Análisis numérico, Timothy Sauer

2 3 Fuentes de error | 93
de donde se obtiene la solución calculada x, = 2 y x2 — I. Por supuesto, ésta no es la respuesta
exacta, pero es correcta hasta aproximadamente 16 dígitos, que es lo más que se puede hacer a
partir de un cálculo que usa números de punto flotante con 52 bits.
La diferencia entre los dos últimos cálculos es significativa. La versión 3 dio una solución
aceptable, mientras que la versión 2 no lo hizo. Un análisis de lo que salió mal con la
versión 2 conduce a considerar el multiplicador lO ^que se utilizó para el paso de eliminación.
El efecto de restar 1020 veces la ecuación superior de la ecuación inferior fue atenuar,
o “dominar” , la ecuación final. Aun cuando en un principio había dos ecuaciones independientes.
o fuentes de información, después del paso de eliminación en la versión 2, existen
a i esencia dos copias de la ecuación superior. Como la ecuación inferior ha desaparecido,
para todos los efectos prácticos, no puede esperarse que la solución calculada satisfaga la
ecuación inferior; y no lo hace.
R)r otro lado, la versión 3 completa la eliminación sin dominar ecuaciones, porque el
multiplicador es 10 ' 20. Después de la eliminación, en gran medida las dos ecuaciones originales
todavía existen, un poco cambiadas en la forma triangular. El resultado es una solución
aproximada que es mucho más precisa. ■<
La moraleja del ejemplo 2.13 es que los multiplicadores en la eliminación gaussiana
deben ser lo más pequeños posible para evitar problemas de dominación. Por fortuna, existe
una sencilla modificación de la eliminación gaussiana simple que hace que el valor absoluto
de los multiplicadores no sea mayor que 1. Este nuevo protocolo, que implica intercambios
juiciosos de renglones en la tabla, se llama pivoteo parcial, el tema de la siguiente sección.
2.3 Ejercicios
1. Encuentre la norma |[A||X de cada uno de las siguientes matrices:
r 1 2 1 1 5 1
a- » ^ a- -• 2 - 3
L 3 4 J 1 - 7 0
2. Encuentre el número de condición (norma infinito) de
(a) A =
’ 1 2 * r 1 2 .0 1 ’ 6 3 "I
3 4 A- [ i 6
. 4 2 J
'o •w
II
T
3. Encuentre los errores hacia delante y hacia atrás, y el factor de magnificación del error (en la
norma infinito) para las siguientes soluciones aproximadas xü del sistema del ejemplo 2 . 1 1 :
(a) [-1 .3 j (b) [0 . 2 ] (c) [2, 21 (d) [ - 2 , 4 1 (c) [ - 2 , 4 .0 0 0 1 1 .
4. Encuentre los errores hada delante y hada atrás, y el factor de magnificadón del error para
las siguientes soludones aproximadas del sistema x, + lx-> = 1, 2x, + 4 .0 1 x 2 = 2 : (a) (—1. 1]
(b) [3, - lj (c) [2, -1/21.
5. Encuentre los errores relativos hacia delante y hacia atrás, y el factor de magnificación del error
para las siguientes soludones aproximadas del sistema*, - 2x2 ** 3.3x, - 4x2 « 7: (a) [ - 2 , -4 ]
(b) (-2 , -3J(c) [0 , -2 ] (d) [ —1, - IJ (c)¿Cuál es el número de condidóndc la matriz de cocfidentes?
6 . Encuentre los errores relativos hada delante y hada atrás, y el factor de magnificadón del error
para las siguientes soludones aproximadas del sistema x, + 2x-> = 3, 2x, + 4.0Ix-» = 6.01: (a)
[-1 0 , 6 ) (b) [-100, 521 (c) [-6 0 0 .3 0 11 (d) [-599.3011 (e) ¿Cuál es el número de condidón de
la matriz de coeficientes?