Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 40
Käyrän tangentti Jos
niin derivaatta pisteessä z(t) on
γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t ∈ [a,b]},
z ′ (t) = x ′ (t)+iy ′ (t),
jos x ′ (t) ja y ′ (t) ovat olemassa välillä t ∈]a,b[ ja toispuoleiset raja-arvot x ′ +(a),x ′ −(b)
sekä y ′ +(a),y ′ −(b) ovat olemassa.
Huomautus. Tärkeitä käyriä ovat:
• janat z 1 ,z 2 ∈ C,z 1 ≠ z 2 :
[z 1 ,z 2 ] = {z : z(t) = z 1 +t(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]}
• ympyrät z 0 ∈ C,r ∈ R,r > 0:
{z : z(t) = z 0 +re it ,t ∈ [0,2π]}
tai
{z : z(t) = z 0 +re i2πt ,t ∈ [0,1]}.
Huomautus. Jos käyrä γ on sulkeutuva eikä leikkaa itseään, niin γ on niin sanottu
Jordan–käyrä.
3.2 Käyräintegraali
Olkoon f funktio A → C ja A ⊂ C alue eli avoin ja polkuyhtenäinen joukko. Olkoon
γ = {z(t) : t ∈ [a,b]} alueessa A sijaitseva säännöllinen käyrä. Oletetaan, että z ′ (t)
on olemassa välillä ]a,b[ ja toispuoleisena päätepisteissä, sekä z ′ (t) ≠ 0 ja jatkuva.
Oletetaan, että f on jatkuva käyrällä γ. Olkoon
P = {a = t 0 < t 1 < ··· < t n−1 < t n = b}
välin [a,b] jako. Merkitään z k = z(t k ),t k ∈ P,k = 0,1,2,...,n. Yhdistämällä peräkkäiset
pisteet z k−1 ja z k ,k = 1,2,...,n janoilla saadaan murtoviiva.
Tarkastellaan summalauseketta
S P (f,{ξ k }) =
n∑
f(ξ k )(z k −z k−1 ),
k=1