vector

Vectors 411
=
i j k
x y z
x y z
2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2
( x y z ) ( x y z ) ( x y z )
3 2yz
3 2yz
2 ( x y z ) 2 ( x y z )
= i
2 2 2 5/2 2 2 2 5/2
= 0
Hence, F is irrotational.
F = , where is called scalar potential
d = dx
dy
dz
x y z
= i j k .( i dx jdy kdz)
x y z
xi yj
zk
= .(
idx jdy kdz )
2 2 2 3/2
( x y z )
1 2xdx 2y dy 2zdz
=
2 2 2 3/2
2
( x y z )
=
Now, Div F
= .F
=
3 2xz
3
2xz
j
2
( x y z ) 2
( x y z )
3 2xy
3
2xy
k
2
( x y z ) 2
( x y z )
1
2 2 2 2
2 2 2 5/2 2 2 2 5/2
2 2 2 5/2 2 2 2 5/2
[Total differential coefficient]
= . dr Fdr .
xdx y dy zdz
= 2 2 2 3/2
( x y z )
1
2
1 1
( x y z )
1
2
1
| r |
2 2 2
( x y z ) 2
xi yj
zk
= i j k . (
2 2 2 )
3/2
x y z
x y z
x y z
x ( x y z ) y ( x y z ) z
( x y z )
2 2 2 3/2 3
2 2 2 1/2
( x y z ) (1) x
( x y z ) (2 x)
2
2 2 2 3
( x y z )
=
2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2
Ans.
2 2 2 3/2 3
2 2 2 1/2
( x y z ) (1) y
( x y z ) (2 y)
2
2 2 2 3
( x y z )
2 2 2 3/2 3
2 2 2 1/2
( x y z ) (1) z
( x y z ) (2 z)
2
2 2 2 3
( x y z )