Operaciones básicas con sucesos aleatorios

4. Si un vector aleatorio (X, Y ) tiene distribución N (µ, Σ) y cov(X, Y )=0entoncesX e Y son independientes. Comoµ σ2Σ = 1 00 σ 2 ,2sustituyendo en la expresión de la función de densidad, se obtiene quePropiedades del operador esperanzaf (x, y) =f (x) · f (y)Dada una v.a. X se puede definir la transformación g (X) y calcular su esperanzadefinida mediante⎧⎨E [g (X)] =⎩R ∞−∞Para Y = g (X 1 ,...,X k ) se tiene queg (x) f (x) dx en el caso continuoPig (x i ) f (x i ) en el caso discreto⎧⎨E [Y ]=⎩R ∞−∞R ∞−∞ ···R ∞−∞ g (x 1,...,x k ) f (x 1 ,...,x k ) dx k ...dx 1 en el caso continuoPx 1 ···Px kg (x 1 ,...,x k ) f (x 1 ,...,x k )Un caso particular esLa esperanza de g (x 1 ,x 2 ) esg (x 1 ,x 2 )=(x 1 − µ 1 )(x 2 − µ 2 ) .E [(X 1 − µ 1 )(X 2 − µ 2 )] = Cov (X 1 ,X 2 ) ,en el caso discretose llama covarianza y es una medida de la relación de crecimiento conjunto de ambasvariables. Cuando toma valor positivo es porque predominan valores de X 1 ,X 2 grandesa la vez, o ambos pequeños a la vez. Cuando es negativo, resulta que X 1 es grande y X 2pequeñoalavez,oalainversa.En el caso de independencia se tieneCov (X 1 ,X 2 )=0.34