Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 

801385A 

2011

i 

Esipuhe 

Tämän luentomonisteen ensimmäisen version kirjoitti Tero Knuutinen Jorma Arhippaisen 

kevään 2007 luentojen pohjalta. Uudistetun painoksen on toimittanut Markus 

Harju vuoden 2011 kesäkurssia varten.

Kompleksianalyysi I 

ii

Sisältö 

1 Kompleksilukujen kunta 1 

1.1 Kompleksilukujen kunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.5 Kompleksitason topologiaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.6 Jonoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.7 Sarjat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2 Kompleksimuuttujan funktioista 17 

2.1 Kompleksiarvoiset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.2 Funktion raja-arvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.3 Jatkuvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.5 Cauchyn–Riemannin yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.6 Eräitä funktioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.6.1 Polynomifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.6.2 Rationaalifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2.6.3 Juurifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.6.4 Eksponenttifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

2.6.5 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

2.6.6 Trigonometriset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.6.7 Hyperboliset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

2.6.8 Yleistetty potenssifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

2.7 L’Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3 Käyräintegraali C:ssä 37 

3.1 Kompleksitason käyristä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

3.2 Käyräintegraali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

Hakemisto 45 

iii

Luku 1 

Kompleksilukujen kunta 

Lukujoukkoja merkitään seuraavasti: 

N = {0,1,2,...} 

(luonnolliset luvut) 

Z = {...,−1,0,1,...} 

(kokonaisluvut) 

Q = { m : m,n ∈ Z,n ≠ 0} 

(rationaaliluvut) 

n 

R = {x = ∑ ∞ 

k=l a k10 −k : l ∈ Z,a k ∈ {0,1,...,9}} (reaaliluvut) 

Määritelmä 1.1 (Kunta). Olkoon K ≠ ∅ joukko, jossa on määritelty laskutoimitukset 

+ (yhteenlasku) ja · (kertolasku 1 ) seuraavina kuvauksina: 

+ : K ×K → K, K ×K ∋ (a,b) ↦→ a+b ∈ K 

· : K ×K → K, K ×K ∋ (a,b) ↦→ a·b ∈ K 

Sanotaan, että (K,+,·) on kunta, jos seuraavat aksioomat ovat voimassa: 

K1 ◦ (a+b)+c = a+(b+c) kaikilla a,b,c ∈ K. 

K2 ◦ Joukossa K on nolla-alkio 0, jolle pätee a+0 = 0+a = a kaikilla a ∈ K. 

K3 ◦ Jos a ∈ K, niin on olemassa vasta-alkio −a ∈ K, jolle pätee a + (−a) = 

(−a)+a = 0. 

K4 ◦ a+b = b+a kaikilla a,b ∈ K. 

K5 ◦ (ab)c = a(bc) kaikilla a,b,c ∈ K. 

K6 ◦ Joukossa K on ykkösalkio 1, jolle pätee a·1 = 1·a = a kaikilla a ∈ K. 

K7 ◦ Jos a ∈ K ja a ≠ 0, niin on olemassa a −1 ∈ K, jolle a·a −1 = a −1·a = 1. Tässä 

1 on ykkösalkio. Alkiota a −1 sanotaan alkion a käänteisalkioksi. 

1 Usein käytetään lyhennysmerkintää a·b = ab 

1

Kompleksianalyysi I 2 

K8 ◦ a·b = b·a kaikilla a,b ∈ K. 

K9 ◦ a·(b+c) = (a·b)+(a·c) kaikilla a,b,c ∈ K. 

1.1 Kompleksilukujen kunta 

Tarkastellaan joukkoa 

R 2 = R×R = {(x,y) : x,y ∈ R}, 

missä (x,y) on järjestetty reaalilukujen pari, jolle pätee (x 1 ,y 1 ) = (x 2 ,y 2 ) jos ja vain 

jos x 1 = x 2 ,y 1 = y 2 . 

Voidaan tulkita R ⊂ R 2 , kun alkio x ∈ R samaistetaan alkion (x,0) ∈ R 2 kanssa. 

Näin ajatellen R 2 on R:n laajennus joukkona. 

Määritellään laskutoimitukset+ja·joukossaR 2 seuraavasti: jos(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) ∈ 

R 2 , niin 

1) (x 1 ,y 1 )+(x 2 ,y 2 ) = (x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ) ∈ R 2 

2) (x 1 ,y 1 )·(x 2 ,y 2 ) = (x 1 x 2 −y 1 y 2 ,x 1 y 2 +x 2 y 1 ) ∈ R 2 . 

Huomautus. Laskutoimitukset + ja · ovat reaalilukujen tavanomaisten yhteen– ja 

kertolaskun laajennuksia joukkoon R 2 . 

Merkitään i = (0,1) ∈ R 2 . Jos (x,y) ∈ R 2 , niin 

(x,y) = (x,0)+(0,y) = (x,0)+(0,1)(y,0) = (x,0)+i(y,0) = x+iy. 

Täten voidaan samaistaen kirjoittaa 

R 2 = {(x,y) : x,y ∈ R} = {x+iy : x,y ∈ R} = C. 

Huomautus. Joukon R 2 kertolaskun määritelmän nojalla 

i 2 = (0,1)·(0,1) = (0−1,0) = (−1,0) 

eli i 2 = −1. Alkiota i kutsutaan imaginääriyksiköksi. 

Määritelmä 1.2 (Joukko C). Jos x + iy ∈ C,x,y ∈ R ja i on imaginääriyksikkö, 

jolle pätee i 2 = −1, niin merkitään z = x+iy. Jos z k = x k +iy k ∈ C,k = 1,2, niin 

laskutoimitukset (1) ja (2) tulevat muotoon: 

1) z 1 +z 2 = (x 1 +iy 1 )+(x 2 +iy 2 ) = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ) 

2) z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) = (x 1 x 2 −y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ).

3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 

Luvun z ∈ C reaaliosaa merkitään x = Re(z) ∈ R ja imaginääriosaa y = Im(z) ∈ R. 

Kompleksiluvut z 1 ja z 2 ovat samat, merkitään z 1 = z 2 , jos Re(z 1 ) = Re(z 2 ) ja 

Im(z 1 ) = Im(z 2 ). 

Lause 1.3. (C,+,·) on kunta. 

Todistus. Käydään läpi kunta-aksioomat. 

K1 ◦ Selvä. 

K2 ◦ Nolla-alkio on 0 = 0+i0. 

K3 ◦ Jos z = x+iy ∈ C, niin (−z) = (−x)+i(−y) ∈ C. 

K4 ◦ Selvä. 

K5 ◦ Jos z k ∈ C,k = 1,2,3, niin 

(z 1 z 2 )z 3 = [x 1 x 2 −y 1 y 2 +i(x 1 y 2 +x 2 y 1 )](x 3 +iy 3 ) 

K6 ◦ Ykkösalkio on 1 = (1,0) = 1+i0. 

= [(x 1 x 2 −y 1 y 2 )x 3 −(x 1 y 2 +x 2 y 1 )y 3 ] 

+i[(x 1 x 2 −y 1 y 2 )y 3 +(x 1 y 2 +x 2 y 1 )x 3 ] 

= [x 1 x 2 x 3 −x 1 y 2 y 3 −y 1 y 2 x 3 −y 1 x 2 y 3 ] 

+i[x 1 x 2 y 3 +x 1 y 2 x 3 +y 1 x 2 x 3 −y 1 y 2 y 3 ] 

= [x 1 (x 2 x 3 −y 2 y 3 )−y 1 (y 2 x 3 +x 2 y 3 )] 

+i[x 1 (x 2 y 3 +y 2 x 3 )+y 1 (x 2 x 3 −y 2 y 3 )] 

= (x 1 +iy 1 )[(x 2 x 3 −y 2 y 3 )+i(x 2 y 3 +x 3 y 2 )] = z 1 (z 2 z 3 ). 

K7 ◦ Jos z = x+iy ∈ C ja z ≠ 0 = 0+i0, niin x ≠ 0 tai y ≠ 0. Asettamalla 

( ) 

z −1 x −y 

= 

x 2 +y +i ∈ C 

2 x 2 +y 2 

nähdään, että 

[ ( )] 

z −1 x −y 

z = 

x 2 +y +i (x+iy) = ··· = 1 = zz −1 . 

2 x 2 +y 2 

K8 ◦ z 1 z 2 = z 2 z 1 . 

K9 ◦ z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3 . 

Täten joukko C varustettuna laskutoimituksilla + ja · on kunta.


1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo 

TunnetustiR 2 voidaan kuvataxy-koordinaatiston avulla tasona. SamaistuksellaR 2 ≈ 

C myös C voidaan esittää koordinaatiston avulla. 

y 

✻ 

Im 

✻ 

z = x+iy C 

(x,y) R 2 ✲ 

✲x 

Määritelmä 1.4. Luvun z = x + iy ∈ C itseisarvo on |z| = √ x 2 +y 2 ∈ R, joka 

vastaa pisteen (x,y) etäisyyttä origosta. 

Itseisarvo R:ssä antaa metriikan R:ään, eli lukujen x ja y etäisyyden d(x,y) = 

|x−y|. Vastaavasti itseisarvo C:ssä määrää metriikan d(z 1 ,z 2 ) = |z 1 −z 2 |. Merkitään 

• d C = metriikka C:ssä 

• d C|R = d R = metriikka R:ssä. 

Kunta(C,+,·) on näin myös kunnan(R,+,·) metrinen (topologinen) kuntalaajennus. 

Itseisarvolle pätee seuraavat ominaisuudet: 

1) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |. 

∣ 2) 

z 1∣∣∣ 

∣ = |z 1| 

z 2 |z 2 | , z 2 ≠ 0. 

3) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| ja Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|. 

4) |z 1 +z 2 | ≤ |z 1 |+|z 2 | (kolmioepäyhtälö). 

Määritelmä 1.5. Luvun z = x+iy ∈ C liittoluku on z = x−iy ∈ C. 

Liittoluvulle pätee mm. seuraavat ominaisuudet: 

1) i = −i. 

2) zz = zz = x 2 +y 2 = |z| 2 . 

3) Jos z = z, niin z ∈ R. 

Re


4) |z| = |z| kaikille z ∈ C. 

Jos z = x+iy ≠ 0, niin edellä tavattu käänteisalkio voidaan laskea laventamalla 

liittoluvulla eli 

Lisää ominaisuuksia: 

1) z = z kaikilla z ∈ C. 

2) z 1 +z 2 = z 1 +z 2 . 

3) z 1 z 2 = z 1 z 2 . 

4) 

( 1 

= 

z) 

1 z . 

z −1 = 1 z = z 

zz = 

z 

x 2 +y 2 = 

x 

x 2 +y − iy 

2 x 2 +y 2. 

5) z 1 

z 2 

= z 1z 2 

|z 2 | 2, z 2 ≠ 0. 

6) z +z = 2Re(z) ja z −z = i2Im(z). 

Määritelmä 1.6. Jos z 0 ∈ C ja ε > 0, niin z 0 -keskinen, ε-säteinen kompleksitason 

ympyrä on 

S ε (z 0 ) = {z ∈ C : |z −z 0 | = ε}. 

