Geometria libro2006

19. TRANSFORMACIONES AFINES 315
Hallemos la imagen del eje X, por ejemplo. Este está formado por todos los puntos Q de coordenadas
(a,0). La transformación lineal manda este punto en el punto Q ′ = (2a,0), y la traslación lo envía al
punto (2a − 1, −1). Al variar a sobre todos los valores posibles, se obtiene una recta paralela al eje X,
que pasa por el punto (−1, −1). La razón de que la imagen del eje X sea paralela al eje X es que la
imagen de i por la transformación lineal es un vector colineal con i.
De la misma manera, el eje Y, que está formado por todos los puntos de la forma (0, b), tiene por
imagen el conjunto de puntos de coordenadas de la forma (−1, b −1). Esto es una recta paralela al eje Y
que también pasa por el punto (−1, −1). También aquí, la razón de que la imagen del eje Y sea paralela
a ese eje es que la imagen de j por la transformación lineal es colineal con j.
La imagen de la recta x + y − 1 = 0 por esta misma transformación afín podemos hallarla así: su
imagen por la transformación lineal es el conjunto de puntos (x ′ , y ′ ) que satisfacen x′
2 + y′ − 1 = 0, y la
traslación manda esta recta en la recta x′′ + 1
+ (y ′′ + 1) − 1 = 0, es decir, la recta x + 2y + 1 = 0.
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