CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
6.1.2. Concavidad y el criterio de la segunda derivada
Denición .19 Sea f derivable en un intervalo abierto. Diremos que la gráca de f es cóncava
hacia arriba si f 0 es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f 0 es decreciente en el
intervalo.
Teorema .14 Criterio de concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I, la gráca de f es cóncava hacia arriba.
2. Si f 00 (x) < 0 para todo x en I, la gráca de f es cóncava hacia abajo.
Ejemplo .71 Hallar los intervalos abiertos donde la gráca de f (x) =
hacia arriba o hacia abajo.
6
x 2 + 3
es cóncava
Solución: Comenzamos observando que f es continua en toda la recta. Calculamos su segunda
derivada
f (x) = 6 x 2 + 3 1
f 0 (x) = ( 6) (2x) x 2 + 3 2
=
12x
(x 2 + 3) 2
f 00 (x) = 36 (x2 1)
(x 2 + 3) 3
Como f 00 (x) = 0 cuando x = 1 y f 00 está denida en toda la recta real, probamos f 00 en los
intervalos ( 1; 1) ; ( 1; 1) y (1; 1). Los resultados se recogen en la tabla y en la gura
siguiente.
Intervalo 1 < x < 1 1 < x < 1 1 < x < 1
Valor prueba x = 2 x = 0 x = 2
Signo de f 00 (x) f 0 ( 2) > 0 f 00 (0) < 0 f 0 (2) > 0
conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Arenas A. 98 Camargo B.