Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 8
Kirjoitetaan z = r(cosθ+isinθ) ja pyritään määräämään r ja θ. De Moivren kaavan
nojalla
z 3 = r 3 (cos3θ+isin3θ) = 1 = cos0+isin0,
missä myös luku1on kirjoitettu napakoordinaateissa. Ottamalla itseisarvot puolittain
saadaan r 3 = 1, joten r = 1. Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia keskenään saadaan
jaksollisuus huomioiden
3θ = 0+k2π, k ∈ Z
eli θ = θ k = k2π/3. Täten yhtälön ratkaisut ovat (r = 1)
eli
ja
z k = cosθ k +isinθ k
z 0 = cos0+isin0 = 1,
z 1 = cos 2π 3 +isin 2π 3 = −1 2 + √
3
2 i
z 2 = cos 4π 3 +isin 4π 3 = −1 2 − √
3
2 i.
Muilla arvoilla k saadaan jaksollisesti samoja ratkaisuja.
1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa
Tunnetusti tason R 2 suora voidaan aina esittää muodossa
L = {r ∈ R 2 : r = r 0 +tv,t ∈ R},
missär 0 onL:n kiinteä piste jav ∈ R 2 ,v ≠ 0 on virittäjävektori. Vastaavasti pisteiden
P 1 ja P 2 välinen jana on
[P 1 ,P 2 ] = {r ∈ R 2 : r = OP 1 +t(OP 2 −OP 1 ),t ∈ [0,1]},
missä O = (0,0) on origo. Avaruudessa R 2 suora voidaan ilmaista myös muodossa
L = {(x,y) ∈ R 2 : ax+by = d},
missä (a,b) ≠ (0,0). Vastaavasti kompleksitasossa C suora on
L = {z ∈ C : z = z 0 +tw,t ∈ R},
missä z 0 ∈ L on kiinteä piste ja w ∈ C,w ≠ 0 on virittäjävektori.