CÁLCULO DIFERENCIAL

CÁLCULO DIFERENCIAL
Amaury Camargo y Favián Arenas A.
Universidad de Córdoba
Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías
Departamento de Matemáticas

Cálculo Diferencial
UNIDAD 4
6. Aplicaciones de la derivada
6.1. Máximos y mínimos absolutos
a) En intervalos cerrados
Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces alcanza un
máximo y un mínimo en dicho intervalo.
El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados:
1. En puntos donde f 0 (x) = 0
2. En puntos donde f 0 (x) no está denida
3. En los extremos del intervalo.
Puntos críticos de una función: Se llaman puntos críticos de una función a los puntos en los
que la derivada sea nula o no esté denida.
Cálculo del máximo y del mínimo absoluto: Para hallar el máximo y el mínimo absoluto de
una función continua en un intervalo cerrado.
1. Se hallan los puntos críticos.
2. Se halan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. El
mayor valor obtenido es el máximo absoluto y el menor el mínimo.
Arenas A. 90 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Observación .7 Si la función no es continua el método anterior no es valido, ya que los valores
de la función en los puntos críticos no determinan nada.
Ejemplo .63 Hallar los extremos absolutos de la función
en el intervalo [0; 3].
Solución:
1. Hallamos los puntos críticos:
f (x) = 2x 3 3x 2 12x + 15
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen ya que f 0 (x) = 6x 2 6x
12 está denida en todo R.
b) Puntos en los que la derivada vale cero:
6x 2 6x 12 = 0 ! x 2 x 2 = 0 ! x
= 1 p 1 + 8
= 1 + 3 2
=
2 2 1
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
f (0) = 15
Máximo
f (2) = 16 12 24 + 15 = 5 Mínimo
f (3) = 54 27 36 + 15 = 6
Ejemplo .64 Hallar los extremos absolutos de la función:
f (x) = x 5
x
en el intervalo [2; 4]
Solución:
1. Hallamos los puntos críticos:
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen ya que f 0 (x) = 5x 4 1
está denida en todo R.
b) Puntos en los que la derivada vale cero:
5x 4 1 = 0 ! x 4 = 1 5
! x = r
1
5
=2 [2; 4]
Luego no existe ningún punto crítico dentro del intervalo, por tanto:
2. Comparamos los valores de la función en los extremos del intervalo:
f (2) = 30
f (4) = 1020
Mínimo
Máximo
Arenas A. 91 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .65 Hallar los extremos absolutos de la función:
f (x) = 3 jx 2j
en el intervalo [1; 4]
Solución: Para hallar la derivada de la función eliminamos el valor absoluto,
3 (x 2) si x 2 5 x si x 2
f (x) = 3 jx 2j =
3 ( x + 1) si x < 2 = 1 + x si x < 2
Con lo cual, la función derivada es:
1. Hallamos los puntos críticos:
f 0 (x) =
1 si x > 2
1 si x < 2
a) Puntos en los que la derivada no está denida: x = 2
b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen.
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
f (1) = 2
f (2) = 3 Máximo
f (4) = 1 Mínimo
b) Máximos y mínimos absolutos en intervalos abiertos
Para hallar el máximo y el mínimo de una función continua en un intervalo abierto se “cierra”
el intervalo hallando los límites de la función en los extremos del mismo.
Ejemplo .66 Hallar los extremos absolutos de la función: f (x) =
Solución: Hallamos la derivada de la función,
f 0 (x) = 2x (x2 + 1) x 2 2x
(x 2 + 1) 2 = 2x3 + 2x 2x 3
(x 2 + 1) 2 =
1. Hallamos los puntos críticos:
a) Puntos en los que la derivada no está denida: No existen.
b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 ! x = 0.
x2
en todo R.
x 2 + 1
2x
(x 2 + 1) 2
2. Comparamos los valores de la función en los puntos críticos y en los “extremos” del
intervalo:
Arenas A. 92 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
y =
x2
x 2 + 1
x 2
f ( 1) = lm
x ! 1x 2 + 1 = 1
f (0) = 0 ! Mínimo
f (+1) = lm
x !+1
x 2
x 2 + 1
6.1.1. Máximos y mínimos relativos o locales
Crecimiento y decrecimiento.
decreciente donde es negativa.
= 1 Luego la función no tiene máximo
Una función es creciente allí donde su derivada es positiva y
8x 2 (a; b) ; f 0 (x) 0 =) f es creciente en (a; b)
8x 2 (a; b) ; f 0 (x) 0 =) f es decreciente en (a; b)
Estudios de los máximos y mínimos locales a partir del signo de la primera derivada.
Teorema .13 Criterio de la primera derivada.
sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si
f es derivable en el intervalo, escepto quizá en c, f(c) puede clasicarse como sigue:
1. Si f 0 cambia de negativa a positiva en c; f(c) es un mínimo relativo de f:
2. Si f 0 cambia de positiva a negativa en c; f(c) es un máximo relativo de f:
3. Si f 0 no cambia su signo en c; f(c) no es ni máximo ni mínimo relativo f:
Arenas A. 93 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .67 Estudiar los extremos relativos y absolutos de la función f (x) =
R.
Solución: f es continua en todo R, ya que 1 + x 2 no se anula nunca.
Puntos críticos:
x
en todo
1 + x2 f 0 (x) =
(1 + x2 ) + x (2x)
(1 + x 2 ) 2 = 1 x2 + 2x 2
(1 + x 2 ) 2 = x2 1
(1 + x 2 ) 2
de donde:
f 0 (x) = 0 ! x 2 1 = 0 ! x = 1
1. Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada.
f 0 ( 2) = 4 1
(1 + 4) 2 = 3 25 = +
f 0 (0) = 1
1 = 1 =
f 0 (2) = 4 1
(1 + 4) 2 = 3 25 = +
Con lo cual hay un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 1
2. Extremos absolutos: hallamos los valores de la función en los punto críticos y en los
Arenas A. 94 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
extremos del intervalo.
y =
x
1 + x 2
x
f ( 1) = lm
x ! 11 + x = 0 2
f ( 1) = 1 ! Máximo absoluto
2
f (1) = 1 ! Mínimo absoluto
2
x
f (+1) = lm
x !+11 + x = 0 2
Ejemplo .68 Encontrar los extremos relativos de la función f (x) = x + 4 x
en R.
