 24 

Löwenheim-Skolemov teorem 

Struktura dobivena Henkinovom konstrukcijom kao univerzalni model. Prilično 

iznena ¯dujuća činjenica proizlazi iz postojanja strukture M H . Izvorni jezik 

može govoriti o bilo čemu; o fizičkim predmetima, brojevima, skupovima ili o 

nečemu drugom. No Henkinova konstrukcija daje za bilo koji jezik prvoga reda 

- strukturu koja će činiti istinitima sve rečenice iz izvornog jezika koje su bile 

istinite pod namjeravanom interpretacijom. Takva struktura ima elemente koji 

su posve različiti od elemenata o kojima je pod namjeravanom interpretacijom 

bila riječ. U strukturi M H riječ je o klasama ekvivalencije koje sadrže simbole 

konstanti. 

Primjer 24.1 Razmotrimo jezik L s jednim predikatom, Kocka i jednim imenom, a. 

Namjeravana interpretacija obuhvaća fizičke predmete. Po Henkinovoj konstrukciji dobit 

ćemo strukturu M H u kojoj je interpretacija za ime a klasa ekvivalencije [a] ≡ . Taj skup 

sadrži individualne konstante: a, c x=a , c x=cx=a , itd. možda i c Kocka(x) , a ako da, onda 

i c x=cKocka(x) itd. 

24.1 Potrebni dopunski pojmovi 

Prebrojiv skup. Označimo s |a| kantorovsku veličinom skupa a. Dva skupa 

a i b imajuistukantorovskuveličinu akko se njihovi članovi mogu uzajamno 

pridružiti po načelu 1-za-1. Preciznije, potrebno je da postoji jedan-za-jedan 

funkcija f s domenom a i rangom b. Svaki element iz bit će obuvaćen takvim 

povezivanjem jer a = {x|∃y(f(x) =y)}. Jednako tako, svaki element iz b bit će 

obuhvaćen s takvim pridruživanjem jer b = {y|∃x(f(x) =y)}. Takvo povezivanje 

bit će jedinstveno jer f(x) =f(y) onda x = y.Pojam veličine je jednostavan 

kada je riječ oskupovimaskonačnim brojem elemenata. Na osnovi kantorovske 

veličine možemo definirati pojam prebrojivosti. Najmanji beskonačni 

skupovi su oni koji imaju kantorovsku veličinu koja je jednaka veličini skupa 

prirodnih brojeva, to jest skupovi koji se mogu postaviti u koresponedenciju 

jedan-za-jedan sa skupom prirodnih brojeva. Skup je prebrojiv ako je ili konačan 

ili mu je veličina jednaka kantorovskoj veličini skupa prirodnih brojeva. Ako su 

skupovi beskonačni, pojam veličine postaje profinjeniji. Cantor je pokazao da je 

partitivni skup nekog skupa uvijek veći od tog skupa, |℘b| > |b|. 

244


 

 

a⊆b 

a≠b 

|a|=|b| 

a 

Ako su a i b skupovi s beskonačno mnogo elemenata i a je podskup od b, onda 

katorovska veličina "dijela", tj. a može biti jednaka veličini "cjeline", tj. b. 

b 

Teorem 55 

Za svaki skup b, |℘b| > |b|. 

Dokaz 42 Poslužimo se metodom indirektnog dokaza. Pretpostavimo (*) |℘b| = 

|b|. Po definiciji za kantorovsku veličinu, onda postoji injektivna funkcija f s 

domenom ℘b i rangom b. Svi elementi od ℘b podskupovi su od b, zato možemo 

spravompitatizasvakix ∈ b je li slučaj da on pripada skupu kojemu je pridružen 

po funkciji f, drugim riječima, ako x = f(y),jelitadax ∈ y. Razmotrimo skup 

c = {x |∃y(x = f(y) ∧ x/∈ y)}, skup svih elemenata od b koji nisu elementi 

onog podskupa od b kojemu su pridruženi po funkciji f. Po pretpostavci (*) 

postoji f(c). Dodjelimo mu ime u = f(c). Mora biti slučaj da ili (i) u ∈ c ili 

(ii) u/∈ c. ispitajmo slučajeve. (i) Ako u ∈ c, onda u mora zadovoljavati uvjet 

∃y(x = f(y) ∧ x /∈ y). Dobivamo ∃y(u = f(y) ∧ u /∈ y). Budući da je f 

injektivna funkcija, nijedan drugi skup osim c ne može biti argument funkcije f 

s vrijednošću c. Zato mora vrijediti u /∈ c. Kontradikcija. (ii) Pretpostavimo 

u/∈ c. Tadau ispunjava uvjet ∃y(x = f(y) ∧ x/∈ y) jer u = f(c). Zato,u ∈ c. 

Kontradikcija. 

Zadatak 134 

brojeva: 

Pokažite da parnih brojeva ima jednako mnogo koliko i svih prirodnih 

|{x | x ∈ N ∧∃y(y ∈ N ∧ x/2 =y)}| = |N| 

Postojanje modela s prebrojivom domenom pokazali su naprije Löwenheim, 

za pojedinačne rečenice, zatim Skolem, za prebrojivo beskonačne skupove

246 Poglavlje 24 Löwenheim-Skolemov teorem 

rečenica. Njihovi su dokazi bili izra ¯deni prije Gödelovog dokaza potpunosti, zato 

se izvorni dokazi razlikuju od onoga ovdje koji se oslanja na teorem potpunosti 

za logiku prvoga reda. 

Teorem 56 (Löwenheim-Skolemov teorem) Neka je T skup rečenica u prebrojivom 

jeziku L. Tada vrijedi da ako neka struktura prvoga reda zadovoljava 

T , onda i neka struktura čija je domena prebrojiva zadovoljava T . 

Dokaz 43 Po teoremu pouzdanosti, ako je T zadovoljiv, onda je T formalno 

konzistentan.Naime, po teoremu pouzdanosti, ako T ` S, onda je S posljedica 

prvog reda od T .NekajeS - ⊥. Dobivamodaako(i)jeT formalno inkonzistentan, 

onda (ii) je T nezadovoljiv. (ii) vrijedi po definiciji posljedice prvoga 

reda: svaka struktura koja zadovoljava T zadovoljava i ⊥, ali nijedna struktura 

ne zadovoljava ⊥, pa zato prethodno vrijedi samo ako nijedna struktura ne 

zadovoljava T . Konverzija daje: ako je T zadovoljiv, onda je T formalno konzistentan.Po 

teoremu potpunosti, ako je T formalno konzistentan, onda je istinit u 

nekoj strukturi prvoga reda koja ima oblik Henkinove strukture M H ,zaneko 

dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h za L H . Pretpostavimo da je izvorni jezik 

L prebrojiv. U M h ne može biti više elemenata nego što ima u L H jer su elementi 

u M H klase ekvivalencije simbola konstanti u L H . Svaki simbol konstanti iz L H 

možemo zapisati koristeći simbol c i podznakove koji koriste samo simbole iz L, 

iako moramo imati mogućnost da podznakove ponavljamo neograničeno mnogo 

puta. Ako simbole iz L možemo nanizati u jedan popis, onda taj popis možemo 

iskoristiti da damo poredak svim konstantama koje svjedoče iz jezika L H .Nataj 

je način moguće pokazati prebrojivost domene strukture M H .


Zadatak 135 Neka su jedini nelogičkisimboliujezikuL: Kocka i a. I neka je 

T = {∃xKocka(x)}. Postavimo simbole u abecedni poredak: a, Kocka, i započnimo 

popisivanje konstanti koje svjedoče. 

Nelogički simboli Konstante u L H 

a a c x=a c x=cx=a ... 

Kocka c Kocka(x) c x=cKocka(x) ... 

Važno je uočiti da je dvostruki beskonačni poredak prebrojiv u načinu brojenja koji 

"vijuga uzduž dijagonala": 

→ . → . ... 

↓ % . % 

% . % 

↓ % 

% 

Uočimo da je Löwenheim-Skolemov teorem iskazan u semantičkim terminima. 

On govori o strukturama koje zadovoljavaju neki skup rečenica T . Ako 

T ima model, onda T ima model s prebrojivom domenom. U dokazu teorema


oslonili smo se na posredni put: na put u kojemu se oslanjamo na teoreme o 

odnosu sintaktičkih i semantičkih pojmova. Izvorni dokaz nije išao tim putem. 

24.2 Skolemov paradoks 

Löwenheim-Skolemov teorem može izgledati zagonetnim. Razmotrimo na primjer 

jednu aksiomatizaciju ZFC teorije skupova. Po aksiomu beskonačnosti, postoji 

beskonačan skup. Po aksiomu partitivnog skupa, postoji partitivni skup 

beskonačnog skupa. Kantorovska veličina ovog drugog mora biti veća od veličine 

prvoga, beskonačnog skupa. Zato partitivni skup beskonačnog skupa nije prebrojiv. 

No po Löwenheim-Skolemovom teoremu aksiomi ZFC ako su zadovoljeni u 

nekoj strukturi prvoga reda, onda su zadovoljeni i u nekoj strukturi čija je domena 

prebrojiva. 

Primjer 24.2 Pogledajmo što bi u prebrojivoj strukturi M H bila interpretacija za 

partitivni skup beskonačnog skupa. Prebrojiva domena strukture M H za elemente ima 

klase ekvivalencije simbola za konstante. Podsjetimo se. Definirali smo binarnu relaciju 

≡ na domeni koja sadrži simbole za konstante iz L H na sljedeći način: c ≡ d ako i samo 

ako h(c = d) => Neka su b i c elementi te domene i neka oni zadovoljavaju isf-u ’x 

je partitivni skup od y i y je beskonačan skup’, tj. neka vrijedi b = ℘c i |c| = |N| . 

Štosu"elementi"odb u Henkinovoj strukturi? Klase ekvivalencije [z] ≡ 

koje zadovoljavaju 

isf-u ’z ⊆ b’ ustrukturiM H . Što su "elementi" od b? Opet klase ekvivalencije 

simbola za konstante. Svojstva elemenata u domeni od M H ne moraju korespondirati 

svojstvima pod očekivanom interpretacijom. Naime, "elementi" ne moraju biti elementi 

Dklase ekvivalencije. E Situacija je sljedeća. Neka M H zadovoljava a ∈ b. Tada vrijedi 

[[a]] M H 

g∅ 

, [[b]]M H 

g∅ 

∈ M H (∈). Nopritome[[a]] M H 

g∅ 

/∈ [[b]] M H 

g∅ 

jer su elementi domene 

skupovi konstanti, a nijedan me ¯du njima nije skup koji sadrži neki skup konstanti. 

Lekcija koja se može naučiti iz primjene Löwenheim-Skolemovog teorema 

naZFCteorijuskupovasastojiseutomedajezikprvogaredakojegatateorija 

koristi nije dovoljno bogat da iskaže različite pojmove koje prešutno pretpostavljamo 

kada razmišljamo o namjeravanoj domeni teorije skupova. Ključni pojam 

kojega ne možemo adekvatno iskazati je pojam proizvoljnog podskupa nekog 

skupa, ili, što se svodi na isto, pojam partitivnog skupa nekog skupa. Kada 

definiramo partitivni skup u jeziku prvoga reda, tada ne možemo isključiti one 

strukture, poput M H , u kojima "partitivni skup" znači nešto sasvim različito od 

namjeravnog pojma. Slično, ali u puno jednostavnijem obliku, aksiomi za oblike 

iz Tarski’s World 36 ne mogu isključiti strukture u kojima Kocka, Tetraedar, 

36 

Aksiom1. ¬∃x(Kocka(x) ∧ Tetraedar(x)) 

Aksiom 2. ¬∃x(Kocka(x) ∧ Dodekaedar(x)) 

Aksiom 3. ¬∃x(Tetraedar(x) ∧ Dodekaedar(x)) 

Aksiom 5. ∀x∀y((Kocka(x) ∧ Kocka(y)) → IstiOblik(x, y)) 

Aksiom6. ∀x∀y((Tetraedar(x) ∧ Tetraedar(y)) → IstiOblik(x, y)) Aksiom7. 

∀x∀y((Dodekaedar(x) ∧ Dodekaedar(y)) → IstiOblik(x, y)) 

Aksiom 8. ∀x∀y((IstiOblik(x, y) ∧ Kocka(x)) → Kocka(y)) Aksiom 9. 

∀x∀y((IstiOblik(x, y) ∧ Tetraedra(x)) → Tetraedar(y))


Dodekaedar i IstiOblik znače ’maleno’, ’srednje veliko’, ’veliko’ i ’jednake 

veličine’. 

24.3 Teorem kompaktnosti 

Neposredna posljedica teorema potpunosti jest teorem kompaktnosti prvoga reda. 

Teorem 57 (Teorem kompaktnosti za logiku prvoga reda) Neka je T skup rečenica 

iz jezika prvoga reda L. Akojesvakikonačni podskup od T istinit u nekoj strukturi 

prvoga reda, onda postoji struktura prvoga reda M koja čini sve rečenice iz 

M istinitima. 

Dokaz 44 Ovaj teorem prizlazi iz teorema potpunosti zahvaljujući činjenici da 

su dokazi u F konačni i zato mogu koristiti samo konačan broj premisa. Dokazivat 

ćemo kontrapoziciju teorema (ako ne vrijedi desna strana, onda ne vrijedi ni 

lijeva strana koncionala). Ako T nije zadovoljiv, onda, po teoremu potpunosti, 

postoji dokaz d za ⊥ pomoću rečenica iz T . Taj dokaz može koristiti samo konačan 

broj premisa iz T .Označimo taj podskup od T koji se koristi u dokazu za d 

s d(T ). Taj podskup d(T ) nije zadovoljiv (po pouzdanosti). Kontrapozicija daje 

teorem kompaktnosti. U dokazu smo ustanovili da ¬Zadovljiv(T ) →∃a(a ⊆ 

T ∧|a| < |N|∧¬Zadovoljiv(a)).. Kontrapozicija daje teorem kompaktnosti: 

∀a[((a ⊆ T ∧|a| < |N|) → Zadovoljiv(a)) → Zadovoljiv(T )]. 

I ovaj teorem poput Löwenheim-Skolemovog teorema pokazuje važna ograničenja 

koja se postavljaju na ona polja značenja koja može ocrtati jezik logike prvoga 

reda. Tako se može pokazati da nije moguće izabrati aksiome u jeziku logike 

prvoga reda koji bi mogli okarakterizirati strukturu prirodnih brojeva. 

Giuseppe Peano (1858-1932) dao jednu aksiomatizaciju aritmetike, koja se 

prihvatila kao adekvatna formalizacija aritmetike. 

1. ∀x∀y(x +1=y +1→ x = y) - najviše jedan sljedbenik 

2. ∀x(x +16= 0)- 0 nije sljedbenik 

3. 0+1=1 

4. ∀x(x +0=x) 

5. ∀x∀y[x +(y +1)=(x + y)+1]- definicija zbrajanja (4,5) 

6. ∀x(x × 0=0) 

7.∀x∀y[x × (y +1)=(x × y)+x] - definicija množenja (6,7) 

K tome PA ima aksiomsku shemu koja izražava princip matematičke indukcije 

za prirodne brojeve (aksiomska shema generira beskonačan broj aksioma 

koji su njezine instancije). 

Aksiom 10. ∀x∀y((IstiOblik(x, y) ∧ Dodekaedar(x)) → Dodekaedar(y))


8. [Q(0) ∧∀x(Q(x) → Q(x +1))]→∀xQ(x) 

Teorem 58 (Nestandardni modeli aritmetike) Neka je L jezik Peanove aritmetike. 

Tada postoji struktura prvoga reda M takva da: 1. M u svojoj domeni 

sadrži sve prirodne brojeve, 2. M pored toga sadrži u domeni i takve elemente 

koji su veći od bilo kojega prirodnog broja, 3. M čini istinitima upravo one 

rečenice iz L koje su inače istinite za prirodne brojeve. 

Dokaz 45 U jeziku PA e nalazimo simbol za odnos ’biti veći od’, ali njega 

lako možemo definirati: x>yakko ∃z(z 6= 0∧ x = y + z). Kazati da je neki 

element n iz M veći od bilo kojeg prirodnog broja znači kazati da n zadovoljava 

sve isf-e: 

x > 0 

x > 1 

x > 1+1 

x > (1 + 1) + 1 

. 

Neka se T sastoji od svih rečenica iz L koje iskazuju istinite tvrdnje o prirodnim 

brojevima. Neka je n novi simbol za konstantu i neka je S skup koji obuhvaća 

sljedeće rečenice: 

n > 0 

n > 1 

n > 1+1 

n > (1 + 1) + 1 

. 

Neka T 0 = T ∪ S. Pod namjeravanom interpretacijom za jezik L, teorija T 0 nije 

konzistentna (jer ne postoji prirodni broj koji je veći od svih brojeva 0, 1, 2,...). 

No, kada je riječ o posljedici prvoga reda, T 0 je posve konzistentna teorija, što 

možemo uočiti ako primjenimo teorem kompaktnosti. 

Za primjeniti kompaktnost, najprije moramo uvidjeti da je svaki konačni 

podskup T 0 od T 0 istinit u nekoj strukturi prvoga reda. Takva će teorija sadržavati 

različite rečenice iz T , koje su sve istinite za prirodne brojeve, te uz to i konačan 

broj rečenica čiji je oblik n>kgdje je k skraćeni zapis za 

(((1 + 1) + 1) + ... +1) 

| {z } 

k


Sve takve rečenice (čiji je oblik n>k) možemo učiniti istinitima za prirodne 

brojeve ako interpretiramo simbol za konstantu n kao ime za neki broj m koji 

veći od najvećeg k koji se javlja u T 0 urečenici oblika n>k.Natajnačin, po 

teoremu kompaktnosti, cijeli skup T 0 je istinit u nekoj strukturi prvoga reda M. 

Aksiomi iz T osiguravaju da M sadrži neku kopiju prirodnih brojeva (a 

možda i prirodne brojeve same, ako uzmemo broj k kao interpretaciju za brojku 

k). Ali struktura M tako ¯der sadrži i "broj" koji je veći od svih njih. 

Ovaj rezultat ne trebamo shvatiti kao zbunjujući ili zagonetan rezultat. Ono 

što nam on pokazuje je činjenica da aritmetički aksiomi iskazani u jeziku logike 

prvoga reda ne mogu na jednoznačan način okarakterizirati namjeravano područje 

rasprave. S aksiomima iskazanim u jeziku prvoga reda ne možemo isključiti 

postojanje "prirodnih brojeva" (tj. članova domene) koji su beskonačno udaljeni 

od nule. U jeziku prvog reda ne možemo napraviti razlikovanje izme ¯du svojstva 

konačne udaljenosti od nule (koje imaju pravi prirodni brojevi) i svojstva 

beskonačne udaljenosti od nule (koje imaju elementi poput n iz gornjeg dokaza). 

Promotrimo jednostavniji primjer u kojemu koristimo jezik prvoga reda da 

bismo govorili o srodničkim odnosima. Ako taj jezik ima predikat koji znači 

’je predak od’, onda, ma koliko se trudili da njegovo značenje zahvatimo s aksiomima, 

nećemo uspjeti u tome. Prešutno je u pojmu ’predak’ prisutan i zahtjev 

da broj posrednih srodnika (izme ¯du pretka i potomka) bude konačan. No, budući 

da nema utvr ¯dene, konačne granice za "udaljenost" pretka, teorem kompaktnosti 

jamči postojanje struktura u kojima će neki pretci biti beskonačno udaljeni od 

potomaka. 

Zadatak 136 Koliko je velika najveća struktura prvoga reda koja čini istinitima sljedeće 

rečenice:1. ∀x∀y∀z[(VećiOd(x, y)∧VećiOd(y, z)) → VećiOd(x, z)],2.∀x∀y[VećiOd(x, y) → 

¬VećiOd(y, x)],3.∀x¬VećiOd(x, x),4.∀x∀y[VećiOd(x, y)∨VećiOd(y,x)∨x = y], 

5. ∀y∃ 512 xV ećiOd(x, y) 

Odgovor 42 Po rečenicama 1-4, predmeti u domeni moraju biti u lineranom 

poretku, tj. kao da su poredani na crti, posebno 4. garantira da nema jednako 

velikih predmeta. Za svaki od predmeta vrijedi (po 5.) da ima najviše 12 predmeta 

koji su od njega veći. Iz toga (da nema dva predmeta na istom mjestu u 

poretku, po 4.i da prethodnih ima najviše 12, po 5) slijedi da je broj predmeta 

konačan i da postoji prvi predmet. Iza prvoga predmeta može biti najviše 12 

drugih. Dakle, najveća domena može imati 13 predmeta. 

Zadatak 137 Pokažite da bilo koja struktura koja čini istinitima donje rečenice mora 

biti beskonačna! 1. ∀x∀y∀z[(VećiOd(x, y) ∧ VećiOd(y, z)) → VećiOd(x, z)], 2. 

∀x∀y[VećiOd(x, y) →¬VećiOd(y,x)],3.∀x¬VećiOd(x, x),4.∀x∀y[VećiOd(x, y)∨ 

VećiOd(y,x) ∨ x = y],5.∀y∃xV ećiOd(x, y).


Odgovor 43 Kao i prethodnom zadatku, zamišljamo da su predmeti poredani 

na jednoj crti po veličini, od manjih prema većem. Kada bi struktura bila konačna, 

onda bi neki predmet bio posljednji, tj. najveći. Neka je to predmet z. No 

po 5. postoji predmet koji je veći od z. Budući da je z najveći onda z mora 

biti veći od samoga sebe, ali to je isključeno s 3. Dakle, struktura mora biti 

beskonačna. 

Zadatak 138 Neka je T skup rečenica prvoga reda. Pretpostavimo da za bilo koji 

prirodni broj n, postoji struktura čija je domena veća od n koja zadovoljava T .Primijenite 

teorem kompaktnosti kako biste pokazali da postoji struktura s beskonačnom 

domenom koja zadovoljava T ! 

Odgovor 44 Neka T sadrži beskonačnibrojrečenice koje kažu ’postoji barem 

n predmeta’, za svaki prirodni broj n. Npr. neka T obuhvaća ∀y∃xV ećiOd(x, y); 

∀y∃ 52 xV ećiOd(x, y); ∀y∃ 53 xV ećiOd(x, y);...; ∀y∃ 5n xV ećiOd(x, y); ...Uzmimo 

bilo koji podskup od T ,uzmimorečenicu s najvećim numeričkim kvantifikatorom 

∃ m . Taj je podskup, po pretpostavci iz zadatka, zadovoljen u strukturi koja ima 

više od m predmeta. Kako T sadrži beskonačno mnogo rečenica s rastućim numeričkim 

kvantifikatorom, on može biti zadovoljen samo na beskonačnoj domeni. 

Postojanje takve strukture zagarantirano je po teoremu kompaktnosti, jer svaki 

podskup ima od T imasvojmodel(strukturukojagazadovoljava). 

Zadatak 139 Primjenite teorem kompaktnosti da biste pokazali da se u jeziku prvoga 

reda u kojem se javljaju binarni predikati Roditelj(x, y) i Predak(x, y) ne može 

dati odgovarajući, bilo konačni bilo beskonačni, skup postulata značenja koji bi mogao 

okarakterizirati strukture prvoga reda koje prikazuju logički moguće okolnosti. 

Odgovor 45 Neka T sadrži beskonačnibrojrečenice koje kažu ’postoji barem 

n predmeta’, za svaki prirodni broj n. Npr. neka T obuhvaća ∀y∃xV ećiOd(x, y); 

∀y∃ 52 xV ećiOd(x, y); ∀y∃ 53 xV ećiOd(x, y);...; ∀y∃ 5n xV ećiOd(x, y); ...Uzmimo 

bilo koji podskup od T ,uzmimorečenicu s najvećim numeričkim kvantifikatorom 

∃ m . Taj je podskup, po pretpostavci iz zadatka, zadovoljen u strukturi koja ima 

više od m predmeta. Kako T sadrži beskonačno mnogo rečenica s rastućim numeričkim 

kvantifikatorom, on može biti zadovoljen samo na beskonačnoj domeni. 

Postojanje takve strukture zagarantirano je po teoremu kompaktnosti, jer svaki 

podskup ima od T imasvojmodel(strukturukojagazadovoljava).

Poglavlje 25 

Gödelov teorem nepotpunosti 

Teorem o egzistenciji nestandardnih modela za aritmetiku pokazuje svojevrsnu 

nepotpunost logike prvoga reda. Mnogo temeljniji oblik nepotpunosti otkrio je 

Gödel nekoliko godina nakon što je dokazao teorem potpunosti. Taj slavni rezultat 

poznat je pod nazivom Gödelov teorem nepotpunosti. Teorem je dokazan u 

radu O formalno neodlučivim stavcima Principia Mathematica i srodnih sustava 

http://www.vusst.hr/~logika/undecidable/godel.htm, objavljenom 1931 u Monatshefte 

für Mathematik und Physik 38: 173-198. 

Zabunu može izazvati činjenica da je Gödel najprije dokazao teorem potpunosti, 

a zatim teorem nepotpunosti. O čemu je riječ, jesu li to kontradiktorni 

rezultati? Zapravo riječ je o dvije vrste "potpunosti". Podsjetimo se da teorem 

potpunosti pokazuje da formalna pravila dokaza mogu na odgovarajući način 

zahvatiti odnos logičke posljedice prvoga reda. Za razliku od toga, teorem nepotpunosti 

pretpostavlja pojam formalne potpunosti. Skup T nazivamo formalno 

potpunim akozabilokojurečenicu S iz jezika pod razmatranjem vrijedi ili 

T ` S ili T `¬S. Ovo je jaki zahtjev, jer on kaže da je skup rečenica T toliko 

snažan da može dati odgovor na svako pitanje koje se može postaviti za jezik pod 

razmatranjem. (Na osnovi teorema pouzdanosti i teorema potupnosti, znamo da 

je T formalno potpun skup akko je ili S ili ¬S posljedica prvoga reda od T ). 

Početkom dvadesetog stoljeća, logičari su analizirali matematiku promatrajući 

aksiomatske teorije poput Peanove aritmetike PA i formalne sustave dokazivanja, 

poput F .Ciljjebiodoći do formalno potpune aksiomatizacije aritmetike, 

koja će omogućiti da se dokažu sve i samo one rečenice koje su istinite o prirodnim 

brojevima. To je bio dio ambicioznog projekta poznatog kao Hilbertov 

program, nazvan tako po svom glavnom zastupniku, Davidu Hilbertu. Svi važni 

teoremi aritmetike mogli su se dokazati poomoću relativno jednostavne aksiomatizacije, 

poput PA. Štoviše, logičar M. Pressburger pokazao je njezinu ograničenu 

potpunost: sve se istinite rečenice u jeziku koji ne koristi operaciju množenja 

mogu dokazati pomoću odgovarajućih Peanovih aksioma. 

Gödelov teorem nepotpunosti pokazao je da je takav napredak u smjeru potpunosti 

prividan, te da je cilj Hilbertovog programa nedostižan. Poseban slučaj 

teorema nepotpunosti možemo iskazati na sljedeći način: 

Peanova aritmetika nije for- 

Teorem 59 (Gödelov teorem nepotpunosti za PA) 

malno potpuna. 

Dokaz ovog teorema, koji će biti ocrtan kasnije, pokazuje nam da je doseg 

ovog rezultata mnogo širi, to jest, da se ne odnosi samo na Peanovu aksiomatizaciju 

ili na sustav dokazivanja F . Zapravo, teorem nepotpunosti pokazuje da 

253

254 Poglavlje 25 Gödelov teorem nepotpunosti 

niti jedno "prihvatljivo" proširenje bilo aksiomatizacije bilo formalnog sustava 

dokazivanja ne može ostvariti formalno potpunu aritmetičku teoriju (značenje 

"prihvatljivosti" odrediti ćemo kasnije). 

25.1 Kodiranje 

Pokušat ćemo pratiti osnovu ideju dokaza. Ključnu ulogu ima uvid u činjenicu da 

se bilo koji sustav simbola može predstaviti u nekoj shemi kodiranja. na primjer, 

Morseov kod, s nizom crtica i točkica, ili jedinica i nula, može predstaviti neki 

sustav simbola. S pažljivo izra ¯denim sustavom kodiranja, bilo koji niz simbola 

može biti predstavljen kao niz jedinica i nula. No, taj niz jedinica i nula možemo 

shvatiti i kao binarni zapis nekog broja. Zato prirodne brojeve možemo iskoristiti 

u još jednoj ulozi - kao kodove za nizova simbola. 

Primjer 25.1 

Logički i pomoćni simboli 0 f ¬ ∨ ∀ ( ) 

Pridruženi broj 1 3 5 7 9 11 13 

Varijable s oznakom tipa 

x n 

Pridruženi broj p n gdje je p primbroj > 13 

Slog pridruženih prirodnih brojeva n 1 ,n 2 , ..., n k 

Kod 

2 n1 3 n2 ...p n k 

k 

gdje je p k k-tiprimbroj(poveličini) 

Primjer 25.2 

∀x 1 ¬(fx 1 

=0) 

Primjena definicija ∀x 1 ¬∀x 2 (¬x 2 

(fx 1 

) ∨ x 2 

(0)) 

Kod 2 9 .3 17 .5 5 .7 9 .11 172 .13 11 .17 5 .19 172 .23 11 .29 3 .31 17 .37 13 .41 7 .43 172 .47 11 .53 1 .57 13 .59 13 

25.2 Reprezentacija 

Prvo što je Gödel pokazao bila je mogućnost predstavljanja svih važnih sintaktičkih 

pojmova (logike prvoga reda) u jeziku Peanove aritmetike. Na primjer, 

sljedeći predikati se mogu predstaviti: 

n je kod isf-e 

n je kod rečenice 

n je kod aksioma Peanove aritmetike 

n i m su kodovi rečenica od kojih druga slijedi iz prve po primjeni 

pravila ∧ Elim 

n je kod dokaza u F 

n je kod dokaza za rečenicu čiji je kod m 

Kada kažemo da se ti predikati mogu predstaviti u Peanovoj aritmetici, onda 

tvrdimo nešto što je prilično jako: tvrdimo da nam aksiomi i pravila dokaza


omogućuju da dokažemo sve i samo one instancijacije tih predikata koje su istinite. 

Tako ako je p dokaz za S i n i m su njihovi kodovi, onda će formalna 

verzija posljednje rečenice na našem popisu (n je kod dokaza za rečenicu čiji je 

kod m) biti posljedica prvoga reda Peanovih aksioma. 

Primjer 25.3 Predikat ’x je kod ispravno sastavljene formule’ može se predstaviti 

usustavuPA akko postoji predikat π takavdazasvakin vrijedi da je n kod ispravno 

sastavljene formule ako i samo ako PA ` π(dne), gdje dne brojka za n iskazana u jeziku 

PA. 

U izvornom radu mogućnost reprezentacije iskazana je sljedećim 

teoremom: 

Stavak V. Za svaku rekurzivnu relaciju R(x 1 ...x n ) postoji neka 

n-člana oznaka relacije r (sa slobodnim varijablama u 1 ...u n )takoda 

sve n-torke brojeva (x 1 ,x 2 ,..,x n ) vrijedi: 

· µ 

R(x 1 ...x n ) → Bew Sb r 

¸ 

u 1 ...u n 

Z(x 1 )...Z(x n) 

· µ 

¬R(x 1 ...x n ) → Bew Neg Sb r 

¸ 

u 1 ...u n 

Z(x 1 )...Z(x n) 

Mnogo pažljivog rada bilo je potrebno da bi se pokazalo da se ovi pojmovi 

mogu predstaviti u Peanovoj aritmetici.


Složenost konstrukcije koja omogućuje predstavljanje pokazuje slika koja 

raščlanjuje samo jednu od tri korijena za definiciju pojma neposredne 

posljedice u izvornom Gödelovom tekstu. 

25.2.1 Reprezentacija na jednom primjeru 

U Peanovoj aritmetici možemo dokazati aritmetičke istine. 

Primjer 25.4


Premise sadrže rekurzivnu definiciju zbrajanja. 

Gödel definira pojam aitmetičke rekurzivne funkcije na sljedeći način: 

Aritmetička funkcija φ zove se rekurzivna ako postoji konačan 

niz funkcija φ 1 ,φ 2 ,..,φ n koji završava s φ i ima svojstvo da je svaka 

funkcija u nizu ili rekurzivno definirana iz prethodnih dviju ili nastaje 

iz ma koje prethodne uvrštavanjem ili je, konačno, neka konstanta ili 

funkcija sljedbenika x +1. 

Rekurzivno definiranje opisuje kao definiranje u kojemu se neka n-mjesna 

funkcija f definira pomoću drugih dviju funkcija g i h;gdjejeg funkcija s n −1 

mjesta i pomoću nje se definira vrijednost funkcije f kada joj je prvi argument 0, 

a h je funkcija s n +1mjesta i njezini su prva dva argumenta prethodnik prvog 

argumenta funkcije f i vrijednost funkcije f za taj argument. Pojednostavljeno: 

u ovom se postupku definiranja odre ¯duje "ponašanje" na početnoj točki nekog 

niza i kod proizvoljne točke pozivanjem na "ponašanje" njezinog neposrednog 

prethodnika. 

...za aritmetičku funkciju φ(x 1 ,x 2 ,...,x n ) kaže se da je rekurzivno 

definirana iz aritmetičkih funkcija ψ(x 1 ,x 2 ,...,x n−1 ) i µ(x 1 ,x 2 ,...,x n+1 ) 

ako za sve x 2 ,...,x n ,kvrijedi ovo: 

φ(0,x 2 ,...,x n )=ψ(x 2 ,...,x n ) 

φ(k +1,x 2 ,...,x n )=µ(k, φ(k, x 2 ,...,x n ),x 2 ,...,x n ) 

Primjer 25.5 

Niz rekurzivno definiranih funkcija: 

x +0=x 

x +(y +1)=(x + y)+1 

x · 0=0 

x · (y +1)=(x · y)+x 

x 0 =1 

x y+1 = x y · x 

0! = 1 

(x +1)!=x! · (x +1) 

Moguće je sačiniti predikate koji će iskazivati neko aritmetičko svojstvo 

brojeva označenih brojkom x ikojiće istodobno iskazivati neko svojstvo sintaktičkog 

objekta kodiranog brojkom x.


Primjer 25.6 

Definicija 

0Prx =0 

(n +1)Prx = εy[y 5 x ∧ Prim(y) ∧ x/y ∧ y>nPrx] 

odre ¯duje dvomjesnu funkciju nP rx koja za broj x dodjeluje n-ti po veličini prim broj 

sadržan u x. Nekajex =24. Pogledajmo neke vrijednosti. Za n =0, 0Pr24 = 0. Za 

n =1, 1Pr24 je najmanji broj m koji zadovoljava sljedeće uvjete (i) m je manji od ili 

jednak 24, (ii) m je prim-broj, (iii) 24 je djeljivo s m, (iv)m je veći od 0Pr24. Dakle, 

1Pr24 = 2. Dalje dobivamo 2Pr24 = 3. Još dalje, a zbog neispunjavanja uvjeta 

dobivamo 3Pr24 = 0, 4Pr24 = 0, 5Pr24 = 0 itd.. 

Primjer 25.7 

Definicija 

l(x) =εy[y 5 x ∧ yPrx > 0 ∧ (y +1)Prx =0] 

odre ¯duje funkciju koja broju x dodjeljuje najmanji broj y takav da (i) y je manji od ili 

jednak x, (ii) yPrx je veće od 0 i (iii) (y +1)Prx =0.Zax =24dobivamo l(24) = 2. 

24 puta napisano f 

z }| { 

Primjer 25.8 Brojka fff...0 ne označava samo broj 24. Kad je rastavimo na 

proste faktore, 2 · 2 · 2 · 3, tojest2 3 · 3 1 vidimo da ona kodira term f0 . Funkcija l(x), 

koja, vidjeli smo, za 24 dodjeljuje 2, pokazuje od koliko je simbola sačinjen izraz kojega 

kodira x. 

Gödeljenatajnačin uspio povezati dvije istine: aritmetičke istine koje 

vrijede kada se brojke prtumače kao oznake za brojeve i sintaktičke istine koje 

vrijede kada se brojke protumače kao oznake jezičnih izraza. Omogućavanje 

čitanja istog teksta u dvjema uskla ¯denim semantičkim dimenzijama, aritmetičkoj 

i sintaktičkoj, vjerojatno predstavlja jedan od vrhunaca logičke misli u čitavoj 

povijesti. 

Ne samo da isti lik može predstavljati i patku i zeca, većidvijepriče, jedna sa 

zecom i druga s patkom, mogu biti ispričaneistimtekstomitotakodajeneka 

rečenica iz teksta istinita u jednom tumačenju ako i samo ako je istinita u 

drugom tumačenju. 

Ako pratimo gradnju 46 definicija vidjet ćemo da se sve osim jedne mogu 

"spustiti" do elementarne razine: one su na kraju definirane pomoću funkcije


sljedbenika ili neke konstante. A istinite tvrdnje o identičnosti i neidentičnosti 

brojaka mogu se dokazati. 

Primjer 25.9 

No za razliku od ostalih 45 pojmova koji su rekurzivni, 46. pojam Dokaziv uPA 

nije rekurzivan. 

46. 

x je dokaziva formula. 

Bew(x) ↔∃y(yBx) 

25.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema) 

Drugi ključni Gödelov uvid odnosi se na mogućnost tvorbe rečenicakojegovore 

o samima sebi (pod nekom shemom kodiranja). Ta mogućnost poznata je pod 

nazivom dijagonalne leme. Ta lema kaže da se za bilo koju isf-u P (x) s jednom 

slobodnom varijablom može pronaći broj n koji kodira rečenicu P (n) koja tvrdi 

da n zadovoljava P (x). 

Lema 60 (Dijagonalna lema) Za bilo koju isf-u P (x) s jednom slobodnom varijablom 

može se pronaći broj n koji kodira rečenicu koja tvrdi da n zadovoljava 

P (x). 

Dokaz 46 Označimo s kod funkciju koja rečenicama pridružuje njezinu kodnu 

brojku.Sa sub(n, m) označimo binarnu numeričku funkciju koja za kod n isf-e s 

jednom slobodnom varijablom P (x) izanekubrojkum ispostavlja kod rečenice 

koja nastaje instancijacijom svih pojava slobodne varijable x sbrojkomm: 

sub(kod(P (x)),m)=kod(P (m)). 

Instancirajmo P (x) sa sub(x, x). To jest, instancirajmo je. s kodom isf-e koja 

nastajekadaseisfčiji je kod x i koja ima jednu slobodnu varijablu instancira 

s vlastitim kodom. Neka je m kod isf-e koja nastaje instancijacijom, m =


kod[P (sub(x, x))]. Ako primjenimo istovrsni postupak na isf-u m, dobit ćemo 

sub[kod(P (sub(x, x))) ,kod(P (sub(x, x))) ]. 

| {z } | {z } 

m 

m 

No po definiciji za sub, vidimo da tražena instancijacija daje 

kod[P (sub(m, m))]. 

Dakle, kod[P (sub(m, m))] = sub(m, m). Egzistencijalnom generalizacijom 

dobivamo traženo: ∃x(kod[P (x)] = x). Dijagonalna konstrukcija pokazuje da 

možemo sačiniti rečenice koje se mogu interpretirati kao rečenice koje govore o 

sebi. 

Primjer 25.10 Ako n = kod(P (n)), onda P (n) možemo shvatiti kao tvrdnju: Ova 

rečenica ima svojstvo izraženo s P . 

Ovisno o svojstvu P o kojem je riječ, neke me ¯du takvim samoreferirajućim 

rečenicama bit će istinite, a neke neće. Na primjer, formalne verzije sljedećih 

Ova rečenica .je isf. 

Ova rečenica nema slobodnih varijabli. 

bit će istinite. S druge strane, formalne verzije sljedećih 

Ova rečenica .je dokaz. 

Ova rečenica je aksiom Peanove aritmetike. 

bit će neistinite. 

Razmotrimo sada formalnu verziju sljedeće rečenice, čije je postojanje zajamčeno 

po dijagonalnoj lemi: 

(G) Ova se rečenica ne može dokazati pomoću aksioma Peanove 

aritmetike. 

Ta rečenica naziva se G, po Gödelu. Pokažimo da je G istinita rečenica koja 

nije dokaziva u PA. 

Krenimo indirektnim putem. Pretpostavimo da G nije istinita rečenica. Tada 

po onome što G tvrdi, slijedi da se G može dokazati u PA. No, aksiomi od PA 

su istiniti i sustav dokazivanja F je pouzdan, pa je zato istinita svaka rečenica 

koja se može dokazati u PA. Dakle, G mora biti istinita, što proturječi našoj 

pretpostavci. Zato je njezina negacija istinita, tj. (po ¬ Elim) G je istinito. 

Ostaje pokazati da G nije dokazivo u PA. Budući da je G istinita rečenica, 

točnojeonoštoonatvrdi:daG nije dokazivo u PA. 

Iz prethodnog neposredno slijedi Gödelov teorem nepotpunosti. Pronašli 

smo istinitu rečenicu u PA koja nije dokaziva u PA. Štoviše, ni negacije ove


rečenice nije dokaziva u PA jer su sve dokazive posljedice Peanovih aksioma 

istinite. Dakle, Peanova aritmetika nije formalno potpuna. 

Drukčije a bliže izvornoj formulaciji, teorem nepotpunosti možemo iskazati 

na sljeći način. 

Teorem 61 Ako je PA formalno konzistentna teorija, onda postoji rečenica G 

takva da PA 0 G i PA 0 ¬G. 

Dokaz 47 Prepostavimo da je (*) PA konzistentna (PA 0 ⊥) i da (i) PA ` G 

ili (ii) PA ` ¬G. Ako (i), onda G nije istinita rečenica. No, tada protivno 

pretpostavci (*) PA nije konzistentna teorija. Ako (ii), onda vrijedi ono što ¬G 

tvrdi, naime - PA ` G.. U tom slučaju bi u PA bile dokazive i G i ¬G, paona 

protivno pretpostavci (*) ne bi bila konzistentna. 

Peanovi aksiomi nisu nedodirljivi. Nakon što smo pronašli istinitu a nedokazivu 

rečenicu G - možemo nju ili što mu drago dodati kao novi aksiom 

da bi ona postala dokaziva. Ali na taj način nećemo izbjeći Gödelov argument, 

jer on ne ovisi o slabosti PA, već o njezinoj 

snazi.Svedoksurečenice proširenog sustava T istinite i sve dok se predikat 

njekodaksiomaizT 

može predstaviti u T , dotle se cijeli argument može ponoviti i generirati 

daljnju rečenicu koja istinita ali nedokaziva u sustavu. 

Gödelov rezultat o nepotpunosti jedan jeodnajvažnijihteoremaulogici, 

onaj čije se posljedice još uvijek istražuju. 

Gödel upozorava na još jedan važan rezultat koji kao korolarij slijedi iz teorem 

nepotpunosti: konzistentnost teorije 37 PA ne može se dokazati unutar te 

teorije, ako je ona konzistentna teorija. 

Teorem 62 Ako je PA konzistentna teorija, njezina formalna konzistentnost ne 

može se dokazati u PA. 

Dokaz 48 Neformalni dokaz možemo skicirati na slijedeći način. Tvrdnju o 

konzistentnosti teorije PA možemo iskazati u PA. Budući da je predikat dokazivosti 

iskaziv u PA, tvrdnju o konzistentnosti možemo iskazati kao ’postoji rečenica 

koja se ne može dokazati u PA’. Označimo tu rečenicu s K. Za svrhu indirektnog 

dokaza, pretpostavimo PA ` K. Po teorem nepotpunosti znamo da 

37 

Kao i prije oznakom PA označavamo Peanovu aritmetiku, ali izloženi rezltati vrijede za sve 

teorije iskazane jezikom dovoljnog stupnja složenosti ili, kako je to kazao Quine, za sve teorije 

iskazane jezikom koji je dovoljno snažan da iskaže vlastitu sintaksu.


ako PA 0 ⊥, onda PA 0 G. Teorem nepotpunosti može se dokazati u PA. 

Zamjenjujući PA 0 ⊥ s K i PA 0 G s G, dobivamo PA ` K → G. Budući da 

smo pretpostavili da PA ` K, dobivamo PA ` G. Kontradikcija. 

Quine je istaknuo "pozitivnu" stranu Gödelovog "negativnog" rezultata: 

Dok je s obzirom na Gödelov rezultat naše znanje o brojevima 

izloženo neočekivanim ograničenjima, dotle upravo suprotno vrijedi o 

našem znanju o takvom znanju. Jedna od stvari koje nas iznena ¯duju u 

još većoj mjeri nego nepotpunost elementarne teorije brojeva jest činjenica 

da tu nepotpunost možemo spoznati. 

Zadatak 140 (Nemogućnost definiranja istinitosti) Pokažite da se sljedeći predikat 

ne može iskazati u jeziku aritmetike: n je kod istinite rečenice. 

Odgovor 46 Pretpostavimo da se predikat ’n je kod istinite rečenice’ može 

iskazati u PA. Po dijagonalnoj lemi, možemo sačiniti rečenicu’Ovarečenica 

nije istinita’, nazovimo je T . Pretpostavimo da je T istinita. Tada nije istinita po 

vlastitoj tvrdnji. Dakle, nije istinita. No tada, njezina negacija vrijedi, pa mora 

biti istinita. Kontradikcija. Dakle, predikat istinitosti ne može se iskazati u jeziku 

PA.

Poglavlje 26 

Turingovi strojevi 

26.1 Churchova teza 

Pojam izračunljivosti može se učiniti preciznim na različite načine, ovisno o 

odgovoru koji ćemo dati na pitanja poput ovih: "Hoće li se račun izraditi na 

pravocrtnoj vrpci ili na pravokutnoj mreži polja? Ako koristimo pravocrtnu 

vrpcu, hoće li ona imati početak ali ne i kraj ili će biti beskonačna u oba smjera? 

Hoće li polja na koja je vrpca razdijeljena imati adrese ili ćemo pratiti 

račun pišući posebne simbole kao podsjetnike na odgovarajućim mjestima?" I 

tako dalje.Različiti će odgovori za posljedicu imati različiti izgled računa, ali 

naš cilj nisu pojedinosti računa već karakterizacija skupa izračunljivih funkcija. 

Zapravo, pokazalo se da skup izračunljivih funkcija ostaje isti neovisno o pojedinstima 

izvedbe računa. 

Nema kraja mogućim varijacijama u detaljnom opisu pojmova izračunljivosti 

i efektivnosti, zato na kraju moramo ili prihvatiti ili odbaciti tezu (koju nije 

moguće deduktivno dokazati) po kojoj je skup funkcija koje su izračunljive u 

našem smislu (u smislu nekog odre ¯denog pojma izračunljivosti) identičan skupu 

funkcija koje bi ljudi ili strojevi ikada mogli izračunati putem bilo koje efektivne 

metode ako ne bilo ograničenja u pogledu vremena, brzine i materijala. Drugim 

riječima, otvara se pitanje u kakvom su odnosu formalizirani teorijski pojam 

izračunljivosti i neformalizirani izvanteorijski intuitivni pojam izračunljivosti. 

Churchova teza: Izvorno i u užem smislu, teza po kojoj su sve 

intuitivno efektivne metode općenito rekurzivne (u smislu u kojem se 

ovaj termin koristi u teoriji rekurzivnih funkcija). Pripisujemo je Alonzu 

Churchu, 1935. Trenutačno i u širem smislu, teza po kojoj se sve intuitivno 

efektivne metode mogu zahvatiti jednom od nekoliko formalizacija, 

koje uključuju teoriju rekurzivnih funkcija, Turingove strojeve, 

Markovljeve algoritme, lambda kalkulus, itd. 

Churchova teza nije dokaziva ali jest osporiva. Prvo bismo trebali pokazati 

da je neka funkcija izračunljiva u intuitivnom smislu, što znači izložiti niz uputa 

za izračunavanje njezine vrijednosti za bilo koji argument i pokazati da su te 

upute efektivne. Zatim bismo trebali pokazati da ta funkcija nije izračunljiva u 

formalnom smislu, pokazujući da niti jedan Turingov stroj ne može izračunati tu 

funkciju. 

26.2 Opis Turingovog stroja 

Turingov stroj je imaginaran stroj koji može uzvesti bilo koju kompjutaciju izve- 

263

264 Poglavlje 26 Turingovi strojevi 

divu na bilo kojem računalu. Stroj se sastoji od beskonačne vrpce, radnog dijela 

i popisa pravila. Ulazno/izlazna vrpca je podijeljena u polja na kojima se mogu 

naći simboli koje radni dio stroja bilo čita, briše ili upisuje.Stroj se uvijek nalazi 

u nekom unutarnjem stanju, te ovisno o tom stanju i zapisima na vrpci izvodi 

radnje pomicanja, brisanja ili pisanja. Popis pravila je program koji odre ¯duje 

ponašanje stroja u zadanim okolnostima. Turingov stroj čita simbole na vrpci i 

gleda popis pravila, u skladu s time mijenja svoje unutarnje stanje te ili piše ili 

briše simbole ili pomiče svoj radni dio na lijevo ili na desno. 

We may compare a man in the process of computing a real number to a machine 

which is only capable of a finite number of conditions q 1 ,q 2 ,...,q r which will 

be called “m-configurations”. The machine is supplied with a “tape”, (the analogue 

of paper) running through it, and divided into sections (called “squares”) each capable 

of bearing a “symbol”. At any moment there is just one square, say the r-th, bearing 

the symbol S(r) which is “in the machine”. We may call this square the “scanned 

square”. The symbol on the scanned square may be called the “scanned symbol”. 

The “scanned symbol” is the only one of which the machine is, so to speak, “directly 

aware”. However, by altering its m-configuration the machine can effectively remember 

some of the symbols which it has “seen” (scanned) previously. The possible behaviour 

of the machine at any moment is determined by the m-configuration q n and the 

scanned symbol S(r). Thispairq n ,S(r) will be called the “configuration”: thus the 

configuration determines the possible behaviour of the machine. In some of the configurations 

in which the scanned square is blank (i.e. bears no symbol) the machine 

writes down a new symbol on the scanned square: in other configurations it erases the 

scanned symbol. The machine may also change the square which is being scanned, but 

only by shifting it one place to right or 1left. In addition to any of these operations the 

m-configuration may be changed. Some of the symbols written down will form the 

sequence of Slikas which is the decimal of the real number which is being computed. 

The others are just rough notes to “assist the memory”. It will only be these rough 

notes which will be liable to erasure. 

A.M. Turing. On Computable Numbers, with an Application to the Entsheidungdproblem. 

Proceedings of the London Mathematical Society 43: 544-546, 1937. 

Program uputa može se iskazati na različite načine. Na primjer, u strojnoj 

tablici, u dijagramu toka ili pomoću skupa ure ¯denih četvorki. 

Primjer 26.1 Program koji u slučaju da 0 dijeli dva niza 1-ica upisuje 1 na mjestu 0, 

zatim briše posljednju 1-icu u drugom nizu, vraća se na početak prvog niza i tada staje. 

U tabličnom prikazu retci (od drugoga na dalje) pokazuju za stroj koji je u odre ¯denom 

stanju s i u koje stanje s j prelazi i što čini ovisno o tome koji je simbol na polju koje 

se čita. Radnje su: pomak udesno >, pomak u lijevo


brisanje −(koje bismo mogli shvatiti kao pisanje "praznog" simbola). 

1 0 − 

s 0 s 0 > s 1 1 

s 1 s 1 > s 2 < 

s 2 s 3 − 

s 3 s 4 < 

s 4 s 4 < s 5 > 

s 5 

Dijagram toka u prikazu koristi sljeći redoslijed: [sadašnje stanje] simbol na traci: 

radnja [sljedeće stanje]. 

Zapis ure ¯denih četvorki može imati različiti redosljed. U sljedećem prikazu to će biti niz 

sadašnje stanje - pročitani simbol - sljedeće stanje - radnja: s 0 1s 0 >, s 0 0s 1 1, s 1 1s 1 >, 

s 1 − s 2


26.2.1 Prebrojivost Turingovih strojeva 

Tvrdnja 63 

Skup svih Turingovih strojeva je prebrojiv. 

Naime, svaki Turingov stroj je iskaziv kao konačan niz simbola u jednom 

beskonačnom alfabetu (ovdje ograničavamo popis simbola na vrpci na "prazni 

simbol" − ibrojke) 

>, , < s 0 − 0 s 1 1 ... n-ti simbol ... 

12 122 1222 12222 122222 1222222 12222222 ... 1-ica praćena s n 2-ki 

38 

Posljednji uvjet isključit će strojeve čije su upute ili kontradiktorne ili ponovoljene.


Primjer 26.2 Turingov stroj s 0 − s 0 1 imao bi kod 122212222122212222222. 

Budući da prirodnih brojeva ima prebrojivo mnogo i da smo svakom Turingovom 

broju pridružili jedan prirodnih broj, Turingovih strojeva ima prebrojivo mnogo. 

Nizove simbola možemo poredati u jedan beskonačni popis koji je prebrojiv. 

Ako izbacimo one nizove koji ne imenuju neki Turingov stroj, dobit ćemo popis 

T 1 ,T 2 ,T 3 ,... u kojemu je svaki Turingov stroj imenovan barem jednom i ništa 

drugo nije imenovano na tom popisu. 

U daljnjem razmatranju usvajamo neka ograničenja. (i) Promatramo samo 

funkcije s pozitivnih cijelih u pozitivne cijele brojeve. (ii) Zapise na traci sužavamo 

na monadički zapis brojki, eventualno razdvojenih s praznim poljem ("praznim 

simbolom"). Na primjer: 5 će biti zapisano kao 11111. (iii) Pretpostavljamo da 

na početku stroj čita krajnju lijevu 1-icu. (iv) Ako funkcija dodjeljuje vrijednost 

za argumente (nizove 1-ica razdvojene praznim poljem) koji su se u početnom 

stanju nalazili na traci, onda će se stroj zaustaviti u standardnoj završnoj konfiguraciji, 

a to znači da će čitati krajnji lijevi simbol iz bloka 1-ica koji se nalazi na 

vrpci koja je drugdje prazna. (v) Ako funkcija ne dodjeljuje vrijednost za zadane 

argumente, ona se neće zaustaviti u standardnoj završnoj konfiguraciji veće će, 

prvo, ili raditi bez prestanka ili će se, drugo, zaustaviti bilo na 1-ici koja nije 

krajnja lijeva ili će se pri zaustavljanju na vrpci nalazaiti više od jednog blok 

jedinica. 

Primjer 26.3 Usvajajući gornja ograničenja (i)-(v) modificirajmo Turingov stroj iz 

prethodnog zadatka tako da umjesto P upisuje 11,aumjestoN - 1. Zapis jednog takvog 

Turingovog stroja je: s 0 1s 1 − s 0 − s 4 1s 1 − s 2 >s 2 − s 6 1s 2 1s 3 − s 3 − s 0 >s 4 1s 4 > 

s 4 − s 5 1s 5 1s 6


koja prepoznaje članove tog skupa. Po Cantorovom dokazu, podskupova prebrojivo 

beskonačnog skupa ima više nego njegovih elemenata. Budući da je skup 

Turingovih strojeva prebrojiv, neka karakteristična funkcija neće biti Turingizračunljiva. 

Konstruktivan način za pokazati postojanje Turing-neizračunljivih funkcija 

sastoji se u tome da konstruiramo funkciju u koja nije na popisu, a to možemo 

učiniti ako funkciju u tako definiramo da bude različita od bilo koje funkcije na 

popisu. 

½ 1 ako je fn (n) nedefinirano, 

u(n) = 

f n (n)+1 

u protivnom. 

Tvrdnja 64 

Funkcija u nije Turing-izračunljiva. 

Dokaz 49 Pretpostavimo suprotno: neka je u jedna od Turing-izračunljivih 

funkcija, recimo m-ta. Tada za svaki pozitivni cijeli broj n, vrijednosti za u(n) i 

f m (n) su ili (i) obje nedefinirane ili ½ (ii) obje definirane i jednake. Ispitajmo slučaj 

1 ako je fm (m) nedefinirano, 

kada m = n. u(m) =f m (m) = 

Ako 

f m (m)+1 

u protivnom. 

f m (m) nije definirano, onda f m (m) =1. Kontradikcija. Ako je f m (m) definirano, 

onda f m (m) =f m (m)+1. Kontradikcija. 

Vrijednost funkcije u razlikovat će se od vrijednosti 

svake Turing izračunljive funkcije barem za uokvireni argument 

Turingov stroj: Funkcija koju on računa: Argumenti funkcije: 

T 1 f 1 1 2 3 4 ... n ... 

T 2 f 2 1 2 3 4 ... n ... 

T 3 f 3 1 2 3 4 ... n ... 

T 4 f 4 1 2 3 4 ... n ... 

. 

. 

T n f n 1 2 3 4 ... n ... 

. 

. 

Primjedba 10 Niti jedan Turingov stroj ne može izračunati vrijednosti funkcije 

u za sve argumente, ali u pojedinim slučajevima to je moguće učiniti. Definirajmo 

najjednostavniji stroj T 1 : s 0 − s 0 >.Onizračunava identitetnu funkciju za 

svaki pozitivni cijeli broj. Označimo je s f 1 .Kako je f 1 (1) = 1, u(1) = 2. ZaT 2 

dobivamo sljedeći stroj s 0 − s 0


Kod T 3 : s 0 − s 0 −; f 3 nije definirano ni za jedan pozitivni cijeli broj, zato 

u(3) = 1. No, kako dokaz pokazuje, odredba vrijednosti funkcije u ne može 

biti "rutinski posao". To što u nije "mehanički" izračunljiva ne znači da se ona 

ne može izračunati zahvaljujući "uvidu". 

26.2.3 "Halting problem" 

"Problem zaustavljanja" sastoji se u odredbi općenitog efektivnog postupka koji 

otkriva hoće li se neki Turingov stroj zaustaviti ili ne kada se pokrene u svom 

početnom stanju čitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu 1-ica na drugdje 

praznoj vrpci. Označimo slovom h funkciju koja je izračunljiva (u intuitivnom 

smislu) ako i samo ako je problem zaustavljanja rješiv. Neka je x broj Turingovog 

stroja, neka je on pokrenut u svom početnom stanju dok čita krajnju lijevu 1-icu 

iz neprekinutog niza od y 1-ica na inače praznoj vrpci. Definiramo: 

½ 2 ako se stroj x zaustavlja za argument y, 

h(x, y) = 

1 u protivnom. 

Tvrdnja 65 

Ako je Churchova teza točna, problem zaustavljanja je nerješiv. 

Reductio ad absurdum: pokazat ćemo da ako funkciju h izračunava neki 

Turingov stroj H, onda mora postojati neki Turingov stroj T m takavdaseza 

svaki pozitivni cijeli broj n, T m zaustavlja ako i samo ako se T n ne zaustavlja, 

kada se pokrene u svom početnom stanju čitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom 

nizu od n 1-ica na drugdje praznoj vrpci. No, to nije moguće jer bi se za 

niz od m 1-ica T m morao zaustaviti ako i samo ako se nikad ne zaustavlja kada 

se pokrene u svom početnom stanju čitajući krajnji lijevi simbol u neprekinutom 

nizu od m 1-ica na drugdje praznoj vrpci. Ovaj će stroj, kada se primijeni na 

svoj broj m, ući u beskonačnu petlju ako i samo ako se bude zaustavio; a to je 

očigledno nemoguće. Ako bi bila zadovoljena pretpostavka po kojoj funkciju h 

izračunava stroj H, onda bi se mogao konstruirati stroj T m poput ovoga na slici 

dolje. ’H’ označava mjesto gdje bi se trebao naći dijagram toka za H. Cijeli 

stroj T m sadrži H kao svoj dio. T m se zaustavlja samo ako se T n ne zaustavlja,


to jest, ako je h(n, n) =1. 

Kada postavimo da m = n vidimo da T m ne može postojati (jer bi se on morao 

zaustaviti ako se ne zaustavlja i ne bi se smio zaustaviti ako se zaustavlja) i zato 

H ne može postojati. Time se pokazuje da funkcija h nije Turing izračunljiva. 

Ako je Churchova teza točna, onda je problem zaustavljanja apsolutno nerješiv 

korištenjem bilo koje "efektivne procedure". 

26.3 Neodlučivost logike prvoga reda 

Problem odluivanja je rješiv za neko svojstvo ako postoji mehanički postupak 

ispitivanjakojikadaseprimjeninabilo koji predmet odgovarajuće vrste, nakon 

konačnog broja koraka ispravno klasificira taj predmet bilo kao pozitvnu instancu 

(primjer) bilo kao negativnu instancu (ne-primjer) svojstva o kojemu je 

riječ. U postupku ispitivanja možemo razlikovati pozitivni i negativni dio. Pozitivni 

dio postupka ispitivanja je mehanički postupak koji klasificira kao pozitivne 

sve pozitivne instance i samo njih. Slično, negativni dio postupka ispitivanja je 

mehanički postupak koji klasificira kao negativne sve negativne instance i samo 

njih. Ako za neko svojstvo postoji i pozitivni i negativni dio postupka ispitivanja,


Figure 26.1Nemogući stroj koji se zaustavlja ako i samo ako se ne zaustavlja.


onda i samo onda problem odlučivanjazatosvojstvojestrješiv. 

U logici nas zanimaju svojstva zadovoljivosti i valjanost a "predmeti" koje 

trebamo klasificirati su rečenice ili skupovi rečenica. Vrijedno je podsjetiti se 

sljedećeg teorema: S je posljedica prvog reda skupa rečenica T ako i samo ako 

T ∪{¬S} nije zadovoljivo. Ako je problem odlučivosti za zadovoljivost rješiv 

onda je on rješiv i za posljedicu prvoga reda. Da bismo raspravu ograničili na 

rečenice, preoblikovat ćemo prethodni teorem u istovrijednu tvrdnju: ^ 

P → S 

P ∈T 

je valjana rečenica prvoga reda akko ^ 

P ∧¬S nije zadovoljiva rečenica 39 . 

P ∈T 

Za logiku prvoga reda postoji pozitivan mehanički postupak provjere valjanosti 

ili, što je isto, negativan test zadovoljivosti. No ne postoji negativan test 

valjanosti ili, što je isto, ne postoji pozitivan test zadovoljivosti. 

Pozitivan test Negativan test 

Valjanost DA NE 

Zadovoljivost NE DA 

Jedan mehanički postupak ispitivanja valjanosti i zadovoljivosti dan je u metodi 

gradnje istinitosnog stabla. Ako promatramo zadovoljivost rečenice i zadovoljivost 

njezine negacije, onda postoje tri vrste rečenica: (i) valjane rečenice prvoga reda, 

koje su zadovoljive i čija negacija nije zadovoljiva, (ii) kontingentne rečenice, 

koje su zadovoljive i čija negacija jest zadovoljiva, (iii) nezadovoljiva rečenice, 

koje su nezadovoljive i čija negacija jest zadovoljiva (tj. njihova negacija je valjana 

rečenica prvoga reda). Poteškoća nastaje kada se susretnemo s rečenicama 

kod kojih test ne završava. Što tada možemo zaključiti? 

Primjer 26.4 Ako ispitujemo zadovoljivost isf-e ∀x∃yR(x, y) → R(a, a) metodom 

gradnje istinitosnog stabla, postupak gradnje stabla ići će u beskonačnost. S druge 

strane, negacija te rečenice, ¬ (∀x∃yR(x, y) → R(a, a)) je zadovoljiva. Što znamo 

na osnovi testa koji ne završava? (i) ∀x∃yR(x, y) → R(a, a) bi mogla biti zadovoljiva, 

pa niti jedna iz ovog para kontradiktornih rečenica ne bi bila valjana. (ii) No, 

39 

Dokažite: 

P → S je valjana rečenica prvoga reda akko je S je posljedica prvog reda 

P ∈T 

 

skupa rečenica T . Dokaz. S lijeva na desno. P → S je istinito u svakoj strukturi. Neka 

P ∈T 

je M bilo koja struktura za 

P → S . Po pretpostavci, M ² 

P → S. Po definiciji 

P ∈T 

P ∈T 

istinitosti u strukturi: M ² 

P → S[g ∅ ]. Po definiciji zadovoljavanja, tada je slučaj ili 

P ∈T 

M 2 

P [g ∅ ] ili M ² S[g ∅ ] ili i jedno i drugo. Pretpostavimo (*) M ² 

P [g ∅ ]. Po definiciji 

P ∈T 

zadovoljavanja, tada za svaku rečenicu P ∈ T vrijedi M ² P [g ∅ ],tj.M ² P . Pod pretpostavkom 

(*), M 2 

P [g ∅ ] ne može biti slučaj. već morabitislučaj da M ² S[g ∅ ], tj. (po definiciji 

P ∈T 

istinitosti) M ² S. Dakle, svaka struktura koja verificira svaku rečenicu iz skupa T , verificira i 

rečenicu S. Suprotan smjer dokažite sami. 

P ∈T


∀x∃yR(x, y) → R(a, a) bi mogla biti nezadovoljiva, pa bi njezina negacija mogla biti 

valjana rečenica prvoga reda. Lako je uvidjeti da je (i) slučaj. 

Neodlučivost logike prvoga reda pokazuje da se ona ne može svesti na "mehaničko" 

računanje već da se neka pitanja daju razriješiti samo na osnovi uvida. 

26.3.1 Dokaz neodlučivosti 

Dokaz neodlučivosti logike prvoga reda obično se provodi svo ¯denjem na "halting 

problem". U tom se dokazu, kojega nećemo provesti, pokazuje da kad bi logika 

prvoga reda bila odlučiva, onda bi problem zaustavljanja bio rješiv. No, kako 

drugo nije slučaj, onda ni prvo nije slučaj.

Poglavlje 27 

Osnovne ideje modalne logike 

27.1 Višestruko vrednovanje 

Jeziku propozicijske logike možemo dodati novi operator O isačiniti nove formule. 

Takve formule možemo iskoristiti za prikazati logički oblik rečenica u 

kojima se javljaju izrazi poput ’nužno je da’, ’moguće je da’, ’zabranjeno je da’, 

’dopušteno je da’, ’uvijek će biti slučaj da’, ’barem jednom će biti slučaj da’, 

’djelatnik čini da’, ’djelatnik vjeruje da’, ’djelatnik zna da’, ’djelatnik želi da’... 

Primjer 27.1 (i) OP, (ii) OP → P , (iii) OP → OOP. Prethodne tri rečenice mogle 

bi poslužiti kao prikaz logičkog oblika sljedećihnizovarečenica. (Ai) Djelatnik zna da 

je slučaj da P , (Aii) Ako djelatnik zna da je slučaj da P , onda je slučaj da P , (Aiii) Ako 

djelatnik zna da je slučaj da P , onda on zna da zna da je slučaj da P . (Bi) Nužno je 

slučaj da P , (Bii) Ako je nužno slučaj da P , onda je slučaj da P , (Biii) Ako je nužno 

slučaj da P , onda je nužno da je nužno slučaj da P . (Ci) Djelatnik čini da bude slučaj da 

P , (Cii) Ako djelatnik čini da bude slučaj da P , onda je slučaj da P , (Ciii) Ako djelatnik 

čini da bude slučaj da P , onda on čini da bude slučaj da on čini da bude slučaj da P . 

(Di) Djelatnik želi da bude slučaj da P , (Dii) Ako djelatnik želi da bude slučaj da P , 

onda je slučaj da P , (Diii) Ako djelatnik želi da bude slučaj da P , onda on želi da bude 

slučaj da on želi da bude slučaj da P .Itd. 

Razmišljajući o prethodnim primjerima, možemo uočiti da ista formula može 

biti istinita u jednoj interpretaciji operatora O ali ne mora biti takvom u nekoj 

drugoj interpertaciji. Odredba istinitost ovakvih rečenica u nekom kontekstu k 

očigledno zahtijeva osvrtanje na različite kontekste k 0 . 

Primjer 27.2 Ako O interpretiramo kao logički je nužno da, onda moramo ubrojiti 

svaki kontekst. Tada bismo rekli da je rečenica OP istinita u kontekstu k upravo onda 

kada je P istinito u svakom mogućem kontekstu k 0 . 

Primjer 27.3 Ako O interpretiramo kao prirodna je nužnost da, onda izgleda da 

ako hoćemo odrediti istinitost OP u kontekstu k, moramo ubrojiti sve one i samo one 

kontekste k 0 u kojima vrijede isti prirodni zakoni kao u k. 

Primjer 27.4 Ako O interpretiramo kao jednom je bio slučaj da, onda izgleda da 

su za odredbu istinitost OP u kontekstu k relevantni samo oni konteksti k 0 koji vremenski 

prtohode k-u. 

274


Za kontekste koje držimo relevantnim za odredbu istinitosti rečenice OP u 

kontekstu k kažemo da su dostupni iz k. 

Definicija 20 Model M sadrži: (i) neprazni skup konteksta K, (ii) dvomjesni 

odnos R na K, odnos dostupnosti, (iii) funkciju vrednovanja V koja dodjeljuje 

istinitosnu vrijednost V k (P ) svakom propozicijskom slovu P u svakom kontekstu 

k ∈ K. 

Ovakvi modeli često se nazivaju "Kripke modelima", a konteksti "mogućim 

svjetovima". 

27.1.1 Povijesna pozadina 

U pregledu (pret)povijesti modalne logike obično se spominju Aristotelova modalna 

silogistika, Humeovo razlikovanje činjeničnih i analitičkih istina, Kantovo uvrštavanje 

modalnih pojmova u popis dvanaest kategorija i Fregeovo odbacivanje 

modaliteta. Posebnu pažnju zaslužuje rasprava o implikaciji početkom 20. stoljeća 

u kojoj se obnavlja interes za modalnu logiku. Materijalna implikacija 

(kondicional) P → Q ekvivalentna je ¬(P ∧¬Q). C.I. Lewis razdvaja materijalnu 

implikaciju ¬(P ∧¬Q) od striktne implikacije. Ova druga ne tvrdi samo da 

nije slučaj da istodobno vrijedi i P i ¬Q, većdatone može biti slučaj: ¬♦(P ∧ 

¬Q) (nije moguće da istodobno bude i P i ¬Q). Koristeći ¤¬ (nužno nije slučaj) 

umjesto ¬♦ (nije moguće da bude slučaj) možemo pokazati da se striktna implikacija 

- može shvatiti kao materijalna implikacija koja nužno vrijedi:¬♦(P ∧ 

¬Q), ¤¬(P ∧¬Q), ¤(P → Q). 

Od samih početaka modalna logika je pokazivala nesigurnost u pogledu valjanosti 

njezinih načela. Ipak, neka su načela izgledala neproblematičnima poput 

onih koja ukazuju na mogućnost uzajamnog definiranja. 

¬♦P ↔ ¤¬P (Nemoguće je ono što nužno nije.) 

¬♦¬P ↔ ¤P (Ono što ne može ne biti, nužno je.) 

Druga načela izgledala su manje-više neproblematičnima. 

(T) ¤P → P (Što je nužno istinito - istinito je.) 

(K) ¤(P → Q) → (¤P → ¤Q) (Striktne posljedice nužnih istina i sam su 

nužne istine.) 

Posljednje gornje načelo može se promatrati kao modalna varijanta za modus 

ponens: (¤(P → Q) ∧ ¤P ) → ¤Q. 

Procjena valjanosti načela postaje teža u slučaju višestrukih operatora. 

(4) ¤P → ¤¤P (Ako je nešto nužno, onda je to nužno tako.) 

(B) P → ¤♦P (Ako je nešto slučaj, onda je nužno da je to moguće.); 

alternativno – ♦¤P → P . 

(E) ♦P → ¤♦P , 

(D) ¤P → ♦P , 

itd. 

Različite aksiomatske teorije izrasle su iz (ne)prihvaćanja gornjih načela.

276 Poglavlje 27 Osnovne ideje modalne logike 

Primjedba 11 Osnovne aksiomatske logike označavaju se na sljedeći način: 

modalna KT = T logika prihvaća načela K i T , S4 =KT4 prihvaća načela 

K, T i 4, S5 =KT4B = KT4E logika prihvaća načela K, T , 4 te B ili E.. 

Nesigurnost oko načela pokazivala je da se unutar pojmova o nužnom i mogućem 

treba napraviti daljnju razliku koja nije vidljiva na sintaktičkoj razini. Zbog 

toga je ideja semantike mogućih svjetova koja se pojavila šezdesetih godina 20. 

stoljeća imala snažan utjecaj na razvoj modalne logike. 

27.1.2 Sintaksa i semantika 

Jezik modalne propozicijske logike L dobivamo ako definiciji jezika propozicijske 

logike pridodamo uvjet: Ako je P ispravno sastavljena formula u jeziku L, 

onda su ¤P i ♦P isf-e jezika L. 

Zadatak 142 

Zapišite punu definiciju jezika propozicijske modalne logike! 

Odgovor 48 Potrebna nam je induktivna definicija. Osnovna klauzula: propozicijska 

slova se isf-e jezika L. Induktivne klauzule: ako su P i Q isf-e u jeziku L, 

onda su ¬P , (P ∧ Q), (P ∨ Q), (P → Q), (P ↔ Q), ¤P i ♦P isf-e jezika L. 

Završna klauzula: ništa drugo nije isf jezika L. 

Zadatak 143 Iskažite sljedeće rečenice kao formule propozicijske modalne logike: 

(a) Moguće je da me ne razumiješ, ali to nije nužno. (b) Moguće je da ako bi mogla 

padati kiša, onda kiša pada. 

Odgovor 49 

(a) ♦¬R ∧¬¤¬R,(b)♦(♦K → K). 

U semantici se koristi naziv ’mogućisvijet’kojijenavišenačina povezan s 

Leibnizom, koji bi prvi koji je koristio taj termin. 

U pozadini semantike mogućih svjetova leži ideja da istinitosna vrijednost za 

¤P i ♦P unekommogućem svijetu ovisi o istinitosnoj vrijednosti koju P ima u 

nekim drugim mogućim svjetovima. Ta odredba istinitosne vrijednosti modalne 

rečenice ne mora zahvatiti ispitivanje svih mogućih svjetova; u formalnom se 

smislu ta ideja zahvaća pomoću odnosa dostupnosti koji odre ¯duje koji su mogući 

svjetovi relevantni za opdredbu istinitosti rečenice o kojoj je riječ. 

Definicija 21 Model M za propozicijsku modalnu logiku sadrži: (i) neprazni 

skup mogućih svjetova W , (ii) dvomjesni odnos R na W , odnos dostupnosti, 

(iii) funkciju vrednovanja V koja dodjeljuje istinitosnu vrijednost V w (P ) svakom 

propozicijskom slovu P usvakommogućem svijetu w ∈ W . 

Skup mogućih svjetova zajedno s odnosom dostupnosti naziva se okvirom ili 

strukturom F = hW, Ri. Model M nastaje kada se okviru pridoda vrednovanje


V ; M = hF, V i = hhW, Ri ,Vi. Istom se okviru mogu pridodati različita 

vrednovanja, čime se dobivaju različiti modeli. 

Definicija istine kazuje nam koje su formule istinite u kojem mogućem svijetu 

danoga modela. Budući da je vrednovanje propozicijskih slova V zadano 

u modelu M, definicija istine pokazuje kako se to vrednovanje može proširiti 

do punog vrednovanja V M koje dodjeljuje istinitosnu vrijednost svim formulama 

jezika propozicijske logike. 

Definicija 22 Ako je M model s njegovim skupom mogućih svjetova W , s odnosom 

dostupnosti R i s vrednovanjem V , onda je V M,w (P ) istinitosna vrijednost 

formule P u w umodeluM definirana sljedećim uvjetima: 

(i) V M,w (P )=V w (P ), za svako propozicijsko slovo P 

(ii) V M,w (¬P )=> akko V M,w (P )=⊥ 

(iii) V M,w (P ∧ Q) => akko V M,w (P )=> i V M,w (Q) => 

(iv) V M,w (P ∨ Q) => akko V M,w (P )=> ili V M,w (Q) => 

(v) V M,w (P → Q) => akko V M,w (P )=⊥ ili V M,w (Q) => 

(vi) V M,w (P → Q) => akko V M,w (P )=V M,w (Q) 

(vii) V M,w (¤P )=> akko za svako w 0 ∈ W takvo da R(w, w 0 ): V M,w 0(P )=> 

(viii) V M,w (♦P )=> akko za barem jedno w 0 ∈ W takvo da R(w, w 0 ): V M,w 0(P )=> 

Iz definicije je vidljivo da postoji sličnost izme ¯du ¤ i ∀, s jedne, i izme ¯du ♦ 

i ∃, s druge strane. Zato se kao i kod kvantifikatora jedan od modalnih operatora 

može uzeti za primitivni, a drugi za definirani. Na primjer, ♦ možemo definirati 

kao ¬¤¬. 

Primjer 27.5 

Oznaćimo modela na slici s M. Skup mogućih svjetova: W = {w 1 ,w 2 ,w 3 }, odnos 

dostupnosti prikazan je na slici sterilacama a u jeziku teorije skupova kao skupure- 

¯denih parova: R = {hw 1 ,w 2 i , hw 2 ,w 2 i , hw 3 ,w 2 i}. Time smo odredili okvir F . Ako 

pretpostavimo da u jeziku pod razmatranjem nalazimo samo jedno propozicijsko slovo


P , onda je vrednovanje V (koje, podsjetimo se, uzima svijet i propozicijsko slovo a 

ispostavlja istinitosnu vrijednost) definirano: V w1 (P )=V w2 (P )=> i V w3 (¬P )=⊥. 

Sada kada je M odre ¯deno, možemo odrediti vrijednost svih isf-a u danom jeziku modalne 

propozicijske logike. Ispitajmo neke primjere: 

♦P V M,w1 (♦P )=> V M,w2 (♦P )=> V M,w3 (♦P )=> 

¤P V M,w1 (¤P )=> V M,w2 (¤P )=> V M,w3 (¤P )=> 

¤P → P V M,w1 (¤P → P )=> V M,w2 (¤P → P )=> V M,w3 (¤P → P )=⊥ 

♦¤P V M,w1 (♦¤P )=> V M,w2 (♦¤P )=> V M,w3 (♦¤P )=> 

27.1.2.1 Valjanost 

Kod formula P modalne propozicijske logike možemo razlikovati nekoliko vrsta 

valjanosti. Definicije tvore uzlazni niz u kojem se svaki sljedeći pojam valjanosti 

definira pomoću nekog prethodnog pojma. 

1. P je valjano 1 umodeluM = hW, R, V i (ili model M verificira formulu P ) 

akko za svako w ∈ W vrijedi V M,w (P )=> (drugim riječima, P je istinito u 

svakom mogućem svijetu w). 

2. P je valjano 2 na okviru F = hW, Ri akko za svaki model M koji je izgra ¯den 

nad okvirom F vrijedi da je P valjanoumodeluM. 

3. P je valjano 3 u skupu okvira S akko za svaki okvir F ∈ S vrijedi da je P 

valjano na okviru F . 

4. P je valjano 4 akko za svaki okvir F vrijedi da je P valjano na okviru F . 

Primjer 27.6 Valjanost 1 i valjanost 2 su "lokalnog karaktera". Za ispitivanje valjanosti 2 

okvir držimo čvrstim i mijenjamo vrednovanja. Za ispitivanje valjanosti 3 biramo skup 

okvira kod kojih odnos dostupnosti ima odre ¯deno svojstvo i mijenjamo vrednovanja. 

Valjanost 4 je "globalnog karaktera"; za ispitivanje valjanosti 4 mijenjamo modele. 

¤(P → Q) → (¤P → ¤Q) ¤P → P ¤P → ¤¤P 

valjano 3 na svim okvirima valjano 3 na svim refleksivnim okvirima valjano 3 na svim tranzitivnim okvirima 

valjano 4 nije valjano 4 nije valjano 4 

Koristeći pojam valjanosti na okviru možemo definirati pojam karakteriziranja. 

Definicija 23 Formula P karakterizira skup S okvira akko P jest valjano 3 u 

skupu okvira S. 

Zadatak 144 

Dokažimo da je ¤P → P karakterizira skup refleksivnih okvira. 

Odgovor 50 Trebamo dokazati da je ¤P → P valjano 3 u skupu svih refleksivnih 

okvira. Pretpostavimo da je M model s refleksivnom relacijom R. Za 

proizvolji w trebamo dokazati V M,w (¤P ) = >, onda V M,w (P ) = >. Pretpostavimo 

V M,w (¤P ) = >. Po definiciji za vrednovanje, za svaki v takav


da R(w, v) vrijedi V M,v (P ) = >. Budući da R refleksivna relacija, vrijedi 

R(w, w),pajezatoV M,w (P )=>. 

27.1.2.2 Modalna logika i logika prvog reda 

Modalne formule P možemo "prevesti" na jezik logike prvoga reda [P ] (s ’[]’ 

označavamo funkciju prijevoda): 

[P ]=Px P je propozicijsko slovo 

[¬P ]=¬ [P ] 

[P ∧ Q] =[P ] ∧ [Q] 

[♦P ]=∃y(R(x, y) ∧ [P ](y)) y je nova varijabla 

Primjer 27.7 Prijevod za ¤P → P .Iskažimodrukčije: ¬(¬♦¬P ∧¬P ). 

[¬(¬♦¬P ∧¬P )] = ¬ [¬♦¬P ∧¬P ]=¬([¬♦¬P ] ∧ [¬P ]) = 

= ¬(¬ [♦¬P ] ∧¬[P ]) = ¬(¬∃y(R(x, y) ∧ [¬P ](y) ∧¬Px)= 

= ¬(¬∃y(R(x, y) ∧ [¬P ](y) ∧¬Px)=¬(¬∃y(R(x, y) ∧¬P (y) ∧¬Px)= 

= ∀y(R(x, y) → P (y)) → P (x) 

Zadatak 145 Odredite funkciju prijevoda za P → Q i P ∨ Q. 

Zadatak 146 Izradite prijevod za ♦P ∨ ♦¬P ! 

Odgovor 51 

∃y(R(x, y) ∧ (P (y) ∨¬P (y)) 

Tehnika kojom se odre ¯duju svojstva relacije dostupnosti počiva na načelu 

’minimalnog ispunjenja antecedensa’. Najprije dajemo prijevod modalne logike 

na jezik logike prvog reda Konzekvens aksioma ’¤P → P ’ dobiva prijevod: 

P (x). Minimalno ispunjenje antecedensa zahtijeva da P bude zadovoljeno u 

svim R sljedbenicima, zato definiramo minimalno vrednovanje P (v) kao R(x, v). 

Pročitajmo konzekvens; on kaže: P (x). Uvrstimo minimalno vrednovanje i 

dobivamo R(x, x) - refleksivnost. Konzekvens aksioma ’ ¤P → ¤¤P ’ dobiva 

prijevod: 

∀y (R(x, y) →∀z (R(y,z) → P (z))) . 

Upisujemo minimalno vrednovanje antecedensa Rxu i dobivamo 

∀y (R(x, y) →∀z (R(y, z) → R(x, z)))


- tranzitivnost. Za aksiom ’P → ¤♦P ’ minimalno ispunjenje antecedensa zahtijeva 

da jedino u x bude zadovoljeno P , pa zato umjesto P (v) pišemo x = u. 

Prijevod konzekvensa daje: 

∀y (R(x, y) →∃z(R(y, z) ∧ P (z))) 

a s ubacivanjem minimalnog uvjeta dobivamo 

∀y (R(x, y) →∃z(R(y, z) ∧ x = z))) 

što je zapravo komplicirani način iskazivanja uvjeta simetričnosti: ∀y (R(x, y) → R(y, x)). 

Relaciju koja je refleksivna, tranzitivna i simetrična nazivamo relacijom ekvivalencije. 

Gorespomenuti aksiomi pokazuju da modalna logika S5 karakterizira 

okvire u kojima je relacija dostupnosti relacija ekvivalencije. Smijemo iz S5 

modela odstraniti kopije svjetova jer možemo zanemariti relaciju dostupnosti i 

definirati modalitet V M,w (¤P )=> akko za svako wV w (P )=>. 