Huomautus. 1) Jos z 1 ,z 2 ∈ S 1 (0), niin z 1 z 2 ∈ S 1 (0). 

2) Jos z 1 ∈ S 1 (0), niin 1 z 1 

∈ S 1 (0). 

Esimerkki 1.7. Olkoon z 1 = 3+4i ja z 2 = 2+3i. Tällöin 

a) z 1 +z 2 = 3+2+(4+3)i = 5+7i 

b) z 1 z 2 = (3+4i)(2+3i) = 6−12+(9+8)i = −6+17i 

c) 

1 

z 2 

= z 2 

|z 2 | 2 = 2−3i 

4+9 = 2 

13 − 3 

13 i 

d) z 1 

= z 1z 2 

= (3+4i)(2−3i) 

z 2 z 2 z 2 13 

= (6+12)+(−9+8)i 

13 

= 18 

13 − i 

13 .


1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys 

Olkoon z ∈ C,z ≠ 0,z = x + iy. Merkitään r = |z| = √ x 2 +y 2 (z:n moduuli) ja 

olkoonθ positiivisen reaaliakselin jaz:n väliin jäävä kulma. Kulmaθ voidaan rajoittaa 

välille 0 ≤ θ < 2π. Tällöin 

z = x+iy = r(cosθ+isinθ) 

on luvun z (yksikäsitteinen) napakoordinaattiesitys. Kulmaa θ sanotaan luvun z argumentiksi 

ja sitä merkitään θ = argz. 

y 

r 

θ 

z = x+iy 

x 

Kulman θ määrääminen voidaan jakaa seuraaviin tapauksiin: 

• Tapaus y = 0 ja x ≠ 0: 

– Jos x > 0, niin θ = 0. 

– Jos x < 0, niin θ = π. 

• Tapaus x = 0 ja y ≠ 0: 

– Jos y > 0, niin θ = π 2 . 

– Jos y < 0, niin θ = 3π 2 . 

• Jos taas x,y ≠ 0, niin { 

x = rcosθ 

Tällöin 

y = rsinθ. 

tanθ = y x = rsinθ 

rcosθ = sinθ 

cosθ


eli 

θ = arctan y +nπ, n ∈ Z, 

x 

jossa kertoimen n valinta riippuu lukujen x ja y merkistä eli siitä, mihin tason 

neljännekseen z kuuluu: 

1 ◦ Jos x,y > 0, niin n = 0 

2 ◦ Jos x < 0,y > 0, niin n = 1 

2 ◦ 

1 ◦ 

3 ◦ Jos x,y < 0, niin n = 1 

4 ◦ Jos x > 0,y < 0, niin n = 2 

3 ◦ 4 ◦ 

Esimerkki 1.8. 1) Jos z = 2, niin r = |2| = 2 ja θ = 0. 

2) Jos z = −2i, niin r = |−2i| = 2 ja θ = 3π 2 . 

3) Jos z = 1+i, niin r = √ 2 ja θ = π 4 . 

Tulo napakoordinaattiesityksessä Olkoon z 1 = r 1 (cosθ 1 + isinθ 1 ) ja z 2 = 

r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 ). Tällöin 

z 1 z 2 = r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 )r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 ) 

= r 1 r 2 (cosθ 1 cosθ 2 −sinθ 1 sinθ 2 )+i(cosθ 1 sinθ 2 +cosθ 2 sinθ 1 ) 

= r 1 r 2 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )). 

Tästä seuraa, että jos z = r(cosθ +isinθ), niin ns. De Moivren kaava 

pätee. 

z n = r n (cos(nθ)+isin(nθ)), n = 1,2,3,... 

Esimerkki 1.9. Edellisen kaavan avulla voidaan mm. ratkaista yhtälö 

z 3 = 1.


Kirjoitetaan z = r(cosθ+isinθ) ja pyritään määräämään r ja θ. De Moivren kaavan 

nojalla 

z 3 = r 3 (cos3θ+isin3θ) = 1 = cos0+isin0, 

missä myös luku1on kirjoitettu napakoordinaateissa. Ottamalla itseisarvot puolittain 

saadaan r 3 = 1, joten r = 1. Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia keskenään saadaan 

jaksollisuus huomioiden 

3θ = 0+k2π, k ∈ Z 

eli θ = θ k = k2π/3. Täten yhtälön ratkaisut ovat (r = 1) 

eli 

ja 

z k = cosθ k +isinθ k 

z 0 = cos0+isin0 = 1, 

z 1 = cos 2π 3 +isin 2π 3 = −1 2 + √ 

3 

2 i 

z 2 = cos 4π 3 +isin 4π 3 = −1 2 − √ 

3 

2 i. 

Muilla arvoilla k saadaan jaksollisesti samoja ratkaisuja. 

1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa 

Tunnetusti tason R 2 suora voidaan aina esittää muodossa 

L = {r ∈ R 2 : r = r 0 +tv,t ∈ R}, 

missär 0 onL:n kiinteä piste jav ∈ R 2 ,v ≠ 0 on virittäjävektori. Vastaavasti pisteiden 

P 1 ja P 2 välinen jana on 

[P 1 ,P 2 ] = {r ∈ R 2 : r = OP 1 +t(OP 2 −OP 1 ),t ∈ [0,1]}, 

missä O = (0,0) on origo. Avaruudessa R 2 suora voidaan ilmaista myös muodossa 

L = {(x,y) ∈ R 2 : ax+by = d}, 

missä (a,b) ≠ (0,0). Vastaavasti kompleksitasossa C suora on 

L = {z ∈ C : z = z 0 +tw,t ∈ R}, 

missä z 0 ∈ L on kiinteä piste ja w ∈ C,w ≠ 0 on virittäjävektori.


Jos z 1 ,z 2 ∈ C,z 1 ≠ z 2 , niin niiden välinen (suunnattu) jana on 

Suoran L normaalimuoto on 

missä a,b,d ∈ R ja a 2 +b 2 > 0. 

Jos z = x+iy eli 

niin 

[z 1 ,z 2 ] = {z ∈ C : z = z 1 +t(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]}. 

L = {x+iy : ax+by = d}, 

x = z +z 

2 

missä γ = 2d ∈ R ja α = a+ib ∈ C. 

z −z 

,y = , 

2i 

L = {z ∈ C : a z +z +b z −z = d} 

2 2i 

= {z ∈ C : az +az −biz +biz = 2d} 

= {z ∈ C : (a−ib)z +(a+ib)z = 2d} 

= {z ∈ C : αz +αz = γ}, 

1.5 Kompleksitason topologiaa 

Määritelmä 1.10. Olkoon z 0 ∈ C annettu ja r ∈ R,r > 0. 

1) z 0 -keskinen, r-säteinen avoin kiekko on joukko 

(vrt. ympyrä). 

2) Vastaavasti suljettu kiekko on 

D r (z 0 ) = {z ∈ C : |z −z 0 | < r} 

D r (z 0 ) = {z ∈ C : |z −z 0 | ≤ r}. 

3) Punkteerattu kiekko on 

D ′ r(z 0 ) = D r (z 0 )\{z 0 }. 

Määritelmä 1.11. Olkoon A ⊂ C. Sanotaan, että A on avoin jos joko 

1) A = ∅ tai 

2) jokaista z ∈ A kohti on olemassa sellainen r > 0, että D r (z) ⊂ A.


Määritelmä 1.12. Olkoon A ⊂ C. Sanotaan, että A on suljettu, jos sen komplementti 

A c = C\A on avoin. 

Huomautus. 

1) C ja ∅ ovat sekä avoimia ja suljettuja joukkoja. 

2) Avoin kiekko on avoin joukko. 

Todistus. 1) C on selvästi avoin, ja lisäksi sen komplementti∅on määritelmän mukaan 

avoin, joten C on myös suljettu. Samoin ∅ on suljettu, koska sen komplementti 

C on avoin. 

2) Olkoon D r (z 0 ) avoin kiekko ja z ∈ D r (z 0 ) sen mielivaltainen piste. 

Valitaan δ = r − |z − z 0 | > 0, ja otetaan toinen avoin kiekko D δ (z). Jos w ∈ 

D δ (z), niin |w−z| < δ. Siten 

|w−z 0 | ≤ |w−z|+|z −z 0 | < δ +|z −z 0 | = r −|z −z 0 |+|z −z 0 | = r. 

Siis w ∈ D r (z 0 ). Täten D δ (z) ⊂ D r (z 0 ) ja D r (z 0 ) on avoin. 

Huomautus. Olkoon I jokin indeksijoukko. 

1) Jos A i ⊂ C,i ∈ I ovat avoimia, niin 

⋃ 

A i on avoin. 

2) Jos A 1 ,A 2 ,A 3 ,...,A n ⊂ C ovat avoimia, niin 

n⋂ 

A i on avoin. 

i∈I 

i=1 

3) Jos A i ⊂ C,i ∈ I ovat suljettuja, niin 

⋂ 

A i on suljettu. 

4) Jos A 1 ,A 2 ,A 3 ,...,A n ovat suljettuja, niin 

n⋃ 

A i on suljettu. 

i∈I 

i=1


Määritelmä 1.13. Olkoon A ⊂ C. Jos z ∈ A, niin z on joukon A sisäpiste, jos on 

olemassa sellainen r > 0, että D r (z) ⊂ A. Kaikkia joukon A sisäpisteitä merkitään 

A ◦ tai Int(A). 

Voidaan osoittaa, että 

A ◦ = ∪{V : V on avoin jaV ⊂ A}. 

Huomautus. A ◦ ⊂ A aina. Lisäksi A on avoin, jos A = A ◦ . 

Määritelmä 1.14. Piste z ∈ C on joukon A ulkopiste, jos se on komplementin A c 

sisäpiste. Kaikkia joukon A ulkopisteitä merkitään Ext(A). 

Määritelmä 1.15. Piste z ∈ C on joukon A reunapiste, jos se ei ole joukon A 

sisäpiste eikä ulkopiste. Kaikkia joukon A reunapisteitä merkitään ∂(A). 

Määritelmä 1.16. Joukon A ⊂ C sulkeuma on 

Joukko Ā on aina suljettu. 

Huomautus. Voidaan osoittaa, että 

Ā = cl(A) = A∪∂(A) = A ◦ ∪∂(A). 

cl(A) = ∩{E : E suljettu,A ⊂ E}. 

Täten A ⊂ cl(A) ja A = cl(A) jos ja vain jos A suljettu. 

Määritelmä 1.17 (Tiheä osajoukko). Jos A ⊂ C on suljettu ja B ⊂ A, niin B on 

tiheä joukossa A, jos cl(B) = A. 

Huomautus. Jos A = D r (z 0 ), niin 

• A ◦ = D r (z 0 ) 

• cl(A) = A 

• ∂(A) = {z ∈ C : |z −z 0 | = r} = S r (z 0 ) 

• Ext(A) = {z ∈ C : |z −z 0 | > r}. 

Määritelmä 1.18 (Kasaantumispiste). Piste z ∈ C on joukon A kasaantumispiste, 

jos pisteen z jokainen r-ympäristö (avoin kiekko) sisältää z:sta eroavia A:n pisteitä 

eli 

D ′ r(z)∩A ≠ ∅ 

kaikilla r > 0. Merkitään A ′ = A:n kasaantumispisteiden joukko.


