Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

En 1978, De Giorgi a conjecturé que si a est une fonction constante, toute solution u
de (4.9) satisfaisant les conditions de bord u(x, y) → σi si x → −∞ et u(x, y) → σj si
x → +∞ pour tout y ∈ R avec i = j arbitraires fixés, est unidimensionnelle. Ce résultat
a été récemment prouvé par Ghoussoub et Gui [GG]. Le but principal de [16] est de
montrer qu’il existe un sous-ensemble dense (par rapport à la norme L ∞ ), de l’ensemble
des fonctions satisfaisant (H1) pour lequel l’équation (4.9) possède de multiple solutions
bidimensionnelles. Imposer des conditions de bord appropriées dans la direction y, est
la clef de notre résultat. Pour introduire ces conditions discutons d’abord le problème
unidimensionnel associé à (4.9),
Soit
−¨q(x) + a(x)W ′ (q(x)) = 0, x ∈ R. (4.10)
F (q) =
définie sur l’espace
E := {q ∈ H 1
loc(R) ;
muni de la norme hilbertienne
R
R
1
2 | ˙q(x)|2 + a(x)W (q(x)) dx
| ˙q(x)| 2
dx < +∞, W (q(x)) dx < +∞}
R
q 2 := |q(0)| 2
+
R
Pour i, j ∈ {1, . . . , m} arbitraires fixés, soit
| ˙q(x)| 2 dx.
Γi,j := {q ∈ E ; lim
x→−∞ q(x) = σi, lim q(x) = σj}.
x→+∞
Posant ci,j := infΓi,j F (q), on montre que c(i) := minj=i ci,j > 0, pour tout i ∈ {1, . . . , m}.
On choisit un i ∈ {1, . . . , m} et un j(i) ∈ {1, . . . , m} correspondant tels que c(i) = ci,j(i).
On montre d’abord qu’il est possible de trouver une solution de (4.10) comme minimum de
F sur Γ i := Γi,j(i). L’ensemble (infini) des minima est noté K i := {q ∈ Γ i ; F (q) = c(i)}.
Pour pouvoir obtenir des solutions bidimensionnelles, on fait l’hypothèse suivante sur
l’ensemble K i :
(∗)i il existe une partie compacte A de K i telle qu’en posant K i 0 := A et pour k ∈ Z,
K i k := {q(· − T k) : q ∈ K i 0}, (T est la période de a) on a
(i) Ki = ∪k∈ZKi k
(ii) ∃α > 0 tel que si k = k ′ alors dist(Ki k, Ki k ′) ≥ α.
Ici la distance dist(Ki k, Ki k ′) entre les ensembles Ki k et Ki k ′ est définie par
dist(K i k, K i
k ′) = inf{(
R
|q1(t) − q2(t)| 2 dt) 1
2 , q1 ∈ K i k, q2 ∈ K i k ′}.
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