Kompleksianalyysi I.pdf

Sisältö
1 Kompleksilukujen kunta 1
1.1 Kompleksilukujen kunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Kompleksitason topologiaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Jonoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Sarjat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Kompleksimuuttujan funktioista 17
2.1 Kompleksiarvoiset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Funktion raja-arvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Jatkuvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Cauchyn–Riemannin yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Eräitä funktioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1 Polynomifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2 Rationaalifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.3 Juurifunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.4 Eksponenttifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.5 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.6 Trigonometriset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.7 Hyperboliset funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.8 Yleistetty potenssifunktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 L’Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Käyräintegraali C:ssä 37
3.1 Kompleksitason käyristä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Käyräintegraali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Hakemisto 45
iii