Voidaan osoittaa että cl(A) = A∪A ′ . 

Esimerkki 1.19. Jos A = {1, 1 2 , 1 3 ,..., 1 n ,...}, niin A′ = {0}. 

Määritelmä 1.20. Joukko A ⊂ C on rajoitettu, jos on olemassa sellainen M > 0, 

että 

|z| ≤ M 

kaikille z ∈ A. 

Määritelmä 1.21. Jos joukko on suljettu ja rajoitettu, niin sen sanotaan olevan 

kompakti. 

Määritelmä 1.22 (Polkuyhtenäisyys). Joukko A ⊂ C on polkuyhtenäinen, jos sen 

jokainen pistepari voidaan yhdistää joukkoon A sisältyvällä murtoviivalla. 

Määritelmä 1.23 (Konveksi joukko). Joukko A ⊂ C on konveksi, jos sen jokainen 

pistepari voidaan yhdistää janalla, joka sisältyy joukkoon A. 

1.6 Jonoista 

Funktiota f : N → C sanotaan kompleksilukujen jonoksi. Yleensä merkitään 

tai 

f(n) = a n n = 0,1,2,... 

(a n ) ∞ n=0 = {a 0 ,a 1 ,a 2 ,...}. 

Jono voidaan usein määritellä rekursiivisesti, esim. 

missä a = vakio ja z 0 on annettu. 

z n+1 = z 2 n +a, 

Määritelmä 1.24 (Suppeneminen). Olkoon (a n ) n∈N kompleksilukujono. Jono (a n ) 

suppenee kohti pistettä a, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa N = N(ε) ∈ N, jolle 

eli a n ∈ D ε (a) aina, kun n ≥ N. 

|a n −a| < ε 

Jonoille C:ssä pätevät samanlaiset tulokset kuin reaalijonoille. Olkoot 

lim a n = a ja 

n→∞ 

missä (a n ),(b n ) ∈ C ja a,b ∈ C. Tällöin 

lim b n = b, 

n→∞


1) raja-arvo a on yksikäsitteinen 

2) lim 

n→∞ 

(a n +b n ) = a+b 

3) lim 

n→∞ 

(a n b n ) = ab 

a n 

4) lim = a 

n→∞ b n b , kun b ≠ 0 

5) Jos a n = x n +iy n missä x n ,y n ∈ R ja lim 

n→∞ 

a n = a = x+iy, niin 

Näin on, koska 

lim x n = x ja 

n→∞ 

lim y n = y. 

n→∞ 

|y n −y|,|x n −x| ≤ |a n −a| → 0. 

6) Jos a n = |a n |(cosθ n +isinθ n ) ja a = |a|(cosθ+isinθ), niin 

lim |a n| = |a| ja 

n→∞ 

lim θ n = θ (mod 2π). 

n→∞ 

Määritelmä 1.25 (Cauchyn jono). Jono (a n ) ⊂ C on Cauchyn jono, jos jokaista 

ε > 0 kohti on olemassas sellainen N = N(ε) > 0, että 

aina, kun m,n > N. 

|a m −a n | < ε 

Esimerkki 1.26. Osoitetaan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. Olkoon 

Kolmioepäyhtälön nojalla 

lim a n = a. 

n→∞ 

|a m −a n | = |(a m −a)−(a n −a)| ≤ |a m −a|+|a n −a|. 

Koska jono a n suppenee, niin on olemassa sellaiset N 1 ,N 2 , että 

|a m −a| < ε ja |a n −a| < ε 2 2 

kun m > N 1 ja n > N 2 . Valitaan N = max{N 1 ,N 2 }, jolloin 

eli a n on Cauchyn jono. 

|a m −a n | < ε, m,n > N 

Tunnetusti jokainen (reaalinen) Cauchyn jono (a n ) ⊂ R suppenee, toisin sanoen 

on olemassa lim 

n→∞ 

a n = a. Jokainen Cauchyn jono suppenee myös C:ssä. 

Olkoon A ⊂ C epätyhjä. Tällöin a ∈ cl(A) jos ja vain jos on olemassa jono 

(a n ) ⊂ A jolle 

lim 

n→∞ a n = a.


1.7 Sarjat 

Olkoon (a n ) ⊂ C jono. Merkitään 

S n = 

n∑ 

a k . 

k=1 

Tällöin saadaan osasummien jono (S n ) ⊂ C. Jos 

on olemassa, niin sanotaan, että sarja 

lim S n = S 

n→∞ 

∞∑ 

n=1 

suppenee. Lisäksi tällöin S = ∑ ∞ 

n=1 a n. Jos lim S n ei ole olemassa, niin sanotaan, 

n→∞ 

että sarja hajaantuu. 

Kompleksilukujen sarjoille pätevät samat ominaisuudet kuin R:ssä: 

1) Jos sarja ∑ ∞ 

n=1 a n suppenee, niin lim n→∞ a n = 0. Osoitetaan tämä. Olkoon 

Koska a n = S n −S n−1 , niin 

a n 

S = lim 

n→∞ 

S n . 

lim a n = lim(S n −S n−1 ) = S −S = 0. 

n→∞ n→∞ 

2) Jos ∑ ∞ 

k=1 a k suppenee ja a k = x k +iy k ,(x k ),(y k ) ⊂ R, niin sarjat 

∞∑ 

k=1 

x k 

ja 

∞∑ 

k=1 

y k 

suppenevat. 

3) Jos sarja ∑ ∞ 

k=1 |a k| suppenee (itseinen suppeneminen), niin sarja 

∞∑ 

suppenee. 

k=1 

a k


Esimerkki 1.27 (Geometrinen sarja). Jos |z| < 1, niin ∑ ∞ 

k=0 zk suppenee. Koska 

|z k | = |z| k < 1, niin ∑ ∞ 

k=0 |zk | suppenee. Nyt 

joten 

Puolittain vähentämällä saadaan 

eli 

Jos |z| < 1, niin 

S n = 1+z +···+z n , 

zS n = z +···+z n +z n+1 . 

(1−z)S n = 1−z n+1 

S n = 1−zn+1 

1−z . 

lim S 1−z n+1 

n = lim 

n→∞ n→∞ 1−z 

Esimerkki 1.28. Tarkastellaan sarjaa 

Tiedetään, että sarja 

suppenee kaikilla x ∈ R ja 

Siten sarja 

∞∑ 

k=0 

e x = 

∞∑ 

k=0 

∞∑ 

k=0 

z k 

k! . 

x k 

k! 

∞∑ 

k=0 

|z| k 

k! 

x k 

k! . 

= 1 

1−z . 

suppenee (itseinen suppeneminen) kaikilla z ∈ C, joten 

∞∑ 

k=0 

suppenee kaikilla z ∈ C. Määritellään nyt 

e z = 

z k 

k! 

∞∑ 

k=0 

z k 

k! .


Sijoittamalla z = iy,y ∈ R saadaan 

e iy = 

= 

∞∑ (iy) k 

k=0 

∞∑ 

k=0 

k! 

(−1) k y2k 

= 1+iy − y2 

2! − iy3 + y4 

3! 4! +··· 

∞ 

(2k)! +i ∑ 

(−1) k y 2k+1 

= cosy +isiny, 

(2k +1)! 

k=0 

sillä 

Siten 

eli 

i 2k = (−1) k ,i 2k+1 = (−1) k i k = 0,1,2,... 

|e iy | 2 = cos 2 y +sin 2 y = 1 

|e iy | = 1 

kaikilla y ∈ R. Näin ollen luvun z ≠ 0 napakoordinaattiesitys voidaan kirjoittaa 

muodossa 

z = |z|(cosθ +isinθ) = |z|e iθ , θ ∈ [0,2π). 

Huomautus. Jos z ∈ C, niin 

e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny). 

Näistä keskimmäisen yhtäsuuruuden todistus sivuutetaan. Muut ovat edeltä tuttuja.

Luku 2 

Kompleksimuuttujan funktioista 

2.1 Kompleksiarvoiset funktiot 

Määritelmä 2.1. Olkoon A ⊂ C,A ≠ ∅. Vastaavuutta, joka liittää jokaiseen lukuun 

z ∈ A yksikäsitteisen luvun w ∈ C sanotaan funktioksi A → C. Tällöin merkitään 

w := f(z) ja A on funktion f määritysjoukko, merkitään A = M(f). Arvojoukkoa 

merkitään A(f) = {f(z) : z ∈ A} = f(A). 

Määritelmä 2.2 (Toinen tapa määritellä funktio). Funktio f : A → C on joukon 

A×C osajoukko f, jolle pätee: 

1) (z,w) ∈ f pätee kaikilla z ∈ A ja jollain w ∈ C 

2) Jos (z,w 1 ),(z,w 2 ) ∈ f, niin w 1 = w 2 , eli kohdan 1 alkio w on yksikäsitteinen. 

Jos (z,w) ∈ f, niin merkitään w = f(z). 

Useimmiten funktio f määritellään tietyn säännön f(z) avulla. Ellei toisin mainita, 

niin 

M(f) = {z ∈ C : Lausekef(z) on määritelty}. 

Määritelmä 2.3. Jos f : A → C on funktio ja E ⊂ A, niin funktion f rajoittuma 

joukkoon E on funktio f| E , jolle pätee 

kaikilla z ∈ E. Siten M(f| E ) = E. 

Funktion kuvaaja (graafi) on joukko 

(f| E )(z) = f(z) 

{(z,f(z)) ∈ C 2 : z ∈ M(f) ⊂ C}. 

17


Usein tutkitaan jonkin osajoukon B ⊂ M(f) kuvajoukkoa. 

Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisen funktion lauseke f(z) voidaan (ainakin 

periaatteessa) esittää seuraavassa muodossa: 

Jos z = x+iy ∈ M(f), niin on olemassa sellaiset muuttujien x,y ∈ R reaaliarvoiset 

funktiot u ja v, että 

f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y). 

Esimerkki 2.4. 1) Jos f(z) = z, niin u(x,y) = x ja v(x,y) = y. 

2) Jos f(z) = z 2 , niin u(x,y) = x 2 −y 2 ja v(x,y) = 2xy. 

3) Jos 

niin 

4) Jos 

u(x,y) = 

f(z) = 1 z = ¯z 

|z| 2, 

x −y 

x 2 +y2, v(x,y) = ja M(u) = M(v) = R 2 \{0}. 

x 2 +y 2 

f(z) = e z = 

∞∑ 

k=0 

niin u(x,y) = e x cosy ja v(x,y) = e x siny. 

z k 

k! = ex+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny) 

Määritelmä 2.5. Olkoot f ja g : A → C funktioita. Asetetaan 

1) (f +g)(z) = f(z)+g(z),z ∈ A, (summafunktio) 

2) (fg)(z) = f(z)g(z),z ∈ A, (tulofunktio) 

3) (f/g)(z) = f(z)/g(z),z ∈ A,g(z) ≠ 0 (osamääräfunktio) ja 

4) (f ◦g)(z) = f(g(z)),z ∈ A (yhdistetty funktio). 

