Análisis numérico, Timothy Sauer

4.5 Mínimos cuadrados no lineales | 235
ANOTACIÓN
C onvergencia La no lineafidad en los problemas de mínimos cuadrados ocasiona desafíos adicionales.
Las ecuaciones normales y el enfoque QR encuentran la solución únicat siempre y cuando la
matriz A de coeficientes tenga un rango completo. Por otro lado, la Iteración de Gauss-Newton aplicada
a un problema no lineal puede converger a uno de varios mínimos relativos diferentes del error de
mínimos cuadrados. El uso de una aproximación razonable para el vector Inicial si ésta existe, agrega
convergencia al mínimo absoluto.
v
Figura 4.14 Ajusta exponencial de los datos da la oferta mundial de autom óviles usando llneallxadón.
El mejor a juste por m ínimos cuadrados es y - 58.51elQQ,r7?,.
Este modelo se ajusta con los datos de la oferta mundial de automóviles, donde / se mide en años
desde 1970 y los automóviles en millones. Cinco pasos del método de Gauss-Newton (4.33) a
partir de la estimación inicial (cj, Cj) = (50, 0.1) producen (cj, C2) (58.51,0.05772) con cuatro
dígitos de precisión. El mejor modelo exponencial de mínimos cuadrados para los datos es
y = 58.5 le0-05772'. (4.36)
La RMEC es 7.68, que significa un error promedio de modelado, en el sentido de los mínimos
cuadrados, de 7.68 millones de automóviles (vea la figura 4.14).
H mejor modelo (4.36) puede compararse con el mejor modelo exponencial lincalizado
y = 54.03*0-061521
calculado en el ejemplo 4.8. Esto se obtuvo de las ecuaciones normales aplicadas al modelo linealizado
In y = ln C| + C2 f- La RMEC de los errores ri del modelo lincalizado es 9.56, mayor que la
RMEC de (4.36), como se requería. Sin embargo, el modelo lincalizado disminuye al mínimo
la RMEC de los errores ln y, - (ln cj + Cjt¡\ dando un valor de 0.0357, menor que el valor correspondiente
de 0.0568 para el modelo (4.36), también como se requería. Cada uno de los modelos es
el ajuste óptimo en su espacio de dalos.
La moraleja es que existen algoritmos de cálculo para resolver cualquier problema. La minimización
de r, es el problema estándar de mínimos cuadrados, pero el usuario debe decidir sobre
la base del contexto de lo datos si es más apropiado minimizar los errores o linealizarlos. <
4 .5 .3 Método de Levenberg-M arquardt_______________________________________________
La minimizadón por mínimos cuadrados es muy difícil cuando la matriz de coeficientes resulta
estar mal condicionada. En el ejemplo 4.5 se encontraron grandes errores en la solución por mínimos
cuadrados de Ax = b cuando se emplearon las ecuaciones normales, puesto que AT A tenía un
número de condición grande.