Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 2
K8 ◦ a·b = b·a kaikilla a,b ∈ K.
K9 ◦ a·(b+c) = (a·b)+(a·c) kaikilla a,b,c ∈ K.
1.1 Kompleksilukujen kunta
Tarkastellaan joukkoa
R 2 = R×R = {(x,y) : x,y ∈ R},
missä (x,y) on järjestetty reaalilukujen pari, jolle pätee (x 1 ,y 1 ) = (x 2 ,y 2 ) jos ja vain
jos x 1 = x 2 ,y 1 = y 2 .
Voidaan tulkita R ⊂ R 2 , kun alkio x ∈ R samaistetaan alkion (x,0) ∈ R 2 kanssa.
Näin ajatellen R 2 on R:n laajennus joukkona.
Määritellään laskutoimitukset+ja·joukossaR 2 seuraavasti: jos(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) ∈
R 2 , niin
1) (x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 ) = (x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ) ∈ R 2
2) (x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = (x 1 x 2 −y 1 y 2 ,x 1 y 2 +x 2 y 1 ) ∈ R 2 .
Huomautus. Laskutoimitukset + ja · ovat reaalilukujen tavanomaisten yhteen– ja
kertolaskun laajennuksia joukkoon R 2 .
Merkitään i = (0,1) ∈ R 2 . Jos (x,y) ∈ R 2 , niin
(x,y) = (x,0)+(0,y) = (x,0)+(0,1)(y,0) = (x,0)+i(y,0) = x+iy.
Täten voidaan samaistaen kirjoittaa
R 2 = {(x,y) : x,y ∈ R} = {x+iy : x,y ∈ R} = C.
Huomautus. Joukon R 2 kertolaskun määritelmän nojalla
i 2 = (0,1)·(0,1) = (0−1,0) = (−1,0)
eli i 2 = −1. Alkiota i kutsutaan imaginääriyksiköksi.
Määritelmä 1.2 (Joukko C). Jos x + iy ∈ C,x,y ∈ R ja i on imaginääriyksikkö,
jolle pätee i 2 = −1, niin merkitään z = x+iy. Jos z k = x k +iy k ∈ C,k = 1,2, niin
laskutoimitukset (1) ja (2) tulevat muotoon:
1) z 1 +z 2 = (x 1 +iy 1 )+(x 2 +iy 2 ) = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 )
2) z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) = (x 1 x 2 −y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ).