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Eloy Dimas Celestino Maestría en Ciencias con Especialidad en Ingeniería Industrial Las constantes c 1 , c 2 , …, c n se interpretan como los coeficientes de ganancia por unidad de producción de las actividades x 1 , x 2 , …, x n ; a ij es la cantidad del recurso i consumida por una unidad de actividad j; y b 1 es la cantidad disponible del recurso i, para i = 1, …, n. se requiere que las constantes b 1 , …, b m , no sean negativas. Esta formulación particular se aplica a problemas en los que se desea maximizar la ganancia, con apego a las restricciones de los recursos de las variables. Pero, también se puede usar para resolver otros tipos de problemas, como se mencionó anteriormente. TÉRMINOS DE USO COMÚN Los siguientes términos son utilizados de manera general por cualquier autor o persona que trabaje con programación lineal y que, independientemente de la definición que se le quiera dar, matemáticamente tiene la misma aplicación, dichos términos son: 1. Función objetivo. es la cantidad que se desea maximizar o minimizar. Normalmente. se usan las abreviaturas “min” para un problema de minimización y “max” para uno de maximización. 2. Restricciones. Cada restricción es una desigualdad o una ecuación lineal; esto es, una combinación lineal de las variables del problema seguida de un operador relacional (≤, = ó ≥) al que sigue una constante no negativa. 3. Lado derecho. Es la constante que sigue al operador relacional en una restricción. Y se refiere a los recursos escasos a aplicar. 4. Región factible. Es el conjunto de los valores de las variables de decisión, x 1 , x 2 , …, x n que satisfacen las restricciones. 5. Puntos Extremos. Debido a la estructura de la región factible, habrá una cantidad finita de puntos factibles cuya propiedad es que no pueden expresarse como una combinación lineal de cualquier otro conjunto de puntos factibles. Esos puntos se llaman puntos extremos, o puntos de esquina, y desempeñan un papel importante en la programación lineal. 6. Solución factible. Es un conjunto particular de valores de las variables de decisión que satisface las restricciones. Puede ser un punto extremo o un punto interior. 7. Solución optima. Es la solución factible que maximiza o minimiza la función objetivo. en algunos casos, la solución óptima puede no ser única. En esos casos habrá una cantidad infinita de soluciones óptimas. MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES. Taha, expone que el modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos. 1. Las variables de decisión que se tratan de determinar. 2. El objetivo que se trata de optimizar. 3. Las restricciones que se deben satisfacer. La definición correcta de las variables de decisión es un primer paso esencial en el desarrollo del modelo, posteriormente, la tarea de construir la función objetivo y las restricciones se hace en forma más directa. Usualmente, nos encontramos con problemas de más variables, pero para fines de explicación se expone el siguiente ejemplo de dos variables. 34
Eloy Dimas Celestino Maestría en Ciencias con Especialidad en Ingeniería Industrial La compañía Reddy Mikks 13 Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla 2.1 proporciona los datos básicos del problema. Toneladas de materia prima de Materia prima, M1 Materia prima, M2 Utilidad por Ton (miles de $) Pinturas para Exteriores 6 1 5 Pinturas para Interiores 4 2 4 Disponibilidad diaria máxima (ton) 24 6 Tabla 2.1 Datos de problema Fuente: elaboración propia con base en el libro Taha, Hamdy A. (2004). Investigación de operaciones. 7ª edición, editorial Pearson Prentice Hall. México. P. 12. Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. Lo que la empresa Reddy Mikks desea es, determinar la mejor combinación de ventas de sus productos (pintura para exteriores e interiores) para obtener la mayor utilidad diaria total. Para ello, se debe determinar las cantidades de pinturas para interiores y exteriores que se deben producir para alcanzar la mayor utilidad. Por lo que la definición de las variables de decisión del modelo se define como sigue: x 1 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores x 2 = Toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores nota: x 1 , x 2 , pueden ser cualquier tipo de producto para otros problemas o casos. Para formar la función objetivo, que es la expresión matemática con la cual se va a determinar la máxima utilidad de la empresa en todo lo posible. Si z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así: Maximizar z = 5x 1 + 4x 2 Para la definición de las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda. Las restricciones en materias primas se expresan verbalmente como sigue: Uso de una materia prima ≤ disponibilidad máxima Para ambas pinturas de materia prima Según los datos del problema, Uso de la materia prima M1, por día = 6x 1 + 4x 2 toneladas Uso de la materia prima M2, por día = 1x 1 + 2x 2 toneladas 13 Taha, Op. Cit., p. 12 35
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