Kompleksianalyysi I.pdf

More documents

Recommendations

Info

35 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista 2) sinh(z 1 +z 2 ) = sinhz 1 coshz 2 +coshz 1 sinhz 2 . Huomautus. Jos z ∈ C, niin määritelmien mukaan 1) sin(iz) = isinhz 2) cos(iz) = coshz. 2.6.8 Yleistetty potenssifunktio Jos a ∈ C on vakio, niin asetetaan z a = e alogz , kun z ≠ 0. Tässä logz = Logz +ik2π, missä edelleen Logz = ln|z|+iargz. Logaritmin vuoksi myös potenssifunktio on monihaarainen (moniarvoinen). Esimerkki 2.39. Lasketaan i i . Koska i = 1·(cos π 2 +isin π 2 ), niin Logi = ln|i|+iπ 2 = iπ/2. Siten i i = e ilogi = e i(Logi+i2kπ) = e i(iπ 2 +i2kπ) = e −π 2 −k2π = e −π 2 +k2π ,k ∈ Z. 2.7 L’Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle Lause 2.40. Oletetaan, että f ja g ovat analyyttisiä pisteessä z 0 ja f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0. Tällöin f(z) lim z→z 0 g(z) = lim f ′ (z) z→z 0 g ′ (z) . Todistus. Koska f ja g ovat analyyttisiä z 0 :ssa, niin (kuten aiemmin) ja f(z) = f(z 0 )+f ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 1 (z) g(z) = g(z 0 )+g ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 2 (z), missä ε 1 (z) → 0 ja ε 2 (z) → 0, kun z → z 0 . Siten f(z) g(z) = f(z 0)+f ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 1 (z) g(z 0 )+g ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 2 (z) = f′ (z 0 )+ε 1 (z) g ′ (z 0 )+ε 2 (z) −→ f′ (z 0 ) g ′ (z 0 ) , kun z → z 0 .
<strong>Kompleksianalyysi</strong> I 36
Page 1: Kompleksianalyysi I 801385A 2011
Page 4 and 5: Kompleksianalyysi I ii
Page 6 and 7: Luku 1 Kompleksilukujen kunta Lukuj
Page 8 and 9: 3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Lu
Page 10 and 11: 5 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 4)
Page 12 and 13: 7 Luku 1. Kompleksilukujen kunta el
Page 14 and 15: 9 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Jo
Page 16 and 17: 11 Luku 1. Kompleksilukujen kunta M
Page 18 and 19: 13 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 1
Page 20 and 21: 15 Luku 1. Kompleksilukujen kunta E
Page 22 and 23: Luku 2 Kompleksimuuttujan funktiois
Page 24 and 25: 19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funkt
Page 42 and 43: Luku 3 Käyräintegraali C:ssä 3.1
Page 44 and 45: 39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä
Page 50 and 51: Hakemisto alue, 40 analyyttinen fun

Kompleksianalyysi I.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?