Solución: La función es continua en R f0g
Puntos críticos. Hallamos la derivada de la función
f 0 (x) = 1
4
x 2
y = x + 4 x
1. Puntos donde la derivada no esta denida. x = 0
Arenas A. 95 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
2. Puntos donde la derivada vale cero:
f 0 (x) = 0
! x = 2
Intervalos de crecimiento:
f 0 4
( 3) = 1
9 = + ! Creciente
f 0 ( 1) = 1 4 = ! Decreciente
f 0 (1) = 1 4 = ! Decreciente
f 0 (3) = 1
4
9 = + ! Creciente
Ejemplo .69 Usar el criterio de la primera derivada para hallar todos los máximos y mínimos
relativos de la función dada por:
Solución:
f (x) = 2x 3 3x 2 36x + 14
f 0 (x) = 6x 2 6x 36 = 0; hacemos f 0 (x) = 0
6 x 2 x 6 = 0
6 (x 3) (x + 2) = 0
x = 2; 3; Números criticos
La tabla a continuación muestra un formato adecuado para la aplicación del criterio de la
primera derivada.
Intervalo 1 < x < 2 2 < x < 3 3 < x < 1
Valor prueba x = 3 x = 0 x = 4
Signo de f 0 (x) f 0 ( 3) > 0 f 0 (0) < 0 f 0 (x) > 0
conclusión Creciente Decreciente Creciente
De la tabla anterior concluimos que hay un máximo relativo en x =
en x = 3. La gura siguiente muestra la gráca de f.
2 y un mínimo relativo
Arenas A. 96 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .70 Hallar los extremos relativos de y = x3
2x 2 + 3x + 1
3
Solución: Empezamos haciendo constar que f es continua en toda la recta real. Su derivada
1. Hallamos la primera derivada
y 0 = x 2 4x + 3
2. Calculamos los puntos criticos, osea, la raices de la derivada:
x 2 4x + 3 = 0
x 1 = 1; x 2 = 3
3. La derivada es continua en todos los puntos y por tanto no existen otros puntos criticos.
4. Analizamos los valores criticos y los resultados los llevamos a la gura que se muestra
enseguida.
El primer punto criticos es x 1 = 1; como y 0 = (x 1) (x 3) ; resulta que:
para x < 1 se tiene que: y 0 > 0;
para x > 1 se tiene que : y 0 < 0:
Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto x 1 = 1, el signo de la derivada
cambia de más a menos; por tanto, en x = 1 la función tiene un máximo.
El segundo punto criticos es x 2 = 3
(y) x=1
= 7 3
para x < 3 se tiene que: y 0 < 0;
para x > 3 se tiene que : y 0 > 0:
Esto quiere decir que la pasar de izquierda a derecha por el punto x 2 = 3, el signo de la derivada
cambia de menos a más; por tanto, en x = 3 la función tiene un mínimo.
(y) x=3
= 1
Basándonos en este análisis, trazamos la siguiente gráca.
Arenas A. 97 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
6.1.2. Concavidad y el criterio de la segunda derivada
Denición .19 Sea f derivable en un intervalo abierto. Diremos que la gráca de f es cóncava
hacia arriba si f 0 es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f 0 es decreciente en el
intervalo.
Teorema .14 Criterio de concavidad
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f 00 (x) > 0 para todo x en I, la gráca de f es cóncava hacia arriba.
2. Si f 00 (x) < 0 para todo x en I, la gráca de f es cóncava hacia abajo.
Ejemplo .71 Hallar los intervalos abiertos donde la gráca de f (x) =
hacia arriba o hacia abajo.
6
x 2 + 3
es cóncava
Solución: Comenzamos observando que f es continua en toda la recta. Calculamos su segunda
derivada
f (x) = 6 x 2 + 3 1
f 0 (x) = ( 6) (2x) x 2 + 3 2
=
12x
(x 2 + 3) 2
f 00 (x) = 36 (x2 1)
(x 2 + 3) 3
Como f 00 (x) = 0 cuando x = 1 y f 00 está denida en toda la recta real, probamos f 00 en los
intervalos ( 1; 1) ; ( 1; 1) y (1; 1). Los resultados se recogen en la tabla y en la gura
siguiente.
Intervalo 1 < x < 1 1 < x < 1 1 < x < 1
Valor prueba x = 2 x = 0 x = 2
Signo de f 00 (x) f 0 ( 2) > 0 f 00 (0) < 0 f 0 (2) > 0
conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Arenas A. 98 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Denición .20 Punto de inexión
Sea f una función cuya gráca tiene recta tangente en (c; f (c)). Se dice que el punto (c; f (c))
es un punto de inexión si la concavidad de f cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o
viceversa) en ese punto.
Teorema .15 Si (c; f (c)) es un punto de inexión de la gráca de f, entonces o es f 00 (c) = 0
o f 00 no está denida en x = c.
Ejemplo .72 Determinar los puntos de inexión y discutir la concavidad de la gráca de
f (x) = x 4 4x 2 .
Solución: Derivando dos veces obtenemos:
f 0 (x) = 4x 3 12x 2
f 00 = 12x 2 24x = 12x (x 2)
Los posibles puntos de inexión están en x = 0 y x = 2. Ensayando en los intervalos determinados
por esos dos valores de x, vemos que ambos son puntos de inexión. Un resumen de los
ensayos se recoge en la tabla y la gura a continuación.
