Geometria libro2006

206 12. SECCIONES CÓNICAS
( )
b) Una elipse de excentricidad 1 PF
2 = 1 PH 2
(
c) Una hipérbola de excentricidad 9 PF
8 = 9 PH 8
d) Una hipérbola de excentricidad 2.
)
e) Como conclusión de lo obtenido en d), ¿cuál es la cota superior de las excentricidades de
las hipérbolas obtenidas de este cono ¿Cómo sería esta cota si el ángulo a fuese mayor o
menor
8. Considere un cono y una recta r, perpendicular al eje del cono en un punto A. Imagine un plano
π cualquiera que pase por esta recta se forma el ángulo β. Haciendo girar el plano alrededor de
la recta r, el ángulo β pasa por todos los valores de 0 a 2π. Imagine las curvas que se forman.
A medida que el plano gira, la curva en el espacio que se va deformando. ¿Para qué valores de
β ocurre una “discontinuidad” en esa deformación
9. Considere un cono de ángulo α = 75 ◦ , ¿qué valor debe tener el ángulo β, que forma un plano
π con el eje del cono, para que la sección sea una hipérbola de excentricidad 2 (compare este
resultado con el problema 7. d).
10. a) Pruebe que dos secciones del mismo cono, que tienen la misma excentricidad, son semejantes.
(Recuerde que una semejanza es el producto de homotecia y transformación rígida).
b) ¿Se puede decir lo mismo si las secciones son de conos de distinto ángulo
11. Demuestre que el área de una elipse de semieje mayor a y semieje menor b está dada por la
fórmula A = πab.
Ayuda:por el problema 6 usted sabe que una elipse se puede obtener como una sección plana
de un cilindro. El radio del cilindro es R = b. El volumen del cilindro es V = A · h = πR 2 g.
¿Quién es g h