Análisis numérico, Timothy Sauer

6.1 Problemas de valor inicial | 289
soludón para / en todo el intervalo [a, b \ La razón simple es que la solución puede estar fuera del
rango de yen [a, p] para el cual la constante de Lipschitz es válida. Lo mejor que puede dedrse es
que la solución existe en algún intervalo más corto [a,c]. Este punto se ilustra mediante el siguiente
ejemplo:
► EJEM P LO 6.5
¿En qué intervalos [0, c] el problema de valor ¡nidal tiene una solución única?
/ = y z
> (0 ) = 1 (6 . 1 2 )
/e n [0 , 2 j.
La derivada pardal de /respecto a y es 2y. La constante de Lipschitz máx |2>j = 20 es válida
en el conjunto 0 =£ / ^ 2. - 1 0 s y < 10. El teorema 6.2 garantiza una solución iniciando en / = 0
y existente en algún intervalo [«, cj para c > 0 . pero no garantiza una solución en todo el intervalo
[0 . 2 ].
De hecho, la solución única de la ecuación diferendal (6.12) es y(/) = 1/(1 —/), que puede
encontrarse mediante la separación de variables. Esta solución tiende a infinito cuando / se aproxima
a I. En otras palabras, la solución existe en el intervalo 0 S / S c para cualquier 0 < c < I.
pero no para cualquier c más grande. En este ejemplo se explica la fundón de c en el teorema 6.2:
la constante de Lipschitz 20 es válida para (y| 10, pero la solución y supera a 10 antes de que /
llegue a 2 . -4
El teorema 6.3 es d hecho básico de la estabilidad (amplificación d d error) para ecuaciones
difercndalcs ordinarias. Si una constante de Lipschitz existe para d lado derecho de la ecuación diferencial,
entonces la solución se vuelve una fundón de Lipschitz del valor inicial, con una nueva
constante de Lipschitz que es exponendal en la función original. Ésta es una versión de la desigualdad
de Gronwall.
TEO REM A 6.3
Suponga q u e /[/, y) es continua de Lipschitz en la variable y sobre d conjunto S = [a,b\ x [a, (S].
Si Y\t) y 7Xt) son soluciones en Sde la ecuación diferencial
/ = / < ' . y)
con las condidones iniciales Y(,a) y Z(a), respectivamente, entonces
|K(/) - Z(/)| < eL(' - a>¡Y(a) - Z (a )|. (6.13)
D em ostradón. Si Y(a) = Z(a). entonces Y(t) = Z(/) por la unicidad de las soluciones,y (6.13)
es trivialmcntc satisfecha. Es posible suponer que Y(a) # Z{a), en cuyo caso >*(/) # Z(/) para toda
/ en d intervalo, para evitar contradecir la unicidad.
Defina u(r) 1 3 Y(t) - Z(/). Dado que u(/)es estrictamente positiva o bien estrictamente negativa,
y porque (6.13) sólo depende de |u], puede suponerse que u > 0. Entonces u(a) ■ Y(a) - Zia),
ANOTACIÓN
Condicionamiento La magnificación del error se analizó en los capítulos 1 y Jc o m o unafórm a
de cuantificar los efectos de los cambios pequeños en las entradas sobre la solución. El análogo de
esta cuestión para tos problemas de valores iniciales recibe una respuesta precisa mediante el teorema
6 3 . Cuando la condición inicial (los datos de entrada) Y(a) se cambia a Z{a\ el mayor cambio posible
en la salida f unidades de tiempo después. y(r) - Z(f), es exponencial en f y lineal en la diferencia de la
condición inicial. Esto último implica que puede hablarse de un 'núm ero de condición’ Igual a ~al>
durante un tiem po fijo f.