Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 18
Usein tutkitaan jonkin osajoukon B ⊂ M(f) kuvajoukkoa.
Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisen funktion lauseke f(z) voidaan (ainakin
periaatteessa) esittää seuraavassa muodossa:
Jos z = x+iy ∈ M(f), niin on olemassa sellaiset muuttujien x,y ∈ R reaaliarvoiset
funktiot u ja v, että
f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y).
Esimerkki 2.4. 1) Jos f(z) = z, niin u(x,y) = x ja v(x,y) = y.
2) Jos f(z) = z 2 , niin u(x,y) = x 2 −y 2 ja v(x,y) = 2xy.
3) Jos
niin
4) Jos
u(x,y) =
f(z) = 1 z = ¯z
|z| 2,
x −y
x 2 +y2, v(x,y) = ja M(u) = M(v) = R 2 \{0}.
x 2 +y 2
f(z) = e z =
∞∑
k=0
niin u(x,y) = e x cosy ja v(x,y) = e x siny.
z k
k! = ex+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny)
Määritelmä 2.5. Olkoot f ja g : A → C funktioita. Asetetaan
1) (f +g)(z) = f(z)+g(z),z ∈ A, (summafunktio)
2) (fg)(z) = f(z)g(z),z ∈ A, (tulofunktio)
3) (f/g)(z) = f(z)/g(z),z ∈ A,g(z) ≠ 0 (osamääräfunktio) ja
4) (f ◦g)(z) = f(g(z)),z ∈ A (yhdistetty funktio).
Määritelmä 2.6. Olkoot A,B ⊂ C,A,B ≠ ∅ ja f : A → B. Tällöin funktio f on
1) surjektio A → B, jos jokainen w ∈ B on muotoa w = f(z) jollain z ∈ A eli
f(A) = {f(z) : z ∈ A} = B.
2) injektio, jos ehdosta f(z 1 ) = f(z 2 ),z 1 ,z 2 ∈ A seuraa z 1 = z 2 .
3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio.