Análisis numérico, Timothy Sauer

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368 | CAPÍTULO 7 Problemas de valor de frontera R método del elemento finito para PVF y = fu .y . / ) y(a) = ya y(b) = y},. oonsiste en elegir la solución aproximada y de forma que el residuo r = y" - /,1 a diferencia en los dos lados de la ecuación diferencial, sea lo más pequeño posible. En analogía con los métodos de mínimos cuadrados del capítulo 4, esto se logra al elegir y de modo que el residuo sea ortogonal al espacio vectorial de las posibles soluciones. Para un intervalo [a, b\. defina el espacio vectorial de funciones integrables cuadradas Lr\a./>1 = | funciones y(t) en [a,b] J y(t)2 dt existe y es finita J. H espacio funcional ¿ 2 tiene un producto interno {yi,yi) = J y\U)y¿U) dt que tiene las propiedades usuales: 1- (^ i..v i)> 0 ; 2. (cryi + Pyi, z) = or(yi. z) + P(yi, z) para los escalares a. /?; 3- -| y y jso n ortogonalescn L2 [a, 6] si “ 0- Como L2[a,¿>]es un espacio vectorial de dimensión infinita.no es posible hacer que el residuo r — y " - /s e a ortogonal a todas las I?[a, b] por medio de un cálculo finito. Sin embaído, puede elegirse una base que cubra tanto de ¡? como sea posible con los recursos computacionales disponibles. Sea el conjunto de n + 2 funciones de base indicado por ..., ,(r). Esto se especificará más adelante. H método de Galcrkin consiste en dos ideas principales. La primera es disminuir al mínimo r forzándola a ser ortogonal a las funciones de base, en el sentido del producto interno Lr. Esto significa forzar f a (y" — f)4>, dt — O, o [ by”m < 0 ) d t = f f(t,y./)4> i(t)dt (7.20) J a J a para cada 0 S / S n + 1. La forma (7.20) se llama la forma débil d d problema de valor de frontera. La segunda idea de Galcrkin es utilizar la integración por partes para eliminar las segundas derivadas. Tenga en cuenta que fb i‘b ¡ y "< /M í/)dr = ¡( r ) / ( / ) |¡ ¡ - I yU)4>¡(0dt r h = * ( * ) /< * ) - - j /
7 3 Colocación y el método del elemento finito | 369 Rgura 7.10 Sptlnas B llnaalas por partas usadas com o «lam entos finitos. Cada , < , ) . (7.23) 1—0 Las dos ideas de Galerkin hacen conveniente el uso de funciones muy simples, como los elementos finitos Las splines B lineales por partes se introducirán directamente y sólo se remitirá al lector a la bibliografía para conocer opciones más elaboradas. Comience con una malla /0 < f| < ... < tn < /n+| de puntos sobre el eje /. Para i = 1 n defina M ) = t ~ tj-i t i - t i -1 tn i ~ t *
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ANÁLISIS NUMÉRICO SEGUNDA EDICIÓ
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CAPITULO 11 Compresión B movimient
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12.1 Métodos de iteración de pote
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13.1 Optimización no restringida s
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13 .2 Optimización no restringida
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Apéndice A: Álgebra matricial Se
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L4 Matrices simétricas | 587 Las m
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B.5 Funciones | 595 i f n2 (x) e x
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B.7 Animación y películas | 597 B
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Respuestas a los ejercicios selecci
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Bibliografía | 633 J. A. Neldcr y
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