Kompleksianalyysi I.pdf

More documents

Recommendations

Info

5 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 4) |z| = |z| kaikille z ∈ C. Jos z = x+iy ≠ 0, niin edellä tavattu käänteisalkio voidaan laskea laventamalla liittoluvulla eli Lisää ominaisuuksia: 1) z = z kaikilla z ∈ C. 2) z 1 +z 2 = z 1 +z 2 . 3) z 1 z 2 = z 1 z 2 . 4) ( 1 = z) 1 z . z −1 = 1 z = z zz = z x 2 +y 2 = x x 2 +y − iy 2 x 2 +y 2. 5) z 1 z 2 = z 1z 2 |z 2 | 2, z 2 ≠ 0. 6) z +z = 2Re(z) ja z −z = i2Im(z). Määritelmä 1.6. Jos z 0 ∈ C ja ε > 0, niin z 0 -keskinen, ε-säteinen kompleksitason ympyrä on S ε (z 0 ) = {z ∈ C : |z −z 0 | = ε}. Huomautus. 1) Jos z 1 ,z 2 ∈ S 1 (0), niin z 1 z 2 ∈ S 1 (0). 2) Jos z 1 ∈ S 1 (0), niin 1 z 1 ∈ S 1 (0). Esimerkki 1.7. Olkoon z 1 = 3+4i ja z 2 = 2+3i. Tällöin a) z 1 +z 2 = 3+2+(4+3)i = 5+7i b) z 1 z 2 = (3+4i)(2+3i) = 6−12+(9+8)i = −6+17i c) 1 z 2 = z 2 |z 2 | 2 = 2−3i 4+9 = 2 13 − 3 13 i d) z 1 = z 1z 2 = (3+4i)(2−3i) z 2 z 2 z 2 13 = (6+12)+(−9+8)i 13 = 18 13 − i 13 .
<strong>Kompleksianalyysi</strong> I 6 1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys Olkoon z ∈ C,z ≠ 0,z = x + iy. Merkitään r = |z| = √ x 2 +y 2 (z:n moduuli) ja olkoonθ positiivisen reaaliakselin jaz:n väliin jäävä kulma. Kulmaθ voidaan rajoittaa välille 0 ≤ θ < 2π. Tällöin z = x+iy = r(cosθ+isinθ) on luvun z (yksikäsitteinen) napakoordinaattiesitys. Kulmaa θ sanotaan luvun z argumentiksi ja sitä merkitään θ = argz. y r θ z = x+iy x Kulman θ määrääminen voidaan jakaa seuraaviin tapauksiin: • Tapaus y = 0 ja x ≠ 0: – Jos x > 0, niin θ = 0. – Jos x < 0, niin θ = π. • Tapaus x = 0 ja y ≠ 0: – Jos y > 0, niin θ = π 2 . – Jos y < 0, niin θ = 3π 2 . • Jos taas x,y ≠ 0, niin { x = rcosθ Tällöin y = rsinθ. tanθ = y x = rsinθ rcosθ = sinθ cosθ
Page 1: Kompleksianalyysi I 801385A 2011
Page 4 and 5: Kompleksianalyysi I ii
Page 6 and 7: Luku 1 Kompleksilukujen kunta Lukuj
Page 8 and 9: 3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Lu
Page 12 and 13: 7 Luku 1. Kompleksilukujen kunta el
Page 14 and 15: 9 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Jo
Page 16 and 17: 11 Luku 1. Kompleksilukujen kunta M
Page 18 and 19: 13 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 1
Page 20 and 21: 15 Luku 1. Kompleksilukujen kunta E
Page 22 and 23: Luku 2 Kompleksimuuttujan funktiois
Page 24 and 25: 19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funkt
Page 42 and 43: Luku 3 Käyräintegraali C:ssä 3.1
Page 44 and 45: 39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä
Page 50 and 51: Hakemisto alue, 40 analyyttinen fun

Kompleksianalyysi I.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?