Määritelmä 2.6. Olkoot A,B ⊂ C,A,B ≠ ∅ ja f : A → B. Tällöin funktio f on 

1) surjektio A → B, jos jokainen w ∈ B on muotoa w = f(z) jollain z ∈ A eli 

f(A) = {f(z) : z ∈ A} = B. 

2) injektio, jos ehdosta f(z 1 ) = f(z 2 ),z 1 ,z 2 ∈ A seuraa z 1 = z 2 . 

3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio.

19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista 

Määritelmä 2.7 (Käänteisfunktio). Jos f : A → B bijektio ja w = f(z) jollain 

z ∈ A, niin luku z on yksikäsitteinen (injektiivisyys) ja jokainen w ∈ B on muotoa 

w = f(z),z ∈ A (surjektiivisuus). Nyt voidaan määritellä funktio f −1 : B → A 

asettamalla 

f −1 (w) = z 

kun w = f(z),z ∈ A. 

ja 

Käänteisfunktion määritelmästä seuraa, että 

f −1 (f(z)) = z kaikillaz ∈ A 

f(f −1 (z)) = z kaikillaz ∈ B. 

Huomautus. Myös f −1 on bijektio ja (f −1 ) −1 = f ja M(f −1 ) = A(f). 

Määritelmä 2.8 (Sektori). Olkoon ϕ 1 ,ϕ 2 ∈ [0,2π[, missä 0 < |ϕ 1 − ϕ 2 | < 2π. 

Joukkoa 

S[ϕ 1 ,ϕ 2 ] = {z ∈ C : z = r(cosϕ+isinϕ), ϕ 1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 ,r ≥ 0} 

sanotaan suljetuksi sektoriksi. Vastaavasti joukkoa 

S]ϕ 1 ,ϕ 2 [= {z ∈ C : z = r(cosϕ+isinϕ), ϕ 1 < ϕ < ϕ 2 ,r ≥ 0} 

sanotaan avoimeksi sektoriksi. Huomaa, että S[0,2π[= C. 

Esimerkki 2.9. Funktion f(z) = 2z +i,z ∈ C käänteisfunktio on 

f −1 (z) = z −i 

2 . 

Esimerkki 2.10. Olkoon f(z) = z 2 ,z ∈ C. Tällöin f on surjektio C → C. 

Todistus. Jos w = 0, niin valitaan z = 0, jolloin f(z) = f(0) = 0 2 = w. Jos w ≠ 0, 

niin w = r(cosϕ+isinϕ),ϕ ∈ [0,2π[, joten valitsemalla 

z = √ ( 

r cos ϕ 2 +isin ϕ ) 

2 

nähdään, että 

f(z) = z 2 = √ r 2 ( 

cos 2ϕ 2 +isin 2ϕ 2 

) 

= w. 

Funktio f ei kuitenkaan ole injektio, sillä jos z ≠ 0 niin f(−z) = (−z) 2 = z 2 = 

f(z), mutta z ≠ −z. 

Huomautus. Jos funktio f ei ole bijektio, voidaan tutkia sen rajoittumaa joukkoon 

E ⊂ M(f). Edellisessä esimerkissä funktio f olisi bijektio, jos E = S[0,π[.


2.2 Funktion raja-arvo 

Määritelmä 2.11. Olkoon f kompleksiarvoinen funktio ja z 0 ∈ C sellainen, että 

D ′ r(z 0 ) ⊂ M(f) jollain r > 0. Sanotaan, että luku a ∈ C on funktion f raja-arvo 

pisteessä z 0 , merkitään 

lim 

z→z 0 

f(z) = a, 

jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa luku δ = δ(ε,z 0 ), jolle 

|f(z)−a| < ε 

aina, kun 0 < |z −z 0 | < δ. Toisin sanoen f(z) ⊂ D ε (a) aina, kun z ∈ D ′ δ (z 0). 

Esimerkki 2.12. Tarkastellaan vakiofunktiota f(z) = a,a ∈ C. Olkoon z 0 ∈ C ja 

ε > 0. Nyt 

|f(z)−a| = |a−a| = 0 < ε 

aina, kun 0 < |z − z 0 | < δ ja δ > 0 on mikä tahansa. Siis lim 

z→z0 

f(z) = a aina, kun 

z 0 ∈ C. 

Esimerkki 2.13. Tarkastellaan funktiota f(z) = z 2 ,z ∈ C. Osoitetaan, että 

Todistus. Olkoon ε > 0. Lasketaan ensin 

lim f(z) = z 2 

z→z 0 

0. 

|f(z)−z 2 0| = |z 2 −z 2 0| = |(z +z 0 )(z −z 0 )| = |z +z 0 ||z −z 0 |. 

Riittää olettaa, että 0 < |z −z 0 | < 1. Tällöin 

joten 

|z +z 0 | = |(z −z 0 )+2z 0 | ≤ |z −z 0 |+2|z 0 | < 1+2|z 0 |, 

|f(z)−f(z 0 )| < (1+2|z 0 |)|z −z 0 |. 

ε 

Valitaan δ = min{1, } ≤ 1. Jos 0 < |z −z 1+2|z 0 | 0| < δ, niin 

|f(z)−z0| 2 ε 

< (1+2|z 0 |)|z −z 0 | < (1+2|z 0 |) 

1+2|z 0 | = ε. 

Esimerkki 2.14. Tarkastellaan funktion 

f(z) = z2 +1 

z −i , z ≠ i 

raja-arvoa, kun z → i. Jos z ≠ i, niin 

kun z → i. 

z 2 +1 

z −i 

= 

(z +i)(z −i) 

z −i 

= z +i → i+i = 2i


Kuten reaalifunktioille, myös kompleksifunktioille pätee seuraavat ominaisuudet. 

Lause 2.15. Jos lim 

z→z0 

f(z) = a ja lim 

z→z0 

g(z) = b, niin 

1) a on yksikäsitteinen. 

2) lim 

z→z0 

(f(z)±g(z)) = a±b. 

3) lim 

z→z0 

f(z)g(z) = ab. 

f(z) 

4) lim 

z→z0 g(z) = a b 

jos b ≠ 0. 

5) Jos f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y),z 0 = x 0 +iy 0 ja a = α+iβ, niin 

jos ja vain jos 

lim f(z) = a 

z→z 0 

lim u(x,y) = α ja lim 

(x,y)→(x 0 ,y 0 ) 

v(x,y) = β. 

(x,y)→(x 0 ,y 0 ) 

6) lim 

z→z0 

|f(z)| = |a|. 

7) lim 

z→z0 

f(z) = a. 

Määritelmä 2.16 (Yleinen määritelmä raja-arvolle; vertaa toispuoleiseen raja-arvoon 

R:ssä.). Olkoot A,B ⊂ C,A,B ≠ ∅ ja f : A → B. Olkoon z 0 ∈ cl(A) = A∪A ′ . 

Sanotaan, että luku a on funktion f raja-arvo pisteessä z 0 , jos jokaiselle ε > 0 on 

olemassa δ > 0 jolle 

|f(z)−a| < ε 

aina, kun 0 < |z −z 0 | < δ,z ∈ A. Toisin sanoen f(D ′ δ (z 0)∩A) ⊂ D ε (a)∩B. 

2.3 Jatkuvuus 

Määritelmä 2.17. Olkoonf määritelty joukossaD r (z 0 ). Sanotaan, ettäf on jatkuva 

pisteessä z 0 , jos 

lim 

z→z 0 

f(z) = f(z 0 ). 

Siis f on jatkuva pisteessä z 0 , jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ = δ(z 0 ,ε) > 0, 

jolle 

|f(z)−f(z 0 )| < ε aina, kun |z −z 0 | < δ. 

Toisin sanoen f(D δ (z 0 )) ⊂ D ε (f(z 0 )). Jos A ⊂ M(f), niin f on jatkuva joukossa A, 

jos se on jatkuva kaikissa joukon A pisteissä.


Yleisemmin: Jos z 0 ∈ cl(A), niin f on jatkuva z 0 :ssa, jos jokaista ε > 0 kohti on 

olemassa δ > 0, jolle |f(z)−f(z 0 )| < ε aina, kun z ∈ A ja, kun |z −z 0 | < δ. Toisin 

sanoen z ∈ A∩D δ (z 0 ). 

Esimerkki 2.18. Vakiofunktio f(z) = a,z ∈ C on jatkuva koko kompleksitasossa. 

Esimerkki 2.19. Funktio f(z) = z,z ∈ C on jatkuva koko kompleksitasossa. 

Esimerkki 2.20. Funktio f(z) = 1 ,z ∈ C\{0} on jatkuva joukossa C\{0}. 

z 

Todistus. Olkoon ε > 0 ja z ∈ C\{0}. Nyt 

1 

∣z − 1 ∣ ∣∣∣ 

= |z 0 −z| 

z 0 |z||z 0 | 

= |z −z 0| 

|z||z 0 | . 

Koska z 0 ≠ 0, niin |z 0 | > 0. Rajoitutaan joukkoon |z−z 0 | < 1 2 |z 0|. Kolmioepäyhtälön 

nojalla 

||z|−|z 0 || ≤ |z −z 0 | < 1 2 |z 0| 

eli 

Siten 

− 1 2 |z 0| < |z|−|z 0 | < 1 2 |z 0|. 

|z| > |z 0 |− 1 2 |z 0| = 1 2 |z 0| 

eli 

eli 

1 

|z| < 2 

|z 0 | 

1 

|z||z 0 | < 2 

|z 0 | 2. 

Valitaan δ = min{ |z 0| 

, |z 0| 2 

ε} > 0. Jos nyt |z −z 2 2 0| < δ, niin 

1 

∣z − 1 ∣ ∣∣∣ 

= 1 

z 0 |z||z 0 | |z −z 0| < 2 

|z 0 | 2|z −z 0| < 2 |z 0 | 2 

|z 0 | 2 2 ε = ε. 

Täten f on jatkuva pisteessä z 0 . 

Lause 2.21. Oletetaan, että f ja g ovat jatkuvia pisteessä z 0 (tai joukossa A). Tällöin 

seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä z 0 (joukossa A): 

1) f ±g 

2) fg


3) f g , kun g(z 0) ≠ 0 (tai g(z) ≠ 0 kaikilla z ∈ A) 

4) f, kun määritellään f(z) = f(z), z ∈ M(f) 

5) |f| 

Huomautus. Jos A ⊂ C on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin 

kohdan 5 nojalla |f| on jatkuva A:ssa. Siten f saavuttaa suurimman ja pienimmän 

(itseis)arvonsa A:ssa. 

Jatkuvuuden kanssa yhtäpitäviä ehtoja ovat: 

1) f on jatkuva pisteessä z 0 ∈ M(f), jos ja vain jos jokaiselle jonolle (z n ) ⊂ M(f) 

jolle z n → z 0 pätee f(z n ) → f(z 0 ). 

Seuraus: f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos f(cl(A)) ⊂ cl(f(A)). 

2) f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle V ⊂ C on 

voimassa, että f −1 (V) on avoin A:ssa. 

Lause 2.22. Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä z 0 ja g on jatkuva pisteessä f(z 0 ). 

Tällöin g ◦f on jatkuva pisteessä z 0 . 

