Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 30
2.6.3 Juurifunktiot
Olkoonf(z) = z m ,z ∈ C,m = 2,3,4,... jaS k = S[k 2π m ,(k+1)2π [,k = 0,1,2,...,m−
m
1.
Josw = z m jaw = r(cos(ϕ+k2π)+isin(ϕ+k2π)),ϕ ∈ [0,2π[, niin (vrt. Esimerkki
2.10)
m√ √ (
w =
m
r cos
( ) ( ϕ+k2π ϕ+k2π
+isin
m m
))
, k = 0,1,2,...,m−1.
Näin saadaan eri ratkaisu jokaisella k:n arvolla. Jos k = 0, saadaan pääarvo. Yleisesti
voidaan asettaa:
f k = f| Sk , f −1
k
: C → S k , f k (S k ) = C
ja
2.6.4 Eksponenttifunktio
f −1
k (w) = m√ w ∈ S k .
1) Eksponenttifunktio voidaan määritellä jollakin seuraavista tavoista:
f(z) = e z =
∞∑
k=0
z k (
k! = lim 1+ z n
= e
n→∞ n) x (cosy +isiny).
2) Jos z ∈ R, niin e z = e x+iy = e x (cos0 + isin0) = e x eli e z laajentaa tutun
funktion e x käsitettä.
3) |e z | = |e x (cosy +isiny)| = |e x ||cosy +isiny| = e x > 0. Siten 0 /∈ A(e z ).
4) Koska e z = e x+iy = e x e iy , niin tutusti
5) e z = e z kaikilla z ∈ C.
e z 1
e z 2
= e x 1+x 2
e i(y 1+y 2 ) = e z 1+z 2
.
6) Koska cos(y +k2π) = cosy ja sin(y +k2π) = siny kaikilla y ∈ R, niin
e z+ik2π = e x+i(y+2kπ) = e x (cosy +isiny) = e z , z ∈ C,k ∈ Z.
Siis e z on jaksollinen ja sen jakso on i2π. Erityisesti e z ei ole injektio C → C.
Osoitetaan, että f(C) = C\{0}, kun f(z) = e z .
Osoitetaan, että f(T[0,2π[) = C\{0}, missä
T[0,2π[= {x+iy ∈ C : x,y ∈ R,0 ≤ y < 2π}