CÁLCULO DIFERENCIAL

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6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial Ejemplo .75 Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar para tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qué dimensiones maximizaran el área del corral Solución: La magnitud a maximizar es el área. de donde, a = x y 2x + y = 200 ! y = 200 2x a = x (200 2x) = 200x 2x 2 a 0 (x) = 200 4x ! 200 4x = 0 ! x = 50 Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada: Luego la solución es x = 50 e y = 100. a 00 (x) = 4 =) a 00 (50) = 4 ! Máximo Ejemplo .76 Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja del máximo posible Solución: La magnitud a maximizar es el volumen. v = x (8 2x) (5 2x) = 4x 3 26x 2 + 40x Arenas A. 102 Camargo B.
6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial de donde luego: v 0 (x) = 12x 2 52x + 40 =) 12x 2 52x + 40 = 0 ! 3x 2 13x + 10 = 0 x = 13 p 169 120 6 = 13 p 49 6 = 13 7 6 x = 3 = 0 3 no válida x = 1 Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada: v 00 (x) = 24x 52 =) a 00 (1) = 28 ! Máximo Ejemplo .77 Deseamos construir una lata cilíndrica con 40 cm 3 de capacidad. El material del fondo y de la tapa es dos veces más caro que el del lateral. Hallar el radio y la altura de la lata más económica. Solución: La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio por unidad de super- cie del lateral es p el de las bases será 2p, con lo que resulta: S b = r 2 + r 2 = 2r 2 2p coste Sb = 4r 2 p c = 4r 2 p + 2rhp S t = 2rh p coste S t = 2rhp y teniendo en cuenta que v = 40 resulta r 2 h = 40 ! h = 40 de donde, r2 luego, c 0 (r) = 8rp 8rp c = 4r 2 p + 2rhp = c = 4r 2 p + 2r 40 r 2 p = 4r2 p + 80 r p 80 p, con lo que resulta, r2 80 r p = 0 ! 8r 80 2 r = 0 ! 8r 80 ! r 3 = 80 2 r 2 8 = 10 Comprobamos que realmente se trata de un mínimo, a partir de la segunda derivada: la altura correspondiente será: h = q 40 = 3 100 2 c 00 (r) = 8 + 160 r 3 =) c 00 (r) > 0 ! Mínimo 40 q = 40 r r 1000 10 3p = 4 3 3 100 3 100 100 = 4 3 = 4r 2 ! r = 3 r 10 Arenas A. 103 Camargo B.
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