-priručnikdoc.dr.sc

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 35
manja od složenosti S-a. Zato,
{λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`λ h (A),
to jest, . {λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`A,
i
{λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`λ h (B),
to jest, {λ h (P 1 ),...,λ h (P n )}`¬B.
Pomoćni korak koristi teorem A → (¬B →¬(A → B)) i do traženog se lako
dolazi. (3) U trećem koraku povezujemo prethodna dva. Trebamo dokazati da
ako je K tautologija, da je tada K teorem, ` K. Toćemo učiniti eliminirajući
pretpostavku po pretpostavku u smjeru s lijeva na desno. Najprije pokažimo da
možemo ukloniti P n . Definirajmo dva vrednovanja: h + tako da za svaki i ∈
{1, .., n} vrijedi h + (P i )=>,teh − tako da za svaki i ∈{1,..,n− 1} h − (P i )=
> a h − (P n )=⊥. Primjenom (*) dobivamo {λ h +(P 1 ),...,λ h +(P n )}`K. i
{λ h− (P 1 ),...,λ h −(P n )}`K. Primjena teorema dedukcije daje
.i
{λ h +(P 1 ),...,λ h +(P n−1 )}`λ h +(P n ) → K,
to jest, {P 1 ,...,P n−1 }`P n → K,
{λ h− (P 1 ),...,λ h −(P n−1 )}`λ h −(P n ) → K,
to jest, {P 1 ,...,P n−1 }`¬P n → K.
Koristeći pomoćni korak po kojemu ako Γ ` A → B i Γ `¬A → B, onda
Γ ` B, dobivamo {P 1 ,...,P n−1 } ` K. Istovrsni postupak treba primijeniti
redom na preostale pretpostavke i na kraju ćemo dobiti ono što smo htjeli: ` K.
3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda)
"Tableaux" sustave uveo je nizozemski logičar Evert Beth u 50-tim godinama
dvadesetog stoljeća. Temeljito ih proučava Raymond Smullyan. Pedagoški gledano,
one su lake za korištenje jednom kada se nauče pravila. Slabost proizlazi iz
činjenice da ne odgovaraju stvarnom deduktivnom zaključivanju, u čemu, inače,
leži glavna prednost sustava prirodne dedukcije.
Sam sustav leži negdje izme ¯du semantike i sintakse. Semantičko obilježje
proizlazi iz činjenice da se gradnjom stabla opisuju minimalne okolnosti u kojima
su sve rečenice iz nekog skupa istinite. Sintaktička strana proizlazi iz činjenice
da se na rečenicama primjenjuju pravila zaključivanja (u kojima se neki istinitosnofunkcionalni
veznik uklanja).
Tablica je stablo (koje raste odozgo prema dolje). Stablom se naziva. struktura
koja ima početnu točku i gdje svaka točka, s iznimkom korijena, ima točno
jednog od sebe različitog neposrednog prethodnika.