Kompleksianalyysi I.pdf

More documents

Recommendations

Info

3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Luvun z ∈ C reaaliosaa merkitään x = Re(z) ∈ R ja imaginääriosaa y = Im(z) ∈ R. Kompleksiluvut z 1 ja z 2 ovat samat, merkitään z 1 = z 2 , jos Re(z 1 ) = Re(z 2 ) ja Im(z 1 ) = Im(z 2 ). Lause 1.3. (C,+,·) on kunta. Todistus. Käydään läpi kunta-aksioomat. K1 ◦ Selvä. K2 ◦ Nolla-alkio on 0 = 0+i0. K3 ◦ Jos z = x+iy ∈ C, niin (−z) = (−x)+i(−y) ∈ C. K4 ◦ Selvä. K5 ◦ Jos z k ∈ C,k = 1,2,3, niin (z 1 z 2 )z 3 = [x 1 x 2 −y 1 y 2 +i(x 1 y 2 +x 2 y 1 )](x 3 +iy 3 ) K6 ◦ Ykkösalkio on 1 = (1,0) = 1+i0. = [(x 1 x 2 −y 1 y 2 )x 3 −(x 1 y 2 +x 2 y 1 )y 3 ] +i[(x 1 x 2 −y 1 y 2 )y 3 +(x 1 y 2 +x 2 y 1 )x 3 ] = [x 1 x 2 x 3 −x 1 y 2 y 3 −y 1 y 2 x 3 −y 1 x 2 y 3 ] +i[x 1 x 2 y 3 +x 1 y 2 x 3 +y 1 x 2 x 3 −y 1 y 2 y 3 ] = [x 1 (x 2 x 3 −y 2 y 3 )−y 1 (y 2 x 3 +x 2 y 3 )] +i[x 1 (x 2 y 3 +y 2 x 3 )+y 1 (x 2 x 3 −y 2 y 3 )] = (x 1 +iy 1 )[(x 2 x 3 −y 2 y 3 )+i(x 2 y 3 +x 3 y 2 )] = z 1 (z 2 z 3 ). K7 ◦ Jos z = x+iy ∈ C ja z ≠ 0 = 0+i0, niin x ≠ 0 tai y ≠ 0. Asettamalla ( ) z −1 x −y = x 2 +y +i ∈ C 2 x 2 +y 2 nähdään, että [ ( )] z −1 x −y z = x 2 +y +i (x+iy) = ··· = 1 = zz −1 . 2 x 2 +y 2 K8 ◦ z 1 z 2 = z 2 z 1 . K9 ◦ z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3 . Täten joukko C varustettuna laskutoimituksilla + ja · on kunta.
<strong>Kompleksianalyysi</strong> I 4 1.2 Kompleksitaso ja itseisarvo TunnetustiR 2 voidaan kuvataxy-koordinaatiston avulla tasona. SamaistuksellaR 2 ≈ C myös C voidaan esittää koordinaatiston avulla. y ✻ Im ✻ z = x+iy C (x,y) R 2 ✲ ✲x Määritelmä 1.4. Luvun z = x + iy ∈ C itseisarvo on |z| = √ x 2 +y 2 ∈ R, joka vastaa pisteen (x,y) etäisyyttä origosta. Itseisarvo R:ssä antaa metriikan R:ään, eli lukujen x ja y etäisyyden d(x,y) = |x−y|. Vastaavasti itseisarvo C:ssä määrää metriikan d(z 1 ,z 2 ) = |z 1 −z 2 |. Merkitään • d C = metriikka C:ssä • d C|R = d R = metriikka R:ssä. Kunta(C,+,·) on näin myös kunnan(R,+,·) metrinen (topologinen) kuntalaajennus. Itseisarvolle pätee seuraavat ominaisuudet: 1) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |. ∣ 2) z 1∣∣∣ ∣ = |z 1| z 2 |z 2 | , z 2 ≠ 0. 3) Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z| ja Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|. 4) |z 1 +z 2 | ≤ |z 1 |+|z 2 | (kolmioepäyhtälö). Määritelmä 1.5. Luvun z = x+iy ∈ C liittoluku on z = x−iy ∈ C. Liittoluvulle pätee mm. seuraavat ominaisuudet: 1) i = −i. 2) zz = zz = x 2 +y 2 = |z| 2 . 3) Jos z = z, niin z ∈ R. Re
Page 1: Kompleksianalyysi I 801385A 2011
Page 4 and 5: Kompleksianalyysi I ii
Page 6 and 7: Luku 1 Kompleksilukujen kunta Lukuj
Page 10 and 11: 5 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 4)
Page 12 and 13: 7 Luku 1. Kompleksilukujen kunta el
Page 14 and 15: 9 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Jo
Page 16 and 17: 11 Luku 1. Kompleksilukujen kunta M
Page 18 and 19: 13 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 1
Page 20 and 21: 15 Luku 1. Kompleksilukujen kunta E
Page 22 and 23: Luku 2 Kompleksimuuttujan funktiois
Page 24 and 25: 19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funkt
Page 42 and 43: Luku 3 Käyräintegraali C:ssä 3.1
Page 44 and 45: 39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä
Page 50 and 51: Hakemisto alue, 40 analyyttinen fun

Kompleksianalyysi I.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?