Operaciones bÃ¡sicas con sucesos aleatorios

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En forma similar se calculaVar[X] =λ.Ejemplo El 5 % de los objetos que produce una línea de producción sale con defectos.Calcular la probabilidad de que 2 de 100 objetos tengan defectos.Solución:Si X designa el número de objetos defectuosos de 100, se tiene que X ∼ Bin(100, 0,05) .Se pideµ 100P (X =2)= 0,05 2 · 0,95 98 =0,0812Alternativamente, como n es grande y p es pequeño, y aplicamos la aproximación dePoisson, se tiene que λ = np = 100 · 0,05 = 5, y−5 52P (X =2)≈ e2! =0,084Observación: La aproximación de la distribución de Poisson a la binomial es buenacuando n ≥ 20 y p ≤ 0,05 y es muy buena cuando n ≥ 100 y np ≤ 10.Variables aleatorias continuasSe presentan ahora los conceptos básicos sobre variables aleatorias continuas. Se repitenlas mismas ideas que en el caso discreto, con funciones de densidad en lugar de funcionesde masa, eintegrales en lugar de sumas.En este caso, lo que generaliza de modo natural el concepto de suma es el de integral.Por otro lado, para variables continuas no tiene interés hablar de la probabilidad de queX = x ∈ R, yaqueéstadebedevalersiempre0,paraquelasumainfinita no numerablede las probabilidades de todos los valores de la variable no sea infinita.De este modo, es necesario introducir un nuevo concepto que sustituya en v.a. continuas,al de función de probabilidad de una v.a. discreta.Este concepto es el de función de densidad de una v.a. continua, que se define comouna función f : R −→ R, integrable no negativa sobre la recta real, que verifica las dos20
propiedades siguientes:Z +∞−∞f(x) ≥ 0,f(x)dx = 1,ZP (X ∈ A) = f(x)dx.AAsí, dados a
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