Esimerkki 2.23. Tunnetusti f(z) = z 2 ,z ∈ S[0,π[ on bijektio S[0,π[→ C. Siten 

f −1 (z) = √ z, z ∈ C on olemassa. Nyt f(z) = z 2 on jatkuva C:ssä. Tarkastellaan 

funktion f −1 (z) jatkuvuutta tilanteessa Im( √ z) > 0. 

Olkoot w = √ z = a+ib,b > 0 (z mielivaltainen), ja w 0 = √ z 0 = a 0 +ib 0 ,b 0 > 0. 

Tällöin w 2 = z,w 2 0 = z 0 ja 

|z −z 0 | = |w 2 −w 2 0| = |(w+w 0 )(w−w 0 )| = |w +w 0 ||w−w 0 | 

≥ |b+b 0 || √ z − √ z 0 | > b 0 | √ z − √ z 0 |. 

Siten 

| √ z − √ z 0 | < 1 b 0 

|z −z 0 | 

eli √ z on jatkuva alueessa Im( √ z) > 0. 

Määritelmä 2.24 (Tasainen jatkuvuus). Olkoon A ⊂ M(f). Sanotaan, että funktio 

f on tasaisesti jatkuva joukossa A, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen 

δ = δ(ε) > 0, että 

|f(z)−f(z 0 )| < ε 

aina, kun z,z 0 ∈ A ja |z −z 0 | < δ. 

Voidaan osoittaa: Jos A on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin 

f on tasaisesti jatkuva joukossa A:ssa.


Esimerkki 2.25. Osoitetaan, että funktio f(z) = z 2 on tasaisesti jatkuva joukossa 

A = D 1 (0). Olkoon ε > 0. Nyt 

|f(z)−f(z 0 )| = |z 2 −z 2 0| = |z +z 0 ||z −z 0 |. 

Olkoon z,z 0 ∈ D 1 (0) eli |z| < 1,|z 0 | < 1. Tällöin 

|z +z 0 | ≤ |z|+|z 0 | < 1+1 = 2 

eli |f(z)−f(z 0 )| < 2|z −z 0 |. Valitaan δ = ε 2 . Jos nyt z,z 0 ∈ A ja |z −z 0 | < δ, niin 

|f(z)−f(z 0 )| < 2 ε 2 = ε. 

2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) 

Määritelmä 2.26. Olkoot A ⊂ C,A ◦ ≠ ∅ ja z 0 ∈ A ◦ . Funktiolla f : A → C on 

derivaatta pisteessä z 0 ja merkitään derivaattaa f ′ (z 0 ), jos raja-arvo 

f(z)−f(z 0 ) 

lim 

z→z 0 z −z 0 

= f ′ (z 0 ) on olemassa. 

Merkitsemällä z −z 0 = h ∈ C voidaan ehto kirjoittaa myös muodossa 

f ′ f(z 0 +h)−f(z 0 ) 

(z 0 ) = lim . 

h→0 h 

Jos on olemassa sellainen δ > 0, että f ′ (z) on olemassa kaikissa pisteissä z ∈ D δ (z 0 ), 

niin f on analyyttinen pisteessä z 0 . 

Huomautus. Koska yllä z 0 ∈ A ◦ , niin on olemassa sellainen r > 0, että D r (z 0 ) ⊂ A. 

Siten z 0 +h ∈ A, jos |h| on tarpeeksi pieni. 

Esimerkki 2.27. Vakiofunktion f(z) = a,z ∈ C derivaatta on f ′ (z) = 0 kaikilla 

z ∈ C. Tämä seuraa siitä, että 

f(z +h)−f(z) 

lim 

h→0 h 

= lim 

h→0 

a−a 

h 

Esimerkki 2.28. Funktion f(z) = z,z ∈ C derivaatta on 

f ′ (z) = lim 

h→0 

f(z +h)−f(z) 

h 

0 

= lim 

h→0 h = 0. 

= lim 

h→0 

z +h−z 

h 

= 1.


Esimerkki 2.29. Olkoon f(z) = z,z ∈ C. Jos z 0 ∈ C, niin 

Koska lim h→0 

h 

h 

f(z 0 +h)−f(z 0 ) 

h 

= z 0 +h−z 0 

h 

= z 0 +h−z 0 

h 

ei ole olemassa, niin f ei ole derivoituva! 

= h h . 

Lause 2.30. Jos f on analyyttinen joukossa A ⊂ M(f),A ◦ = A ≠ ∅, niin tällöin f 

on jatkuva A:ssa. 

Todistus. Jos z 0 ∈ A, niin 

f(z)−f(z 0 ) 

lim(f(z)−f(z 0 )) = lim (z −z 0 ) = f ′ (z 0 )·0 = 0. 

z→z 0 z→z0 z −z 0 

Huomautus. Jos funktio on jatkuva, niin se ei silti välttämättä ole derivoituva. 

Esimerkki 2.31. Funktio f(z) = z,z ∈ C on jatkuva C:ssä, mutta ei ole derivoituva. 

Lause 2.32. Olkoon f funktio, jolle f ′ (z) on olemassa ja f ′ (z) ≠ 0. Jos f:n käänteisfunktio 

on määritelty ja jatkuva eräässä pisteen w = f(z) δ-ympäristössä, niin 

silloin (f −1 ) ′ (w) on olemassa, ja 

(f −1 ) ′ (w) = 

Todistus. Koska f ′ (z) on olemassa, niin 1 

1 

f ′ (f −1 (w)) = 1 

f ′ (z) . 

f(z +h)−f(z) = f ′ (z)h+hε(h), 

missä ε(h) → 0, kun h → 0. 

Jos w = f(z) eli z = f −1 (w) ja |k| on tarpeeksi pieni, niin w+k ∈ D δ (w). Tällöin, 

jos f −1 (w +k) = z +h, niin w+k = f(z +h). 

Siten 

k = f(z +h)−w = f(z +h)−f(z) → 0, 

kun h → 0, ja edelleen 

f −1 (w+k) → f −1 (w) = z 

käänteisfunktion jatkuvuuden nojalla. Siis 

f −1 (w +k)−f −1 (w) 

k 

kun h → 0. 

= 

h 

f(z +h)−f(z) = 

→ 1 

f ′ (z) = 1 

f ′ (f −1 (w)) 

1 Tässä on ensin kirjoitettu ε(h) := (f(z +h)−f(z))/h−f ′ (z). 

h 

f ′ (z)h+hε(h) = 1 

f ′ (z)+ε(h)


Myös yhdistettyä funktiota f ◦g koskeva ketjusääntö 

on voimassa. 

Esimerkki 2.33. Funktion f(z) = 

(f ◦g) ′ (z) = f ′ (g(z))g ′ (z) 

( ) 2 z −1 

f ′ (z) = 3 · 

z +1 

( ) 2 z −1 

= 3 · 

z +1 

( ) 3 z −1 

derivaatta on ketjusäännön nojalla 

z +1 

1·(z +1)−1·(z −1) 

(z +1) 2 

2 −1)2 

= 6(z 

(z +1) 

2 

(z +1) 4. 

Huomautus. Vaikka f ja g eivät kumpikaan olisi derivoituvia pisteessä z 0 , niin f ◦g 

voi silti olla derivoituva pisteessä z 0 . 

Esimerkki 2.34. Funktiot f(z) = g(z) = z eivät ole derivoituvia missään pisteessä, 

mutta (f ◦g)(z) = z = z on derivoituva koko kompleksitasossa. 

2.5 Cauchyn–Riemannin yhtälöt 

Olkoon f : A → C, jolle f = u+iv. 

Jos f ′ (z),z ∈ A on olemassa, niin raja-arvo 

f(z +h)−f(z) 

lim 

h→0 h 

on olemassa ja se on f ′ (z),z ∈ A. Palautetaan mieleen joukkojen samaistus 

C ⊃ M(f) = A = {x+iy : x+iy ∈ A} = {(x,y) ∈ R 2 : x+iy ∈ A}. 

Koska raja-arvo on (olemassa ollessaan) yksikäsitteinen, niin 

f ′ (z) = lim 

h→0 

f(z +h)−f(z) 

h 

on sama riippumatta reitistä, jota pitkin kompleksiluku h lähestyy origoa.


Tarkastellaan tapausta, kun h → 0 reaaliakselia pitkin eli h = h + i0,h ∈ R. 

Olkoon z = x+iy ∈ A. Tällöin 

f ′ f(z +h)−f(z) 

(z) = lim 

h→0 h 

h∈R 

= lim 

h→0 

h∈R 

f(x+h+iy)−f(x+iy) 

= lim 

h→0 h 

h∈R 

[u(x+h,y)+iv(x+h,y)]−u(x,y)−iv(x,y) 

( u(x+h,y)−u(x,y) 

= lim 

h→0 h 

h∈R 

= u x (x,y)+iv x (x,y). 

h 

+i v(x+h,y)−v(x,y) 

h 

Siis f ′ (z) = u x (x,y)+iv x (x,y),z = x+iy eli lyhyemmin f ′ = u x +iv x . 

Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, missä h → 0 imaginääriakselia pitkin eli h = 

ik,k ∈ R. Olkoon z = x+iy ∈ A. Tällöin 

f(z +h)−f(z) 

lim 

h→0 h 

h=ik 

u(x,y +k)+iv(x,y +k)−u(x,y)−iv(x,y) 

= lim 

k→0 ik 

( ) 

1 u(x,y +k)−u(x,y) v(x,y +k)−v(x,y) 

= lim 

+i 

k→0 i k k 

= 1 i [u y(x,y)+iv y (x,y)] = v y (x,y)−iu y (x,y). 

Siis f ′ (z) = v y (x,y)−iu y (x,y) eli f ′ = v y −iu y . 

Nämä ovat samat eli f ′ = u x +iv x = v y −iu y , jos 

) 

{ 

ux = v y 

v x = −u y 

A:ssa. 

Nämä ovat niin sanotut Cauchyn–Riemannin yhtälöt. Olemme siis todistaneet seuraavan 

tuloksen. 

Lause 2.35. Olkoon f on analyyttinen alueessa A ⊂ C,A ≠ ∅ ja f = u+iv. Tällöin 

u ja v toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt A:ssa. 

Tämä tulos pätee myös kääntäen seuraavassa muodossa. 

Lause 2.36. Oletetaan, että funktiot u,v : A → R,A ⊂ R 2 ,A ◦ = A ≠ ∅ ovat 

jatkuvasti derivoituvia, toisin sanoen u x ,u y ,v x ,v y , ovat olemassa ja jatkuvia. Tällöin, 

jos u ja v toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt, niin f ′ (z) on olemassa kaikilla 

z = x+iy ∈ A. Lisäksi f ′ = u x +iv x .


Todistus. Koska u : A → R on derivoituva pisteessä (x,y) ∈ A, niin 

u(x+k,y +l) = u(x,y)+u x (x,y)k +u y (x,y)l+|h|ε 1 (h), 

missä h = (k,l) ∈ C,|h| = √ k 2 +l 2 . Vastaavasti, 

v(x+k,y +l) = v(x,y)+v x (x,y)k +v y (x,y)l+|h|ε 2 (h). 

Merkitään h = k + il. Olkoon z = x + iy ∈ A ja valitaan h niin, että z + h ∈ A. 

