Méthodes Variationnelles et Applications `a Quelques Probl`emes d ...

Les exemples que nous avons traités illustrent les trois principales difficultés que l’on
rencontre lorsqu’on cherche à développer une approche variationnelle. En premier lieu, il
convient d’identifier un niveau critique probable. Cette question est reliée à la géométrie
de la fonctionnelle. Notons que dans beaucoup de cas il est souhaitable de choisir une
formulation variationnelle, peut-être pas la plus immédiate mais la plus pratique. Dans
certains cas on cherchera des points critiques sous contraintes. Par exemple, il est aussi
possible d’obtenir une solution de (1.1) comme minimum d’une fonctionnelle sur une
sphère de H. Divers exemples sont donnés dans les sections 2 à 5. Mes contributions à
ce sujet sont contenues dans [2],[8] et [10]. Ensuite, il convient de montrer qu’il existe des
suites de Palais-Smale bornées pour la fonctionnelle au niveau critique suspecté. Cette
difficulté est le point central [7] et [8] et toute la section 5 y est consacrée. Finalement, il
faut prouver la convergence, dans un sens suffisamment fort, de ces suites de Palais-Smale.
Dans nos exemples cela correspond à passer de la convergence faible à la convergence forte
pour {un}. J’ai étudié ce type de problème principalement dans [2],[6],[9],[10],[11] et [15].
2 Problèmes avec lacunes spectrales : [1,2,3,4,5]
Dans cette section on étudie des problèmes semi-linéaires où le spectre de la linéarisation
associée présente des lacunes. Considérons comme cas modèle une équation de la forme
−∆u(x) + p(x)u(x) − f(x, u(x)) = λu(x), x ∈ R N , λ ∈ R, (2.1)
où p ∈ L ∞ (R N ) est une fonction périodique sur R N et pour tout x ∈ R N , f(x, ·) : R → R
est impaire, et a une croissante sur-linéaire à l’origine et à l’infini.
On s’intéresse aux solutions non triviales de l’équation (2.1), c’est à dire aux couples
(λ, u) ∈ R × H 1 (R N ) qui satisfont (2.1) au sens faible, ainsi qu’à l’existence de points de
bifurcation. Nous appelons point de bifurcation une valeur l ∈ R pour laquelle il existe
une suite {(λn, un)} ⊂ R × H 1 (R N ) de solutions de (2.1) avec pour tout n, un = 0 et
(λn, un) → (l, 0) dans R × H 1 (R N ).
La linéarisation de (2.1) joue un rôle central dans ces problèmes. C’est l’équation de
Schrödinger périodique
−∆u(x) + p(x)u(x) = λu(x).
Le spectre associé σ, est réel, purement continu, et consiste en une union disjointe
d’intervalles fermés. Nous nous concentrons sur les questions suivantes :
1. Existe-t-il une (ou plusieurs) solution non triviale pour tout λ dans R\σ ?
2. Est-ce qu’un point frontière donné est un point de bifurcation ?
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