Geometria libro2006

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250 15. COORDENADAS EN EL ESPACIO ¿Cómo caracterizamos entonces una recta en el espacio Hay que recordar que una recta es siempre la intersección de dos planos. Esto implica que las coordenadas de sus puntos deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones de estos dos planos. Podemos caracterizar una recta por un par de ecuaciones lineales. ax + by + cz + d = 0 a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0 Es claro que estas dos ecuaciones no son únicas para una recta, puesto que hay muchos pares de planos que se cortan en esa recta. Ejemplos:
1. Representemos gráficamente la recta dada por SUBCONJUNTOS DEL ESPACIO 251 3x − 2y + 3z = 4 x − 2y − z = −4 Hallemos dos puntos por donde pasa la recta. Encontramos por ejemplo el punto de corte con el plano XY haciendo z = 0 : 3x − 2y = 4 x − 2y = −4 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x = 4, y = 4 Luego el punto de corte con el plano XY es (4, 4, 0). Análogamente haciendo x = 0, hallamos el punto de corte con el plano Y Z : (0, 1, 2). 2. Hallar el punto de intersección de los planos representados por las siguientes ecuaciones: x + 2y − z = 6; 2x − y + 3z = −13; 3x − 2y + 3z = −10. El punto P(x, y, z) buscado debe estar en los tres planos, por lo tanto debe satisfacer las tres ecuaciones. El problema se reduce a resolver el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: x + 2y − z = 6 2x − y + 3z = −13 3x − 2y + 3z = −10 Resolviendo, obtenemos fácilmente que x = −1, y = 2, z = −3. Por lo tanto el punto de corte es P(−1, 2, 3). ¿Qué significado geométrico tendría el hecho de que el sistema sea incompatible o tenga infinitas soluciones
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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Departa
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