Tällöin 

f(z +h)−f(z) = u(x+k,y +l)+iv(x+k,y +l)−u(x,y)−iv(x,y) 

= u(x+k,y +l)−u(x,y)+i(v(x+k,y +l)−v(x,y)) 

= u x (x,y)k +u y (x,y)l 

+i(v x (x,y)k +v y (x,y)l)+|h|ε 1 (h)+i|h|ε 2 (h), 

missä ε 1 (h),ε 2 (h) → 0, kun h = (k,l) → (0,0). 

Merkitään ε 1 (h)+iε 2 (h) = ε(h) ∈ C. Koska funktiot u ja v toteuttavat Cauchyn– 

Riemannin yhtälöt, niin 

Siten 

Nyt 

f(z +h)−f(z) = u x (x,y)k −v x (x,y)l+i(v x (x,y)k +u x (x,y)l)+|h|ε(h) 

= (u x (x,y)+iv x (x,y))(k +il)+|h|ε(h). 

f(z +h)−f(z) 

h 

= u x (x,y)+iv x (x,y)+ |h| 

h ε(h). 

∣ ∣ ∣∣∣ |h| ∣∣∣ 

h ε(h) = |h| √ 

|h| |ε 1(h)+iε 2 (h)| = ε 2 1(h)+ε 2 2(h). 

Koska ε 1 (h) → 0 ja ε 2 (h) → 0, niin ε 2 1(h) → 0 ja ε 2 2(h) → 0. Siten 

√ 

ε 2 1(h)+ε 2 2(h) → 0, 

kun h → 0. Näin ollen raja-arvo 

on olemassa. 

f(z +h)−f(z) 

lim 

h→0 h 

= u x (x,y)+iv x (x,y) = f ′ (z) 

Esimerkki 2.37. Olkoon f(z) = z 2 ,z ∈ C,z = x+iy. Tällöin f(x+iy) = x 2 −y 2 + 

i2xy,(x,y) ∈ R 2 . Tässä 

u(x,y) = x 2 −y 2 ja v(x,y) = 2xy.


Siten 

{ 

u x (x,y) = 2x 

v y (x,y) = 2x 

ja 

{ 

u y (x,y) = −2y 

v x (x,y) = 2y. 

Siis Cauchyn–Riemannin yhtälöt toteutuvat. Lisäksi f ′ (z) = u x (x,y) + iv x (x,y) = 

2x+i2y = 2z. 

Huomautus (Laplacen yhtälö). Jos f = u+iv ja f on analyyttinen joukossa A ⊂ C 

ja funktioilla u ja v on kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ja ne ovat jatkuvia, 

niin u ja v toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt A:ssa eli 

{ 

u x = v y 

u y = −v x . 

Tällöin u xx = v yx = v xy = −u yy eli u xx +u yy = 0 joukossa A. Tämä on niin sanottu 

Laplacen yhtälö. Sanotaan, että u on harmoninen funktio. Vastaavasti myös v xx + 

v yy = 0 joukossa A. 

Huomautus. Jos C 1 ja C 2 ovat vakioita, niin yhtälöt u(x,y) = C 1 ja v(x,y) = C 2 

määräävät R 2 :n käyrät. Nämä käyrät leikkaavat toisiaan kohtisuorasti. 

2.6 Eräitä funktioita 

2.6.1 Polynomifunktiot 

Funktiota 

p(z) = a 0 +a 1 z +···+a n z n , z ∈ C, a 0 ,...,a n ∈ C 

sanotaan polynomiksi. 

Jos a n ≠ 0, niin polynomin p aste on n. Jos p(z 0 ) = 0, niin p(z) = (z −z 0 )p 1 (z), 

missä p 1 on astetta n−1 oleva polynomi. 

2.6.2 Rationaalifunktiot 

Funktiota 

r(z) = p 1(z) 

p 2 (z) , z ∈ C,p 2(z) ≠ 0, 

missä p 1 ja p 2 ovat polynomeja sanotaan rationaalifunktioksi.


2.6.3 Juurifunktiot 

Olkoonf(z) = z m ,z ∈ C,m = 2,3,4,... jaS k = S[k 2π m ,(k+1)2π [,k = 0,1,2,...,m− 

m 

1. 

Josw = z m jaw = r(cos(ϕ+k2π)+isin(ϕ+k2π)),ϕ ∈ [0,2π[, niin (vrt. Esimerkki 

2.10) 

m√ √ ( 

w = 

m 

r cos 

( ) ( ϕ+k2π ϕ+k2π 

+isin 

m m 

)) 

, k = 0,1,2,...,m−1. 

Näin saadaan eri ratkaisu jokaisella k:n arvolla. Jos k = 0, saadaan pääarvo. Yleisesti 

voidaan asettaa: 

f k = f| Sk , f −1 

k 

: C → S k , f k (S k ) = C 

ja 

2.6.4 Eksponenttifunktio 

f −1 

k (w) = m√ w ∈ S k . 

1) Eksponenttifunktio voidaan määritellä jollakin seuraavista tavoista: 

f(z) = e z = 

∞∑ 

k=0 

z k ( 

k! = lim 1+ z n 

= e 

n→∞ n) x (cosy +isiny). 

2) Jos z ∈ R, niin e z = e x+iy = e x (cos0 + isin0) = e x eli e z laajentaa tutun 

funktion e x käsitettä. 

3) |e z | = |e x (cosy +isiny)| = |e x ||cosy +isiny| = e x > 0. Siten 0 /∈ A(e z ). 

4) Koska e z = e x+iy = e x e iy , niin tutusti 

5) e z = e z kaikilla z ∈ C. 

e z 1 

e z 2 

= e x 1+x 2 

e i(y 1+y 2 ) = e z 1+z 2 

. 

6) Koska cos(y +k2π) = cosy ja sin(y +k2π) = siny kaikilla y ∈ R, niin 

e z+ik2π = e x+i(y+2kπ) = e x (cosy +isiny) = e z , z ∈ C,k ∈ Z. 

Siis e z on jaksollinen ja sen jakso on i2π. Erityisesti e z ei ole injektio C → C. 

Osoitetaan, että f(C) = C\{0}, kun f(z) = e z . 

Osoitetaan, että f(T[0,2π[) = C\{0}, missä 

T[0,2π[= {x+iy ∈ C : x,y ∈ R,0 ≤ y < 2π}


on jaksovyö. Yleisesti merkitään 

T k = T[2kπ,2(k +1)π[= {x+iy ∈ C : x,y ∈ R,2kπ ≤ y < 2(k +1)π}. 

Olkoon w ∈ C,w ≠ 0. Kirjoitetaan 

w = r(cosϕ+isinϕ), r > 0,0 ≤ ϕ < 2π. 

Jos nyt e z = e x e iy = w, niin e x = r ja ϕ = y +k2π. Jos siis 

z = lnr +iϕ, 

niin e z = w. Jokaiselta jaksovyöltä löytyy siis yksi sellainen z, että e z = w eli 

A(e z ) = C\{0}. Siis eksponenttifunktio saa kaikki muut kompleksiarvot paitsi 

nollan. 

2.6.5 Logaritmi 

Tarkastellaan funktiota g = f| T0 , kun f(z) = e z . Edellä olevan nojalla g(T 0 ) = 

C\{0}. Lisäksi g on bijektio T 0 → C\{0}, joten g −1 : C\{0} → T 0 on olemassa. 

Tarkastellaan tätä käänteisfunktiota g −1 . Olkoon 

f(z) = e z ,z ∈ T 0 ,z = f −1 (w) 

eli w = e z . Tällöin asetetaan (vrt. edellä) 

missä w = |w|(cosϕ+isinϕ). Siis 

f −1 (w) = ln|w|+iϕ, 

f −1 (z) = ln|z|+iargz = Logz 

ja tätä sanotaan (luonnollisen) logaritmin päähaaraksi. 

Yleisesti, jos f k = f| Tk ,f k : T k → C\{0}, niin 

f −1 

k 

(z) = ln|z|+iargz +i2kπ = logz. 

Tämä on ns. k-haara. Tällaisia haaroja on ääretön määrä eli logz on monihaarainen 

funktio. 

Tarkastellaan vielä logaritmin derivaattaa. Jos f(z) = Logz ja g(z) = e z ,z ∈ 

T 0 , niin f = g −1 ja Lauseen 2.32 nojalla 

(g −1 ) ′ 1 

(z) = 

g ′ (g −1 (z)) = 1 

g(g −1 (z)) = 1 z , z ≠ 0. 

Siis 

f ′ (z) = 1 z . 

Yleisesti: jos f(z) = logz = Logz + i2kπ, niin f ′ (z) = 1 z 

. Kaikki (reaali)logaritmin 

laskusäännöt eivät kuitenkaan päde moniarvoisuuden takia.


2.6.6 Trigonometriset funktiot 

Koska e ix = cosx+isinx ja e −ix = cosx−isinx, niin 

ja 

cosx = eix +e −ix 

2 

sinx = eix −e −ix 

2i 

kaikilla x ∈ R. Asetetaan nyt määritelmät: 

∈ R 

∈ R 

cosz = eiz +e −iz 

, z ∈ C 

2 

Edelleen: 

Ominaisuuksia: 

sinz = eiz −e −iz 

, z ∈ C. 

2i 

tanz = sinz , cosz ≠ 0, 

cosz 

cotz = cosz , sinz ≠ 0. 

sinz 

1) Jos z ∈ C, niin 

( ) e 

sin 2 z +cos 2 iz −e −iz 2 

e 

z = +( iz +e −iz 

2i 2 

) 2 

= 1 

4i 2(ei2z −2·1+e −i2z )+ 1 4 (ei2z +2·1+e −i2z ) 

= 1 (2+2) = 1. 

4 

2) sin(z 1 +z 2 ) = sinz 1 cosz 2 +cosz 1 sinz 2 . 

3) cos(z 1 +z 2 ) = cosz 1 cosz 2 −sinz 1 sinz 2 . 

4) Sinin nollakohdat määrätään ratkaisemalla yhtälö 

eli 

sinz = eiz −e −iz 

2i 

e iz −e −iz = 0. 

= 0


Laventamalla tämä saadaan muotoon 

eli 

e 2iz −1 

e iz = 0 

e 2iz = 1 = e i(0+k2π) , k ∈ Z. 

Täten 2z = k2π eli nollakohdat ovat z = kπ,k ∈ Z. Vastaavasti, 

jos ja vain jos z = π +kπ,k ∈ Z. 

2 

5) sin(−z) = −sinz ja cos(−z) = cosz. 

6) sinz = sinz ja cosz = cosz. 

cosz = eiz +e −iz 

2 

7) Määrätään joukot {cosiy : y ∈ R} ja {siniy : y ∈ R}. Jos y ∈ R on mielivaltainen, 

niin 

cosiy = ei(iy) +e −i(iy) 

= e−y +e y 

= coshy. 

2 2 

Siten {cosiy : y ∈ R} = [1,∞[. Vastaavasti 

siniy = ei(iy) −e −i(iy) 

2i 

= 0 

= i ( ) ( ) 

e −y −e y e y −e −y 

= i = isinhy, 

i 2 2 

joten {siniy : y ∈ R} = {iy|y ∈ R} = Imaginääriakseli. 

