Operaciones básicas con sucesos aleatorios

EjemploSe tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancasyrojas:— Primera urna, U 1 : 3 bolas blancas y 2 rojas;— Segunda urna, U 2 : 4 bolas blancas y 2 rojas.Se realiza el siguiente experimento aleatorio: Se tira una moneda al aire y si sale carase elige una bola de la primera urna, y si sale cruz de la segunda. ¿Cuál es la probabilidadde que salga una bola blanca?Solución: La situación que tenemos puede ser esquematizada como3B 2R U 1 P (U 1 )=1/2 P (B|U 1 )=3/54B 2R U 2 P (U 2 )=1/2 P (B|U 2 )=4/6Como U 1 y U 2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos (la bola resultadodebe provenir de una de esas dos urnas y de una sólo de ellas), el teorema de laprobabilidad total permite afirmar entonces queP (B) =P (B|U 1 ) · P (U 1 )+P (B|U 2 ) · P (U 2 )= 3 5 · 12 + 4 6 · 12 = 1930 .Teorema de BayesSea A 1 ,A 1 ,...,A n ⊂ E un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos. Sea B ⊂ E unsuceso del que conocemos las siguientes probabilidades: P (B|A i ) para todo i =1,...n, alas que denominamos verosimilitudes, entonces se verifica, para todo j =1,...n,P (A j |B) = P (B|A j) · P (A j )P ni=1 P (B|A i) · P (A i ) .Demostración:Es una consecuencia de la definición de probabilidad condicionada en términos de laintersección, y del teorema de la probabilidad total:P (A j |B) = P (A j ∩ B)P (B)= P (B|A j) · P (A j )P ni=1 P (B|A i) · P (A i ) . ¤9