Geometria libro2006

34 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBTUSÁNGULOS Y ACUTÁNGULOS
Sustituyendo obtenemos: a 2 = c 2 − n 2 + (b + n) 2 = c 2 + b 2 + 2bn pero n = c cos(π − α) y
cos(π − α) = −cos α.
Sustituyendo se obtiene: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α.
El teorema del coseno es entonces una generalización del Teorema de Pitágoras para triángulos
cualesquiera.
Observando que c cos α es la proyección de c sobre b el teorema se puede enunciar así:
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado a es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados menos, o más, el producto de uno de ellos por la proyección del
otro sobre él, dependiendo de que el ángulo α sea agudo u obtuso.”
TEOREMA DEL SENO
Este teorema relaciona cada lado de un triángulo ABC con el seno del ángulo opuesto. Concretamente,
dice que en todo triángulo ABC se tiene
a
sen α =
Para probar el teorema, tracemos las dos alturas h b y h c . Entonces:
b
sen β =
c
sen γ
sen α = h b
c sen γ
h b
=
a
luego: h b = c sen α = asen γ, y de aquí obtenemos
a
sen α =
c
sen γ
Del mismo modo sen α = h c
b y sen β = h c
a , se obtiene h c = b sen α = asen β, luego
Finalmente, hemos probado que
a
sen α =
b
sen β .