27.1.3 Sintaktički pristup pojmu valjanosti 

I za modalnu logiku možemo izgraditi sustav prirodne dedukcije. Pri tome će se 

pravila razlikovati od jedne do druge modalne logike. 

Pravilo ¤Intro:akoP ne ovisi ni o jednoj pretpostavci ili premisi, P ` ¤P . 

Za ¤Elim ne može se dati neko jednostavno i intuitivno jasno pravilo. Izlaz 

je u tome da se dopusti korištenje aksiomske sheme K u bilo kojem koraku 

dokaza. 

Primjer 27.8 

1(1)P ∧ Q 

pretpostavka 

1(2)P 

∧Elim,1 

(3) (P ∧ Q) → P → Intro,1,2 

(4) ¤((P ∧ Q) → P ) ¤Intro,3 

(5) ¤((P ∧ Q) → P ) → (¤(P ∧ Q) → ¤P ) aksiom 

(6) ¤(P ∧ Q) → ¤P → Elim,4,5 

Druga varijanta za sustav prirodne dedukcije modalne propozicijske logike 

uvodi modalne ¤-poddokaze. 

27.1.4 Aletičkiiepistemički modaliteti 

Primjer 27.9 Promotrimo sljedeće rečenice ’Možda pada kiša, ali kiša ne pada’ i 

’Kiša pada ali mogao je biti slučaj da ne pada’. 

U gornjim primjerima susrećemo dva smisla o ’mogućem’. U prvoj rečenici 

riječ jeepistemičkoj mogućnosti: obzirom na sve ono što znam nije isključena 

mogućnost da P . U tom smislu nije zadovoljiva tvrdnja MoždaP ∧¬P . U 

drugoj rečenici riječ jeoaletičkoj mogućnosti: u strožoj varijanti, obzirom na 

važeće prirodne zakone nije isključena mogućnost da P ili, u blažoj varijanti,


logički su moguće okolnosti u kojima je slučaj da P . U ovakvom smislu tvrdnja 

MogućeP ∧¬P jest zadovoljiva. 

27.1.5 Pogled dalje 

Modalna logika pruža snažno analitičko sredstvo za filozofska istraživanja jezika 

u kojemu opisujem ljudske radnje, moralni i pravni diskurs, za istraživanje drugih 

modusa pored indikativnog, za opis vjerovanja, znanja i želja, i za mnoge druge 

svrhe. Plodonosan razvoj modalne logike u tim i drugim smjerovima prelaziokvire 

ovoga tečaja.

Poglavlje 28 

Zadaci 

1. Otvorite Leibniz 0 sWorld. Prevedite zadane rečenice koristeći engleske 

predikate (Cube, MediumSize, FrontOf, BackOf, Between, SameCol). Ako je prijevod 

uspješan, sve će rečenice biti istinite. 

(a) Nemakocakasrednjeveličine. 

(b) Ništa nije ispred b. 

(c) Svaka je kocka ili ispred ili iza e. 

(d) Nijedna kocka nije izme ¯du a i c. 

(e) Svi se predmeti nalazi u onim stupcima gdje su a, b i c. 

2. Prevedite zadane rečenice na jezik logike prvoga reda. Dopušteni predikati 

su: Zlato, Sja, VišiOd, Student i Hvali. 

(a) Nije zlato sve što sja. 

(b) Ivan je najviši student. 

(c) Tkogod hvali svakoga, ne hvali nikoga. 

3. U sljedećim vježbama primijenite istinitosno-funkcionalni algoritam da biste 

odredili jesu li zadani zaključci (a) tautološki valjani. Ako nisu, odredite 

jesu li (b) logički, ali ne i tautološki valjani ili su (c) nevaljani. Za nevaljane 

zaključke izgradite protuprimjer. 

1. ∀xKocka(x) →∃yMaleno(y) 

(a) 2. ¬∃yMaleno(y) 

3. ∃x¬Kocka(x) 

1. ∃xKocka(x) 

(b) 2. ∃xMaleno(x) 

3. ∃x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)) 

1. ∃x(Kocka(x) ∧ Veliko(x)) → (Kocka(c) ∧ Veliko(c)) 

(c) 

2. Tetraedar(c) →¬Kocka(c) 

3. Tetraedar(c) 

4. ¬∃x(Kocka(x) ∧ Veliko(x)) 

4. Objasnite zašto klasičnalogikasmatradajesilogizamBramantip (modus 

AAI, figura IV) valjan, dok ga suvremena logika smatra nevaljanim. Pitanje 

istražite koristeći "Kategorički silogizmi"! Konstruirajte protuprimjer 

koristeći jezik Vennovih dijagrama! 

5. Sačinite niz ekvivalencija koje će pokazati da je negacija rečenice Neki P su 

Q ekvivalentna rečenici Nijedan P nije Q. (Rješenje izradite kao "sentence 

file" koristeći Tarski’s World, u zagradama iza svake rečenice upišite naziv 

ekvivalencije koja je opravdava.) 

6. Otvorite Frege’s Sentences i Peirce’s World. Izmijenite veličinu i položaj 

jednog tijela tako da prvih sedam rečenica bude istinito a drugih sedam - 

neistinito. Predajte modificirani svijet! 

282

283 

7. (***) Otvorite Ramsey’s Sentences. Izgradite svijet koji čini istinitim svih 

20 rečenica koristeći samo 6 tijela! 

8. Otvorite Arnault’s Sentences i izgradite svijet u kojem su sve rečenice 

istinite! 

9. (Logička neovisnost) Otvorite Buridan’s Sentences. Pokažite da je rečenica 

∃x∃y(x 6= y ∧ Tet(x) ∧ Tet(y) ∧ Medium(x) ∧ Medium(y)) 

neovisna o "Buridanovim" rečenicama, tj. da ni ona niti njezina negacija nije 

njihova posljedica. Neovisnost ćemo ustanoviti tako što ćemo izgraditi dva 

svijeta u kojem će sve "Buridanove" rečenice biti istinite dok će u jednom od 

njih zadana rečenica biti istinita a u drugom neistinita. 

10. (Rečenice koje trebamo parafrazirati prije prijevoda) Prevedite zadane 

rečenice na jezik logike prvoga reda! Provjerite svoj prijevod: u Ron’s World 

sve rečenice trebaju biti istinite, u Bolzano’s World samo je 3. rečenica 

istinita, u Wittgenstein’s World samo je 5. rečenica istinita. 

(a) Jedino veliki predmeti nemaju ništa ispred sebe. 

(b) Ako neka kocka ima nešto ispred sebe, onda je ta kocka malena. 

(c) Svaka kocka koja je iza nekog dodekaedra manja je od njega. 

(d) Ako je predmet e izme ¯du dva predmeta, ta dva predmeta su malena. 

(e) Ako je tetraedar izme ¯du dva predmeta, ta dva predmeta su malena. 

11. Izvedite zadane ekvivalencije koristeći poznata načela kvantifikacije. 

(a) ∀xP → Q ⇔∃x(P → Q) ako x nije slobodan u Q 

(b) P →∃xQ ⇔∃x(P → Q) ako x nije slobodan u P . 

12. Otvorite Jon Russell’s Sentences. Na slobodnim mjestima (označenim 

parnim brojevima) zapišite prethodnu rečenicu u preneksnoj normalnoj 

formi. Provjerite ispravnost vrednujući rečenice u različitim svjetovima! 

13. Izradite koristeći Fitch dokaze za sljedeće valjane rečenice prvoga reda. 

Podsjetite se da dokazima valjanih rečenica ne koristimo niti jednu premisu. 

(a) (nulta kvantifikacija) ` Kocka(b) ↔∀xKocka(b) 

(b) `∃x(P (x) →∀xP (x)) 

(c) `¬∃x∀y[R(x, y) ↔¬R(x, y)] 

14. Otvorite (koristeći Tarski’s World) Padoa’s Sentences. 

(a) Dokažite da bilo koje tri rečenice od zadanih četiri tvore zadovoljiv 

skup rečenica. Da biste dokazali prethodnu tvrdnju za četiri skupa 

rečenica izgradite četiri svijeta takva da je u njima svaka rečenice iz 

odgovarajućeg skupa istinita. Rješenje predajte pod nazivima 2.123.wld, 

2.124.wld, 2.134.wld, 2.234.wld. 

(b) Dokažite na neformalan način da četiri rečenice iz prethodnog zadatka 

(Padoa’s Sentences) nisu konzistentne (tj. da nije moguće da sve budu 

istodobno istinite)! 

15. Koristeći Tarski’s World prona ¯dite prijevode na jezik logike prvoga reda za 

rečenice a-e. Za svrhu provjere prijevoda dobro je koristiti na "Keyboard"-u 

ponu ¯dene oznake predikata. Čini se da ćete za e. morati upotrebiti jednu 

rečenicu iako se u prirodnom jeziku javljaju dvije (jer jedino tako možemo

284 Poglavlje 28 Zadaci 

sačuvati koreferenciju, upućivanje na isti predmet, imeničke fraze jedna 

velika kocka iz prve rečenice i zamjenice nje iz druge rečenice). 

(a) Ima barem dva dodekaedra. 

(b) Ima najviše dva tetraedra. 

(c) Ima točno dvije kocke. 

(d) Samo tri predmeta nisu malena. 

(e) Ima samo jedna velika kocka. Nijedan dodekaedar nije iza nje. 

(f) Provjerite ispravnost prijevoda: U Bolzano’s World istinite su samo a,ci 

e; u Skolem’s World istinita je e; u Montegue’s world istinite su b,c i e. 

Izgradite svijet u kojem su sve rečenice a-e istinite. Predajte prijevode i 

svijet. 

16. Otvorite (koristeći Tarski’s World) Russell’s Sentences. Izgradite svijet u 

kojem su sve rečenice 1-7 istinite! 

17. Usporedite rečenice (i) ∃ !1 xKocka(x) ∧∀x(Kocka(x) → Maleno(x)) i 

(ii) ∃ !1 x(Kocka(x) ∧ Maleno(x)). Iskažite ih u prirodnom jeziku! Ako 

rečenice (i) i (ii) nisu ekvivalentne izgradite dva svijeta takva da u prvom 

samo rečenica (i) bude istinita a u drugom samo (ii). Ako su rečenice (i) i (ii) 

ekvivalentne, dokažite to bilo na formalan bilo na neformalan način! 

18. Dokažite neformalnim načinom sljedeći jednostavni teorem: ∀a : ∅⊆a! 

19. Dokažite da postoji točno jedan prazni skup pokazujući da postoji barem 

jedan i najviše jedan takav skup! Preuzmite ?? i nadopunite nedostajuće 

korake! Preuzmite ?? i odredite pravila i rečenice koje opravdavaju svaki 

pojedini korak! U nekim ćete se koracima pozvati na pravilo tautološke 

posljedice (Tau Con). 

20. Nadopunite ?? za ∀x∀y[x = y ↔ (x ⊆ y ∧ y ⊆ x)] s koracima koji 

nedostaju! 

21. Označimo sa s ekstenziju predikata S: s = {x | S(x)}, sp ekstenziju 

predikata P ,sd označimo skup svih predmeta u kontekstu rasprave. 

Prikažite Aristotelovske sudove u jeziku teorije skupova sljedeći pristup 

prikazan u drugom retku: 

varijanta1 varijanta2 

univerzalno afirmativni sud 

univerzalno negativni sud ∀x(S(x) →¬P (x)) s ⊆ d − p s∩ p = ∅ 

partikularno afirmativni sud 

partikularno negativni sud 

22. Napišite korespondentni kondcional za silogizam Barbara sljedeći načelo 

iz prethodnog zadatka, to jest koristeći jezik teorije skupova! Kondicional 

pokazuje da odnos ⊆ ima neko svojstvo. O kojem je svojstvu riječ? 

23. Dokažite na neformalan način tvrdnju: "Neka su a i b proizvoljni skupovi, 

a ∪ b = b ako i samo ako a ⊆ b"! U dokazu ćete se morati osloniti na aksiom 

ekstenzionalnosti (zbog identitetnih tvrdnji), te na definicije za ∪ i ⊆. 

24. Neka je definicija za ure ¯deni par: hx, yi = {{x} , {x, y}} Polazeći od te 

definicije, izradite neformalan dokaz za hx, yi = hu, vi ⇔(x = u ∧ y = v)!

285 

25. Oslanjajući se na prethodni zadatak, dokažite da za bilo koja dva skupa a i b, 

postoji skup svih ure ¯denih parova hx, yi takvih da x ∈ a i y ∈ b. Taj se skup 

naziva Kartezijevim produktom od a i b,aoznačava se s a × b. 

26. Otvorite u Fitch-u Exercise 15.29. Ovaj dokument kao cilj dokaza sadrži 

tvrdnju da je odnos istovjetnosti oblika ekvivalentan. Svrha ove vježbe je 

pokazati da su ciljne rečenice koje iskazuju to svojstvo odnosa posljedica 

značenja osnovnog predikata. Pravilo Ana Con smijete koristiti samo za 

atomarne rečenice! 

27. Ispitajte sljedeće tvrdnje. Ako su istinite, izradite bilo formalan bilo 

neformalan dokaz. Ako su lažne, prona ¯dite protuprimjer. 

(a) Za bilo koji skup b, ∅⊆℘b. 

(b) Za bilo koji skup b, b ⊆ ℘b. 

(c) Za bilo koje skupove a i b, ℘ (a ∪ b) =℘a ∪ ℘b. 

(d) Za bilo koje skupove a i b, ℘ (a ∩ b) =℘a ∩ ℘b. 

28. Otvorite Fitch dokument Exercise 15.49. U zadatku trebamo dokazati da je 

relacija R funkcionalna relacija: ∀x∀y∀z[(R(x, y) ∧ R(x, z)) → y = z]. 

Dopušteno je koristiti TautConidopuštenajeprimjenaAnaCon za literale 

(tj. atomarne rečenice i njihove negacije). Tvrdnja R(a, b) znači ’b je 

predmet koji je smješten najviše sprijeda u onom stupcu u kojem se nalazi 

a’. [Prijedlog: iskoristite AnaCon za činjenicu da od dva različita predmeta 

koji su u istom stupcu jedan mora biti ispred drugoga.] 

29. Neka je D neki skup i neka je P neki skup ne-praznih podskupova od D 

takvih da je svaki element iz D član točno jednog člana iz P . Takav se skup 

P naziva particijom od D. 

(a) Zapišite gornju definiciju koristeći simbole teorije skupova i jezik logike 

prvoga reda! 

(b) Neka je P particija skupa D. Definirajmo relaciju E na sljedeći način: 

ha, bi ∈E akko postoji X ∈ P takav da a ∈ X i b ∈ X. Pokažite da je 

E relacija ekvivalencije te da je P skup klasa ekvivalencije za tu relaciju! 

(c) Logička razdioba pojma je adekvatna ako je zbroj opsega članova 

razdiobe jednak opsegu diobene cjeline. Iskažite ovu definiciju koristeći 

jezik teorije skupova. Diobenu cjelinu (totum divisionis) označite s t, 

članove diobe (membra divisonis)označite s m 1 ,...,m n . 

(d) Logička razdioba pojma je jedinstvena ako se njezini članovi me ¯dusobno 

isključuju. Iskažite ovu definiciju koristeći jezik teorije skupova! 

(e) Iskažite u jednoj rečenicu odredbu za jedinstvenost i adekvatnost divizije 

koristeći jezik teorije skupova i pojam particije! 

30. Raymond Smullyan nam je dao ove dobre savjete: (1) uvijek govorite istinu, 

(2) svakog dana recite: "Ponovit ću ovu rečenicu sutra." Dokažite da će 

svatko tko bude poštivao i jedan i drugi savjet - živjeti vječno! Nakon toga 

pokažite zašto to ipak neće biti moguće! 

31. Dokažite da su aksiom ekstenzionalnosti i aksiom separacije konzistentni! 

Drugim riječima, prona ¯dite područje rasprave u kojima su oba aksioma 

istinita! [Savjet: ispitajte domenu čiji je jedini element prazni skup; za


aksiom separacije moramo pokazati da za bilo koje svojstvo P postoji skup 

{x ∈∅|P (x)} u toj domeni.] 

32. Dokažite da za bilo koji skup b, |℘b| 6= |b|! 

33. Dokažite da za bilo koji skup b, |℘b| 6= |b|! 

34. Dokažite tvrdnju "Rečenica S je tautološka posljedica skupa rečenica T ako 

isamoakoT ∪{¬S} nije it-zadovoljiv"! 

35. Dokažite sljedeću lemu za slučajeve 3. i 4. "Neka je T formalno 

konzistentan, formalno potpun skup rečenica, te neka su R i S proizvoljne 

rečenice u jeziku. 

