Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 38
Huomautus. Parametriväli [a,b] voidaan valita miksi tahansa väliksi [c,d] seuraavan
päättelyn mukaan. Olkoon h : [c,d] → [a,b] aidosti kasvava bijektio,
{z(t) : t ∈ [a,b]} = γ
ja {h(t) : t ∈ [c,d]} = [a,b]. Jos γ 1 = {z(h(t)) : t ∈ [c,d]}, niin γ 1 = γ.
Jos puolestaam h : [c,d] → [a,b] on aidosti vähenevä, niin
{z(h(t)) : t ∈ [c,d]} = −γ.
Esimerkki 3.4. Olkoon h : [0,1] → [0,1],h(t) = t 2 (kasvava) bijektio. Tällöin
{z(h(t)) : t ∈ [0,1]} = {z(t) : t ∈ [0,1]}.
Esimerkki 3.5. Jos h : [0,1] → [0,1],h(t) = 1−t on (vähenevä) bijektio, niin
{z(h(t)) : t ∈ [0,1]} = −{z(t) : t ∈ [0,1]}.
Huomautus. Pisteiden z 1 ,z 2 ∈ C välistä (suunnistettua) janaa merkitään
γ [z1 ,z 2 ] = [z 1 ,z 2 ] = {z ∈ C : z = z 1 +t(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]}.
Tällöin
−γ [z1 ,z 2 ] = {z ∈ C : z = z 1 +(1−t)(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]}.
Määritelmä 3.6. Käyrä γ = {z(t) : t ∈ [a,b]} on sulkeutuva, jos z(a) = z(b).
Esimerkki 3.7. Ympyrä γ = {z : |z| = r} = S r (0) voidaan esitää käyränä, kun
z(t) = r(cost+isint)) = re it ,t ∈ [0,2π]
taiz(t) = re i2πt ,t ∈ [0,1]. Yleisemmin,z 0 -keskinen r-säteinen ympyrä voidaan esittää
käyränä
γ = {z(t) : z = z 0 +re it ,t ∈ [0,2π]} = S r (z 0 ).
Käyrien yhdistäminen Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, joille γ 1 :sen loppupiste kuin γ 2 :sen
alkupiste (suunnistus olemassa). Yhdistetty käyrä
γ = γ 1 ∪γ 2
voidaan parametrisoida esimerkiksi seuraavasti: Jos
γ 1 = {z 1 (t) : t ∈ [0,1]}