Geometria libro2006

SUBCONJUNTOS DEL PLANO 221
Vemos que un punto P(x, y), con x ≠ 0, está sobre la recta sólo si y = tg α. Sea a = tg α, a es un
x
número constante. Luego la ecuación y = ax representa una recta que pasa por el origen (el punto (0, 0)
satisface la ecuación).
La ecuación y = ax, se puede escribir también como ax − y = 0. Esta ecuación nos dice que el
vector (a, −1) es perpendicular a P(x, y), lo que implica que la recta es perpendicular al vector (a, −1).
(Recuerde la condición para que dos vectores sean perpendiculares).
Tenemos entonces que el punto P(x, y) está sobre la recta sólo si P(x, y) es perpendicular al vector
(a, −1) o a cualquier múltiplo de (a, −1).
Observe que si tenemos en general un vector arbitrario N(m, n) perpendicular a la recta y no nulo
N ≠ 0, cualquier punto P(x, y) de la recta satisface la ecuación mx + ny = 0. Recíprocamente cualquier
par (x, y) que satisfaga la ecuación, representa un vector perpendicular a N(m, n), y por lo tanto tiene
que estar en la recta.
En conclusión, se tiene que mx + ny = 0 es la ecuación general de una recta que pasa por el origen.