1.T ` T (R ∧ S) akko T `T R i T `T S 

2.T ` T (R ∨ S) akko T `T R ili T `T S 

3.T ` T ¬S akko T 0 T S 

4.T ` T (R → S) akko T 0 T R ili T `T S 

5.T ` T (R ↔ S) akko bilo T `T R i T `T S bilo T 0 T R i T 0 T S" 

36. Zadan je jezik s dva predikata, Kocka i Maleno, i s dvije individualne 

konstante, a i b. Neka je T sljedeći skup rečenica: {¬(Kocka(a) ∧ 

Maleno(a)), Kocka(b) → Kocka(a), Maleno(a) ∨ Maleno(b)}. Ovaj 

skup nije formalno potpun. Primijenite proceduru iz tvrdnje o mogućnosti 

proširenja formalno konzistentnoh skupova i sačinite formalno konzistentni, 

formalno potpuni skup. Koji skup dobivamo? Koje ga dodjeljivanje 

istinitosnih vrijednosti h zadovoljava? Izgradite svijet u kojem su istinite sve 

rečenice iz proširenoga skupa!. 

37. Koristeći Dizajner dokaza izradite dokaz za ∃a∃b (℘a ∪ ℘b 6= ℘(a ∪ b)) 

koristeći za protuprimjer sljedeće skupove a = {∅} i b = {{∅}}! 

38. Otvorite Mary Ellen’s World i predstavite ga kao strukturu prvoga reda za 

jezik koji sadrži (i) predikate: Kocka, VećiOd, Tetraedar, Dodekaedar, 

Izmeu i (ii) individualnu konstantu: c! 

39. Intutivno, rečenica ’Q predmeta koji zadovoljavaju uvjet A zadovoljavaju 

uvjet B’ iliQx(A(x),B(x)) pokazuje da su skup A, skup predmeta 

koji zadovoljavaju A(x) ustrukturiM, i skup B, skup predmeta koji 

zadovoljavaju uvjet B(x) u strukturi M, stoje u odre ¯denom odnosu Q Zato 

je prirodni način za interpretiranje generaliziranog kvantifikatora onaj koji ga 

tretira kao binarnu relaciju na ℘(D M ). Koji kvantifikator odgovara sljedećim 

binarnim relacijama me ¯du skupovima? (’|a|’ označava koliko članova ima 

skup a.) 

(a) A ⊆ B 

(b) A ∩ B = ∅ 

(c) A ∩ B 6= ∅ 

(d) |A ∩ B| =1 

(e) |A ∩ B| 5 3 

(f) |A ∩ B| > |A − B| 

40. Razmotrite jezik sa samo jednim binarnim predikatskim simbolom P ,aM

287 

neka bude struktura s domenom D = {1, 2, 3} gdje ekstenzija predikata P 

obuvaća parove koji su takvi da m = n +1.Zasljedeće isf-e 

odredite koja su dodjeljivanja vrijednosti varijablama odgovarajuća! zatim 

opišite dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja ih zadovoljavaju! 

(a) P (y, z) 

(b) ∃yP(y,z) 

(c) P (x, x) 

(d) ∀xP (x, x) 

(e) ∀y∃zP(y, z) 

41. Dokažite tvrdnju "Neka su M 1 i M 2 strukture koje imaju istu domenu i 

koje dodjeljuju istu interpretaciju za predikate i konstante u isf P .nekasu 

g 1 i g 2 dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljuju iste vrijednosti 

(predmete) za slobodne varijable u isf-i P . Tada M 1 ² P [g 1 ] ako i samo ako 

M 2 ² P [g 2 ] ". Dokažite samo osnovni korak i induktivne korake za ∧ i ∀! 

42. Zadana je struktura prvoga reda, M za jezik L. Definiramo dodjeljivanje 

istinitosnih vrijednosti, h M na sljedeći način: za bilo koju atomarnu rečenicu 

ili rečenicu koja počinje s kvantifikatorom, S 



43. Neka je h proizvoljno dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik prvoga 

reda bez funkcijskih simbola. Konstruirajmo strukturu prvoga reda, M H na 

sljedeći način. Domena: domena za M H je skup individualnih konstanti 

jezika o kojem je riječ. Neka je R binarni relacijski simbol čija je ekstenzija 

definirana ovako: 

{< c,d>| h(R(c, d)) = >} 

Na kraju, interpretirajmo svaku individualnu konstantu tako da ona imenuje 

sebe (npr. ako je a individualna konstanta jezika pod razmatranjem, onda 

M H (a) =a). 

(a) Pokažite da za svaku rečenicu, S koja ne sadrži kvantifikatore ili simbol 

identiteta vrijedi: 


(b) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na rečenice koje sadrže 

simbol identiteta. 

(c) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na rečenice koje sadrže 

egzistencijalni kvantifikator. . 

44. Ispišite konstante-svjedoke za sljedeće isf-e. Simbol konstante a preuzet je 

iz početnog jezika L. 

(a) VeciOd(a, x) 

(b) VeciOd(c 1 ,x) gdje je c 1 nova konstanta iz L 1 

(c) VeciOd(c 2 ,x) gdje je c 2 nova konstanta iz L 2


45. Pokrenite Tarski’s World i otvorite Henkin’s Sentences. Neka su konstante 

c i d skraćeni zapis konstanti-svjedoka c Cube(x) i c Dodec(x)∧Small(x) ,time 

redom. 

(a) Pokažite da su sve te rečenice članovi teorije H. Odredite oblik svakog 




u kojemu se konstante c i d nekoristekaoimenamožesepretvoriti 


imenujte tijela s c i d tako da sve rečenice postanu istinite. 

46. Neka T sadrži sljedeći skup rečenica, 







(c) Dajte neformalne dokaze da su sve rečenice iz prethodnog zadatka (5. b) 


47. Neka je T teorija formulirana u jeziku L. Primjenite dokazanu tvrdnju 

"Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji način interpretacije svih 

konstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, sve 

rečenice iz H budu istinite." da biste pokazali da vrijedi sljedeće: ako je S 

iz L posljedica prvoga reda od T ∪ H, onda je ona posljedica prvoga rada i 

od T . 

48. Pokažite da za svaki simbol konstante c iz L H postoji različita konstanta 

svjedok d takvadajec = d tautološka posljedica od H. 

49. Zadane su sljedeće rečenice iskazane u jeziku logike prvoga reda: 

(i) ∀x∃y(¬Ispred(y, x) → Veliko(x)) 

(ii) ∃x∃y(Kocaka(x) ∧ Kocka(y) ∧ JednakaV elicina(x, y)) 

(iii) ∀x∀y[Ispred(x, y) → ((Maleno(y) ∧ Tetraedar(y)) ∨ Dodekaedar(y))] 

(iv) ∃y[∀x(¬∃zLijevoOd(z,x) → x = y) ∧ Dodekaedar(y) ∧ Veliko(y)] 

(v) ∃x∃y∃z(x 6= y ∧ x 6= z ∧ y 6= z) 

(vi) ∀x∀y∀z∀u(x = y ∨ x = z ∨ x = u ∨ y = z ∨ y = u ∨ z = u) 

(vii) ∃x∃yIzmedju(e, x, y) 

(a) Procijenite istinitosnu vrijednost gornjih rečenica u svijetu na donjoj 

slici. Ako se u nekom slučaju istinitosna vrijednost ne može odrediti, 

kratko objasnite zašto to nije moguće učiniti! Predikatu Izmedju dajemo 

sljedeće tumačenje: predmeti x, y i z zadovoljavaju Izmedju(x, y, z) 

akko (i) x jest izme ¯du y i z i (ii) predmeti x, y i z leže u istom retku, 

stupcu ili dijagonali.

289 

(b) Rečenice (i), (iv) i (v) iskažite u prirodnom jeziku pazeći pri tome da 

Vaš prijevod poštuje sljedeća ograničenja: prijevod za (i) ne smije biti 

pogodbena rečenica, prijevod za (iv) ne smije biti složena rečenica, 

prijevod za (v) ne smije sadržavati više od četri riječi. 

(c) Izgradite svijet u kojem će sve rečenice i-vii (navedene na početku 

zadatka) biti istinite. Rješenje upišite u tablici tako da u polju na kojem 

se nalazi neki predmet upišete njegov skraćeni opis i njegovo ime ako ga 

predmet ima. Na primjer, skraćeni opis za veliku kocku, čije je ime c i 

koja se nalazi u prvom retku i krajnjem desnom stupcu, upisali bismo u 

tablicu ovako: 

VKc 

50. Izradite dokaze za sljedeće valjane rečenice prvoga reda. Podsjetite se 

da u dokazima valjanih rečenica ne koristimo niti jednu premisu. [U 

dokazima smijete koristiti samo pravila za uvo ¯denje i uklanjanje te pravilo 

reiteracije. Jedino u dokazu za 2.d. smijete koristiti tautološke posljedice i 

DeMorganove zakone za kvantifikatore.] 

(a) `∀x(S(x) → P (x)) ↔∀x(¬P (x) →¬S(x)) 

(b) `¬∃x∀y[R(x, y) ↔¬R(x, y)] 

(c) `¬∀xP (x) →∃x¬P (x) 

(d) `∃x(P (x) →∀xP (x)) [Savjet: oslonite se u dokazu na zakon 

isključenja trećeg, ∀xP (x) ∨¬∀xP (x)] 

51. Dokažite bilo na formalan ili na neformalan način tvrdnju: "Neka su a i 

b proizvoljni skupovi. Ako a ⊂ b, onda a ∩ b = a"! U dokazu ćete se 

morati osloniti na aksiom ekstenzionalnosti (zbog identitetne rečenice u 

konzekvensu), te na definicije za ∩ i ⊆. 

52. Dokažite sljedeću tvrdnju koja govori o odnosu dokazivosti: "Neka je T 

formalno konzistentan i formalno potpun skup rečenica, te neka su R i S 

proizvoljne rečenice u jeziku logike prvoga reda. Tada vrijedi 

(i) T ` ¬S akko T 0 S 

(ii).T ` (R → S) akko T 0 R ili T ` S."


[Savjet: Dokaz za (i) je lagan i potrebne su nam jedino definicije formalne 

konzistentnosti i formalne potpunosti. Dokaz za (ii) možete, u smjeru s 

lijevanadesno,provestikaoreductio ad absurdum pozivajući se na pravilo 

→ Elim; u suprotnom smjeru, ispitajte slučajeve i oslonite se na pravilo 

→ Intro.] 

53. Na jednom Vennovom dijagramu prikažite odnos triju pojmova: tautologija, 

valjana rečenica prvoga reda i logička istina. 

54. Pozivajući se na poznata načela kvantifikacije, sačinite niz ekvivalencija koje 

će pokazati da je negacija rečenice Neki P su Q ekvivalentna rečenici Nijedan 

PnijeQ. 

55. Prevedite zadane rečenice na jezik logike prvoga reda! 

(a) Jedino veliki predmeti nemaju ništa ispred sebe. 

(b) Ako neka kocka ima nešto ispred sebe, onda je ta kocka malena. 

(c) Svaka kocka koja je iza nekog dodekaedra manja je od njega. 

(d) Svatko cijeni onoga koji njega cijeni. 

(e) Ima točno dvije kocke. 

(f) Ima točno jedna velika kocka. Nijedan dodekaedar nije iza nje. 

56. Izradite formalne dokaze za sljedeće valjane rečenice i posljedice prvoga 

reda. Podsjetite se da dokazima valjanih rečenica ne koristimo niti jednu 

premisu. Korištenje tautoloških posljedica.dopušteno je samo u zadatku 3.c. 

(a) ∀x(S(x) →¬P (x)) `∀x(P (x) →¬S(x)) 

(b) (nulta kvantifikacija) ` Kocka(b) ↔∀xKocka(b) 

(c) `∃x(P (x) →∀xP (x)) [Prijedlog: neka prvi korak u dokazu bude 

tautologija ∃xP (x) ∨¬∃xP (x) ] 

57. Koji će nam aksiom biti potreban u dokazu teorema: ∀a∀b : a ∩ b = b ∩ a? 

Izradite bilo formalan bilo neformalan dokaz tog teorema! 

58. Dokažite sljedeću lemu: Neka je T formalno konzistentan, formalno potpun 

skup rečenica, te neka su R i S proizvoljne rečenice u jeziku. 

T `T (R → S) akko T 0 T R ili T `T S ! 

59. Zadan nam je jezik sa sljedećim simbolima: individualne konstante su a, b, 

c, predikati su Kocka, Dodekaedar, ManjeOd i = . Za "svijet" na slici 

konstruiratajte strukturu prvoga reda M,kojaće adekvatno predstaviti sve što 

je relevantno za istinitosti rečenica u zadanom jeziku.pod tim okolnostima.

291 

Označimo predmete u redoslijedu s lijeva na desno s o 1 ,o 2 ,o 3 ,o 4 . 

Odredite: M(∀), M(a), M(b), M(c), M(Kocka), M(Dodekaedar), 

M(ManjeOd) i M(=)! 

60. Prevedite prvi aksiom iz Spinozine Etike na jezik logike prvoga reda 

(koristeći U kao simbol za prijedlog ’u’)! 

Sve što jest jest u sebi ili u nečem drugom. 

61. Protumačite prvi Spinozin aksiom na četiri različita načina i ispitajte njegovu 

zadovoljivost te očuvanje razgovorne implikature u danom tumačenju! 

[Podsjetnik: Ako rečenica koju govornik tvrdi sa sobom donosi i sugestiju koja se može 

ukinuti (bez izazivanja kontradikcije) dodatnim govornikovim izrekama, ondasetasugestija 

naziva razgovornom implikaturom i ona se ne promatra kao dio sadržaja izvorne rečenice.] U 

prvom tumačenju pretpostavite da binarni predikat U zadovoljava uvjet 

(i) ∀xU(x, x), 

u drugom pretpostavite da U zadovoljava uvjet 

utrećem da zadovoljava uvjet 

aučetvrtom da zadovoljava uvjet 

(ii) ¬∀xU(x, x), 

(iii) ∀x¬U(x, x), 

(iv) ¬∀x¬U(x, x). 

(a) Ukratko izložite rezultate svog istraživanja! 

(b) Kojem (ili kojim ili kojoj kombinaciji) tumačenju biste dali prednost? 

Kratko obrazložite svoj odgovor! 

(c) Koje bismo nazive mogli dati svojstvima koje pripisujemo predikatu U u 

četiri tumačenja? 

(d) Pretpostavimo da je ispravno treće tumačenje, tj. da vrijedi (iii)


∀x¬U(x, x).Jelitadaijednarečenica iz para kontradiktornih rečenica 

∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) 

¬∀x∃y(x 6= y ∧ U(x, y)) 

teorem u sustavu koji sadrži prvi aksiom i rečenicu (iii)? 

62. Ovaj valjana rečenica logike prvoga reda jedno je me ¯du najstarijim logičkim 

otkrićima: 

[∀x(M(x) → P (x)) ∧∀x(S(x) → M(x))] →∀x(S(x) → P (x)) 

(a) Kome možemo pripisati zaslugu otkrića te i takvih valjanih rečenica 

prvoga reda? Koji je njihov tradicionalni naziv? 

(b) Na koji biste način provjerili ovu logičku istinu? Učinite to! 

(c) Neka m bude ime za ekstenziju predikata M, tes i p neka budu imena 

za ekstenzije predikata S i P . Protumačite gornju rečenicu kao tvrdnju 

o ekstenzijama i zapišite je u jeziku teorije skupova koristeći (pored 

logičkih) simbol ⊆. Takoprotumačena, gornja rečenica izriče jedno 

svojstvo odnosa BitiPodskupOd. Koje? 

63. Jelikojime¯du navedenim bikondicionalima valjan: 

a) ∃x(P (x) ∨ Q(x)) ↔ (∃xP (x) ∨∃xQ(x)) 

b) ∃x(P (x) ∧ Q(x)) ↔ (∃xP (x) ∧∃xQ(x)) 

Ako je neki bikondicional valjan, izradite formalan dokaz za tu činjenicu i 

navedite njezin naziv, koji se koristi u literaturi. Ako neki bikondicional nije 

valjan, dokažite njegovu nevaljanost tako što ćete navesti protuprimjer! 

64. Izdvojite me ¯du ponu ¯denim rečenicama one koje su i one koje nisu logičke 

istine! 

a) ∀x∀yR(x, y) →∀xR(x, x) 

b) ∃x∃yR(x, y) →∃xR(x, x) 

c) ∀x∃yR(x, y) →∃x∀yR(x, y) 

d) ∃x∀yR(x, y) →∀x∃yR(x, y) 

e) ∃xR(x, x) →∃x∃yR(x, y) 

f) ∀xR(x, x) →∀x∀yR(x, y) 

65. Zadne rečenice iskazane u jeziku logike prvoga reda iskažite u prirodnom 

jeziku što jednostavnije! 

(a) ¬∃x(BratOd(x, ivica) ∨ SestraOd(x, ivica)) 

(b) ∃x(otac(marica) =x ∧ SinOd(x, otac(ivica))) 

(c) ∀x[Kocka(x) →∀y((Tetraedar(y) ∧ Ispred(y,x)) → 

ManjiOd(x, y))] 

(d) ∀x∀y[(Kocka(x) ∧ Tetraedar(y) ∧ Ispred(y, x)) → ManjiOd(x, y)] 

66. Pretpostavimo da su prve dvije rečenice iz prethodnog zadataka istinite (6.a i 

6.b). Je li tada rečenica otac(marica) =otac(ivica) istinita rečenica? Ako 

nije, preoblikujte ju, bilo dodavanjem bilo uklanjanjem funkcijskog simbola

293 

otac, tako da dobijete istinitu rečenicu! 

