Kompleksianalyysi I.pdf

More documents

Recommendations

Info

13 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 1) raja-arvo a on yksikäsitteinen 2) lim n→∞ (a n +b n ) = a+b 3) lim n→∞ (a n b n ) = ab a n 4) lim = a n→∞ b n b , kun b ≠ 0 5) Jos a n = x n +iy n missä x n ,y n ∈ R ja lim n→∞ a n = a = x+iy, niin Näin on, koska lim x n = x ja n→∞ lim y n = y. n→∞ |y n −y|,|x n −x| ≤ |a n −a| → 0. 6) Jos a n = |a n |(cosθ n +isinθ n ) ja a = |a|(cosθ+isinθ), niin lim |a n| = |a| ja n→∞ lim θ n = θ (mod 2π). n→∞ Määritelmä 1.25 (Cauchyn jono). Jono (a n ) ⊂ C on Cauchyn jono, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassas sellainen N = N(ε) > 0, että aina, kun m,n > N. |a m −a n | < ε Esimerkki 1.26. Osoitetaan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. Olkoon Kolmioepäyhtälön nojalla lim a n = a. n→∞ |a m −a n | = |(a m −a)−(a n −a)| ≤ |a m −a|+|a n −a|. Koska jono a n suppenee, niin on olemassa sellaiset N 1 ,N 2 , että |a m −a| < ε ja |a n −a| < ε 2 2 kun m > N 1 ja n > N 2 . Valitaan N = max{N 1 ,N 2 }, jolloin eli a n on Cauchyn jono. |a m −a n | < ε, m,n > N Tunnetusti jokainen (reaalinen) Cauchyn jono (a n ) ⊂ R suppenee, toisin sanoen on olemassa lim n→∞ a n = a. Jokainen Cauchyn jono suppenee myös C:ssä. Olkoon A ⊂ C epätyhjä. Tällöin a ∈ cl(A) jos ja vain jos on olemassa jono (a n ) ⊂ A jolle lim n→∞ a n = a.
<strong>Kompleksianalyysi</strong> I 14 1.7 Sarjat Olkoon (a n ) ⊂ C jono. Merkitään S n = n∑ a k . k=1 Tällöin saadaan osasummien jono (S n ) ⊂ C. Jos on olemassa, niin sanotaan, että sarja lim S n = S n→∞ ∞∑ n=1 suppenee. Lisäksi tällöin S = ∑ ∞ n=1 a n. Jos lim S n ei ole olemassa, niin sanotaan, n→∞ että sarja hajaantuu. Kompleksilukujen sarjoille pätevät samat ominaisuudet kuin R:ssä: 1) Jos sarja ∑ ∞ n=1 a n suppenee, niin lim n→∞ a n = 0. Osoitetaan tämä. Olkoon Koska a n = S n −S n−1 , niin a n S = lim n→∞ S n . lim a n = lim(S n −S n−1 ) = S −S = 0. n→∞ n→∞ 2) Jos ∑ ∞ k=1 a k suppenee ja a k = x k +iy k ,(x k ),(y k ) ⊂ R, niin sarjat ∞∑ k=1 x k ja ∞∑ k=1 y k suppenevat. 3) Jos sarja ∑ ∞ k=1 |a k| suppenee (itseinen suppeneminen), niin sarja ∞∑ suppenee. k=1 a k
Page 1: Kompleksianalyysi I 801385A 2011
Page 4 and 5: Kompleksianalyysi I ii
Page 6 and 7: Luku 1 Kompleksilukujen kunta Lukuj
Page 8 and 9: 3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Lu
Page 10 and 11: 5 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 4)
Page 12 and 13: 7 Luku 1. Kompleksilukujen kunta el
Page 14 and 15: 9 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Jo
Page 16 and 17: 11 Luku 1. Kompleksilukujen kunta M
Page 20 and 21: 15 Luku 1. Kompleksilukujen kunta E
Page 22 and 23: Luku 2 Kompleksimuuttujan funktiois
Page 24 and 25: 19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funkt
Page 42 and 43: Luku 3 Käyräintegraali C:ssä 3.1
Page 44 and 45: 39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä
Page 50 and 51: Hakemisto alue, 40 analyyttinen fun

Kompleksianalyysi I.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?