Intervalo 1 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < 1
Valor prueba x = 1 x = 1 x = 3
Signo de f 00 (x) f 0 ( 1) > 0 f 00 (1) < 0 f 00 (3) > 0
conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Arenas A. 99 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Teorema .16 Criterio de la segunda derivada.
Sea f una función tal que f 0 (c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo
abierto que contiene a c.
1. Si f 00 (c) > 0, entonces f (c) es un mínimo relativo
2. Si f 00 (c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo
3. Si f 00 (c) = 0, entonces el criterio no decide.
Determinación de funciones conociendo algunos puntos críticos
La dicultad de este tipo de ejercicios está en saber aprovechar toda la información que nos da
el enunciado.
Ejemplo .73 Hallar a; b; c y d para la función f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d tenga un mínimo
relativo de valor 3 en x = 0 y un máximo relativo de valor 4 en x = 1.
Solución:
f (0) = 3
Mínimo relativo de valor 3 en x = 0 !
f 0 (0) = 0
f (1) = 4
Máximo relativo de valor 4 en x = 1 !
f 0 (1) = 0
Hallando la derivada de f 0 (x) = 3ax 2 +2bx+c, y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:
9
9
>=
>=
d = 3
c = 0
a + b + c + d = 4
3a + 2b + c = 0
d = 3
c = 0
a + b = 7
3a + 2b = 0
9
>=
>;
>;
d = 3
c = 0
a + b + 0 3 = 4
3a + 2b + 0 = 0
d = 3
c = 0
a + b = 7
a = 14
9
>=
>;
>;
d = 3
c = 0
b = 21
a = 14
Arenas A. 100 Camargo B.
9
>=
>;

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Luego la función buscada es: f 0 (x) = 14x 3 + 21x 2 3
Ejemplo .74 Hallar a; b y c tales que la gráca de la función f (x) = ax 3 + bx 2 + cx tenga
una tangente horizontal en el punto de inexión (1; 1).
Solución:
Pasa por el punto (1; 1) ! f (1) = 1
Tangente horizontal en (1; 1) ! f 0 (1) = 0
Punto de inexión en (1; 1) ! f 00 (1) = 0
Hallando la primera y segunda derivada f 0 (x) = 3ax 2 + 2bx + c; f 00 (x) = 6ax + 2b y
sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:
9
9
9
=
=
=
a + b + c = 1
3a + 2b + c = 0
6a + 2b = 0
;
c = 1 1 + 3
b = 1 2 = 3
a = 1
9
=
;
c = 1 a b
2a + b = 1
3a + b = 0
c = 3
b = 3
a = 1
Luego la función buscada es: f (x) = x 3 3x 2 + 3x.
9
=
;
;
c = 1 a b
b = 1 2a
a = 1
Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Para resolver problemas de máximos y mínimos con enunciado deben seguirse los siguientes
pasos:
1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar relacionarlas entre sí.
(Según se asignen las letras, la resolución del problema puede resultar más facil a más
dicil. A veces conviene contar con los ángulos).
2. Preguntarse ¿Qué es lo que hay que hacer máximo o mínimo. Esa magnitud es la que hay
que derivar.
3. Encontrar una fórmula para la magnitud que hay que derivar y expresarla en función de
una sola variable y entonces derivar.
Naturaleza de los puntos críticos. La naturaleza de los puntos críticos puede determinarse por
cualquiera de los siguientes críterios:
1. Por la propia naturaleza del problema.
2. Comparando el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio.
3. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada punto crítico.
4. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos críticos.
Observación: Si el problema pide un máximo y encontramos un mínimo, el máximo habrá que
buscarlo en los extremos del dominio.
Arenas A. 101 Camargo B.
;

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .75 Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar para tres lados de un
corral rectangular; se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qué
dimensiones maximizaran el área del corral
Solución: La magnitud a maximizar es el área.
de donde,
a = x y
2x + y = 200 ! y = 200 2x
a = x (200 2x) = 200x 2x 2
a 0 (x) = 200 4x ! 200 4x = 0 ! x = 50
Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada:
Luego la solución es x = 50 e y = 100.
a 00 (x) = 4 =) a 00 (50) = 4 ! Máximo
Ejemplo .76 Una lámina metálica rectangular mide 5 m de ancho y 8 m de largo. Se van
a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza metálica resultante y
soldarla para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse para obtener una caja del máximo
posible
Solución: La magnitud a maximizar es el volumen.
v = x (8 2x) (5 2x) = 4x 3 26x 2 + 40x
Arenas A. 102 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
de donde
luego:
v 0 (x) = 12x 2 52x + 40 =) 12x 2 52x + 40 = 0 ! 3x 2 13x + 10 = 0
x = 13 p 169 120
6
= 13 p 49
6
= 13 7
6
x = 3
=
0 3 no válida
x = 1
Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda derivada:
v 00 (x) = 24x 52 =) a 00 (1) = 28 ! Máximo
Ejemplo .77 Deseamos construir una lata cilíndrica con 40 cm 3 de capacidad. El material del
fondo y de la tapa es dos veces más caro que el del lateral. Hallar el radio y la altura de la lata
más económica.
