Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

Multiplicité d’orbites homoclines : En contraste avec le cas d’une seule orbite homocline
la dépendance temporelle de V est plutôt un avantage pour obtenir des résultats de
multiplicité, et en particulier l’existence d’une infinité d’orbites homoclines. Le théorème
classique de Smale-Birkhoff donne une description complète de la dynamique du système
en présence d’un point homocline transverse à un point d’équilibre hyperbolique. Le principal
outil pour s’assurer de cette condition de transversalité est la théorie de Melnikov
[M] qui fonctionne principalement lorsqu’une perturbation périodique est ajoutée à un
système autonome. Récemment, en introduisant un nouveau principe minimax, Séré a
montré l’existence d’une infinité d’orbites homoclines [Se1] pour le système introduit dans
[CES]. Son approche a été utilisée par Coti-Zelati et Rabinowitz [CR] pour établir le même
résultat de multiplicité pour des systèmes du second ordre comme (3.1). Ensuite dans
[Se2], Séré a montré que les méthodes variationnelles peuvent être utilisées pour prouver
des résultats de type “shadowing” (voir [A]), et donc l’existence d’une classe (infinie) de
solutions, appelées solutions multibumps, dont la présence révèle un comportement de
type chaotique du système. Si l’ensemble des solutions homoclines est dénombrable alors,
le système admet des solutions multibumps. Cette condition est plus faible que la condition
classique de transversalité. Les idées de Séré ont déjà inspiré nombre de travaux
dans lesquels des conditions de nondégénérescence sur l’ensemble des orbites homoclines,
plus faibles que dans [Se2] sont introduites (voir par exemple [Bes, MNT]). Il est aussi
maintenant possible de traiter des cas où la dépendance temporelle est plus générale, par
exemple asymptotiquement périodique ou presque périodique. Cependant la condition
introduite par Séré et ses généralisations ne sont jamais satisfaites si V est autonome.
Dans le cas autonome, pour des potentiels réguliers, nous connaissons seulement deux
résultats de multiplicité. Dans [AC] et [Tan3], en utilisant la théorie de la catégorie de
Ljusternik-Schnirelmann, deux homoclines sont obtenues pour un système du type (3.1).
Il est nécessaire pour cela de supposer que le potentiel est une perturbation d’une fonction
à symétrie radiale. Le cas où V est autonome mais singulier est généralement plus simple.
La topologie plus riche de l’espace des configurations permet d’obtenir des résultats de
multiplicité (voir par exemple [Tan1]). Ainsi, dans [9] et [11] je considère l’équation
ü(t) + ∇V (u(t)) = 0, (3.2)
où le potentiel V est singulier sur un ensemble S ⊂ R N et C 1 sur R N \ S ; on suppose
(U1) V (0) = 0 > V (x) pour tout x ∈ R N \S
(U2) −V (x)|x| 2 → +∞ lorsque |x| → ∞
(U3) V (x) → −∞ lorsque d(x, S) → 0
(U4) il existe un voisinage N de S et une fonction W ∈ C 1 (N \ S, R), tels que
W (x) → −∞ lorsque d(x, S) → 0 et |∇W (x)| 2 ≤ −V (x) pour tout x ∈ N \ S.
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