Taller de Matemáticas III

Taller de Matemáticas IIINOTA: Si observas con atención, cuando el punto P se encuentra en la misma posiciónque el punto B, la longitud de la línea recta roja es exactamente la mitad de la longitudtotal; es decir, la constante "a". Ahora, si consideras todas las constantes "a", "b" y "c"identificarás que entre ellas forman un triángulo rectángulo en el cual la constante "a"se encuentra en el lugar de la hipotenusa, y las constantes "b" y "c" en el de loscatetos.Si el punto P(x, y) es un punto cualquierade la elipse y si tomas como referenciala definición, obtienes:FP + F’P =2aLa distancia FP está dada por:La distancia F’Pestádadapor:FP =F'P =22( x − c)+ ( y − 0)22( x + c)+ ( y − 0)Sustituyes lo anterior en la fórmula FP + F’P =2a y resulta:Acomodas la igualdad:Elevas al cuadrado ambos lados de la igualdad:Desarrollas los binomios al cuadrado:Nuevamente desarrollas cuadrados:Igualas a cero:Divides todo entre 4:Acomodas la igualdad:( x−c)22x −2cx+cElevas al cuadrado ambos lados de la igualdad:Desarrolla los cuadrados:Desarrolla el binomio al cuadrado:Iguala a cero la ecuación:Simplifica:Factoriza y obtén el factor común:22( x−c)+ ( y −0)+22 22 2[ ( x−c)+ y ] = [ 2a− ( x+c)+ y ]2( x−c)+ y22= 4a2 2+ y −4a2−4cx−4aFP+F'P = 2a+ y22−4a+ 4a= 2a−( x+c)+ 4a2−cx−a+ a2cx+a = a22( x+c)+ ( y −0)( x+c)2( x+c)2( x+c)2( x+c)( x+c)+ y+ y222+ y22 22 2[ cx + a ] = [ a ( x + c)+ y ]cccc2222xxxx− x22222+ 2a+ 2a+ 2a+ a( a24222− ccx + acx + acx + a2− a x22444) + a2− a x2− a c22= a2= a x( a2( x + c)222− c+ 2a− 2a− a22y) − a22+ y222+ y2222+ y= 02= 0= 2a2+ ( x+c)2+ y22− x −2cx−c+ a= 02y22y22cx + a c2cx − a c= 0222+ a− a− y22y2y2= 02= 0La suma de las distancias del P(x, y) a los focos es 2a, yésta debe ser mayor que el segmento de recta FF’,esdecir:2a > 2c, por lo que se obtiene que a > c. A su vez que a 2 >c 2 ,de lo que se obtiene a 2 –c 2 >0.Según la gráfica de la imagen b 2 =a 2 –c 2 , en donde b > 0,lo aplicas a la ecuación anteriory te queda:Divides todo entre a 2 b 22− x b22 2 2+ a b − a y2 2x y+ = 12 2a b2= 0Ecuación ordinaria de una elipsehorizontal con centro en el origen.99 Universidad CNCI de México