Análisis numérico, Timothy Sauer

6.6 Métodos implícitos y ecuaciones rígidas | 333
Como la solución es y(t) = 1 — e “ ,0 f/2. la soludón aproximada debe acercarse a 1 en el largo
plazo. Aquí se obtiene un poco de ayuda del capítulo 1. Observe que (6 .6 8 ) puede verse como una
iteración de punto fijo con #(x) = x(l - 1 0 /t) — lQ/i. Esta iteración converge al punto fijo en x “ 1
siempre que |g '(l)| “ |1 - 10/»| < 1. Al resolver esta desigualdad se obtiene 0 < h < 0.2. Para
cualquier h más grande, el punto fijo 1 se aleja y no se tendrá la soludón. 4
En la figura 6.21 se muestra este efecto para el ejemplo 6.24. La solución es muy dódl: un
equilibrio atrayente en y = 1. Un paso de Euler de tamaño h = 0.3 tiene dificultad para cnoontrar
cl equilibrio debido a que la pendiente cercana a la solución cambia mucho entre el comienzo y el
final d d intervalo h. Esto causa un alejamiento a la soludón numérica.
Fig u ra6.21 Com paración da lo* pasos da Eular y Eular h ad a a tris.L a ecuación diferencial del ejem plo 6 23
es rígida. La solución d e equilibrio y = 1 está rodeada por otras soluciones de gran curvatura (cuya pendiente
cambia con rapidez). El paso de Euler rebasa la solución, mientras que el paso de Euler hacia atrás es más
consistente con la dinám ica d el sistema.
l.as ecuaciones diferenciales con esta propiedad (que las soluciones atrayentes están rodeadas
de soluciones cercanas que cambian con rapidez) se denominan rígidas. Esto suele ser una señal de
la existencia de múltiples escalas de tiempo en el sistema. Cuantitativamente, esto corresponde a
una parte lineal del lado derecho /d e la ecuación diferencial, en la variable y, que es grande y negativa.
(Para un sistema de ecuaciones, esto corresponde a un valor propio de la parte lineal que es
grande y negativo). Esta definición es un poco relativa, pero es la naturaleza de la rigidez (entre más
negativa sea, menor será el tamaño de paso para evitar el alejarse). Para el ejemplo 6.24, la rigidez
se mide mediante la evaluación dc d f Jdy m - 1 0 en la solución de equilibrio y « 1 .
Una manera de resolver el problema que se representa en la figura 6.21 consiste en transferir
de algún modo información desde el lado derecho del intervalo [t¡, t¡ + hj. en vez de confiar sólo en
la información del lado izquierdo. Ésa es la motivación detrás de la siguiente variación del método
de Euler:
Método de Euler hacia atrás
W' 0 = >t)
U) ¡ + 1 = w¡ + h f( tl+1. Wj+i). (6.69)
Observe la diferencia: mientras que el método de Euler emplea la pendiente del extremo izquierdo
para pasar a través del intervalo. Euler hacia atrás intenta cruzar el intervalo de modo que
la pendiente en el extremo derecho sea la correcta.
fóra lograr esta mejora debe pagarse un precio. Euler hacia atrás es el primer ejemplo de un
método implícito, lo que significa que el método no da directamente una fórmula para la nueva