Análisis numérico, Timothy Sauer

6 .4 Métodos y aplicaciones de Runge Kutta | 321
con la condición inicial >• (b) / = / - y (c) / = 4 / - 2y
con la condición inicial y(0) = 0. Las soluciones exactas se encontraron en el ejercicio 4 de la
sección 6 . 1 .
3. Aplique Runge-Kutta de cuarto orden para los PVI del ejercicio 1. Con el tamaño de paso
h = 1/4, calcule la aproximación en el intervalo [0 , 1 ]. Compare su respuesta con la solución correcta
hallada en el ejercicio 3 de la sección 6 .1 y encuentre el error de truncamiento total en t = 1.
4. Realice los pasos del ejercicio 3 para los PVI del ejercicio 2.
5. Demuestre que para cualquier a * 0, el método de (6.49) es de segundo orden.
6 . Considere el problema de valor inicial y' = Ay. La solución es y(t) = ytf*2. (a) Calcule con
RK4 en términos de Wq para esta ecuación diferencial, (b) Calcule el error de truncamiento local
estableciendo uiq = y0 “ 1 y determinando yt - u>(. Demuestre que el error de truncamiento local
es de tamaño 0(hs), como se espera de un método de cuarto orden.
7. Suponga que el lado derecho de/(í, y) = /(/) no depende de y. Demuestre que j 2 = Sy en Runge-
Kutta de cuarto orden y que RK4 es equivalente a la regla de Simpson para la integral f ¡¡+ * /( s ) ds.
6 .4 P ro b le m as de co m p u tad o ra
1. Aplique el método del punto medio en una malla con tamaño de paso h = 0.1 en [0, 1] para los
problemas de valor inicial del ejercicio I. Imprima una tabla con los valores der. las aproximaciones
y los errores de truncamiento total en cada paso.
2. Aplique el método de Runge-Kutta de cuarto orden usando una malla con tamaño de paso h = 0.1
en (0 . 1 ) para los problemas de valor inicial del ejercicio 1. Imprima una tabla con los valores de r.
las aproximaciones y los errores de truncamiento global en cada paso.
3. Realice los pasos del problema de computadora 2, pero grafique las soluciones aproximadas en
[0.1J para tamaños de paso h = 0.1,0.05 y 0.025, junto con la solución verdadera.
4. Realice los pasos del problema de computadora 2 para las ecuaciones del ejercicio 2.
5. Grafique la solución aproximada del método de Runge-Kutta de cuarto orden en [0. 1J para la
ecuación diferencial y' ■ 1 + y 2 y la condición inicial (a)y0 ■ 0 (b)y0 ■ 1 , junto con la solución
exacta (vea el ejercido 7 de la sccdón 6.1). Utilice tamaños de paso h = 0.1 y 0.05.
6 . Grafique la solución aproximada del método de Runge-Kutta de cuarto orden en [0. 1J para la
ecuación diferendal y' - 1 - y2 y la condidón inidal (a) y0 “ 0 (b) y0 - - 1/ 2 , junto con
la soludón exacta (vea el ejercido 8 de la sccdón 6.1). Utilice tamaños de paso h = 0.1 y 0.05.
7. Calcule la solución aproximada del método Runge-Kutta de cuarto orden en [0. 4] para la ecuaaón
diferendal y' ” sen y y la condidón inidal (a) y0 " 0 (b) y0 ** 1 0 0 , con tamaños de paso
ñ = 0.1 x 2"* para k ^ 0 < 5. Grafique las soluciones aproximadas k = 0 y k = 5 junto con la
solución exacta (vea el ejercicio 15 de la sección 6 .1). También haga una gráfica log-log del error
como una fundón de h.