Análisis numérico, Timothy Sauer

418 | CAPÍTULO 8 Ecuaciones diferenciales parciales
o
W ij-w ij-1 /wí+{J - Wí- i j \ D
k + ^ -------- J = jpJ ~ 2wti + ‘"'-J.y)»
tu/y + ^ ‘UHjiwt+ij - W t-ij) - tr(wi+ij - 2u>i) + w,-i.j) - vutj-i = 0 (8.61)
donde se ha establecido a — Dk/h2. Tenga cn cuenta que, debido a los términos cuadráticos de
las variables tu, no es posible resolver directamente para w ¡+ij, Uty, tUj_i j .c n fonna explícita o
implícita Por lo tanto, se invoca el método multivariado de Newton del capítulo 2 para obtener la
solución.
Pira clarificar la implemcntación, indique las incógnitas en (8.61) como z¡ - Ufy. En el paso de
tiempo j ,se trata de resolver las ecuaciones
F¡(z\ zm) =z¡ + —• z¡(z¡ + 1 - z¡-1) - a(z¡ + 1 - 2z/ + z/_i) - tu /,/-t = 0
(8.62)
para las m incógnitas zi Tenga cn cuenta que el último término tUy _, se conoce a partir del
paso de tiempo anterior y se trata como una cantidad conocida.
la primera y última ecuaciones se sustituyen por las condiciones de frontera adecuadas. Por
ejemplo, en el caso de la ecuación de Burgers con condiciones de frontera de Dirichlet
se añadirán las ecuaciones
u, + uux = Duxx
u(x,0) = / ( x ) p araxi < x < x r (8.63)
u(x¡, /) = l(t) para toda / > 0
u(xr,t ) = r(l) para toda t > 0.
F\(z\ Zm) - z \ - l(tj) = 0
Fm(zx,...t zm) = zm - r(tj) = 0. (8.64)
Ahora hay m ecuaciones algebraicas no lineales con m incógnitas.
Paraaplicarel método multivariado de Newton. debe calcularse el jacobi ano DF(z) =3F/dz,
que de acuerdo con (8.62) y (8.64) tendrá la fonna tridiagonal
I 0 1
k n . . o . - *1)
a - ñ ' + 2a + - v r -
- a — kJ ±
2h
- a -t-
k(Zj ~ Z2>
I + 2xj -f-
2/r
kz2
2 h
- a -t- *z*
2h
kzm—i . k(zm zm_ 2 ) kzm — 1
- o - — 1 + 2rr + o + —
0 1
En general, las ecuaciones superior c inferior de DF dependen de las condiciones de frontera.
Una vez que se ha construido DF, se resuelve para z¡ = tUy mediante la iteración multivariada de
Newton
zA+l = zK - DF(zK)~{F(z*). (8.65)