Kompleksianalyysi I.pdf

Kompleksianalyysi I 20
2.2 Funktion raja-arvo
Määritelmä 2.11. Olkoon f kompleksiarvoinen funktio ja z 0 ∈ C sellainen, että
D ′ r(z 0 ) ⊂ M(f) jollain r > 0. Sanotaan, että luku a ∈ C on funktion f raja-arvo
pisteessä z 0 , merkitään
lim
z→z 0
f(z) = a,
jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa luku δ = δ(ε,z 0 ), jolle
|f(z)−a| < ε
aina, kun 0 < |z −z 0 | < δ. Toisin sanoen f(z) ⊂ D ε (a) aina, kun z ∈ D ′ δ (z 0).
Esimerkki 2.12. Tarkastellaan vakiofunktiota f(z) = a,a ∈ C. Olkoon z 0 ∈ C ja
ε > 0. Nyt
|f(z)−a| = |a−a| = 0 < ε
aina, kun 0 < |z − z 0 | < δ ja δ > 0 on mikä tahansa. Siis lim
z→z0
f(z) = a aina, kun
z 0 ∈ C.
Esimerkki 2.13. Tarkastellaan funktiota f(z) = z 2 ,z ∈ C. Osoitetaan, että
Todistus. Olkoon ε > 0. Lasketaan ensin
lim f(z) = z 2
z→z 0
0.
|f(z)−z 2 0| = |z 2 −z 2 0| = |(z +z 0 )(z −z 0 )| = |z +z 0 ||z −z 0 |.
Riittää olettaa, että 0 < |z −z 0 | < 1. Tällöin
joten
|z +z 0 | = |(z −z 0 )+2z 0 | ≤ |z −z 0 |+2|z 0 | < 1+2|z 0 |,
|f(z)−f(z 0 )| < (1+2|z 0 |)|z −z 0 |.
ε
Valitaan δ = min{1, } ≤ 1. Jos 0 < |z −z 1+2|z 0 | 0| < δ, niin
|f(z)−z0| 2 ε
< (1+2|z 0 |)|z −z 0 | < (1+2|z 0 |)
1+2|z 0 | = ε.
Esimerkki 2.14. Tarkastellaan funktion
f(z) = z2 +1
z −i , z ≠ i
raja-arvoa, kun z → i. Jos z ≠ i, niin
kun z → i.
z 2 +1
z −i
=
(z +i)(z −i)
z −i
= z +i → i+i = 2i