Análisis numérico, Timothy Sauer

450 | CAPÍTULO 9 Números aleatorios y sus aplicaciones
Figura 9.10 M ovim iento browniano d iscreta (a) C am inata a le ato ria Wrd e 10 pasos, (b) C am inata aleatoria
IVf2 u s an d o 25 v e ce s m ás p a s o s q u e (a), p e ro c o n u n a a ltu ra d e p a so d e l/V Ü .L a m edia y la va ría nza d e la
a ltu ra e n e l m o m e n to t = 10 son id én ticas (0 y 10, resp ectiv am en te) p ara los p ro c eso s (a) y (b).
Por lo tanto. W} se define como la caminata aleatoria que realiza pasos s, de longitud horizontal
\/k. una altura de paso ± \/V k y la misma probabilidad. Entonces, el valor esperado en el
tiempo t sigue siendo
y la varianza es
kl kl
V(W,‘) = £ V < J ) = ] T
1=1 1=1
kl kt
E(W*) = ' E E(j f ) = £ o = 0,
/=! /=!
Si se reduce el tamaño de paso y la altura de poso de la caminata aleatoria de esta manera precisa a
medida que A-aumenta, la varianza y la desviación estándar se mantienen constantes, independientemente
del número k de pasos por unidad de tiempo. En la figura 9.10(b) se muestra un desarrollo
de W,k,donde k = 25. de modo que se realizan 250 pasos individuales en 10 unidades de tiempo.
La media y la varianza en t - 10 son las mismas que en la figura 9.10(a).
El límite Wf** de esta progresión cuando k -* » produce un movimiento browniano continuo.
Ahora el tiempo res un número real y B, = ÍFf°°es una variable aleatoria para cada / S 0. El
movimiento browniano continuo B, tiene tres propiedades importantes:
Propiedad 1 Para cada r. la variable aleatoria B, está por lo regular distribuida con media 0 y varianza t.
Propiedad 2 Para cada t\ < 12. la variable aleatoria normal Bh - B,tcs independiente de la variable aleatoria B,,.
y de hecho es independiente de toda Br 0 s ^ t\.
Propiedad 3 El movimiento browniano B, puede representarse mediante trayectorias continuas.
La aparición de la distribución normal es una consecuencia del teorema del límite central, un hecho
profundo acerca de la probabilidad.
La simulación por computadora del movimiento browniano se basa en el respeto a estas tres
propiedades. Establezca una malla de pasos
0=/o