Análisis numérico, Timothy Sauer

246 | CAPITULO 5 Diferenciación e integración numérica
Demostración. Sean /(*,•) e 1 mínimo y/(xy)el máximo de los valores de la función. Entonces
a \f(x t) + ••• + a„/(x¡) < a \f(x\) + ••• + a„f(x„) < a \f(x j) + ••• + anf{ x j)
implica que
A * > < a i / ( x
a
i
i
) t
H
" ' t
V a„
a ° / s /•
POr el teorema del valor intermedio, existe un número c entre x¡ y Xj de tai forma que
, ( c ) _ oi/(-V |)4- - + a „ / ( x w)
a i -1 an
y (5.6) se satisface.
□
El teorema 5.1 dice que es posible combinar los dos últimos términos de (5.5), de donde se
obtiene una fórmula de segundo orden:
Fórmula de la diferencia centrada de tres puntos
/ ( 0 ^ / U + *) 2~ / (X ~ * ) - f r (c). (5.7)
donde x — h < c < x + h.
►EJEMPLO 5.2 Use la fórmula de las diferencias centrales de tres puntos con h = 0.1 para aproximar la derivada
dc/(x) = 1/x c n x — 2 .
La fórmula de la diferencia centrada de tres puntos se evalúa como
/ w ^ / ( , + = w _ 02S06
El error es 0.0006. que representa una mejora respecto a la fórmula de la diferencia hacia adelante
de dos puntos usada en el ejemplo 5.1. - 4
Las fórmulas de aproximación para derivadas de orden superior pueden obtenerse de la misma
forma. Por ejemplo, la expansión de Taylor
y
/ ( * + /!) = / ( * ) + h f( x ) + J /'< * ) + “ /*'