Geometria libro2006

EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES 295
tiene solución única si y sólo si el determinante es distinto de cero, basta con que el determinante
sea distinto de cero para que la aplicación T sea biyectiva. En nuestro caso, el determinante es:
1 − 1 2
1
1
2
3 1
= 13 2 ≠ 0
∣ 0 0 2 ∣
y por lo tanto T efectivamente es biyectiva.
De este ejemplo y de lo que podemos generalizar del capítulo anterior, llegamos a la conclusión
siguiente: Una transformación lineal transforma un vector P(x, y, z) en el vector P ′ (x ′ , y ′ , z ′ ) según las
fórmulas
x ′
y ′
z ′
= a 1 x + b 1 y + c 1 z
= a 2 x + b 2 y + c 2 z
= a 3 x + b 3 y + c 3 z
que son polinomios homogéneos de primer grado. Los coeficientes significan lo siguiente:
(a 1 , a 2 , a 3 ) es la imagen de i
(b 1 , b 2 , b 3 ) es la imagen de j
(c 1 , c 2 , c 3 ) es la imagen de k
y se debe satisfacer la condición de biyectividad
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2 ≠ 0
∣ a 3 b 3 c 3
* * *
EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Vamos a ver las fórmulas de transformación de coordenadas para la rotación del espacio alrededor
del eje Z por un ángulo π 4 .
Para encontrar las fórmulas, hallemos las imágenes de i, j y k por esta rotación. La imagen
de i es un vector unitario contenido en el plano XY, que forma un ángulo de π con el eje X, y
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la imagen de j también es un vector unitario contenido en el plano XY, y forma un ángulo de
π
con el eje Y. Concluimos que el efecto de la rotación alrededor de Z sobre los vectores i y j
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