67. Dokažite neformalnim načinom donju tvrdnju: Rečenica S je tautološka 

posljedica skupa rečenica T ako i samo ako skup T ∪{¬S} nije zadovoljiv 

pod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti. 

68. Zadane su sljedeće rečenice iskazane u jeziku logike prvoga reda: 

(i) ∃x[Kocka(x) ∧∀z(Kocka(z) → z = x)] 

(ii) ∀x[(Kocka(x) ∧∃y(Tetraedar(y) ∧ Iza(x, y))) → (¬Velik(x) ∧¬SrednjeV elicine(x))] 

(iii) ∃x[Dodekaedar(x) ∧∃y∃z Izmedju(x, y, z)] 

(iv) ∀x∀y[x = y → (Kocka(x) ↔ Kocka(y))] 

(v) ∃x[Kocka(x) →∀yKocka(y)] 

(vi) ∃x[Tetraedar(x) ∧∀y¬Ispred(y,x)] 

(vii) ∀x∀y∀z∀u[x = y ∨ x = z ∨ x = u ∨ y = z ∨ y = u ∨ z = u] 

(viii) ∀x∀y IsteVeličine(x, y) 

(ix) ∀x∀y¬LijevoOd(x, y) 

(x) ∀xT etraedar(x) → (∃y Velik(y) →∀xT etraedar(x)) 

(a) Procijenite istinitosnu vrijednost zadanih rečenica u svijetu na donjoj 

slici. Peterokut predstavlja dodekaedar, kvadrat predstavlja kocku, 

a trokut predstavlja tetraedar. Tetraedar je malen, kocke su srednje 

veličine, a dodekaedar je velik. 

Svijet 1.


40 

(b) [5*] Procijenite istinitosnu vrijednost zadanih rečenica u svijetu na 

donjoj slici. Na slici nalazimo tri srednje velika predmeta: tetraedar, 

dodkeadar i kocku. Dodekaedar se nalazi izme ¯du tetraedra i kocke. 

Svijet 2. 

(c) Rečenice (ii) i (viii) iskažite u prirodnom jeziku! 41 

(d) [4#] Odredite "svijet" u kojemu će sve zadane rečenice biti istinite i 

prikažite ga u novoj tablici tako da u polju na kojem se nalazi neki 

predmet upišete njegov skraćeni opis. Na primjer, skraćeni opis za veliku 

kocku koja se nalazi u prvom retku i krajnjem desnom stupcu upisali 

bismoutablicuovako: 

VK 

40 

(i) ⊥ 

(ii) ⊥ 

(iii) ⊥ 

(iv) > 

(v) > 

(vi) ⊥ 

(vii) ⊥ 

(viii) ⊥ 

(ix) ⊥ 

(x) > 

41 

(ii) Nijedna kocka koja je iza nekog tetraedra nije ni velika niti srednje velika. (viii) Svi su 

predmeti jednake veličine.

295 

42 

(e) Oslanjajući se na prethodno rješenje, djelomično opišite strukturu prvog 

reda M u kojoj su sve zadane rečenice (i)-(x) istinite i u kojoj predikati 

imaju uobičajeno tumačenje 43 . U rješenju najprije trebate odredite 

domenu 44 , M(∀), a zatim trebate odrediti ekstenziju sljedećih predikata: 

=, Iza, IsteV elicine, Dodekadar, Izmedju. 45 

(f) Za svaku zadanu rečenicu (i)-(x) odredite je li ona valjana rečenica 

prvog reda! Ako rečenica koju razmatrate jest valjana rečenica prvog 

reda, upišite ’V’, u protivnom upišite ’Ne’. Ako je neka od rečenica - 

tautologija, dodajte slovo ’T’ oznaci koju ste upisali na osnovi prethodne 

upute. 46 

69. Izradite dokaze za sljedeće valjane zaključke (argumente), zapisane u obliku 

premisa(−e) ` konkluzija. 

42 

MK 

MD 

MT 

43 

Na primjer, ako je neki binarni predikat P refleksivanuuobičajenom tumačenju, to se 

svojstvo mora "vidjeti" i u njegovoj ekstenziji M(P ); tj. tada mora vrijediti 

∀x[x ∈ M(∀) →hx, xi ∈M(P )]. 

44 

45 

46 

Elementima domene dodijelite proizvoljne oznake. 

(i) M(∀) ={o 1 ,o 2 ,o 3 } 

(ii) M(=) = {ho 1 

,o 1 i , ho 2 

,o 2 i , ho 3 ,o 3 i} 

(iii) M(Iza)={ o 2 ,o 1 , ho 3 ,o 1 i , 

o 3 , o 2 } 

(iv) M(IsteV eličine) ={ho 1,o 1i , ho 2,o 2i , ho 3,o 3i , ho 1,o 2i , ho 1,o 3i , ho 2,o 1i , ho 2,o 3i , ho 3,o 1i , ho 3,o 2i} 

(v) M(Dodekaedar) ={ o 2 } 

 

(vi) M(Izmedju)={ o 2 ,o 1,o 3 , o 2 ,o 3,o 1 

} 

(i) Ne 

(ii) Ne 

(iii) Ne 

(iv) V 

(v) V 

(vi) Ne 

(vii) Ne 

(viii) Ne 

(ix) Ne 

(x) VT


(a) [2#] ∀x∀yR(x, y) `∀xR(x, x), 47 

(b) [2#] ∀x(P (x) →¬M(x)), ∃x(S(x) ∧ M(x)) `∃x(S(x) ∧¬P (x)), 48 

(c) [2#] ¬∃x(P (x) →∀yP(y)) `∃x(P (x) →∀yP(y)). Nadopunite 

47 

48

297 

dokaz! 

49 

(c*) Osvrćući se na činjenicu da smo u prethodnom dokazu pomoću 

negacije jedne rečenice, tj. ¬∃x(P (x) →∀yP(y)) dokazali 

njezinu afirmaciju, tj. ∃x(P (x) →∀yP(y)) štomožemoreći o 

zadovoljivosti i valjanosti svake me ¯du njima? 50 

49 

50 

¬∃x(P (x) →∀yP(y)) je nezadovoljiva rečenica; ∃x(P (x) →∀yP(y)) je valjana. 

Objašnjenje. *(¬∃x(P (x) →∀yP(y)) je nezadovoljiva)* Pretpostavimo da {¬R} `R. 

Trebamo dokazati da je ¬R nezadovoljiva rečenica, a R valjana rečenica. Pretpostavimo da je ¬R 

zadovoljiva rečenica. Po definiciji zadovoljivosti, tada postoji struktura prvog reda M takva da 

M ² ¬R. Po teoremu pouzdanosti, ako {¬R} `R, onda{¬R} ² R. Budući da lijeva strana 

vrijedi po pretpostavci, vrijedi {¬R} ² R, tj. da je R posljedica prvog reda od ¬R. Budući da je 

¬R zadovoljiva, dodjelimo ime strukturi u kojoj je ta rečenica istinita M1 ² ¬R. No po definiciji 

posljedice prvog reda, tada M1 ² R. No po definiciji zadovoljavanja nije moguće da bude slučaj 

da i M1 ² ¬R i M1 ² R. Uspostavljena kontradikcija pokazuje da pod pretpostavkom


70. Intuitivno gledajući, rečenica ’Q predmeta koji zadovoljavaju uvjet A 

zadovoljava uvjet B’, ili Qx(A(x),B(x)) pokazuje da skup A (skup 

predmeta koji zadovoljavaju A(x) u strukturi M) iskupB (skup predmeta 

koji zadovoljavaju uvjet B(x) ustrukturiM) ostvaruju neki odnos Q 51 . 

(’|a|’ označava koliko članova ima skup a, označava njegovu "kantorovsku 

veličinu", njegov kardinalitet.) 

(a) Koji kvantifikatori odgovaraju sljedećim binarnim relacijama me ¯du 

skupovima? Svoje rješenje iskažite odgovarajućom rečenicom u kojoj se 

traženi kvantifikator javlja. Na primjer, za A ⊆ B upisali bismo ’Svi A 

su B’, a za |A ∩ B| =1upisali bismo ’Točno jedan A jest B’. Zadane 

su sljedeće relacije: 

I. A ∩ B = ∅, 

II. A ∩ B 6= ∅, 

III.|A ∩ B| > |A − B|. 52 

(b) U ovom dijelu zadatka krenut ćemo u spuprotnom smjeru. Odredite 

relaciju koja odgovara kvantifikatoru koji se javlja u zadanim 

rečenicama! 

I. Barem tri A su B. 

II. Svi osim jednog A su B. 53 

71. Nadopunite dokaz tvrdnje (*) s induktivnim korakom za slučaj konjunkcije. 

U dokazu se možete poslužiti sljedećom lemom. [Lema] Neka je T formalno 

konzistentan i formalno potpun skup rečenica i neka su R i S proizvoljne 

rečenice, 

T `T (R ∧ S) akko T `T R i T `T S. 

[Tvrdnja] (*) Svaki formalno konzistentan, formalno potpun skup rečenica 

je it-zadovoljiv 54 . [Dokaz] Neka je T formalno konzistentan, formalno 

potpun skup. Definirajmo dodjeljivanje h istinitosnih vrijednosti za atomarne 

rečenice na sljedeći način. Ako T `T A onda h(A) =>, a u protivnom 

slučaju, neka je h(A) =⊥. Onda je funkcija ĥ definirana za sve rečenice, 

{¬R} `R ne može biti slučaj da je ¬R zadovoljivo. *(∃x(P (x) →∀yP(y)) je valjana) 

Negacija nezadovoljive rečenice je valjana rečenica. Za svrhu vježbe, dokažite to. 

51 

Zato je prirodni način za interpretiranje generaliziranog kvantifikatora onaj koji ga tretira kao 

binarnu relaciju na ℘M(∀). 

52 

(i) (ii) (iii)Neki A su B. 

(iv)Nijedan A nije B. 

(v)Većina A je B. 

53 

(i) (ii) (iii)|A ∩ B| = 3 

(iv)|A − B| =1∧ A ∩ B 6= ∅ 

54 

It-zadovoljiv znači zadovoljiv pod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti.

299 

bile one atomarne ili složene. Naša tvrdnja tada glasi: 

za svaku isf-u S, ĥ(S) => akko T `T S 

Za dokazati ovu tvrdnju, moramo se poslužiti indukcijom. Osnovni korak: 

Tvrdnja vrijedi za sve atomarne rečenice zbog načina kako smo ovdje 

definirali h (tj. istinitost se poklapa s dokazivošću) i zbog definicije funkcije 

ĥ (tj. njezina vrijednost se podudara s vrijednošću za h kod atomarnih 

rečenica)... [Nastavite!] 55 

72. Dokažite pouzdanost pravila = Elim nastavljajući donji dokaz! [Dokaz] 

Pretpostavimo da n-ti korak derivira rečenicu P (b) putem primjene pravila 

= Elim nad rečenicama P (a) i a = b koje se javljaju u koracima i i j. Neka 

su A 1 ,...,A n .pretpostavke na snazi u koraku n. Pravila dokazivanja jamče 

da se pretpostavke za korake i i j nalaze me ¯du pretpostavkama A 1 ,...,A n . 

Po induktivnoj hipotezi koraci i i j posljedice su prvoga reda pretpostavki 

na snazi u tim koracima. Moramo pokazati da je tada i P (b) posljedica 

prvoga reda pretpostavki A 1 ,...,A n .. Za tu svrhu pretpostavimo da je 

M proizvoljna struktura prvoga reda u kojoj je svaka rečenica A 1 ,...,A n 

istinita. Po induktivnoj hipotezi, (i) M ² P (a) i (ii) M ² a = b. Po definiciji 

zadovoljavanja, iz (i) slijedi da ....[Nastavite!] 56 

55 

Induktivni korak: ako tvrdnja vrijedi za R i S, onda ona vrijedi i za rečenice koje nastaju na 

osnovi pravila tvorbe, a u ovom posebnom slučaju - za konjunkciju: (R ∧ S). Trebamo potvrditi 

da ĥ(R ∧ S) => akko T `T (R ∧ S). Za ’samo ako’ dio, pretpostavimo ĥ(R ∧ S) => Onda 

po definiciji za ĥ: ĥ(R) => i ĥ(S) =>. Po hipotezi indukcije, vrijedi i T `T R i T `T S. 

No tada po lemi, T `T (R ∧ S), a upravo smo to htjeli dokazati. U suprotnom ’ako’ smjeru, 

pretpostavimo T `T (R ∧ S). TadapolemiT `T R i T `T S. Po hipotezi indukcije (istinitost 

i dokazivost se poklapaju), tada vrijedi ĥ(R) => i ĥ(S) =>. A po definiciji funkcije ĥ, 

prethodno povlači ĥ(R ∧ S) => A to smo i htjeli dokazati. 

56 

Pretpostavimo da n-ti korak derivira rečenicu P (b) putem primjene pravila = Elim nad 

rečenicama P (a) i a = b koje se javljaju u koracima i i j. NekasuA 1 ,...,A n .pretpostavke 

na snazi u koraku n. Pravila dokazivanja jamče da se pretpostavke za korake i i j nalaze 

me ¯du pretpostavkama A 1, ..., A n Po induktivnoj hipotezi koraci i i j posljedice su prvoga 

reda pretpostavki na snazi u tim koracima. Moramo pokazati da je P (b) posljedica prvoga 

reda pretpostavki A 1 , ..., A n .. Za tu svrhu pretpostavimo da je M proizvoljna struktura prvoga 

reda u kojoj je svaka rečenica A 1, ..., A n istinita. Po induktivnoj hipotezi, M ² P (a) i 

M ² a = b. Po definiciji zadovoljavanja, iz (i) slijedi da [[a]] M g ∅ 

∈ M(P ), a iz (ii) slijedi 

 

da 

[[a]] M g ∅ 

, [[b]] M g ∅ 

∈ M(=). Po definiciji strukture prvoga reda, za svaku M vrijedi 

M(=) = {hx, xi |x ∈ M(∀)}. Iz prethodnoga slijedi da [[a]] M g ∅ 

=[[b]] M g ∅ 

,pazatopo 

nerazlučivosti identičnog, [[b]] M g ∅ 

∈ M(P ). Po definiciji zadovoljavanja, tada vriijedi M ² P (b). 

Generalizirajući dobivamo da svaka struktura prvoga reda u kojoj su istinite sve pretpostavke koje 

su na snazi u koracima u kojima se javljaju rečenice P (a) i a = b jest struktura u kojoj je istinita 

rečenica P (b).


28.1 Literatura za pripremu ispita 

28.1.1 Obavezna literatura 

Barwise, Jon i Etchemendy, John (2000) Language, Proof and Logic. CSLI Publications. 

Center for the study of Language and Information Stanford University. 

Seven Bridges Press. New York·London. 

Nagel, Ernest i Newman, James R. (2001) Gödelov dokaz. Zagreb: Kruzak 

Novija filozofija matematike. (1987) priredio Zvonimir Šikić. Beograd : 

Nolit 

28.1.2 Dopunska i izborna literatura 

Boolos, George S. i Jeffrey, Richard C. (1989) Computability and Logic. Cambridge 

University Press. 

L.T.F. Gamut [J. van Benthem, J. Groenendijk, D. de Jongh, M. Stokof, H. 

Verkuyl] (1991) Logic, Language and Meaning. Volume II: Intensional Logic 

and Logical Grammar. The University of Chicago Press. Chicago-London. 

Gödel, Kurt. O formalno neodlučivim stavcima Principia Mathematica i 

srodnih sustava (u Nagel, Ernest i Newman, James R. (2001)) 

Jeffrey, Richard. Formal Logic: its Scope and Limits. (1989) McGraw-Hill 

Book Company 

Historija logike. (1970) uredio A. N. Prior. Zagreb: Naprijed 

Kovač, Srećko. Uvod u elementarnu logiku (skripta). (2002) Zagreb: Institut 

za filozofiju (http://filist.fizg.hr/~skovac/page3.html) 

Kovač, Srećko. Nacrt modalne logike (skripta). (2004) Zagreb: Institut za 

filozofiju (http://filist.fizg.hr/~skovac/Modalnahttp.pdf) 

Quine, Willard Van Orman. Methods of Logic. (1978) London: Routledge & 

Kegan Paul 

Šarić, Ljiljana. Kvantifikacija u hrvatskome jeziku.(2002) Zagreb: Institut za 

hrvtaski jezik i jezikoslovlje 

Švob, Goran. Frege: pojmovno pismo. (1992) Zagreb: Naprijed 

Vuković, Mladen. MatematičkalogikaI.(2000) Zagreb: PMF – Matematički 

odjel 

Wittgenstein, Ludwig (1987) Tractatus Logico-Philosophicus. Sarajevo: V.Masleša

-priručnikdoc.dr.sc

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?