Geometria libro2006

146 10. ÁREAS Y VOLÚMENES
Podemos suponer que las dos pirámides están comprendidas entre dos planos paralelos π y π ′ a
distancia h.
Las áreas de base son iguales A = A ′ . Para usar el principio de Cavallieri debemos probar que las
áreas de las secciones producidas al cortar con otro plano, paralelo a los anteriores, son iguales.
Cortemos con un plano a distancia x del plano π ′ . Debemos probar que B = B ′ . Observemos que
el área B es la imagen del área A por una homotecia de centro O y razón x h . Igualmente el área B′ es la
imagen del área A ′ por homotecia de centro O ′ y razón x (ver figura anterior).
h
( x
) 2 ( x
) 2
Entonces B = A y B ′ = A ′ , como A = A ′ obtenemos que B = B ′ , cualquiera que sea la
h h
distancia x. Se cumplen las condiciones del principio de Cavallieri, ambas pirámides deben tener igual
volumen.
Dicho de otra manera. Cortemos las pirámides en rebanadas muy delgadas y consideremos cada
rebanada como un prisma triangular de altura muy pequeña.
Rebanadas correspondientes tienen igual volumen ya que son prismas triangulares de la misma
base y altura, luego las sumas de los volúmenes de todas las rebanadas son iguales en una y otra pirámide.
Considerando rebanadas más y más delgadas obtendremos, en el limite, que ambas pirámides
tienen igual volumen.