Solución: La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio por unidad de super-
cie del lateral es p el de las bases será 2p, con lo que resulta:
S b = r 2 + r 2 = 2r 2 2p coste Sb = 4r 2 p
c = 4r 2 p + 2rhp
S t = 2rh
p coste S t = 2rhp
y teniendo en cuenta que v = 40 resulta r 2 h = 40 ! h = 40 de donde,
r2 luego, c 0 (r) = 8rp
8rp
c = 4r 2 p + 2rhp = c = 4r 2 p + 2r 40
r 2 p = 4r2 p + 80
r p
80
p, con lo que resulta,
r2 80
r p = 0 ! 8r 80
2 r = 0 ! 8r 80
! r 3 = 80
2 r 2 8 = 10
Comprobamos que realmente se trata de un mínimo, a partir de la segunda derivada:
la altura correspondiente será:
h = q 40 =
3 100
2
c 00 (r) = 8 + 160
r 3 =) c 00 (r) > 0 ! Mínimo
40
q = 40
r r
1000 10
3p = 4 3
3 100 3 100 100 = 4 3 = 4r
2
! r = 3 r
10
Arenas A. 103 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Ejemplo .78 Hallar el punto más cercano y más alejado de la parábola y = 4
(0; 1).
x 2 al punto
Solución: Consideremos un punto genérico X (x; y) de la parábola y = 4
punto P (0; 1) vendrá denida por la expresión:
x 2 . Su distancia al
y = 4 x 2
d =
q
(x 0) 2 + (y 1) 2
Cuyo valor ha de ser máximo o mínimo. Ahora bien, para facilitar la rasolución del problema,
eliminamos la raíz cuadrada elevando al cuadrado.
d 2 = x 2 + (y 1) 2
y teniendo en cuenta el valor de y = 4
x 2 resulta:
d 2 = x 2 + 4 x 2 1 = x 2 + 3 x 2 2
= x 2 + 9 6x 2 + x 4 = x 4 5x 2 + 9
Y dado que, al ser d positivo, el valor máximo o mínimo de d se corresponde con el de d 2 ,
podemos optimizar la expresión:
Halllamos los puntos críticos
g (x) = d 2 = x 4 5x 2 + 9
g 0 (x) = 4x 3 10x ! x 4x 2 10 r
5
= 0 ! x = 0; x =
2
Para estudiar la naturaleza de los puntos críticos podemos acudir al signo de la segunda derivada:
g 00 (x) = 12x 2 10
Arenas A. 104 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
g 00 (0) = 10 ! Máximo relativo
q
g
+
00 5
= 12 5 10 = 30 10 = 20 ! Mínimo relativo
2
2
q
g 00 5
= 12 5 10 = 30 10 = 20 ! Mínimo relativo
2
2
El máximo relativo no es el máximo absoluto, ya que la función no tiene máximo absoluto por
alejarse hacia el innito.
El mínimo absoluto estará en uno de los dos mínimos relativos, para determinar hallamos el
valor de la función g en cada uno de ellos.
g
q
5
+
2
= 25
4
25
2
+ 9 =
25 50 + 36
4
= 11 q
4 = g
Luego los puntos de la parábola y = 4 x 2 que se encuentran más cercano al punto (0; 1) son:
q
q
5
5
f + = 4 = 3 5
! P
2
2 2 1
+ ; 3 2 2
q
q
5
5
f = 4 = 3 5
! P
2
2 2 2 ; 3 2 2
mientras que le punto más alejado no existe.
5
2
EJERCICIOS .6
1. Una curva tiene la ecuación y = f (x).
a) Encuentre una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
P (3; f (3)) y Q (x; f (x)).
b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P .
2. Suponga que un objeto se mueve con la función de posición s = f (t).
a) Escriba una expresión para la velocidad promedio del objeto en el lapso t = a a
t = a + h.
b) Escriba una expresión para la velocidad instantánea en el instante t = a.
3. Considere la pendiente de la curva dada en cada uno de los cinco puntos que se muestran.
Arenas A. 105 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Enumere estas cinco pendientes en orden decreciente y explique su razonamiento.
4. Graque la curva y = e x en las pantallas [ 1; 1] por [0; 2] ; [ 0;5; 0;5] por [0;5; 1;5] y
[ 0;1; 0;1] por [0;9; 1;1]. ¿Qué advierte acerca de la curva a medida que se acerca al punto
(0; 1)
5. Encuentre la pendiente de la recta tangent a la parábola y = x 2 + 2x, en el punto ( 3; 3)
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso.
b) Graque la ecuación de la parábola y la recta tangente. Como una comprobación de
su solución, acérquese al punto P ( 3; 3) hasta que no pueda distinguir la parábola
y la recta tangente.
6. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x 3 , en el punto P ( 1; 1)
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso.
b) Graque la curva y la recta tangente en pantallas cada vez más pequeñas con centro
en ( 1; 1) hasta que parezca que coinciden la curva y la recta.
7. Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: y = p x; P (1; 1)
a) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: y =
x
; P (0; 0)
(1 x)
b) Encuentre la ecuación de la recta tamgente a la curva, en el punto dado: y = 1
x ; P 2; 1
2 4
8. Halle la pendiente de la tangente a la parábola y = 1 + x + x 2 , en el punto donde x = a.
a) Encuentre las pendientes de las rectas tangentes en los puntos cuyas coordenadas
1
son: 1;
2 y 1
b) Graque la curva y las tres tangentes en una pantalla común.
9. Encuentre la pendiente de la tengente a la curva y = x 3 4x + 1 en el punto donde x = a
a) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1; 2) y (2; 1).
b) Graque la curva y las dos tangentes en una pantalla común.
Arenas A. 106 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
10. Encuentre lapendiente de la tangente a la parábola y =
1
p 5 2x
en el punto donde x = a.
a) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (2; 1) y
b) Trace las grácas de la curva y las dos tangentes en una pantalla común.
11. La gráca muestra la función de posición de un automóvil. Use la forma de la gráca para
explicar las respuestas que dé a las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del automóvil
b) ¿El automóvil viajaba más rapido en B o en C
c) ¿El automóvil desacelera o aceleraba en A; B y C
d) ¿Qué sucedió entre D y E
2; 1 3
.
12. Valeria conduce en una carretera. Graque la función de posición del auto si maneja de
la siguiente manera: En el instante t = 0 min, el automóvil pasa frente el mojón que
marca la milla 15 a una velocidad constante de 55 mi/h, que conserva durante una hora.
A continuación, disminuye gradualmente la velocidad durante un periodo de dos minutos
hasta que se detiene a comer. La comida dura 26 min; enseguida, vuelve a arrancar y
acelera en forma gradual hasta 65mi/h, durante dos minutos. Conduce a una velocidad
constante de 65mi/h durante dos horas y después, durante un periodo de tres minutos,
disminuye su velocidad gradualmente hasta que se detiene por completo.
13. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 ft/s, su altura (en pies) después
de t segundos se expresa con y = 40t 16t 2 . Encuentre la velocidad cuando t = 2.
14. Si en la Luna se dispara una echa hacia arriba con una velocidad de 58 m/s, su altura (en
metro) después de t segundos se expresa con H = 58t 0;83t 2 .
a) Encuentre la velocidad de la echa después de un segundo.
b) Halle la velocidad de la echa cuando t = a.
c) ¿Cuándo chocará la echa contra la Luna
Arenas A. 107 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
d) ¿Con qué velocidad chocará contra la Luna
15. La ecuación del movimiento s = 4t 2 + 6t + 2 denota el desplazamiento (en metros) de
una particula que se mueve en línea recta. En dicha expresión, t se mide en segundos.
Encuentre la velocidad de la partícula en los instantes t = a; t = 1; t = 2; t = 3.
16. Se coloca una lata tibia de gaseosa en un refrigerador frío. Graque la temperatura de la
gaseosa como función del tiempo. ¿La razón inicial de cambio de la temperatura es mayor
o menor que la razón de cambio después de una hora
17. En la tabla se da la población P (en miles) de la ciudad de San José, California,1984 hasta
1994.
año 1984 1986 1988 1990 1992 1994
P 695 716 733 782 800 817
18. Encuentre la razón promedio de crecimiento.
De 1986 a 1992
De 1988 a 1992
De 1990 a 1992
De 1992 a 1994. (En cada caso, incluya las unidades)
18. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es
C (x) = 5000 + 10x + 0;05x 2 :
a) Encuentre la razón promedio de cambio de C con respecto a x, cuando se cambia el
nivel del producción: i) de x = 100 a x = 105; ii) de x = 100 a x = 101
b) Halle la razón instantánea de cambio C con respecto a x, cuando x = 100. (Esto se
conoce como costo maginal)
19. Si un tanque cilíndrico contiene 100;000 galones de agua que se pueden drenar por el
fondo del depósito en 1 h, la Ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después
de t minutos como:
V (t) = 100000 1
2
t
0 t 60
60
Encuentre la rapidez con que uye el agua hacia afuera del tanque (la razón instantánea
de cambio V con respecto a t) como función t. ¿Cuáles son sus unidades Para los instantes
t = 0; 10; 20; 30; 40; 50 y 60, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda
en el tanque. Resuma sus hallazgos en una oración o dos. ¿En qué instante el gasto es
máximo¿Cuándo es mínimo
20. Si la recta tangente a y = f (x), en (4; 3), pasa por el punto (0; 2), encuentre f (4) y f 0 (4).
21. Graque una función f para la cual f (0) = 0; f 0 (0) = 3; f 0 (1) = 0 y f 0 (2) = 1.
22. Trace la gráca de una función g para la cual g (0) = 0; g 0 (0) = 3; g 0 (1) = 0 y g 0 (2) = 1.
Arenas A. 108 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
23. Si f (x) = 3x 2 5x, encuentre f 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente
a la parábola y = 3x 2 5x, en el punto (2; 2).
24. Si g (x) = 1 x 3 , encuentre g 0 (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la
curva y = 1 x 3 , en el punto (0; 1).
25. Si F (x) = x 3 5x + 1, encuentre F 0 (1) y úsela para hallar una ecuación de la recta
tangente a la curva y = x 3 5x + 1, en el punto (1; 3).
a) Ilustre el inciso a) trazando y la recta tangente en la misma pantalla.
x
26. Si G (x) =
(1 + 2x) , encuentre G0 (a) y úsela para hallar una ecuación de la recta tangente
a la curva y =
x
(1 + 2x) , en el punto 1
; 1
4 2
:
a) Ilustre el inciso a) trazando la curva y la recta tangente en la misma pantalla.
27. Sea g (x) = tan x. Estime el valor de g 0 de dos maneras.
4
a) Aplique la denición
28. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con la ecuación del movimiento
s = f (t), donde s se mide en metros y t en segundos. Encuentre la velocidad cuando
t = 2.
a) f (t) = t 2 6t 5
b) f (t) = 2t 3 t 1
29. El costo de producir x onzas de oro proveniente de una nueva mina es de C = f (x)
dólares.
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (x)¿Cuáles son sus unidades
b) ¿Qué signica la proposición f 0 (800) = 17
c) ¿Piensa que los valores de f 0 (x) aumentarán o disminuirán a corto plazo¿Qué puede
decir acerca del largo plazoExplique.
30. La cantidad de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio
es n = f (t).
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (5)¿Cuáles son sus unidades
b) Suponga que existe una cantidad ilimitada de espacio y de nutrientes para las bacterias.
¿Cuál es mayor f 0 (5) o f 0 (10)¿La limitación del suministro de nutrientes
inuiría en su conclusión. Explique.
31. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que viaja a una
velocidad de v millas por horas es c = f (v).
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (v)¿Cuáles son sus unidades
b) Escriba una oración (en los términos de un lego) que explique el signicado de la
ecuación f 0 (20) = 0;05.
Arenas A. 109 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
32. La cantidad (en yardas) de cierta tela que vende un fabricante a un precio de p dólares por
yardas es Q = f (p).
a) ¿Cuál es el signicado de la derivada f 0 (16)¿Cuáles son sus unidades
b) ¿f 0 (16) es positiva o negativa Explique.
33. Una partícula se mueve según una Ley del movimiento s = f (t) = t 3 12t 2 +36t; t 0,
donde t se mide en segundos y s en metros.
a) Encuentre la velocidad en el instante t.
b) ¿Cuál es la velocidad después de 3s
c) ¿Cuándo está la partícula en reposo
d) ¿Cuándo se mueve hacia adelante
e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8s:
f ) Dibuje un diagrama, con el n de ilustrar el movimiento de la partícula.
g) Encuentre la aceleración en el instante t y después de 3 s.
h) Trace las grácas de las funcionesde posición, velocidad y aceleración, para 0 t
8.
i) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula
34. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, con su posición en el instante t dada por
t
x (t) = ; t 0, donde t se mide en segundos y x, en metros.
(1 + t 2 )
a) Encuentre la velocidad en el instante t.
b) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia la derecha y cuándo hacia la izquierda
c) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 4 s.
d) Halle la aceleración en el instante t, ¿Cuándo es 0
e) Trace las grácas de las funciones de posición, velocidad y aceleración, para 0 t
4.
f ) ¿Cuándo se acelera y desacelera la partícula
35. La expresión s = t 3 4;5t 2 7t; t 0 da la función de posición de una particula.
a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s
b) ¿Cuándo es 0 la aceleración¿Cuál es el signicado de este valor de t
36. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 ft/s, entonces su
altura después de t segundos es s = 80t 16t 2 .
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota
b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando está 96 ftarriba del piso en su camino hacia
arriba y luego hacia abajo
37. Si V es el volumen de un cubo con longitud de arista x, encuentre dV
dx
en términos de
dt dt
38. Si A es el área de un círculo con radio r, encuentre dA
dx
en términos de
dt dt
Arenas A. 110 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
39. ¿Cuáles cantidades se dan en el problema
40. ¿Cuál es la incógnita
41. Dibuje una gura de la situación para cualquier instante t.
42. Escriba una ecuación que relacione las cantidades.
43. Termine de resolver el problema.
a) Si una bola de nieve se funde de modo que su área supercial disminuye a razón de
1 cm 2 = mn, encuentre la razón a la cual disminuye al diámetro cuando es de 10 cm.
b) A mediodía, el velero A está a 150 km al oeste del velero B. El A navega hacia el
este a 35 km=h y el B hacia el norte a 25 km=h. ¿Con qué rapidez cambia la ditancia
entre las embarcaciones a las 400 P:M.
c) Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 mi a una velocidad de 500 mi=h y
pasa sobre una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumenta la distancia del
avión a la estación cuando aquél está a 2 mi de está.
d) Una farola de una calle está montada en el extremo superior de un poste de 15 ft de
alto. Un hombre cuya altura es de 6 ft se aleja del poste a una velocidad de 5 ft=s a
lo largo de una trayectoria recta. ¿Con qué rapidez se mueve la punta de su sombra
cuando el hombre está a 40 ft del poste.
44. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto. Una viaja hacia el sur a
60 mi=h y el otro hacia el oeste a 25 mi=h. ¿Con qué razón aumenta la ditancia entre los
dos automóviles dos horas más tardes
45. Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared que está a 12 m de distancia.
Si un hombre de 2 m de alto camina desde la lámpara hacia el edicio a una velocidad
de 1;6 m=s, ¿Con qué rapidez decrece su sombra proyectora sobre el edicio cuando se
encuentra a 4 m de éste
46. Un hombre empieza a caminar hacia el norte a 4 ft=s desde un punto P . Cinco minutos
más tarde, una mujer empieza a caminar hacia el sur a 5 ft=s desde un punto a 500 ft al
este de P . ¿Con qué razón se separan 15 mn después de que la mujer empezó a caminar
47. Un diamante de béisbol es un cuadrado de 90 ft por lado. Un bateador golpea la pelota y
corre hacia la primera base a una velocidad de 24 ft=s
a) ¿Con qué razón disminuye su distancia a la segunda base cuando está a la mitad de la
distancia de la primera
b) ¿Con qué razón aumenta su distancia a la tercera base en el mismo momento
Arenas A. 111 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
48. La altura de un tríangulo crece 1 cm= mn y su área 2 cm 2 = mn. ¿Con qué razón cambia
la base del tríangulo cuando la altura es de 10 cm y el área de 100 cm 2
49. El agua se fuga de un tanque cónico invertido a razón de 10;000 cm 3 = mn, al mismo
tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razón constante. El tanque tiene 6 m
de altura y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua sube a razón de
20 cm= mn cuando la altura de ese nivel es de 2 m, encuentre la razón a la que se bombea
el agua al tanque.
50. Una artesa de agua tiene 10 m de largo y una sección transversal en forma de trapecio
isóceles cuyo ancho en el fondo es de 30 cm, el de la parte superior 80 cm y la altura
50 cm. Si la artesa se llena con agua a razón de 0;2 m 3 = mn, ¿Con qué rapidez sube el
nivel del agua cuando ésta tiene 30 cm de profundidad
51. Una piscina tiene 20 ft de ancho, 40 ft de largo y 3 ft de profundidad, en el extremo
menos profundo, y 9 ft de profundidad en el más profundo. En la gura se muestra su
sección transversal. Si la piscina se llena a razón de 0;8 ft 3 = mn, ¿con qué rapidez sube
el nivel del agua cuando la profundidad en el punto más profundo es de 5 ft
52. Una cometa que está a 100 ft del suelo se mueve horizontalmente a una velocidad de
8 ft=s. ¿Con qué razón se han soltado 200 ft de cordel
53. Dos de los lados de un triángulo tienen 4 y 5 m de longitud y el ángulo entre ellos crece a
razón de 0;06 rad=s. Encuentre la razón con que aumenta el área del triángulo cuando el
angulo entre los lados de longitud ja es de =3.
54. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. El ángulo entre ellos crece a
razón de 2 o = mn. ¿Con qué rapidez aumenta la longitud del tercer lado cuando el ángulo
entre los lados de longitud ja es de 60 o
55. Una cámara de televisión está a 4000 ft de la base de una plataforma de lanzamiento de
cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la razón correcta para
mantener el cohete en la mira. Asi mismo, el mecanismo de enfoque tiene que tomar en
cuenta la distancia creciente desde la cámara hasta el cohete que se eleva. Supongamos
que éste se eleva verticalmente y que su velocidad es de 600 ft=s cuando se ha elevado
3000 ft.
a) ¿Con qué rapidez cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese
momento
b) Si la cámara se mantiene apuntando al cohete, ¿con qué rapidez cambia el ángulo de
elevación de la cámara en ese momento
Arenas A. 112 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
56. Un faro está en una isla pequeña a 3 Km de distancia del punto más cercano P en una
línea costera recta y su luz realiza cuatro revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se
mueve el haz de luz a lo largo de la línea costera cuando está a 1 Km de P
57. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi=h y la otra hacia el
noreste a 2 mi=h. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ambas después de 15 mn
58. El minutero de un reloj tiene 8 mm de largo y el hoorario, 4 mm. ¿Con qué rapidez cambia
la distancia entre las puntas de las manecillas a la 1 en punto
59. Encuentre el límite. Aplique la regla de L'Hôpital donde resulte apropiado; explique los
casos en donde no pueda aplicarla. Si existe un método más elemental, úselo.
tan x
a) lm
x !0 x + sin x
e x
x !1x 3
b) lm
e x 1 x
c) lm
x !0 x 2
ln ln x
d) lm p
x !1 x
tan 1 2(x)
e) lm
x !0
f )
p 3x
lm x ln x
x !0 +
g) lm ln x
x !1
h) lm
x !1 x3 e x 2
i) lm
x !0
1
x
j)
x a 1
lm
x !1 x b 1
k)
sin mx
lm
x !0 sin nx
tan x
l) lm
x ! x
6 x
m) lm
x !0
1
n) lm
x !0
ñ) lm
x !1
2 x
x
cos x
x 2
csc x
ln (1 + e x )
5x
sin x
o) lm
x !0 e x
p) lm
x ! 1 xex
q) lm
x !(=2)
sec 7x cos 3x
Arenas A. 113 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
r) lm
x ! (x
) cot x
s) lm
x !0
(csc x cot x)
t) lm
x !1 xe1=x x
u) lm
x !0 +xsin x
v) lm
x !0
(1 2x) 1=x
w) lm
x !0 + (
1
x) lm
x !1 ln x
ln x)x
1
x 1
x
y) lm (sin x)tan
x !0 +
60. Use una gráca para estimar el valor del límite. Enseguida, utilice la regla de L'Hôpital
para hallar el valor exacto.
a) lm x [ln (x + 5)
x !1
ln x]
b) lm
x !=4
tan 2x
(tan x)
61. Ilustre la regla de L'Hôpital gracando f (x)
g (x) y f 0 (x)
cerca de x = 0 para ver que estas
g 0 (x)
razones tienen el mismo límite cuando x ! 0. Asi mismo, calcule el valor exacto del
límite.
a) f (x) = e x 1; g (x) = x 3 + 4x
b) f (x) = 2x sin x; g (x) = sec x 1
62. Utilice la regla de L'Hôpital para ayudarse a encontrar las asíntotas de f. Enseguida, úselas
con la información de f 0 y f 00 para gracar f. Compruebe su trabajo con un aparato
gracador.
a) f (x) = xe x
b) f (x) = ex
x
c)
(ln x)
f (x) =
x
d) f (x) = xe x2
63. Graque la función.
a) Aplique la regla de L'Hôpital para explicar el comportamiento cuando x ! 0.
b) Estime el valor mínimo y los intervalos de concavida. A continuación, use el cálculo
para hallar los valores exactos.
1) f (x) = x 2 ln x
2) f (x) = xe 1=x
Arenas A. 114 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
64. Trace la gráca de la función.
a) Explique la forma de la gráca calculando el límite cuando x ! 0 + o cuando x !
1.
b) Estime los valores máximos y mínimos y luego utilice el cálculo para hallar los valores
exactos.
c) Utilice una gráca de f 00 para hallar las coordenadas x de los puntos de inexión.
1) f (x) = x 1=x
2) f (x) = (sin x) sin x
65. Investigue la familia de curvas dada por f (x) = xe cx , donde c es un número real. Empiece
por calcular los límites cuando x ! 1. Identique cualesquiera valores de
transición de c, donde cambia la forma básica. ¿Qué sucede a los puntos máximos y mínimos
y a los puntos de inexión cuando c cambia Ilustre lo anterior gracando varios
miembros de la familia.
66. Investigue la familia de curvas dada por f (x) = x n e x , donde n es un entero positivo.
¿Qué caracteristicas comunes tienen estas curvas¿En que dieren En particular, ¿Qué
sucede a los puntos máximos y mínimos y a los puntos de inexión al crecer n Ilustre lo
anterior gracando varios miembros de la familia.
67. En la gura se muestra un sector de un círculo, con ángulo central . Sea A () el área
del segmento entre la cuerda P R y el arco P R. Sea B () el área del triángulo P QR.
A ()
Encuentre lm
x !0 + B ()
68. Si f 0 es cotinua, aplique la regla de L'Hôpital para demostrar que:
f (x + h) f (x h)
lm
h !0 2h
Explique el signicado de esta ecuación con ayuda de un diagrma.
69. Sea: jxj
x
si x 6= 0
1 si x = 0
a) Demuestre que f es continua en 0.
b) Investigua grácamente si f es diferenciable en 0 mediante varios acercamientos al
punto (0; 1) de la gráca de f.
Arenas A. 115 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
c) Demuestre que f no es diferenciable en 0. ¿Cómo puede reconciliar este hecho con
el aspecto de las grácas del inciso anterior
70. Considere el problema siguiente. Un granjero que tiene 750 ft de cerca desea encerrar
un área rectangular y dividirla en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los
lados del rectángulo. ¿Cuál es el área total máxima posible de los cuatro corrales
a) Dibuje varios diagramas en que ilustre la situación, algunos con corrales cortos y
anchos, y otros con corrales largos y angostos. Encuentre las áreas totales de estas
conguraciones. ¿Parece que existe un área máxima Si es así, estímela.
b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación general. Introduzca la notación y marque
el diagrama con sus símbolos.
c) Escriba una expresión para el área total.
d) Use la información dada para escribir una ecuación que relacione las variables.
e) Utilice el inciso anterior para escribir el área total como función de una variable.
f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo
que hizo en el inciso a).
71. Considere el problema siguiente: Se va a construir una caja con la parte superior abierta a
partir de un trozo cuadrado de cartón que tiene 3 ft por lado, al recortar un cuadrado de
cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba. Encuentre el volumen más
grande que puede tener la caja.
a) Dibuje varios diagramas para ilustrar la situación; algunas cajas cortas con bases
grandes y otras altas con bases pequeñas. Encuentre el volumen de varias de esas
cajas. ¿Parece que existe un volumen máximo Si es así, estímelo.
b) Dibuje un diagrama en que ilustre la situación genral.Introduzca la notación y marque
el diagrama con sus símbolos.
c) Escriba una expresión para el volumen.
d) Use la inforamción dada para escribir una ecuación que relacione las variables.
e) Utilice el inciso anterior para escribir el volumen como función de una variable.
f ) Termine de resolver el problema y compare la respuesta con la estimación que hizo
en el inciso a).
72. Si se cuenta con 1200 cm 2 de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte
superior abierta, encuentre el volumen máximo posible de la caja.
73. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32;000 cm 3 .
Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
74. Demuestre que de todos los rectángulos con un área dada, el que tiene el perímetro menor
es un cuadrado.
a) Demuestre que de todos los rectángulos con un perímetro dado, el que tiene el área
máxima es un cuadrado.
Arenas A. 116 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
75. Un recipiente rectángular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener
un volumen de 10 m 3 . El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base
cuesta 10 dólares por metro cuadrado. El material para los costados, 6 dólares por metro
cuadrado. Encuentre el costo de los materiales para tener el más barato de esos recipientes.
76. Una ventana normada tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo. (Por consiguiente,
el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo) Si el perímetro de
la ventana es de 30 ft, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la
cantidad más grande posible de luz.
77. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar
un sector y unir los bordes CA y CB. Encuentre la capacidad máxima del cono.
78. Para un pez que nada a una velocidad v con relación al agua, el consumo de energía por
unidad de tiempo es proporcional a v 3 . Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la
energía total requerida para nadar una distancia ja. Si nada contra una corriente u (u < v),
L
el tiempo requerido para nadar una distancia L es y la energía total E necesaria
(v u)
para nadar la distancia se expresa mediante
E (v) = av 3 L
v u
Donde a es la constante de proporcionalidad.
a) Determine el valor de v que minimice E.
b) Dibuje la gráca de E.
Este resultado se ha comprobado de manera experimental; el pez migratorio nada contra la
corriente a una velocidad 50 % mayor que la velocidad de esa corriente.
80 Se va a construir un armazón de una cometa a partir de seis razones de madera. Se han
cortado los seis trozos exteriores con las longitudes que se indican en la gura. Para max-
Arenas A. 117 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
imizar el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener los trozos diagonales
81. Sean v 1 la velocidad de la luz en el aire y v 2 la velocidad de la luz en el agua. Según el
principio de Fermat, un rayo de luz viaja de un punto A en el aire a un punto B en el agua
por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo para hacer el recorrido. Demuestre que
sin 1
sin 2
= v 1
v 2
donde 1 (el ángulo de incidencia) y 2 (el ángulo de refracción) son como se muestran en
la gura. Esta ecuación se conoce como Ley de Snell.
82. Dos postes verticales, P Q y ST , se aseguran por medio de un cable P RS extendido
desde el extremo del primer poste hasta un punto R sobre el piso y a continuación, hasta
el extremo superior del segundo poste, como se ve en la gura. Demuestre que se tiene la
longitud más corta de ese cable cuando 1 = 2
Arenas A. 118 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
83. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de 8 cm ancho por 12 cm de
largo para llevarla hasta el borde de la derecha, como en la gura. ¿Cómo la doblaría de
modo que se minimice la longitud del doblez En otras palabras, ¿cómo elegiría x para
minimizar
84. Se está transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 ft de ancho. Al nal de éste
existe una vuelta a ángulo recto hacia otro pasillo más angosto de 6 ft de ancho. ¿Cuál es
la longitud del tubo más largo que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina
85. Se necesita ubicar un punto P en alguna parte sobre la recta AD, de modo que se minimice
la longitud total L de los cables que enlazan P con los puntos A; B; C (véase la gura).
Exprese L como función de x = jAP j y use las grácas de L y dL para estimar el valor
dx
mínimo.
86. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB de modo que se max-
Arenas A. 119 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
imice el ángulo
87. En un galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde
inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se observa en la
gura). ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista
(En otras palabras, ¿dónde debe situarse el observador a n que se maximice el ángulo
subtendido en su ojo por la pintura
Arenas A. 120 Camargo B.

6.1 Máximos y mínimos absolutos Cálculo Diferencial
Arenas A. 121 Camargo B.