8) Derivaatat. Jos 

niin 

f ′ (z) = ieiz −(−i)e iz 

2i 

Vastaavalla tavalla nähdään, että 

Funktion 

derivaatta on 

f ′ (z) = 

f(z) = sinz = eiz −e −iz 

, 

2i 

= eiz +e −iz 

2 

d 

(cosz) = −sinz, z ∈ C. 

dz 

f(z) = tanz = sinz 

cosz 

coszcosz −(−sinz)sinz 

cos 2 z 

= cosz, z ∈ C. 

z ≠ π 2 +kπ 

= 1 

cos 2 z = 1+tan2 z.


9) Käänteisfunktiot. Olkoon f(z) = sinz ja z = f −1 (w) = arcsinw. Siis 

Yhtäpitävästi 

eli 

w = sinz = eiz −e −iz 

. 

2i 

2iw = e iz −e −iz = e iz − 1 

e iz 

(e iz ) 2 −2iwe iz −1 = 0. 

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla 

Siten 

eli 

e iz = 2iw +√ 4i 2 w 2 +4 

2 

= 2iw+2√ 1−w 2 

2 

iz = log(iw+ √ 1−w 2 ) 

z = 1 i log(iw+√ 1−w 2 ), 

= iw + √ 1−w 2 . 

missä logz = Logz +i2kπ. Siis 

f −1 (w) = arcsinw = −ilog(iw+ √ 1−w 2 ). 

Tämä(kin) funktio on äärettömän morihaarainen funktio. Päähaaraksi sovitaan 

usein se haara, jolle arcsin0 = 0. Derivaatta on 

d 

dz (arcsinz) = 1 ( d 

i dz log(iz +√ 1−z )) 

2 

= 1 ( 

1 

)( 

i iz + √ 1 

) 

i+ 

1−z 2 2 √ 1−z ·(−2z) 2 

= 1 ( 

1 

)( √ 

i 

i iz + √ 1−z2 −z 

) 

√ 

1−z 2 1−z 

2 

1 

= √ , z ≠ ±1. 1−z 

2 

2.6.7 Hyperboliset funktiot 

Asetetaan 

sinhz = ez −e −z 

ja coshz = ez +e −z 

, z ∈ C. 

2 2 

Esimerkki 2.38. 1) cosh 2 z −sinh 2 z = 1.


2) sinh(z 1 +z 2 ) = sinhz 1 coshz 2 +coshz 1 sinhz 2 . 

Huomautus. Jos z ∈ C, niin määritelmien mukaan 

1) sin(iz) = isinhz 

2) cos(iz) = coshz. 

2.6.8 Yleistetty potenssifunktio 

Jos a ∈ C on vakio, niin asetetaan 

z a = e alogz , 

kun z ≠ 0. Tässä logz = Logz +ik2π, missä edelleen Logz = ln|z|+iargz. Logaritmin 

vuoksi myös potenssifunktio on monihaarainen (moniarvoinen). 

Esimerkki 2.39. Lasketaan i i . Koska i = 1·(cos π 2 +isin π 2 ), niin Logi = ln|i|+iπ 2 = 

iπ/2. Siten 

i i = e ilogi = e i(Logi+i2kπ) = e i(iπ 2 +i2kπ) = e −π 2 −k2π = e −π 2 +k2π ,k ∈ Z. 

2.7 L’Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle 

Lause 2.40. Oletetaan, että f ja g ovat analyyttisiä pisteessä z 0 ja f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0. 

Tällöin 

f(z) 

lim 

z→z 0 g(z) = lim f ′ (z) 

z→z 0 g ′ (z) . 

Todistus. Koska f ja g ovat analyyttisiä z 0 :ssa, niin (kuten aiemmin) 

ja 

f(z) = f(z 0 )+f ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 1 (z) 

g(z) = g(z 0 )+g ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 2 (z), 

missä ε 1 (z) → 0 ja ε 2 (z) → 0, kun z → z 0 . Siten 

f(z) 

g(z) = f(z 0)+f ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 1 (z) 

g(z 0 )+g ′ (z 0 )(z −z 0 )+(z −z 0 )ε 2 (z) = f′ (z 0 )+ε 1 (z) 

g ′ (z 0 )+ε 2 (z) −→ f′ (z 0 ) 

g ′ (z 0 ) , 

kun z → z 0 .

Kompleksianalyysi I 36

Luku 3 

Käyräintegraali C:ssä 

3.1 Kompleksitason käyristä 

Määritelmä 3.1. Olkoot x,y : [a,b] → R (yhden reaalimuuttujan) funktioita. Tällöin 

joukko 

γ = {z ∈ C : z(t) = x(t)+iy(t), t ∈ [a,b]} 

on kompleksitason C suunnistettu käyrä. Luku z(a) on käyrän γ alkupiste, z(b) loppupiste 

ja [a,b] on käyrän parametriväli. Tämä on γ:n parametrimuotoinen esitys, 

eikä se ole yksikäsitteinen. 

Esimerkki 3.2. Olkoon käyrä parabelin osa γ = {z : z(t) = t+it 2 ,t ∈ [0,1]}. Tällöin 

γ:n alkupiste on z(0) = 0+i0 = 0 ja γ:n loppupiste z(1) = 1+i. 

Esimerkki 3.3. Käyrillä 

ja 

γ 1 = {z : z(t) = t+it 2 ,t ∈ [0,1]} 

γ 2 = {z : z(t) = t 2 +it 4 ,t ∈ [0,1]} 

on täsmälleen samat pisteet ja sama suunnistus. Tätä merkitään γ 1 = γ 2 . 

Jos käyrillä γ 1 ja γ 2 on samat pisteet, mutta eri suunta, niin merkitään 

Olkoon 

γ 1 = −γ 2 . 

γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t ∈ [a,b]}. 

Tällöin käyrä −γ voidaan esimerkiksi esittää muodossa 

−γ = {z(−t) : t ∈ [−b,−a]}, 

jolloin käyrän −γ alkupiste on z(−(−b)) = z(b) = γ:n päätepiste. Vastaavasti käyrän 

−γ päätepiste on z(−(−a)) = z(a) = γ:n alkupiste. 

37


Huomautus. Parametriväli [a,b] voidaan valita miksi tahansa väliksi [c,d] seuraavan 

päättelyn mukaan. Olkoon h : [c,d] → [a,b] aidosti kasvava bijektio, 

{z(t) : t ∈ [a,b]} = γ 

ja {h(t) : t ∈ [c,d]} = [a,b]. Jos γ 1 = {z(h(t)) : t ∈ [c,d]}, niin γ 1 = γ. 

Jos puolestaam h : [c,d] → [a,b] on aidosti vähenevä, niin 

{z(h(t)) : t ∈ [c,d]} = −γ. 

Esimerkki 3.4. Olkoon h : [0,1] → [0,1],h(t) = t 2 (kasvava) bijektio. Tällöin 

{z(h(t)) : t ∈ [0,1]} = {z(t) : t ∈ [0,1]}. 

Esimerkki 3.5. Jos h : [0,1] → [0,1],h(t) = 1−t on (vähenevä) bijektio, niin 

{z(h(t)) : t ∈ [0,1]} = −{z(t) : t ∈ [0,1]}. 

Huomautus. Pisteiden z 1 ,z 2 ∈ C välistä (suunnistettua) janaa merkitään 

γ [z1 ,z 2 ] = [z 1 ,z 2 ] = {z ∈ C : z = z 1 +t(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]}. 

Tällöin 

−γ [z1 ,z 2 ] = {z ∈ C : z = z 1 +(1−t)(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]}. 

Määritelmä 3.6. Käyrä γ = {z(t) : t ∈ [a,b]} on sulkeutuva, jos z(a) = z(b). 

Esimerkki 3.7. Ympyrä γ = {z : |z| = r} = S r (0) voidaan esitää käyränä, kun 

z(t) = r(cost+isint)) = re it ,t ∈ [0,2π] 

taiz(t) = re i2πt ,t ∈ [0,1]. Yleisemmin,z 0 -keskinen r-säteinen ympyrä voidaan esittää 

käyränä 

γ = {z(t) : z = z 0 +re it ,t ∈ [0,2π]} = S r (z 0 ). 

Käyrien yhdistäminen Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, joille γ 1 :sen loppupiste kuin γ 2 :sen 

alkupiste (suunnistus olemassa). Yhdistetty käyrä 

γ = γ 1 ∪γ 2 

voidaan parametrisoida esimerkiksi seuraavasti: Jos 

γ 1 = {z 1 (t) : t ∈ [0,1]}

39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä 

• z(t) 

• 

z 0 

r 

Kuva 3.1: Ympyrän parametrisointi 

✒ 

γ 1 

 

γ 2 

✲ 

Kuva 3.2: Käyrien yhdistäminen 

ja 

γ 2 = {z 2 (t) : t ∈ [0,1]}, 

niin asettamalla 

h 1 (t) = 2t, t ∈ [0, 1 2 ], 

ja 

h 2 (t) = 2t−1, t ∈ [ 1 2 ,1] 

voidaan kirjoittaa 

missä 

z(t) = 

γ = {z(t) : t ∈ [0,1]}, 

{ 

z 1 (h 1 (t)) ,t ∈ [0, 1 2 [ 

z 2 (h 2 (t)) ,t ∈ [ 1 2 ,1]. 

Tämä voidaan yleistää useammille käyrille eli 

γ = γ 1 ∪γ 2 ∪···∪γ n .


Käyrän tangentti Jos 

niin derivaatta pisteessä z(t) on 

γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t ∈ [a,b]}, 

z ′ (t) = x ′ (t)+iy ′ (t), 

jos x ′ (t) ja y ′ (t) ovat olemassa välillä t ∈]a,b[ ja toispuoleiset raja-arvot x ′ +(a),x ′ −(b) 

sekä y ′ +(a),y ′ −(b) ovat olemassa. 

Huomautus. Tärkeitä käyriä ovat: 

• janat z 1 ,z 2 ∈ C,z 1 ≠ z 2 : 

[z 1 ,z 2 ] = {z : z(t) = z 1 +t(z 2 −z 1 ),t ∈ [0,1]} 

• ympyrät z 0 ∈ C,r ∈ R,r > 0: 

{z : z(t) = z 0 +re it ,t ∈ [0,2π]} 

tai 

{z : z(t) = z 0 +re i2πt ,t ∈ [0,1]}. 

Huomautus. Jos käyrä γ on sulkeutuva eikä leikkaa itseään, niin γ on niin sanottu 

Jordan–käyrä. 

3.2 Käyräintegraali 

Olkoon f funktio A → C ja A ⊂ C alue eli avoin ja polkuyhtenäinen joukko. Olkoon 

γ = {z(t) : t ∈ [a,b]} alueessa A sijaitseva säännöllinen käyrä. Oletetaan, että z ′ (t) 

on olemassa välillä ]a,b[ ja toispuoleisena päätepisteissä, sekä z ′ (t) ≠ 0 ja jatkuva. 

