Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 10
Määritelmä 1.12. Olkoon A ⊂ C. Sanotaan, että A on suljettu, jos sen komplementti
A c = C\A on avoin.
Huomautus.
1) C ja ∅ ovat sekä avoimia ja suljettuja joukkoja.
2) Avoin kiekko on avoin joukko.
Todistus. 1) C on selvästi avoin, ja lisäksi sen komplementti∅on määritelmän mukaan
avoin, joten C on myös suljettu. Samoin ∅ on suljettu, koska sen komplementti
C on avoin.
2) Olkoon D r (z 0 ) avoin kiekko ja z ∈ D r (z 0 ) sen mielivaltainen piste.
Valitaan δ = r − |z − z 0 | > 0, ja otetaan toinen avoin kiekko D δ (z). Jos w ∈
D δ (z), niin |w−z| < δ. Siten
|w−z 0 | ≤ |w−z|+|z −z 0 | < δ +|z −z 0 | = r −|z −z 0 |+|z −z 0 | = r.
Siis w ∈ D r (z 0 ). Täten D δ (z) ⊂ D r (z 0 ) ja D r (z 0 ) on avoin.
Huomautus. Olkoon I jokin indeksijoukko.
1) Jos A i ⊂ C,i ∈ I ovat avoimia, niin
⋃
A i on avoin.
2) Jos A 1 ,A 2 ,A 3 ,...,A n ⊂ C ovat avoimia, niin
n⋂
A i on avoin.
i∈I
i=1
3) Jos A i ⊂ C,i ∈ I ovat suljettuja, niin
⋂
A i on suljettu.
4) Jos A 1 ,A 2 ,A 3 ,...,A n ovat suljettuja, niin
n⋃
A i on suljettu.
i∈I
i=1