Operaciones básicas con sucesos aleatorios

Específicamente, supongamos que X ∼ Bin(n, p), esto es,µ nP (X = x) = pxx (1 − p) n−xcon n −→ ∞,np= λ, esto es, p = λ −→ 0. Sustituyendo, se tienenµ x µn! λ1 − λ n−xn (n − 1) ···(n − x +1) 1=µ1x!(n − x)! n nn · n ···n x! λx − λ n−x=n¡ ¢¡ ¢ ¢1 −1n 1 −2n ···¡1 −x−1µn=λ x 1 − λ n−x,x!nPor otro lado, se tiene queµ1 − 1 µ1 − 2 µ··· 1 − x − 1 −→n nn1n→∞µ1 − λ n n−x=à µ !1 −nnλ λ µλ1 −n λ −x−→ e −λ .n→∞De este modo, si X ∼ Bin(n, p), siendo np = λ,x =0, 1, 2,...−λ λxP (X = x) −→ en→∞ x! ,ProposiciónSe dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson de parámetroλ, X ∼ Po(λ) si−λλkP (X = k) =ek! ,donde k =0, 1, 2,...Observación:Se observa que∞X−λλxex! = X ∞λ xe−λ x! = e−λ · e λ =1.x=0x=0ProposiciónSi X ∼ Po(λ) entoncesE [X] =∞Xx=0x · λx e −λx!= λe −λ ∞Xy=0= λ∞Xx=1λ x−1 e −λ(x − 1)! =λ yy! = λ · e−λ · e λ = λ.19