Oletetaan, että f on jatkuva käyrällä γ. Olkoon 

P = {a = t 0 < t 1 < ··· < t n−1 < t n = b} 

välin [a,b] jako. Merkitään z k = z(t k ),t k ∈ P,k = 0,1,2,...,n. Yhdistämällä peräkkäiset 

pisteet z k−1 ja z k ,k = 1,2,...,n janoilla saadaan murtoviiva. 

Tarkastellaan summalauseketta 

S P (f,{ξ k }) = 

n∑ 

f(ξ k )(z k −z k−1 ), 

k=1


missä ξ k = z(u k ) ja u k on jokin piste välillä [t k−1 ,t k ]. Nyt 

Väliarvolauseen nojalla 

ja 

z k −z k−1 = (x(t k )−x(t k−1 ))+i(y(t k )−y(t k−1 )). 

missä r k ,s k ∈]t k−1 ,t k [. 

Summalauseke tulee siten muotoon 

S P (f,{ξ k }) = 

x(t k )−x(t k−1 ) = x ′ (r k )(t k −t k−1 ) 

y(t k )−y(t k−1 ) = y ′ (s k )(t k −t k−1 ), 

n∑ 

f(ξ k )(x ′ (r k )+iy ′ (s k ))(t k −t k−1 ). 

k=1 

Tämä summalauseke vastaa funktion f(z(t))z ′ (t) Riemannin summaa yli välin [a,b] 

jaolla P. Merkitään h = max i |t i −t i−1 | ja asetetaan 

lim S P(f,{ξ k }) = 

h→0 

∫ b 

Jos edellä f = u+iv,u,v : A R 2 → R 2 , niin 

∫ 

γ 

f(z)dz = 

∫ b 

a 

∫ b 

= 

∫ 

= 

a 

γ 

a 

∫ 

f(z(t))z ′ (t)dt = 

(u+iv)(x ′ (t)+iy ′ (t))dt 

∫ b 

γ 

f(z)dz. 

[ux ′ (t)dt−vy ′ (t)dt]+i [uy ′ (t)dt+vx ′ (t)dt] 

a 

∫ 

(udx−vdy)+i (udy +vdx). 

Esimerkki 3.8. Olkoon f(z) = z 2 ja γ jana [0,1+i]. Janan esitys käyränä on 

γ = {z : z(t) = 0+i0+t(1+i−0),t ∈ [0,1]} = {z : z(t) = t(1+i),t ∈ [0,1]}. 

Nyt x(t) = t ja y(t) = t sekä dz = (x ′ (t)+iy ′ (t))dt = (1+i)dt. Siten 

∫ 

γ 

f(z)dz = 

= 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

f(z(t))z ′ (t)dt = 

2it 2 (1+i)dt = 

∫ 1 

0 

∫ 1 

0 

γ 

[t(1+i)] 2 (1+i)dt = 

∫ 1 

(i2t 2 −2t 2 )dt = 2 3 i− 2 3 . 

0 

(t 2 −t 2 +2itt)(1+i)dt


Eräitä ominaisuuksia 

1) 

∫ ∫ ∫ 

(f(z)+g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz 

γ 

γ γ 

2) 

3) 

missä a ∈ C on vakio. 

∫ 

∫ 

γ 

−γ 

∫ 

af(z)dz = a f(z)dz, 

γ 

∫ 

f(z)dz = − f(z)dz 

γ 

Lause 3.9. Olkoon γ 1 = {z : z(t),t ∈ [a,b]} ja γ 2 = {z : z(h(s)),s ∈ [c,d]}, missä 

h : [c,d] → [a,b] on jatkuvasti derivoituva, aidosti kasvava ja h ′ (t) > 0. Tällöin 

∫ ∫ 

f(z)dz = f(z)dz. 

γ 1 γ 2 

Todistus. Nyt dz = d(z(h(s))) = z ′ (h(s))h ′ (s)ds, t = h(s),dt = h ′ (s)ds. Siten 

∫ d 

∫ ∫ 

f(z)dz = f(z(h(s)))dz = f(z(h(s)))z ′ (h(s))h ′ (s)ds 

γ 2 γ 2 c 

∫ b ∫ 

= f(z(t))z ′ (t)dt = f(z)dz. 

a 

γ 1 

Huomautus (Yhdistetyn käyrän integraali). Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, ja γ 1 :n loppupiste 

= γ 2 :n alkupiste. 

Jos yhdistetyn käyrän γ = γ 1 ∪γ 2 integraali on olemassa, niin 

∫ ∫ ∫ ∫ 

f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. 

γ γ 1 ∪γ 2 γ 1 γ 2 

Yleisemmin, jos γ = γ 1 ∪γ 2 ∪···∪γ n , missä kukin γ i on säännöllinen, niin 

∫ ∫ ∫ ∫ 

f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz +···+ f(z)dz. 

γ γ 1 γ 2 γ n


Esimerkki 3.10. Olkoon f(z) = z, 

γ 1 = {z : z(t) = t+it 2 ,t ∈ [0,1]}, 

γ 2 = [1+i,0] = {z : z(t) = (1−t)+i(1−t),t ∈ [0,1]} 

ja γ = γ 1 ∪γ 2 . Integraali yli käyrän γ 1 on 

∫ 

γ 1 

zdz = 

∫ 1 

Vastaavasti integraali yli käyrän γ 2 on 

0 

(t−it 2 )(1+i2t)dt = ··· = 1+ i 3 . 

∫ ∫ 1 

zdt = ((1−t)−i(1−t))(−1−i)dt 

γ 2 0 

[∫ 1 ∫ 1 

] 

= −(1+i) (1−t)dt−i (1−t)dt 

0 0 

( 1 

= (1+i) 

2 2) 

−i1 = 1 2 (1+i)(1−i) = 1 ·2 = 1. 

2 

Siten integraali yli yhdistetyn käyrän γ on 

∫ ( 

zdz = 1+ i ) 

+1 = 2+ i 3 3 . 

γ 

Lause 3.11. Jos γ on paloittain säännöllinen käyrä ja jos f on jatkuva funktio, jolle 

|f(z)| ≤ M kaikilla z ∈ γ,M > 0 vakio, niin 

∫ 

∫ 

∣ f(z)dz 

∣ ≤ |f(z)|dz ≤ ML γ , 

missä L γ = ∫ b 

a 

√ 

x′ (t) 2 +y ′ (t) 2 dt on käyrän γ pituus. 

γ 

γ 

Määritelmä 3.12. Olkoon A ⊂ C alue ja f : A → C jatkuva funktio. Jos on 

olemassa funktio F : A → C, jolle F ′ (z) = f(z) kaikilla z ∈ A, niin sanotaan, että F 

on funktion f integraalifunktio A:ssa. 

Huomautus. 1) Reaalitapauksesta tiedetään, että jos g : [a,b] → R,g ′ (t) = 0 

kaikilla t ∈]a,b[, niin g(x) = g(a) = vakio kaikilla x ∈ [a,b]. 

2) Olkoon f : A → C,A alue, f ′ (z) = 0 kaikilla z ∈ A. Tällöin f(z) = vakio 

kaikilla z ∈ A.


Todistus. Jos f ′ (z) = 0 ja f = u+iv, niin 

u x (x,y) = v y (x,y) = 0 = u y (x,y) = v x (x,y) = 0. 

Täten u ja v ovat edellisen kohdan nojalla vakioita eli f on vakio. 

3) Integraalifunktion määritelmä ei kerro kuinka se määrätään. Usein (alkeisfunktioiden 

tapauksessa) se kuitenkin löytyy kokeilemalla. Esimerkiksi, jos f(z) = 

2z, niin tutusti F(z) = z 2 . 

Integraalifunktion (mahdollinen) olemassaolo tarjoaa seuraavan lauseen kautta 

toisen tavan laskea käyräintegraaleja (vrt. reaalitapaukseen). 

Lause 3.13. Olkoon funktiolla f on integraalifunktio F alueessa A ja olkoon 

γ = {z(t) : t ∈ [a,b]} 

paloittain säännöllinen käyrä alueessa A. Tällöin 

∫ 

f(z)dz = F(z(b))−F(z(a)). 

Todistus. Olkoon z = z(t) ∈ γ,t ∈ [a,b]. Koska 

niin 

∫ 

γ 

f(z)dz = 

∫ b 

a 

γ 

d 

dt (F(z(t))) = F′ (z(t))z ′ (t) = f(z(t))z ′ (t), 

f(z(t))z ′ (t)dt = 

∫ b 

a 

d(F(z(t))) = 

∣ b aF(z(t)) = F(z(b))−F(z(a)). 

Huomautus. Yllä olevan integraalin arvo ei riipu γ:sta muuten kuin päätepisteiden 

kautta. Jos erityisesti γ on sulkeutuva, niin integraali on 0. 

Esimerkki 3.14. Lasketaan vielä Esimerkin 3.8 integraali käyttämällä Lausetta 3.13. 

Nyt f(z) = z 2 ja siten F(z) = z 3 /3. Täten 

∫ 

γ 

f(z)dz = F(1+i)−F(0) = (1+i)3 

3 

eli todellakin saatiin sama arvo kuin edellä. 

= 1+3i+3i2 +i 3 

3 

= 2i−2 

3

Hakemisto 

alue, 40 

analyyttinen funktio, 24 

argumentti, 6 

arvojoukko, 17 

avoin joukko, 9 

avoin kiekko, 9 

avoin sektori, 19 

bijektio, 18 

Cauchyn jono, 13 

Cauchyn–Riemannin yhtälöt, 27 

De Moivren kaava, 7 

derivaatta, 24 

funktion kuvaaja, 17 

funktion rajoittuma, 17 

harmoninen funktio, 29 

imaginääriosa, 3 

imaginääriyksikko, 2 

index, 17 

injektio, 18 

integraalifunktio, 43 

itseinen suppeneminen, 14 

itseisarvo, 4 

jaksovyö, 31 

jana, 38 

jatkuva funktio, 21 

jono, 12 

jonon suppeneminen, 12 

Jordan–käyrä, 40 

kasaantumispiste, 11 

ketjusääntö, 26 

kompakti joukko, 12 

konveksi joukko, 12 

kunta, 1 

käyrän alkupiste, 37 

käyrän loppupiste, 37 

käyrän pituus, 43 

käänteisfunktio, 19 

liittoluku, 4 

logaritmin päähaara, 31 

monihaarainen funktio, 31 

määritysjoukko, 17 

napakoordinaattiesitys, 6 

neljännes, 7 

parametriväli, 37 

polkuyhtenäinen, 12 

polynomi, 29 

polynomin aste, 29 

punkteerattu kiekko, 9 

pääarvo, 30 

raja-arvo, 20 

rajoitettu joukko, 12 

rationaalifunktio, 29 

reaaliosa, 3 

reunapiste, 11 

sarja, 14 

sarjan hajaantuminen, 14 

sarjan suppeneminen, 14 

45


sisäpiste, 11 

suljettu joukko, 10 

suljettu kiekko, 9 

suljettu sektori, 19 

sulkeuma, 11 

sulkeutuva käyrä, 38 

suora, 8 

surjektio, 18 

suunnistettu käyrä, 37 

tasainen jatkuvuus, 23 

tiheä osajoukko, 11 

ulkopiste, 11 

virittäjävektori, 8 

ympyrä, 5

Kompleksianalyysi I.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?