CÁLCULO DIFERENCIAL

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .65 Hallar los extremos absolutos de la función:
f (x) = 3 jx 2j
en el intervalo [1; 4]
Solución: Para hallar la derivada de la función eliminamos el valor absoluto,
3 (x 2) si x 2 5 x si x 2
f (x) = 3 jx 2j =
3 ( x + 1) si x < 2 = 1 + x si x < 2
Con lo cual, la función derivada es:
1. Hallamos los puntos críticos:
f 0 (x) =
1 si x > 2
1 si x < 2
a) Puntos en los que la derivada no está denida: x = 2
b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen.
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
f (1) = 2
f (2) = 3 Máximo
f (4) = 1 Mínimo
b) Máximos y mínimos absolutos en intervalos abiertos
Para hallar el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo abierto se “cierra”
el intervalo hallando los límites de la función en los extremos del mismo.
Ejemplo .66 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) =
Solución: Hallamos la derivada de la función,
f 0 (x) = 2x (x2 + 1) x 2 2x
(x 2 + 1) 2 = 2x3 + 2x 2x 3
(x 2 + 1) 2 =
1. Hallamos los puntos críticos:
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen.
b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 ! x = 0.
x2
en todo R.
x 2 + 1
2x
(x 2 + 1) 2
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los “extremos” del
intervalo:
Arenas A. 92 Camargo B.